設每單位面積加種 x 棵﹐總產量為 y 個橘子

21 11 10 

)x  [ 2

) 11 (

10 ]²  55(x  7)²  55²  55  49  55(x  7)²  330

∴　當 x  7 時﹐g (x)有最小值為 330

【註】其實﹐當

x  1﹐2﹐2﹐3﹐3﹐3 …

﹐ ﹐_{10, 10,}^{}¹⁰ _{, 10}



個的算術平均數時，

即當

x  7 時 g (x)有最小值

17.某電影院每張票價為 120 元，每場觀眾平均 500 人，若票價每減 5 元，每場觀眾就增加 50 人，則每張票價訂為　　　　　元時，每場電影票價收入為最多。【解答】85

【解答】85

設票價減

x 元，可得收入 y 元為最多

則

y  (120  x)(500  10x)   10x

 700x  60000   10(x  35)

²  72250

∴　當 x  35 時，y  72250 為最大值，故每張票價應訂為 85 元

隨堂練習.某電影院的每張票價 200 元時﹐觀眾有 600 人﹐若票價每減少 10 元時﹐則觀眾就增加50 人﹐則每張電影票價訂為____________元時﹐可使電影院的收入最多﹒

【解答】160

設票價減10x 元時﹐可使收入最多

收入 (200  10x)(600  50x)  500( x²  8x  240)  500[ (x  4)²  256]

當

x  4﹐即票價為 200  10  4  160 元時﹐收入最多

隨堂練習.一果園中每單位面積種橘子樹 25 棵﹐每棵平均可收穫橘子 450 個﹐若每單位面積加種1 棵橘子樹﹐則每棵平均收穫量少 12 個﹐則每單位面積應種植____________棵橘子樹時﹐可得最大收穫量﹒

【解答】31

設每單位面積加種

x 棵﹐總產量為 y 個橘子

　y = (25 + x)(450  12x) =  12(x ²⁵

4 )² +⁴⁶⁸⁷⁵ 4

∵ xN ∴ x = 6 時﹐y 有最大值 31  378 = 11718（個）

　所求= 25 + 6 = 31

隨堂練習.某校舉辦三天兩夜的校外教育旅行﹐定價為 6000 元﹐平均每班皆有 40 人參加﹐根據過去的經驗﹐若將價格每提高300 元﹐則將會減少 1 人參加﹐試問：將價格定為________

____元時﹐會使每班的總收入最多﹒

【解答】 9000

設價格提高300x 元﹐總收入 y 元

　y  (6000  300x)(40  x) =  300x² + 6000x + 240000   300(x  10)²  270000

∴ 當 x  10 時﹐y 有最大值 270000 元 即定價為6000  300  10  9000 元

18.某製造玩具工廠﹐每次接到訂單都需開模 5 萬元﹐製造每一千個玩具材料費需 2 萬元﹐由此建立生產的基本成本函數 f x( ) 5 2  x﹐其中 x 以千個為單位﹒依過去經驗﹐接到訂單數 量與報價總值有如下關係：

數量（千個）報價總（萬元）值值值值值

5 37.5

10 70

15 97.5

以此資料建立一個二次函數的報價總值函數g x( )﹐以及獲利函數h x( )g x( ) f x( )﹒ (1)若接到訂單為 20 千個﹐試問交貨時﹐每千個玩具的基本成本平均是多少萬元？

(2)試求報價總值函數^{g x}^{( )}﹒

(3)根據^{h x}^{( )}﹐試問訂單數量是多少時﹐獲利總值最高？

【解答】 (1)2.25;(2) 1 ² ( ) 10

g x

 

x

8x;(3)30 千個 (1)∵ f(20) 5 2 20 45    ﹙萬元﹚﹐∴所求 45

20 2.25

  （萬元）

(2)令

g x

( )

ax

²

bx c

 ﹐則

25 5 37.5

100 10 70

225 15 97.5 a b c

a b c a b c







  

a

   ﹐

b

 ﹐8

c

 　　∴0 1 ²

( ) 8

g x

 10

x



x

(3) 1 ² 1 ² 1 ²

( ) ( 8 ) (5 2 ) 6 5 ( 30) 85

10 10 10

h x

 

x



x

 

x

 

x



x

  

x

  　∴訂單數量是30 千個時﹐獲利總值最高

19.設二次函數 y  ax²  bx  6 在 x  2 時﹐有最小值 2﹐且此函數的圖形與 x 軸交於 P﹐Q 兩點﹐與

y 軸交於 R 點﹐試求此△PQR 的面積為____________

﹒

【解答】6

由題意﹐設

f (x)  a(x  2)

²  2  ax²  4ax  (4a  2) 故

ax

²  bx  6  ax²  4ax  (4a  2)

 









 2 4 6

4 a

a

b

得

 







 8 2 b

a

　　y  2x²  8x  6

令

y  0　　2x

²  8x  6  0　　x  1﹐3，

即

P(1

﹐0)﹐Q(3﹐0)

令

x  0　　y  6﹐即 R  (0﹐6)，

則△PQR 之面積

1 PQ高

1  2  6  6

20.在一棟建築物裡﹐從 5 公尺高的窗口﹐用水管斜著向外噴水﹐噴出的水在垂直於牆壁的平面上﹐畫出一條拋物線如下圖；其頂點距離牆1 公尺﹐並在離牆 3 公尺處落到地面﹐則水柱之最高點高度比發射點高度高出____________公尺﹒

【解答】 ⁵ 3

建立坐標系如圖　 交 x 軸於(3﹐0)﹐(  1﹐0) 設

y = a(x  3)(x + 1)﹐a < 0﹐又過(0﹐5)

∴ 5 = a(  3)(1) ∴ a = ⁵ 3

　y = ⁵

3(x  3)(x + 1) 令

x = 1 代入 ∴ y = 

⁵

3 (  2)  2 =²⁰ 3

　可求 =²⁰

3  5 =⁵

3（公尺）

隨堂練習.若雪山隧道入口的建造為一拋物線圖形﹐地面_AB寬為12 公尺，隧道正中央高度為 18 公尺﹐試問地面上距洞口 A 點 4 公尺處的高度為____________公尺﹒

【解答】 16

建立坐標系如圖，A (  6﹐0)﹐B (6﹐0)﹐C (0﹐18) 設

y  f (x)  ax

²  18﹐a < 0

過(6﹐0) ∴ 0  a  36  18 ∴ a  ¹ 2

y  ¹

x

²  18

又距

A 點 4 公尺處的點 H (  2﹐0) x   2 代入 ∴ y  

2 4  18  16 即所求高度為16 公尺

21.一條 100 公尺的繩子在河岸邊圍成一矩形的菜園﹐但靠河邊不圍﹐則最多可圍成面積____

________平方公尺﹒

【解答】1250

如圖﹐設_{AD BC}_ __x ∴ AB100 2 x

　面積= x(100  2x) =  2x² + 100x =  2(x  25)² + 1250

∴ 當 x = 25 時﹐有最大面積 1250 平方公尺

22.賀伯特先生有一片呈等腰直角三角形形狀的花圃﹐此三角形的斜邊長 10 公尺﹒今欲在此花圃中挖出一個面積最大的矩形水池﹐且水池的一邊是在三角形的斜邊上﹐求此水池的最大面積為____________﹒

【解答】12.5

如圖，設_{AD x}_ ﹐BDy

∵ △ABC 為等腰直角三角形且BC10

∴ ABAC5 2　　x  y 5 2

又△ADE 與△BDF 亦為等腰直角三角形

∴ DE 2x﹐

2 DF y

 矩形水池面積 ²

DE DF  x y  xy  x(5 2 x)   x²  5 2

x

  (x ^{5 2}

2 )² ²⁵

2 ∴ 最大面積 ²⁵ 2

隨堂練習.一農夫想用 70 公尺長之竹籬圍成一底角為 60°的等腰梯形菜圃﹐並在其中上底正中央留著寬2 公尺的出入口﹐如圖所示﹒問此農夫所能圍成的最大面積為____________平方公尺﹒

【解答】162 3

令_{BG CH}_ __x（∵ ABCD 為等腰梯形）

　AG DH  3x﹐_{AB CD}_ _₂_x（∵ ABG60°）

　 ¹

GH 2[(70  2)  2(x  2x)]  36  3x

∴ BC(36  3x) + 2x = 36  x

∴ 梯形面積¹

2[(36  3x)  (36  x)]  3x  3(36  2x)  x  3(  2x²  36x)   2 3[(x  9)²  81]

　當 x  9 時有最大面積 ( 2 3)(  81)  162 3

23.銳角三角形之紙片，沿平行一邊之直線折疊，欲使折斷之三角形與原三角形重疊的部分

在文檔中 2-1 (頁 25-30)