本章為本研究定下結論，並提出本未來的研究建議，以供日後相關領域研究者 的參考。
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第二章 相關文獻探討
過去對於近似序列的問題已有許多文獻提出解決的方法，在本章中我們簡 要地探討其中常見的無母數統計方法--保序迴歸(isotonic regression, 簡記 IR, Barlow et al. 1972)，經研究推導，保序迴歸可以藉由 PAVA 演算法(pool adjacent violators algorithm, Barlow et al. 1972)在簡易的計算中求解，然而保序迴歸卻無法 描述數據間小趨勢下降的問題，因此本章同時探討近乎保序迴歸(nearly isotonic regression, 簡記 NIR, Tibshirani et al. 2011)，此統計方法大幅的改善問題並良好
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法的計算速度為O(𝑛) (Grotzinger and Witzgall 1984) ，而此模型的好處為其不假 設任何形式的目標函數，如線性。
在早期也有很多關於保序迴歸的參考文獻(Ayer et al. 1955; Brunk 1955;
Bartholomew 1959a, 1959b; Miles 1959)。De Leeuw et al. (2009) 發表的論文亦很 好地描述了這個問題的由來和計算方法。Luss et al. (2010)也提出了一種遞移分 簡化成 Barlow et al. (1972)所提出的標準保序迴歸問題。而 Tibshirani et al. (2011) 透過修改 PAVA 演算法來解決(2)式，修改的 PAVA 算法不需要從數據的左端開 始進行運算，而是判斷最需要連接的相鄰點進行合併，且修改後的方法將運算 速度縮減至O(𝑇𝑙𝑜𝑔𝑇)，亦提出引理 1.支持其理論。
引理 1 (Tibshirani et al. 2011).取任意 λ 皆可使兩相鄰點之解滿足𝛽̂𝜆,𝑖 = 𝛽̂𝜆,𝑖+1，且 對於任何𝜆0 > 𝜆亦滿足𝛽̂𝜆0,𝑖 = 𝛽̂𝜆0,𝑖+1。
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但實際上，(2)式主要是用於描述當數據的主要趨勢隨著局部遞減的部分而增加 的無母數方法。然而，若數據中同時存在上下主趨勢時，使用(2)式求解將會把 所有遞減數據視為懲罰項，造成模型偏離，無法良好的描述數據，為了解決此 問題，我們提出一個新統計方法，稱作廣義近乎保序迴歸(generalized nearly isotonic regression, 簡記 GNIR)。
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第三章 研究方法及流程
在第二章提到的近乎保序迴歸雖良好的改善了數據中小趨勢下降的問題，
但若數據的主趨勢亦為下降時，近乎保序迴歸將無法將其趨勢描繪，而+實際資 料大多同時存在上下主趨勢，因此我們提出一個新的無母數統計方法，稱作廣 義近乎保序迴歸(generalized nearly isotonic regression, GNIR)用以解決當數據之主 趨勢時而向上及時而向下的問題。我們提出以下 GNIR 準則:
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通過 Christoffersen（1998）的回溯測試，顯著水準為 0.01。
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3. 將 GNIR 應用於 {−VaR𝐺𝑖, 𝑖 = 𝑡 − 𝑠 + 1, … , 𝑡 + 1} 並重複步驟 1 和 2，這相 當於求解(5)式。用 {−VaR𝐺𝑖, 𝑖 = 𝑡 − 𝑠 + 1, … , 𝑡 + 1}表示獲得{−NVaR𝑑𝑖, 𝑖 = 𝑡 − 𝑠 + 1, … , 𝑡 + 1}的估計值。
4. 通過(7)和(8)任意給定 c，我們可得出
NVaR̂ 𝑡+1 = 𝑘𝑐NVaR𝑢𝑡+1+ (1 − 𝑘𝑐)NVaR𝑑𝑡+1. (9) 直觀的來說，NIR 的準則(2)式主要是找到觀察值的近乎非遞減之估計。當 觀察值遞減時，NIR 對遞減部分的估計波動較小。而這也是在步驟 2 中得到的 NVaR𝑢能夠及時反映市場風險，並同時減少VaR𝐺遞減部分波動的主要原因。另 一方面，我們還需要減少VaR𝐺遞增部分的波動。因此，我們建議使用NVaR𝑑來 處理步驟 3 中遞增的部分。然而在步驟 4 中，我們考慮(7)式中參數 c 的兩種設 置。第一個使用加權平均值來估計NVaR̂ 𝑡+1，使得
𝑐 = ∑ (VaR𝑖+1𝐺 −VaR𝑖𝐺)
𝑡 + 𝑖=𝑡−𝑠+1
∑𝑡𝑖=𝑡−𝑠+1|VaR𝑖+1𝐺 −VaR𝑖𝐺| , (10) 此為增加的幅度與前 s 步(s-steps)的VaR𝐺之絕對波動比率。而所提出的(10)式 中，c 的選擇能夠反映VaR𝐺序列的主要趨勢。例如，若VaR𝐺的主要趨勢為增加 (或減少)，則 c 偏向 1(或 0)。最後，將 NVaR 定義為NVaR𝑢𝑖和NVaR𝑖𝑑的加權平 均，以跟隨整體趨勢並同時減少VaR𝐺的波動。另一種方式是設置 c = 0.5 來估計 NVaR̂ 𝑡+1，即為 NVaR𝑢𝑡 + 1、NVaR𝑑𝑡 + 1的 未加權平 均值。這 裡，我們 分別用 NVaR1 與NVaR2 表示NVaR̂ 𝑡+1的加權平均估計及未加權平均估計。
19 組合可能產生的最大損失。根據 Basel Committee (2006)，具有大量交易活動的 銀行需要留出一定數量的資金來彌補潛在的投資組合損失。該市場風險資本的 規模是根據銀行的一天(或 10 天)期限 VaR 估計值計算得出的，置信水平為 99
％。如果VaR 模型通過了回溯測試，並且將 VaR 模型的最近 250 個每日預測損 失與實際損失進行比較，則認為 VaR 模型是準確的。如果 VaR 模型不能通過回 溯測試，它將被自動拒絕 (Basel Committee 1996)。
傳統上，可以通過時間序列模型(例如，GARCH 模型)估計標的資產報酬和
20 2014; Huang and Tsai, 2015; Huang and Ciou, 2018; Huang and Lin, 2018 和 其中的參考文獻）。
21 質。由於 VaR 可以被視為單邊區間預測，我們採用 Christoffersen（1998）
提 出 的 區 間 預 測 之 覆 蓋 和 獨 立 性 聯 合 測 試 來 評 估 VaR𝐺的 特 性 。 Christoffersen（1998）對VaR𝐺進行了 11 年的 p 值顯示在表 1 中，表 1 中 VaR𝐺一樣通過Christoffersen（1998）的測試，大多數的年份之 p-value 顯著 性水平為0.01。
VaR𝐺的另一個特點是波動頻繁，這導致市場風險資本經常變化，對交易者 和財務管理來說不是一個好的財產。在巴塞爾協議中，根據內部模型方法 計算的一般市場風險的資本要求由下式定義
22 現了 Christoffersen（1998）測試的 p 值，以評估 VaR 的準確性。此外，計算從 不同 VaR 估計量獲得的 CR 年平均值、年變動量和年平均變動標準差，以比較 它們的特性。
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一階變動量(First-order variation):
𝐹𝑉 = ∑|VaR𝑡 − VaR𝑡−1|
𝑛
𝑡=1
相對變化的標準差(The standard deviation of relative change -- RC):
𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶 = { 1 過了 Chrisoffersen（1998）的測試。因此，VaR𝐺、NVaR1和NVaR2之估計在 回測中具有良好的特性。
（Acerbi、Tasche, 2002），在此表現中NVaR1具有最小的平均期望短缺。
3. 圖 6 顯示了 2007-2017 年 S&P500 的每年資本準備金各項指標之 比 率 𝐴𝑣𝑒(CR1)/𝐴𝑣𝑒(CR𝐺) 、 𝐴𝑣𝑒(CR2)/𝐴𝑣𝑒(CR𝐺) 、 𝐹𝑉(CR1)/
𝐹𝑉(CR𝐺) 、 𝐹𝑉(CR2)/𝐹𝑉(CR𝐺) 、 𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶(CR1)/𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶(CR𝐺) 以 及 𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶(CR2)/𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶(CR𝐺) ， 其 中 𝐴𝑣𝑒(CR𝑖)，𝑖 = 1,2 ,G ， 表 示 從
24
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5. 有趣的是，圖 17 中網絡密度及中心除了隨著時間變動之外，在 2015 年發生 的全球股災中可以看出主要影響國落在東亞地區，被影響國家為歐美區域 之國家，各報導也指出因為主要受到美國後 QE(量化寬鬆)時代、中國大陸 經濟趨緩等利空因素環環相扣，而引爆威力驚人的全球股災，由亞洲地區 首當其衝，接著才影響至歐股，此與本研究中計算出的網絡中心結果相 符。而在近年來的網絡中心都落在新加坡，新加坡為亞洲最依賴貿易的國 家，因隨中國需求復甦，帶動新加坡出口與經濟，進而與全球經濟貿易互 相牽引，但研究資料中未納入中國股市，反而將此現象反映在新加坡股市 中。
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第五章 討論與建議
風險值(Value at risk, 簡記 VaR)根據國際清算銀行(Bank for International Settlements，簡稱 BIS)於 1996 年所發布巴塞爾修正案中，明訂將市場風險的計 算以風險值作為衡量的指標。風險值也被廣泛運用在資本適足率的計算、企業 內部之風險管控，或是資產配置等…參考依據，隨著風險值在市場上越來越重 要，各種估計方法也漸漸發展。本研究最大的貢獻即為提出一個新的無母數估 計方法GNIR，除了能夠結合傳統的風險值估計方法，亦能適應真實數據，並通 過回溯測試，使估計出的風險值有一定的準確度同時擁有平穩性，比原始估計 的風險值更加符合現今市場需求，進而衍生出估計市場的發展趨勢及風險狀 態。
本研究目前採用傳統 GARCH 模型估計之風險值結合 GNIR 估計，仍可更 換原始估計模型，依照需求挑選適當的原始模型，以達到研究最大效益，此方 法也可嘗試隨著挑選𝜆的手法運用在其他時間序列的資料上。此外採用所配適的 GNIR 定義出每一個市場的風險狀態序列，並同時使用關聯分析加強輔助預測，
而因目前本研究在關聯性的建模上僅對市場彼此間進行分析，若與某些國家無 關聯性時即不能加強預測，後續研究將針對這方面再進行加強。然而此研究亦 無決定該由特定國家作為預測國，但實際上這個問題也可透過關聯規則來解 決。
在研究過程中我們加入了網絡圖以方便觀察並對特徵分析，仍發現有許多 資訊可加以研究，例如是否可由網絡圖看出“跟漲不跟跌”或“跟跌不跟漲”的國 家，未來也可朝向多國對單一國家或多國對多國進行分析預測研究，甚至運用 網絡模型及特徵預測下一步的全球金融市場網絡圖，將此問題持續深入研究。
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參考文獻
[1] Acerbi, C. and Tasche, D. (2002). On the coherence of expected shortfall.
Journal of Banking and Finance 26, 1487–1503.
[2]
Ayer, M., Brunk, H. D., Ewing, G. M., Reid, W. T., and Silverman, E. (1955).
An empirical distribution function for sampling with incomplete information. The Annals of Mathematical Statistics, 641-647.
[3]
Bartholomew, D. J. (1959a). A test of homogeneity for ordered alternatives. Biometrika, 46, 36-48.
[4]
Bartholomew, D. J. (1959b). A test of homogeneity for ordered alternatives.
II. Biometrika, 46, 328-335.
[5]
Brunk, H. D. (1955). Maximum likelihood estimates of monotone parameters. The Annals of Mathematical Statistics, 607-616.
[6] Barlow, R. E., Bartholomew, D., Bremner, J. M. and Brunk, H. D. (1972).
Statistical Inference under Order Restrictions: The Theory and Application of Isotonic Regression. Wiley: New York.
[7] Basel Committee of Banking Supervision (1996). Supervisory Framework For The Use of “Backtesting” in Conjunction With The Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirements. Available at www.bis.org.
[8] Basel Committee of Banking Supervision (2006). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards-A Revised Framework, Comprehensive Version. Available at www.bis.org.
[9] Beder, T. S. (1995). VAR: Seductive but dangerous. Financial Analysts Journal, 51, 12-24.
[10] Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. J. Econometrics 31, 307–327.
[11] Brown, S. J., and Warner, J. B. (1980). Measuring security price performance. Journal of Financial Economics, 8, 205-258.
[12] Campbell, S. D. (2006). A review of backtesting and backtesting procedures. J. Risk 9, 1.
[13] Chrisoffersen, P. F. (1998). Evaluating interval forecasts. International Economic Review 4, 841-862.
[14] Grotzinger, S. J., and Witzgall, C. (1984). Projections onto order simplexes. Applied mathematics and Optimization, 12, 247-270.
[15] Hendricks, D. and Hirtle, B. (1997). Bank capital requirements for market risk: The internal models approach. Federal Reserve Bank of New York Economic Policy Review 4, 1–12.
33
[16] Kasa, K. (1992). Common stochastic trends in international stock markets. Journal of Monetary Economics, 29, 95-124.
[17] Kupiec, P. (1995). Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models. Journal of Derivatives 3, 73–84.
[18] Luss, R., Rosset, S., and Shahar, M. (2010). Decomposing isotonic regression for efficiently solving large problems. In Advances in Neural Information Processing Systems, 1513-1521.
[19] Mair, P., Hornik, K., & de Leeuw, J. (2009). Isotone optimization in R: pool-adjacent-violators algorithm (PAVA) and active set methods. Journal of Statistical Software, 32, 1-24.
[20] Nelson, D. B. (1990). Stationarity and persistence in the GARCH(l,l) model. Econometric Theory 6, 318–334.
[21] Tibshirani, R. J., Hoefling, H. and Tibshirani, R. (2011). Nearly-isotonic regression. Technometrics 53, 54-61.
[22] Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sons:
New Jersey.
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2nd-order conditions: For a twice differentiable f with f is convex if and only if
∇2𝑓(𝑥) ≥ 0 for all x ∈ dom(𝑓) According to the definition of convex :
𝑓(𝑦̂) =1
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表格目錄
表 1. 超限數、Chrisoffersen(1998)測試的 p 值及VaR𝐺、NVaR1、NVaR2每年平均 之變動量、變動標準差與期望短缺。
GSPC 2007 2008 2009 2010 2011 2012
# of exceptions VaR𝐺 5 5 4 8 6 3
NVaR1 6 4 1 8 5 2
NVaR2 7 4 0 5 4 1
p-value of Chrisoffersen (1998)’s test
VaR𝐺 0.336 0.343 0.635 0.011 0.147 0.908 NVaR1 0.052 0.639 0.544 0.013 0.340 0.925 NVaR2 0.052 0.639 0.079 0.340 0.635 0.551 𝐹𝑉 of VaR VaR𝐺 298.7 984.1 1383.5 576.2 657.5 773.8 NVaR1 279.3 563.5 607.7 401.9 537.5 691.0 NVaR2 302.9 845.4 681.2 267.7 419.9 547.5 𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶 of VaR VaR𝐺 0.117 0.127 0.117 0.110 0.128 0.099 NVaR1 0.085 0.075 0.042 0.110 0.113 0.068 NVaR2 0.137 0.088 0.031 0.062 0.110 0.036
ES of VaR VaR𝐺 48.9 60.3 10.5 26.7 57.5 10.4
NVaR1 44.5 72.8 0.3 24.7 52.6 4.4
NVaR2 56.9 80.6 0.0 21.5 63.0 5.0
36 表 1.(續)
GSPC 2013 2014 2015 2016 2017 Ave.
# of exceptions VaR𝐺 2 6 7 2 4 4.7
NVaR1 2 6 3 2 3 3.8
NVaR2 2 6 3 2 2 3.3
p-value of Chrisoffersen (1998)’s test
VaR𝐺 0.921 0.147 0.001 0.921 0.627 NVaR1 0.921 0.147 0.062 0.921 0.908 NVaR2 0.921 0.147 0.062 0.921 0.925
𝐹𝑉 of VaR VaR𝐺 389.5 573.8 1051.0 1270.0 832.4 799.2 NVaR1 278.8 294.3 607.2 644.0 423.8 484.5 NVaR2 175.5 255.7 592.3 636.1 373.3 463.4 𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶 of VaR VaR𝐺 0.112 0.114 0.188 0.216 0.140 0.134 NVaR1 0.048 0.082 0.110 0.079 0.082 0.081 NVaR2 0.039 0.078 0.118 0.075 0.075 0.075
ES of VaR VaR𝐺 12.1 42.2 52.4 66.8 27.1 37.7
NVaR1 13.1 41.2 35.9 63.0 19.7 33.8
NVaR2 14.5 44.1 47.5 55.6 19.2 37.1
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表2. 由VaR𝐺、NVaR1及NVaR2估計量計算的每年平均 CR 值、變動量和變動 標準差。
GSPC 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Average of CR VaR𝐺 112.3 186.4 144.5 116 139.9 102.6 NVaR1 124.7 187.6 165.9 108.3 141.7 108.4 NVaR2 114.0 182.5 164.8 109.8 126.6 113.4
𝐹𝑉 of CR VaR𝐺 126.5 289.0 441.9 198.9 245.1 340.7
NVaR1 135.0 240.8 271.8 148.2 171.0 243.9 NVaR2 111.7 218.7 229.2 123.3 141.2 184.7 𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶 of CR VaR𝐺 0.019 0.018 0.015 0.013 0.019 0.019 NVaR1 0.018 0.010 0.002 0.011 0.016 0.009 NVaR2 0.018 0.010 0.002 0.010 0.014 0.003
GSPC 2013 2014 2015 2016 2017 Ave.
Average of CR VaR𝐺 91.8 96.5 155.4 136.5 98.6 125.5
NVaR1 90.1 97.9 140.8 137.9 101.0 127.7 NVaR2 93.2 99.1 138.2 141.4 104.6 126.2
𝐹𝑉 of CR VaR𝐺 109.3 73.1 196.6 294.2 147.1 223.9
NVaR1 58.2 49.5 154.9 190.4 83.6 158.8 NVaR2 43.2 50.5 145.5 178.1 82.5 137.1 𝑠𝑡𝑑𝑅𝐶 of CR VaR𝐺 0.003 0.010 0.013 0.011 0.012 0.014 NVaR1 0.002 0.010 0.016 0.004 0.003 0.009 NVaR2 0.002 0.009 0.016 0.004 0.003 0.008
38
表3. Scaling factors Zone Number of Exceptions
(Out of 250 Trading days) Days)
Scaling Factor green zone 0 to 4 3.00
5 3.40
6 3.50
yellow zone 7 3.65
8 3.75
9 3.85
red zone 10 4
39 t+1
表 4. 高低風險損失期望值列表，使用作用度(𝑙𝑖𝑓𝑡)最高時的百分比組 合作為最佳界線，來呈現各國相互估計列表，其中A1~A13代表事件 A，依序為美國、澳洲、日本、韓國、馬來西亞、新加玻、香港、印度、法 國、德國、英國、巴西及加拿大，而B1~B13代表事件 B，國家排序與事件 A 相同，綠色區塊為自身估計值，白色區塊為依時區的差一步當日預 測，黃色區塊為差一步的跨日預測。
高風險損失期望值
t A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13
B1 0.26 6.18 4.59 1.65 0.16 2.24 -13.79 -2.08 9.15 14.69 9.05 307.18 68.64 B2 0.26 5.34 24.95 6.11 1.33 12.84 80.24 5.57 10.26 10.45 13.61 62.19 18.34 B3 0.42 5.34 4.59 11.79 2.89 15.98 151.91 21.11 11.02 9.67 3.72 48.53 9.76 B4 0.13 5.71 4.59 1.35 4.05 15.89 148.81 16.62 11.84 9.38 8.68 58.14 15.24 B5 0.26 5.51 4.59 1.14 0.19 14.95 164.55 24.73 7.26 8.14 7.96 47.24 15.29 B6 0.26 5.28 4.59 1.49 0.13 1.93 191.02 89.20 30.56 12.89 17.70 59.99 14.14
B7 0.26 5.34 4.59 1.31 0.17 1.94 -12.98 64.42 12.08 11.60 11.83 48.43 11.22 B8 0.26 5.46 4.59 1.54 0.19 1.87 0.07 -0.84 23.12 14.22 15.26 84.98 12.10 B9 0.26 5.34 4.59 1.93 0.26 2.90 -4.63 1.79 3.81 78.62 49.27 321.28 57.00
B10 0.26 5.82 4.59 2.05 0.33 2.65 2.27 4.56 5.14 9.22 48.24 283.26 40.42 B11 0.26 5.88 4.59 2.15 0.26 2.46 15.76 0.24 3.65 9.23 2.19 302.50 61.22
B12 0.43 5.51 4.89 2.38 0.58 2.18 39.08 6.09 3.53 8.47 1.94 50.54 85.74
B13 0.28 5.37 5.77 2.32 0.80 2.15 16.73 4.12 3.62 8.77 2.19 49.66 7.83
40 t+1
表4(續).
低風險損失期望值
t A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13
B1 -0.73 -1.19 -3.37 -0.71 -0.54 -0.30 -0.06 -3.90 -1.83 -4.51 -2.77 -70.03 -21.10 B2 -0.87 -1.05 -17.88 -1.36 -1.07 -2.55 -21.74 -7.23 -1.31 -3.19 -2.07 -4.27 -5.68 B3 -0.70 -1.05 -3.37 -5.23 -1.58 -3.82 -48.72 -12.61 -1.50 -3.07 -0.35 0.82 -3.40 B4 -0.79 -1.12 -3.37 -0.69 -1.74 -4.06 -75.74 -11.19 -1.39 -2.94 -1.08 -2.72 -5.03 B5 -0.72 -1.09 -3.37 -0.64 -0.57 -3.11 -47.05 -13.79 -0.69 -2.32 -0.85 1.54 -4.94 B6 -0.72 -1.03 -3.37 -0.70 -0.52 -0.17 -101.57 -53.83 -4.16 -3.97 -2.91 -3.75 -4.70 B7 -0.69 -1.05 -3.37 -0.66 -0.53 -0.17 -0.33 -44.24 -1.62 -3.58 -1.76 1.06 -4.02 B8 -0.69 -1.07 -3.37 -0.71 -0.57 -0.15 -14.59 -4.58 -3.45 -4.33 -2.32 -11.98 -4.20 B9 -0.73 -1.05 -3.37 -0.78 -0.56 -0.47 -2.90 -5.84 0.19 -56.97 -37.34 -75.88 -13.18 B10 -0.73 -1.15 -3.37 -0.80 -0.65 -0.40 -4.74 -6.92 -0.15 -2.94 -34.40 -74.86 -11.78 B11 -0.74 -1.15 -3.37 -0.82 -0.53 -0.35 -7.55 -5.10 0.26 -2.96 -0.79 -66.03 -17.82 B12 -0.83 -1.10 -3.46 -0.85 -0.76 -0.29 -12.18 -7.73 0.33 -2.60 -0.89 -0.44 -22.99 B13 -0.77 -1.01 -3.91 -0.84 -0.81 -0.23 -7.71 -6.87 0.27 -2.74 -0.79 -0.22 -3.20
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圖目錄
圖 1. S&P500 從 2006 年 1 月至 2017 年 12 月的每日損失𝑃𝑡 − 𝑃𝑡+1
（黑色實線）和 2007 年 1 月至 2017 年 12 月的VaR𝐺（紅色虛線）
在（3）式中定義，移動窗口方法之窗口大小為 250 天，α = 0.01。
圖 2. S&P500 從 2006 年 1 月至 2017 年 12 月的每日損失𝑃𝑡 − 𝑃𝑡+1
（黑色實線）和 2007 年 1 月至 2017 年 12 月的VaR𝐺（紅色虛線）
在（3）式中定義，以及 2007 年 1 月至 2017 年 12 月的NVaR1（藍 色實線）在（6）式定義，移動窗口方法下窗口大小為 250 天，水 平 α = 0.01。
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圖 3. S&P500 從 2006 年 1 月至 2017 年 12 月的每日損失𝑃𝑡 − 𝑃𝑡+1
（黑色實線）和 2007 年 1 月至 2017 年 12 月的VaR𝐺（紅色虛線）
（黑色實線）和 2007 年 1 月至 2017 年 12 月的VaR𝐺（紅色虛線）