計算流體力學

在電腦尚未被廣泛應用前，數學解析的方法常與實驗方法並列為研 究方法的兩大主流。對一個流場問題而言，其求解係以一個足以正確描 述流場變數（流速、壓力、溫度、濃度等）對時間與空間變化的微分方 程式（亦稱控制方程式；governing equations）為基礎，配合以適當的起 始與邊界條件（initial/boundary condition）後，應用數學工具推衍出相應 之流場數學解（mathematical solution）。然而，一個動力問題相應的控制 微分方程式往往是非線性（non-linear）的，對此類問題數學解之尋求並 非易事。更何況在實際問題中，隨著流場區域邊界幾何或動力條件複雜 程度之增加，欲獲取一個精確的流場結果往往有頗高的難度。因此，在 古典的解析方法中，常將區域邊界予以簡化以利求解，甚至沿用簡化但 對真實流況描述能力較差之控制方程式以獲得流場的結果。在採取此雙 重簡化的情況下，雖然達成了問題解析的目的，但是結果的真確度卻可 能大打折扣。隨著近年來電子計算機軟、硬體方面的快速進步，以往在 數學解析方面可能遭遇的各種困難，在運用數值解析（numerical analysis）

的方法後，多已迎刃而解（此即所謂CFD 的方法）。值得一提的是，在 古典數學解析的方法中，流場結果是以時間與空間函數的數學形式表示 出來，其在時空方面之變化均具有連續性；而在數值解析方法中，則為 離散化（discretized）數值形態時空分佈的流場結果。

一、紊流模型

在實際的情況中，絕大多數之氣流流動均為紊流之形態。由於紊流 中有渦漩（eddy）之存在而具有高度之散漫特性，故較難以掌握。因此 在涉及紊流的計算中，都要對紊流模型的類比能力以及計算所需系統資 源進行綜合考慮後，再選擇合適的紊流模型進行類比。基於雷諾平均之 涅維爾－史托克(Reynolds Averaged Naiver-Stokes，簡稱 RANS)的紊流模

型常見的包括standard k −ε 模型、RNG k −ε 模型、Realizable k −ε 模型、

RSM（Reynolds Stress Model，雷諾應力模型）模型等方法，而基於空間 平均概念之紊流模型則為LES（Large Eddy Simulation，大渦模擬）。LES 目前有Smagorinsky-Lilly、Dynamic Stress、WALE 等求解方法。雖然 LES 方法的模擬精確度較高，但其計算量負荷較重，在工程應用上目前仍無 法普及，現階段常需藉助高速運算技術(High Performance Computing;

HPC)方能有效進行。如後針對紊流模型作簡單的介紹：

(1) standard k–ε model

標準 k −ε 模型由 Launder 和 Spalding 提出，模型本身具有的穩定 性、經濟性和比較高的計算精度使之成為紊流模型中應用範圍最廣、也 最為人熟知的一個模型。標準k −ε 模型通過求解紊流動能（k）方程和 紊流消散率（ε）方程得到 k 和 ε 的解，然後再用 k 和 ε 的值計算紊流 粘度，最終採用Boussinesq 假設得到雷諾應力的解。雖然得到了最廣泛 的使用，但因為標準k −ε 模型假定紊流為等向性(isotropic)的均勻紊流，

所以在旋流（swirl flow）等非均勻紊流問題的計算中存在較大誤差。

(2) RNG k–ε model

RNG k−ε 模型在形式上類似於標準 k −ε 模型，但是在計算功能上 強於標準k −ε 模型，其改進措施主要有：○

¹

在ε 方程中增加了一個附加 項，使得在計算速度梯度較大的流場時精度更高；○

²

模型中考慮了旋轉 效應，因此對強旋轉流動計算精度也得到提升；○3 模型中包含了計算紊 流Prandtl 數的解析公式，而不像標準 k −ε 模型僅用使用者定義的常數。

○4 標準 k−ε 模型是一個高雷諾數模型，而 RNG k−ε 模型在對近壁區進 行適當處理後可以計算低雷諾數效應。

(3) realizable k–ε model

本模式滿足雷諾應力的約束條件，可以更精確地模擬平面和圓形射

流的擴散速度、旋性流計算、具有壓降梯度的邊界層流計算和分離流計 算等問題，其計算結果更符合真實情況，故可有效改善standard k–ε model 的缺點，提升精度。

(4) k –ω model

k−ω 模型也是二方程模型。標準 k−ω 模型中包含了低雷諾數影響、

可壓縮性影響和剪力流擴散，因此適用於尾跡流動計算、混合層計算、

射流計算，以及受到壁面限制的流動計算和自由剪切流計算。

剪應力傳輸k−ω 模型簡稱 SST k−ω 模型，它綜合了 k−ω 模型在近 壁區計算的優點和k−ε 模型在遠場計算的優點，將 k−ω 模型和標準 k−ε 都乘以一個混合函數後再相加就得到這個模型。在近壁區，混合函數的 值等於1，因此在近壁區等價於 k−ω 模型。在遠離壁面的區域混合函數 的值則等於0，因此自動轉換為標準 k−ε 模型。

與標準k−ω 模型相比，SST k−ω 模型中增加了橫向消散導數項，同 時在紊流黏度定義中考慮了紊流剪切應力的輸運過程。此外，其模型中 使用的紊流常數也有所不同。這些特點使得SST k−ω 模型的適用範圍更 廣，例如可以用於具有逆壓梯度的流動計算。

(4) RSM model

雷諾應力模型中沒有採用渦粘度的同向性假設，因此從理論上說比 紊流模式理論要精確得多。雷諾應力模型不採用Boussinesq 假設，而是 直接求解RANS 方程中的雷諾應力項，同時求解消散率方程。因此，在 二維問題中需要求解5 個附加方程式，在三維問題中則需要求解 7 個附 加方程式。

理論上，雷諾應力模型應該比一方程模型和二方程模型的計算精度 更高，但實際上雷諾應力模型的精度受限於模型的閉合形式，因此雷諾

應力模型在實際應用中並沒有在所有的流動問題中都體現出其優勢。

(5) LES model

其基本概念為在空間平均大渦流模擬的概念中，大於計算網格尺寸 渦漩之運動係採直接模擬，小於計算網格尺寸渦漩之運動則以次網格紊 流模型（subgrid-scale turbulence model）模擬之。

近年另有動態次網格紊流模型（dynamic subgrid-scale turbulence model）之提出，次網格紊流黏滯度的 Smagorinsky 常數並非固定值，其 在各瞬間之空間分佈係經由粗與細兩套網格系統獲得之流場結果間比較 而得。

二、壁面函數(wall function)

在受壁面限制的流動中，因為壁面附近流場變數的梯度較大，所以 壁面對紊流計算的影響很大。基於RANS 模式之紊流模型中假定紊流是 等向性的，因此在壁面附近需要進行特殊處理。若用半經驗公式將自由 流中的紊流與壁面附近的流動連接起來，這種方法被稱為壁面函數法。

另一種方法是經由在壁面附近加密網格，同時調整紊流模型以包含壁面 影響的方法，則稱為近壁模型法。

壁面函數法中又有標準壁面函數法(standard wall function)和非平衡 壁面函數法(non-equilibrium wall function)。一般來說，標準壁面函數可以 適用於大多數流動問題，也是FLUENT 中預設的方法。而非平衡壁面函 數法則適用於流場函數在壁面附近存在很大梯度的流動問題。

在文檔中 應用高精度數值地形模型進行CFD風場模擬 (頁 35-39)