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Academic year: 2021

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(1)

Ch2-1 簡單多項式函數及其圖形

主題1:多項式基本概念 1.將數及具有數的性質的文字符號 x,y,z 等,經過加、減、乘的運算後所形成之式子,就叫 多項式。 2.定義:形如

         n k k k n n n nx a x a x a a x a x p 0 1 1 1 ... ) ( ,其中

n

是正整數或零;  a a a an, n1,..., 1, 都是數,此式子稱為

x

的多項式,此時ak稱為k次項的係數,a稱為常 數項。係數可以是整數、有理數、實數或複數。 3.所有整係數多項式所成集合稱為整係數多項式集,以Z[x]表示。同理,以 ] [ ], [ ], [x R x C x Q 分別表有理係數多項式集、實係數多項式集、複係數多項式集。 4.次數:當an 0時,

n

叫做多項式 p(x)的次數,以deg p(x) n表示,而an 稱為 p(x)的 領導(首項)係數。 5.常數多項式:只有a0項的多項式稱之,有兩種: (1)零多項式:即為 0,沒有次數。 (2)零次多項式:除零多項式外之常數多項式,其次數為 0。 6.排列方式:多項式之次數由小而大的排列方式稱為升冪排列,反之則稱為降冪排列。 7.多項式相等:設 n nx a x a x a a x p    2 2 1 0 ) ( , m mx b x b x b b x q    2 2 1 0 ) ( 為兩多項 式,其中an,bm 0,則p(x) q(x)的充要條件為

m

n

aibi,i。 ※ f(x)anxnan1xn1a1xa0,nN0,an 0,deg(f(x))nan:領導係數 若deg(f(x))0      :零次多項式 , :零多項式 , ) ( 0 ) ( 0 0 0 x f a x f a ※多項式之文字符號不可在絕對值,分母,根號。

(2)

※重要範例 1.下列何者是 x 的多項式? (A) x 3 (B) 2x  1 (C) x2 3x  1 (D) x 1  (E) | x |。 【解答】(C) 多項式之文字符號不可在絕對值,分母,根號。 隨堂練習.下列何者為 x 的多項式? (A) x2 2 x y 1  (B) x2 x  2 (C) x2y y xy3 (D) x2 | x |  1 (E) 1 1  x  2 x 1 【解答】(A)(C) 【詳解】多項式之文字符號不可在絕對值,分母,根號。 隨堂練習.下列選項何者為 x 的多項式函數? (1) 2 ( ) 3 2 f x   x  x (2) ( ) 3 1, 2 2 x f x x x     (3) 5 ( ) 7, 0 f x x x    (4) f x( ) 3x6, x0 (5) f x( ) | 2 x11| 【解答】(1) ∵多項式的不定元 x 不能在分母中﹑根號內及絕對值符號中 ∴(2)(3)(4)(5)皆不為多項式函數,故選(1)

2.設 a,b  R,多項式 f (x)  a(x3 x2)  b(x3  x  2)  x2  ax  2 為一次式,則(A) a  0  (B) b  0 (C) a  b  0 (D) f (x)之領導係數為 2 (E) f (x)  2x  4

【解答】(C)(D)

f (x)  (a  b)x3  (1  a)x2  (a  b)x  2(b  1)為一次式

∴ a  b  0,1  a  0,a  b  0 ∴ a  1,b   1,(a  b  0,合) ∴ f (x)之領導係數為 a  b  2,f (x)  2x 3.設 a﹐b 均為實數﹐若 f x( ) ( a b x ) 3 (1 a x) 2  (a b x) 2b3為一次多項式函數,試求: (1)數對( , )a b ? (2)函數 f x( )? 【解答】(1)( , ) (1,a b  1)  (2) f x( ) 2 x1 (1)∵ f x( )為一次多項式  ∴ 0 1 0 a b a          1 1 a b        ﹐∴( , ) (1,a b  1) (2) 由(1)中知a1, b 1﹐得函數 ( ) 2 1 f xx

(3)

4.設 a﹐b 為整數且a b ﹐若 f x( ) ( ab a 3 )b x3 (a 2)x24x6為二次多項式函數﹐試 求: (1)數對( , )a b ? (2)函數 f x( )? 【解答】(1) ( , ) ( 6,a b   2)  (2) f x( ) 4x24x6 (1) ∵ f x( )為二次多項式 ∴ab a 3b0且a 2 0   (a3)(b  1) 3    又a 2且a b   ∴a 6, b 2   故數對( , ) ( 6,a b   2) (2) 由(1)中知a 6, b 2﹐得 f x( ) 4x24x6 5.設g x( 6) f x( )且 2 2 3 1 ( ) 5 1 9 2 1 9 x x f x x x x x x              , , , ﹐則g f( (2))____________ 【解答】13 ( (2)) (1) ( 5 6) ( 5) 2 ( 5) 3 13 g fg   gf      

(4)

主題2:線型函數 1.函數的圖形:在坐標平面上﹐分別以 xf x( )作為x 坐標及 y 坐標﹐那麼所有的點 ( , ( ))x f x 所構成的圖形就稱為函數yf x( )的圖形 2. 線型函數:設 a﹐b 均為實數,則 f x( )ax b 所表示的函數就稱為線型函數,其圖形為一 直線。 3. 線型函數包含一次函數及常數函數: (1).g x( )c,其函數圖形是一水平直線. (2).(a) f x( )ax b ,a b R,  ;a0 其函數圖形是一斜率為a 且通過點(0, )b 的直線 (b)ax by c  0,a b c R, ,  ,ab0,當b≠0 時 原式 y ax c b b    則: (1) 當a0時,y ax c b b    是 x 的一次函數, 圖形是斜率為 a b  的直線. (2) 當 a=0 時,y=- b cx 的常數函數 圖形是一水平直線. 線型函數

0

.

(1)

0,

0

.

0

.

(2)

0,

0

b

a

b

b

x

a

b

x

:圖形為不通過原點的斜直線

一次函數

:圖形為通過原點的斜直線

:圖形為平行 軸的水平線

常數函數

.

:圖形為 軸

j

k

j

k

(5)

4.一次函數 f x( )ax b 中a 的意涵: (1)變化率的物理意涵:  ①當a0時:若x 增加 1 單位時, f x( )增加a 單位﹒  ②當a0時:若x 增加 1 單位時, f x( )減少| |a 單位﹒ 由①②可以得知﹐a 為 f x( )值相對於x 值的變化率﹒ (2)斜率的幾何意涵:設A x( ,1 y1), B x( ,2 y2)且x1 x2為直線L y ax b:   上相異兩點﹐  則 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) y y ax b ax b a x x a x x x x x x       ﹐  所以a 為直線L y ax b:   的斜率﹒ 5.斜率的正負與幾何上的意涵:對於線型函數 f x( )ax b 而言﹐ (1)若a0  圖形為左下至右上的斜直線﹒ (2)若a0  圖形為水平線﹒ (3)若a0  圖形為左上至右下的斜直線﹒ 6.已知直線 L 的斜率為 a,則直線 L 可以設為y ax k 

(6)

※重要範例 1.有一質點在數線上作等速運動﹐已知時刻x1時﹐質點的坐標位置為3;時刻x3時﹐ 質點的坐標位置為 5﹐試求: (1) 此質點的運動速度﹒ (2) 將坐標位置 y 表示為時刻 x 的函數﹒ 【解答】(1) 4  (2)y4x7 (1)設質點的速度為 a,且x0時的位置為 b,則y ax b  令x1 1, y1  3, x2 3, y2 5,得時間差為x2x1﹐位移y2y1 2 1 2 1 5 ( 3) 4 3 1 y y a x x          , 故此質點的運動速度為 4 (2)∵質點的運動速度為 4 設y4x b ﹐又已知當x1時﹐y 3 3 4 b     ﹐得b 7,  故y4x7 2.設yf x( )為一線型函數﹐其圖形通過(3, 2)及( 1, 4) 兩點﹐試求 f x( )? 【解答】 ( ) 3 5 2 2 f x   x ∵yf x( )為一線型函數 ∴令 f x( )ax b 依題意得知yf x( )之圖形通過(3, 2)及( 1, 4) 兩點,則 (3) 2 ( 1) 4 f f        3 3 2 2 4 5 2 a a b a b b                  ,故 ( ) 3 5 2 2 f x   x 3.已知一線型函數的圖形通過A( 3, 4) 且斜率為 2 3  ,試求此函數﹒ 【解答】 2 2 3 y  x ∵線型函數圖形為一直線且斜率為 2 3  ∴設此函數為 2 3 y  x b ,又函數圖形通過A( 3, 4) 2 ( 3) 4 3 b        ∴b2,故此函數為 2 2 3 y  x4.設 f (x)  2345x  56789﹐則 3210 4321 ) 3210 ( ) 4321 (   f f 之值為____________﹒ 【解答】2345 ∵ f (x)圖形為一直線﹐通過點 A( 4321﹐f ( 4321))﹐B( 3210﹐f ( 3210))

(7)

5.測量氣溫常用攝氏(Celsius)及華氏(Fahrenheit)兩種溫標,且二者成線型函數的關係。 已知攝氏 0 度時,華氏是 32 度;攝氏 100 度時,華氏是 212 度,今設攝氏 x 度時﹐華氏是 y 度,試求:(1)當氣溫是 113℉時﹐攝氏是幾度?(2)當氣溫是 30℃時﹐華氏是幾度? 【解答】(1) 45 度 (2) 86 度 設y ax b  ,依題意知:①當x0時,y32,②當x100時﹐y212 32 212 100 b a b      ﹐得 9 5 32 a b        ∴ 9 32 5 yx (1) 當y113時﹐113 9 32 45 5x x     ,所以當華氏 113 度時即為攝氏 45 度 (2) 當x30時﹐ 9 30 32 86 5 y    y ,所以當攝氏 30 度時即為華氏 86 度 6.某次測驗,班上同學最高分為 50 分,最低分為 20 分,經同學要求,希望調整分數,老師 決定用一線型函數來調分,使50 分變成 100 分,使 20 分變成 60 分,若甲生經調整後變為 76 分,則原來為____________分﹒ 【解答】32 設原始分數為x分,調整後分數為y分,則y ax b  , 100 50 4 60 20 3 a b a a b        , 100 3 b , 4 100 3 3 yx ,將y76代入, 得76 4 100 4 128 32 3x 3 3x 3 x       ﹒ 隨堂練習.某次段考數學成績不佳, 最高分為 50 分, 老師欲用一函數 f(x)axb來調高分數, 使50 分變為 100 分, 20 分為 60 分, 則原來為 32 分者, 經調整後變為     分﹔若經調整 後變為56 分, 則原來為     分. 【解答】 76, 17. 100 50 ) 50 (  abf , f(20)20ab60, 解得 3 4  a , 3 100  b , 則 3 100 3 4 ) (x  xf , 故 76 3 228 3 100 3 128 3 100 32 3 4 ) 32 (        f , 56 3 100 3 4 ) (x  x  f  x17.

(8)

7.如右圖﹐某航空公司托運行李的費用為線型函數,由圖中可知行李 的重量只要不超過多少公斤就可以免費托運? 【解答】設此線型函數為y ax b x  , 0 由圖形可知函數圖形通過(30, 330), (40, 630)兩點 330 30 630 40 a b a b       ﹐得 30 570 a b        ∴y30x570 再以y0代入yf x( )中﹐得30x570 0  x19 故只要行李不超過 19 公斤就可免費托運 7.乘坐計乘車 1 公里以內為 50 元, 以後再達 0.5 公里增加 5 元(未達 0.5 公里者, 以 0.5 公里 計), 某乘客坐計乘車

x

公里應付車資 y 元, 試求 y 與

x

的關係式, y 是否為

x

的函數? 【解答】 y 555[2(x1)], 是. 1 0 x y50 1 5 . 0 1 1 x    y5051 2 5 . 0 1 1 5 . 0 1   x    y5052  k x k      0.5( 1) 1 0.5 1  y505k k x k 1) 1 0.5 ( 5 . 0      k x k     1 2( 1) 1 )] 1 ( 2 [     x k 1 )] 1 ( 2 [    k x , 則y505([2(x1)]1)555[2(x1)], 故 y 是

x

的函數. 隨堂練習.計程車1.5公里以內的車資是65 元, 超出1.5公里後, 每行駛0.4公里, 車資增加 6 元, 不足0.4公里, 以0.4公里的車資計, 若車子跑了 x 公里, 陳老師付了 155 元的車資, 試問 x 的最大值為     . 【解答】7.5. 90 65 155  , 90615, 則0.414 x1.50.4157.1x7.5, 故x 的最大值為7.5公里.

(9)

8.函數 f (x)  | x  1 |  | x  2 |  x  5 之最小值為____________﹒ 【解答】 7 f (x)  | x  1 |  | x  2 |  x  5﹐x  1﹐ 2 分割數線為 3 部分  x   2 時﹐f (x)   (x  1)  (x  2)  x  5   3x  4 ‚  2  x  1 時﹐f (x)   (x  1)  (x  2)  x  5   x  8 ƒ x > 1 時﹐f (x)  (x  1)  (x  2)  x  5  x  6 圖形為一折線﹐折點為( 2﹐10)﹐(1﹐7) ∴ f (x)的最小值為 7 9.函數 f (x)  | | x |  2 | 的圖形如下圖﹐已知該圖形與直線 y  mx  5 恰相交於一點﹐則實數 m 的範圍為____________﹒ 【解答】m  1 或 m  1 y  mx  5 斜率為 m﹐恆過點 A(0﹐5) ∵ 與 f (x)圖形恰相交於一點 ∴ m  1 或 m  1 10.設A(0, 0), B(10, 0), C(10, 6), D(0, 6)為坐標平面上的四個點﹐如果直線y m x (  7) 4 將四邊形ABCD 分成面積相等的兩塊﹐那麼m________﹒ 【解答】1 2 若直線y m x (  7) 4將四邊形ABCD 分成面積相等的兩塊,則此直線必通過四邊形 ABCD 的中心P(5, 3)  3 m(5 7) 4   ∴ 1 2 m

(10)

主題3:二次函數的圖形 1.二次函數:設 a,b,c 皆為實數,a0,函數 f x( )ax2bx c 就稱為x 的二次函數,其圖形 為一拋物線 2.設 a,b,c 皆為實數, 0, ( ) 2 ( )2 2 4 2 4 b b ac a y f x ax bx c a x a a          (1)若a0時  圖形開口向上 當 2 b x a   時, f x( )有最小值 2 4 4 b ac m a    ,如下圖(一)。 (2) 若a0時  圖形開口向下 當 2 b x a   時, f x( )有最大值 2 4 4 b ac M a    ,如下圖(二). ※有範圍限制的二次函數極值可能發生在邊界或頂點 ※若 2 2 2 2 1) ( ) ( ) ( ) (x x a x a x an f       ,則當 n a a a x 1 2 n 時, f(x)有最小值。 3.二次函數的圖形:二次函數yf(x)ax2bxca 0,圖形為拋物線, (1)頂點 ) 4 4 , 2 ( 2 a b ac a b   ,對稱軸 a b x 2   。 (2)a 0圖形朝上,a 0圖形朝下。 (3)若b2  ac4 0,圖形與

x

軸交於兩點;若b2  ac4 0,圖形與

x

軸交於一點;若 0 4 2  ac b ,圖形與

x

軸沒有交點。 (4)圖形與 y 軸交於(0,c)。 4.二次函數y ax 2bx c a , 0,若| |a 愈大﹐則圖形開口就愈小﹒

(11)

5.二次函數的恆正(負): 設二次函數 f x( )ax2bx c ﹐且D b 24ac0﹐則: (1)若a0﹐則 f x( )ax2bx c 的值恆大於0(如圖㈠)﹒ (2)若a0﹐則 f x( )ax2bx c 的值恆小於0(如圖㈡)﹒ 6.二次函數的求法: (1)若已知二次函數的圖形通過三點P x y( , ),1 1 Q x y( ,2 2), R x y( ,3 3)﹐則函數可以設為 2 ( ) f xaxbx c (2)若已知二次函數的頂點坐標為( , )h k ﹐則函數可以設為 f x( )a x h( )2k (3)若已知二次函數的圖形與 x 軸交於A x( , 0), ( , 0)1 B x2 兩點,則函數可以設為 1 2 ( ) ( )( ) f xa x x x x  7.圖形的平移:函數yf(x) (1)向右平移h單位,則將原方程式中的

x

換為xh,新方程式為yf(xh)。 向左平移h單位,則將原方程式中的

x

換為x h ,新方程式為yf x h(  )。 (2)向上平移k 單位,則將原方程式中的 y 換為yk,新方程式為ykf(x)。 向下平移k 單位,則將原方程式中的 y 換為y k ,新方程式為y k  f x( )。

(12)

※重要範例

1.拋物線 y  ax2  bx  c 的圖形如下,請問下列各式之值何者為正?

(A) ac (B) a  b  c (C) a  b  c (D) b2  4ac (E) 2a  b。 【解答】(B)(D)

【詳解】(A)錯誤:∵ 開口朝下 ∴ a  0,y 截距 c  0  ac  0 (B)正確:由圖形可知 f (1)  a  b  c  0 (C)錯誤:由圖形可知 f ( 1)  a  b  c  0 (D)正確:拋物線與 x 軸交於相異兩點 ∴ b2  4ac  0 (E)頂點坐標為( a b 2  , a b ac 4 4 2 ),由圖可知 x  a b 2   1   b  2a(∵ a  0) ∴ 2a  b  0 隨堂練習.若函數 f (x)  ax2 bx  c 的圖形如下圖,則下列敘述何者正確? (A) a  0 (B) b  0 (C) c  0 (D) b2 4ac  0 (E) 9a  4b  2c  0。

【解答】(A)(B)(E) (A)∵ 圖形向下凹 ∴ a  0 (B)∵ f (x)  0 二根和為  a b  0 ∴ b  0 或頂點為( a b 2 , a ac b 4 4 2 )在第一象限 ∴  a b 2  0  b  0 (C)∵ 圖形交 y 軸於(0,c) ∴ c > 0 (D)∵ 圖形交 x 軸於相異兩點 ∴ f (x)  0 有二不等實根 ∴ D  b2 4ac  0 或利用頂點的 y 坐標 a ac b 4 4 2  0 ∴ b2 4ac  0 (E) 9a  4b  2c  (9a  3b  c)  (b  c)  f (3)  (b  c)  0  (b  c)  0

(13)

隨堂練習.拋物線 y  ax2 bx  c,若 a  0,b  0,c  0,則 (1)頂點在第     象限內。 (2)拋物線必不通過第     象限。 【解答】(1)一或四 (2)二 y  ax2 bx  c  a (x  a b 2 )2  a ac b 4 4 2 ,頂點( a b 2 , a ac b 4 4 2 ) ∵ a  0,b  0 ∴  a b 2  0  頂點在 y 軸右邊 a  0  開口向下,c  0  與 y 軸交點在 x 軸下方b2 4ac 正負不定,故頂點在一或四象限內,拋物線不過第二象限 2.(   ).下列何者可能是直線 y  ax  b 與拋物線 y  ax2 b 圖形的聯集﹖ (1)  (2)  (3) (4)  (5) 【解答】4 直線y  ax  b﹐拋物線 y  ax2 b 與 y 軸交點均為(0﹐b)a  0 時﹐y  ax  b 的斜率為正﹐直線向右上升﹐而拋物線 y  ax2 b 開口向上,故選(4)

(14)

隨堂練習.(   )下列何者可能為函數 y = ax + b 與 y = ax2 + bx + c 在同一坐標系中的圖 形﹖ (1) (2) (3) (4) (5) 【解答】 23 (1)╳;由圖知﹕∵ y = ax + b 右上升 ∴ 斜率 a > 0  拋物線應開口向上 (2)○;由圖知﹕∵ y = ax + b 左上升且 y 截距 < 0 ∴ a < 0﹐b < 0   拋物線應開口向下且軸:x =  2 b a< 0(合) (3)○;由圖知﹕∵ y = ax + b 左上升且 y 截距> 0 ∴ a < 0﹐b > 0   拋物線應開口向下且軸:x =  2 b a> 0(合) (4)╳;由圖知﹕∵ y = ax + b 左上升 ∴ 斜率 a < 0  拋物線開口向下 (5)╳;由圖知﹕∵ y = ax + b 右上升且 y 截距 > 0 ∴ a > 0﹐b > 0   拋物線開口向上且軸:x =  2 b a< 0(不合) 隨堂練習.(   )二次函數 y = ax2 + bx + c(a﹐b﹐cR﹐a  0)的圖形通過(  5 , 1)且與 2x + 3y =  6 恰有一個交點﹐則下列何者為真﹖ (1) a < 0 (2) b > 0 (3) c > 0 (4) b2  4ac > 0 (5) a + b + c > 0 【解答】14 如圖:  開口向下 ∴ a < 0 又軸:x =  2 b ay 軸左側 ∴ 2 0 b a﹐但 a < 0 ∴ b < 0 圖形與y 軸交點(0 , c)在 x 軸下方 ∴ c < 0 圖形與x 軸交於相異二點 ∴ b2  4ac > 0 a + b + c = f (1)且(1 , f (1))在 x 軸下方 ∴ f (1) = a + b + c < 0 故應選(1)(4)

(15)

3.(   )若 f (x) = x2 + bx + c 滿足 f (2 + t) = f (2  t)﹐tR﹐則下列何者正確﹖ (1) f (1) < f (2) < f (3) (2) f (1) < f (2) < f (4) (3) f (2) < f (3) < f (4) (4) f (2) < f (4) < f (1) (5) f (4) < f (1) < f (2)﹒ 【解答】3 ∵ f (2 + t) = f (2  t) ∴ x = 2 為對稱軸f (x) = x2 + bx + c 表開口向上的拋物線  作圖如下 ∴ 應選(3) 隨堂練習.(   )若二次函數 f (x) = a (x  h)2 + 5 滿足 f (3  t) = f (3 + t)﹐tR,則下列何 者正確﹖ (1) f (0) > 0 (2) f (0)  0 (3) f (  1)  f (7) (4) f (  1)  f (7) (5) a > h 【解答】34 ∵ f (3  t) = f (3 + t) ∴ 對稱軸為 x = 3 ∴ h = 3 又由條件無法確定開口方向 ∴ a 可正可負 令t = 4 代入 ∴ f (  1) = f (7)  應選(3)(4) 隨堂練習.(   )如圖 y  ax2 bx  c 且知 f (x)有極大值 6﹐則下列哪些關係式是正確 的﹖ (1) a  0﹐b2 4ac  0 (2) f (1)  f (1)  0 (3) a  b  c  0 (4) f (8)  f ( 6)  0 (5) a  0﹐b2 4ac  0 【解答】 134 f (x)  ax2 bx  c﹐由圖形知開口向下 ∴ a < 0f (x)  0 有解  3 及 5 ∴ b2 4ac  0

可設f (x)  a (x  3)(x  5)  ax2 2ax  15a  a(x  1)2  16a ∴ 當 x  1 時﹐f (x)有極大值  16a  6 ∴ a   8 3 ∴ f (x)   8 3 (x  3)(x  5)   8 3 x2 4 3 x  8 45  f (1)  f (1)  a  b  c  (a  b  c)  2b  2  4 3  2 3  0 由圖形知f (1)  a  b  c  0 f (8)  f ( 6)  [ 8 3 (8  3)(8  5)]  [ 8 3 ( 6  3)( 6  5)]   8 3  0  0

(16)

4.(   ).拋物線 y  ax2  bx  c 的圖形如下﹐請問下列各式之值 何者為正﹖

(1) ac (2) a  b  c (3) a  b  c (4) b2  4ac (5) 2a  b

【解答】 24

(1)錯誤﹔∵ 開口朝下 ∴ a  0﹐y 截距 c  0  ac  0 (2)正確﹔由圖形可知 f (1)  a  b  c  0 (3)錯誤﹔由圖形可知 f ( 1)  a  b  c  0 (4)正確﹔拋物線與 x 軸交於相異兩點 ∴ b2  4ac  0 (5)頂點坐標為( a b 2  ﹐ a b ac 4 4 2 )﹐由圖可知 x 2ab  1   b  2a(∵ a  0) ∴ 2a  b  0 5.若二次函數 f x( )ax2bx c 圖形過A( 2, 11) B( 1, 1) C(2, 5)三點﹐求 (1) f x( ) ____________﹒ (2)頂點為____________﹒ (3)對稱軸為____________﹒ 【解答】 (1)2x24x5;(2)(1,7);(3)x1 (1)∵y ax 2bx c 圖形過A( 2, 11) B( 1, 1) C(2, 5) ∴ 4 2 11 1 4 2 5 a b c a b c a b c                  j k l 3 10 3 3 6 a b a b          j k l k , 2 4       a bc 5 ∴ f x( ) 2 x24x5 (2) f x( ) 2 x24x 5 2(x1)27 ∴頂點(1, 7) (3)對稱軸x1 隨堂練習.二次函數 F(x)的圖形過(  4,0),(1,0),(0,2)三點,(1)則 F(x)      。 (2)當 2  x  2 時,F(x)的最大值為 a,最小值為 b,則數對(a,b)      。 【解答】(1) 2 1  (x  2 3 )2 8 25  (2) ( 8 25 , 3) (1)∵ 過( 4,0)及(1,0) ∴ 設 F(x)  a(x  4)(x  1) (0,2)代入 F(x)  2  a  4  ( 1)  a  2 1  故F(x)  2 1  (x  4)(x  1)  2 1  (x  2 3 )2 8 25 (2)∵ 2  x  2,故當 x 3時,有最大值a 25 ;當x  2 時,有最小值 b   3

(17)

5.已知二次函數 y  f (x)  ax2  bx  c,圖形以(2,3)為頂點,又通過點(3,1),則數對(a,b,c)   。 【解答】( 2,8, 5) y  f (x)  ax2  bx  cf (x)  a (x  2)2  3 ……,(3,1)代入  a   2 ∴ f (x)   2(x  2)2  3   2x2  8x  5 即數對(a,b,c)  ( 2,8, 5) 6.(   )設二次函數 y = ax2 + bx +3 ax =  2 有最大值 1(a﹐bR)﹐則 b = ﹖ (1) 4 (2)  4 (3) 3 (4)  3 (5) 16 3 【解答】4 ∵ 在 x =  2 有最大值 1,∴ 可設 y = a(x + 2)2  1﹐a < 0  ax2 + 4ax + 4a  1 = ax2 + bx +3 a   4 3 4 1 a b a a          j k 由‚﹐ 4a∴ 2  a  3 = 0 ∴ (4a + 3)(a  1) = 0 ∴ a = 3 4或1(不合∵ a < 0)﹐代入  b =  3 隨堂練習.已知二次函數 y  f (x)  ax2 bx 1 a﹐在 x  3 時﹐有最大值 8﹐則數對(a﹐b) ____________﹒ 【解答】(1﹐6)

∵ y  f (x)在 x  3 時﹐有最大值 8 ∴ y  f (x)  a (x  3)2  8  ax2 6ax  (9a  8)

又已知y  f (x)  ax2 bx  a 1  ∴  6 1 9 8 b a a a         j k

由‚知 9a2 8a  1  0 (9a  1)(a  1)  0 a 1

(18)

7.若二次函數 y  ax2 bx 在 x  1 時有最小值  a 1 ,則3a  b 之值為____________﹒ 【解答】1 y  ax2 bx 在 x  1 時有最小值  a 1  y  a (x  1)2 a 1 且a  0  y  ax2  2ax  a  a 1 比較係數﹐得b   2a 且 a  a 1  0 ∴ a2 1  a  1﹐b   23a  b  3  2  1 8.設一拋物線 y  x2  ax  b﹐其中 a﹐b 皆為實數﹐若通過(3﹐2)且頂點在直線 L:x  y  1  0 上﹐求數對(a﹐b) ____________﹒(有兩組解) 【解答】( 4,5)﹐( 6,11) (3,2)代入 y  x2  ax  b  b   3a  7 ……y  x2  ax  b  x2  ax  ( 3a  7)  (x  2 a )2  3a  7  4 2 a 頂點( 2 a﹐ 3a  7  4 2 a )代入 x  y  1  0  a2  10a  24  0

即(a  4)(a  6)  0﹐a   4 或 6 代入得 b  5 或 11 ∴ (a﹐b)  ( 4﹐5)或( 6﹐11) 9.設 y  x2 2ax  a 的圖形恆在 y   2 的圖形上方,則實數 a 的範圍為     。 【解答】 1  a  2 x2 2ax  a  ( 2)恆正 ∴ D  a2 (a  2)  (a  2)(a  1)  0 ∴  1  a  2 隨堂練習.設k是一個實數﹐若對任意實數x(k1)x2(2k1)x(k 2) 0恆成立﹐求k的範 圍﹒ 【解答】 7 16 k (1)首先﹐k 1 0﹐即k1﹒ (2)再者﹐判別式[ (2 k1)]24(k1)(k 2) 0 得16k 7 0﹐即 7 16 k ﹒ 由(1)﹐(2)得k 7 ﹒

(19)

隨堂練習.若二次函數 f (x)  ax2 2x  a 之值恆為正,則實數 a 之範圍為     。 【解答】a  1 y  f (x)  ax2 2x  a  0,x  R  判別式  (2)2  4a.a  0 且 a  0  

0

1

1

1

0

4

4

2 2

a

a

a

a

a

, a  1 隨堂練習.k  R,且不論 x 為任何實數,kx2 2x  k 恆為負,求 k 的範圍     。 【解答】k  1 x  R,kx2 2x  k 恆為負  k  0,D  0  k  0,22  4k2  0  k  0,k2  1  0  k  0,(k  1)(k  1)  0  k  0,k  1 或 k  1  k  1 10.若二次函數 y  2x2 x  4﹐當 4  x  0 時﹐y 之最大值為 M﹐最小值為 m﹐則 M  m 之 值為____________﹒ 【解答】 44 y  2x2 x  4  2(x2 2 1 x)  4  2(x  4 1 ) 2  4  2. 16 1  2(x  4 1 ) 2 8 31 此拋物線頂點為( 4 1 ﹐318 )  由圖知﹐當 x  0 時﹐有最小值 m  4;當 x   4 時﹐有最大值 MM  2( 4)2  ( 4)  4  2.16  4  4  40 ∴ M  m  44

(20)

11.求 f (x)  x2 a | x |  2 在1  x  1 內的最小值﹒ 【解答】 y  x2 a | x |  2  | x | 2 a | x |  2t  | x |﹐1 x  1  0  | x |  1  0  t  1 y  t2 at  2  (t  2 a )2  2  4 2 a  f (t) (1) 2 a  0  最小值 f (0)  2 (2) 0  2 a  1  最小值 f ( 2 a )  2  4 2 a (3) 1  2 a   最小值 f (1)  3  a 隨堂練習.設  2  x  4 且 f (x)  | x2 4 |  2x,若 f (x)的最大值為 M,最小值為 m, 求數對(M,m)      。 【解答】(5, 4) f (x)  | x2 4 |  2x 



2

2

4

2

4

2

4

2

2 2

x

x

x

x

x

x



2

2

5

)1

(

4

2

5

)1

(

2 2

x

x

x

x

∴ 當 x   1 時,f (x)有最大值 5;x  2 時,f (x)有最小值  4 隨堂練習.設 x﹐yR 且 x2 + 3y2 = 1﹐若 2x + 3y2的最大值為M﹐最小值為 m, 則(M﹐m) = ____________﹒ 【解答】(2﹐ 2) ∵ x2 + 3y2 = 1 ∴ 3y2 = 1  x2  0   1  x  1 2x + 3y2 = 2x + (1  x2) =  (x  1)2 + 2

(21)

12.將y2x24x5之圖形水平左移3 單位﹐再上移a單位得y2x2bx17﹐求 (1)a ____________﹒ (2)b____________ 【解答】 (1)6;(2)8 2 2 2 4 5 2( 1) 3 yxx  x  頂點(1, 3) 左移3 單位﹐上移a單位後﹐頂點為(1 3, a  3) ( 2, a3) 而 2 2 17 2( 2 ) 17 2( )2 2 17 2 4 8     b   bby x bx x x x ∴頂點為( , 2 17) ( 2, 3) 4 8 b b a       ∴ 2 2 2 8 4 8 17 3 17 3 6 8 8 b b b a a                   13(   )對於二次函數 f (x)   x2  x  3 的敘述﹐下列何者正確﹖ (1)頂點( 2 1 ﹐3)  (2)對稱軸 x  2 1  0 (3)若 1  x  1,則 f (x)之最大值 4 13 (4)若 2  x  0,則 f (x)之最大值 3 (5)將 y   x2  x  3 的圖形水平右移 2 單位﹐再鉛直下移 1 單位所得的拋物線方程式y   (x  2 5 )2 4 9 【解答】345 (1)錯﹔f (x)   (x  2 1 )2 4 13   頂點為( 2 1 ﹐134 ) (2)錯﹔對稱軸:x  2 1  0 (3)對﹔由 x  2 1  {x |  1  x  1}﹐故最大值為134 (4)對﹔由 x  2 1  {x |  2  x  0}﹐故最大值為 f (0)  3 (5)對﹔y   (x  2 1 )2 4 13 右移2﹐下移 1  y  1   [(x  2)  2 1 ]2 4 13 得y   (x  2 5 )2 4 9

(22)

14.已知拋物線 y = ax2 + bx + c 的圖形經水平左移 2 單位﹐鉛直上移 5 單位後的頂點 為(  1﹐6)﹐且過點(5﹐2)﹐則 2b + c 之值為____________﹒ 【解答】 4 3 利用反向思考  (  1﹐6)經水平右移 2 單位﹐鉛直下移 5 單位後 y = ax2 + bx + c 即頂點(1﹐1)y = ax2 + bx + c 同理:(5﹐2)經水平右移 2 單位﹐鉛直下移 5 單位後 y = ax2 + bx + c 即(7﹐ 3)y = ax2 + bx + cy = a(x  1)2 + 1﹐將(7﹐ 3)代入 ∴  3 = a  36 + 1 ∴ a = 1 9  y = 1 9(x  1) 2 + 1 = 1 9x 2 +2 9x + 8 9 ∴ b =2 9﹐c = 8 9  2b + c = 4 8 4 9 9 3(   ) 隨堂練習.於二次函數 f (x)   x2  x  3 的敘述,下列何者正確? (A)頂點( 2 1 ,3) (B)對稱軸 x  2 1  0 (C)若 1  x  1,則 f (x)之最大值 4 13   (D)若 2  x  0,則 f (x)之最大值 3 (E)將 y   x2  x  3 的圖形水平右移 2 單位, 再鉛直下移1 單位所得的拋物線方程式為 y   (x  2 5 )2 4 9 。 【解答】(C)(D)(E) (A)錯。f (x)   (x  2 1 )2 4 13   頂點為( 2 1 , 4 13 ) (B)錯。對稱軸:x  2 1  0 (C)對。由 x  2 1  {x |  1  x  1},故最大值為 4 13 (D)對。由 x  2 1  {x |  2  x  0},故最大值為 f (0)  3 (E)對。y   (x  2 1 )2 4 13 右移2,下移 1 y  1   [(x  2)  2 1 ]2 4 13 得y   (x  2 5 )2 4 9

(23)

隨堂練習.xy 平面上,有關圖形的敘述,何者正確? (A) y  x2圖形對稱於x 軸 (B) y  x2對於x 軸的對稱圖形為 y   x2 (C) y  x2  2 圖形係由 y  x2向上平移2 單位而得 (D) y  (x  1)2  2 圖形係由 y  x2向右平移1 單位,再向上平移 2 單位而得 (E) y  (2x  1)2  2 圖形的對稱軸為 2x  1  0。 【解答】(B)(C)(E) (A) y  x2圖形對稱於x  0(y 軸) (B)∵ P(x,y)對 x 軸的對稱點為 Q(x, y) 將y 用  y 代入 ∴ y  x2對於x 軸的對稱圖形為 y   x2 (C)利用 y  f (x)向上平移2單位 y  2  f (x),即 y  f (x)  2 ∴ y  x2向上平移2 單位得 y  x2  2 (D) y  x2向右平移1 單位得 y  (x  1)2,再向上平移2 單位得 y  (x  1)2  2 (E) y  (2x  1)2  2  4(x  2 1 )2  2 的對稱軸為 x  2 1  0,即 2x  1  0 15.設 k 為實數﹐方程式|x2  4| = 2x + k 的實根個數為 n﹐關於 k 與 n 之關係﹐下列選項何者正 確﹖ (1) k  5 時﹐n = 2 (2) 4 < k < 5 時﹐n = 4 (3) k = 4 時﹐n = 3 (4)  4 < k < 4 時﹐n = 2 (5) k <  4 時﹐n = 0 【解答】2345 原式 |x2  4|  2x = k   2 | 4 | 2 y x x y k           j k ﹐作二函數圖形 由﹐當 x2  4  0 時  x  2 或 x   2 y = (x2  4)  2x = (x  1)2  5x2  4 < 0 時   2 < x < 2 y =  (x2  4)  2x =  (x + 1)2 + 5 由‚﹐y = k 表水平線 (1) k > 5  n = 2﹐k = 5  n = 3 (2) 4 < k < 5  n = 4 (3) k = 4  n = 3 (4)  4 < k < 4  n = 2 (5) k <  4  n = 0

(24)

隨堂練習.(   )下列哪些 k 值會使得方程式 |x2  2x|  2 = k 有二實根﹖ (1) 5 (2)  2 (3)  1 (4)2 3 (5) 【解答】 245 原式   y |x2 2 | 2x y k           j k ﹐作二圖形找交點個數 由﹐當 x2  2x  0 時 ∴ x  2 或 x  0   y = x2  2x  2 = (x  1)2  3 當 x2  2x < 0 時 ∴ 0 < x < 2   y =  (x2  2x)  2 =  (x  1)2  1 由‚﹐y = k 表水平線 若原式有二實根﹐則二圖形有二個交點 ∴ k >  1 或 k =  2  應選(2)(4)(5) 隨堂練習. (1)試作出函數 y  | x2  2x |  4 的圖形。 (2)若 a 為實數,且 | x2  2x |  4  a 恰有兩個實根,求 a 的範圍。 【解答】(1)如圖 (2) a  4 或 a  5 【詳解】(1) y  | x2  2x |  4  | x(x  2) |  4 (i)當 0  x  2 時,y   (x2  2x)  4   (x  1)2  5 (ii)當 x  0 或 x  2 時,y  (x2  2x)  4  (x  1)2  3 故圖形如下之實線部分 (2) | x2  2x |  4  a 恰有 2 實根,

a

y

x

x

y

|

2

2

|

4

之圖形有兩交點 得a  4 或 a  5

(25)

16.x  R﹐則函數 g (x)  (x  1)2  2(x  2)2  3(x  3)2  …  10(x  10)2有最小值時﹐x 之值為 ____________﹒ 【解答】7 g (x)  (1  2  3  …  10)x2  2(12  22  32  …  102) x  (13  23  33  …  103)  55x2  2( 6 21 11 10  )x  [ 2 ) 11 ( 10 ]2  55(x  7) 2  552  55  49  55(x  7) 2  330 ∴ 當 x  7 時﹐g (x)有最小值為 330 【註】其實﹐當x  1﹐2﹐2﹐3﹐3﹐3 …﹐ ﹐10, 10,10 , 10  個 的算術平均數時, 即當x  7 時 g (x)有最小值 17.某電影院每張票價為 120 元,每場觀眾平均 500 人,若票價每減 5 元,每場觀眾就增加 50 人,則每張票價訂為     元時,每場電影票價收入為最多。 【解答】85 【解答】85 設票價減x 元,可得收入 y 元為最多y  (120  x)(500  10x)   10x2 700x  60000   10(x  35) 2  72250 ∴ 當 x  35 時,y  72250 為最大值,故每張票價應訂為 85 元 隨堂練習.某電影院的每張票價 200 元時﹐觀眾有 600 人﹐若票價每減少 10 元時﹐則觀眾就 增加50 人﹐則每張電影票價訂為____________元時﹐可使電影院的收入最多﹒ 【解答】160 設票價減10x 元時﹐可使收入最多 收入 (200  10x)(600  50x)  500( x2  8x  240)  500[ (x  4)2  256]x  4﹐即票價為 200  10  4  160 元時﹐收入最多 隨堂練習.一果園中每單位面積種橘子樹 25 棵﹐每棵平均可收穫橘子 450 個﹐若每單位面積 加種1 棵橘子樹﹐則每棵平均收穫量少 12 個﹐則每單位面積應種植____________棵橘子樹 時﹐可得最大收穫量﹒ 【解答】31 設每單位面積加種x 棵﹐總產量為 y 個橘子  y = (25 + x)(450  12x) =  12(x 25 4 ) 2 +46875 4 ∵ xN ∴ x = 6 時﹐y 有最大值 31  378 = 11718(個)  所求= 25 + 6 = 31

(26)

隨堂練習.某校舉辦三天兩夜的校外教育旅行﹐定價為 6000 元﹐平均每班皆有 40 人參加﹐根 據過去的經驗﹐若將價格每提高300 元﹐則將會減少 1 人參加﹐試問:將價格定為________ ____元時﹐會使每班的總收入最多﹒ 【解答】 9000 設價格提高300x 元﹐總收入 y 元  y  (6000  300x)(40  x) =  300x2 + 6000x + 240000   300(x  10)2  270000 ∴ 當 x  10 時﹐y 有最大值 270000 元 即定價為6000  300  10  9000 元 18.某製造玩具工廠﹐每次接到訂單都需開模 5 萬元﹐製造每一千個玩具材料費需 2 萬元﹐由 此建立生產的基本成本函數 f x( ) 5 2  x﹐其中 x 以千個為單位﹒依過去經驗﹐接到訂單數 量與報價總值有如下關係: 數量(千個) 報價總(萬元) 值 值 值 值 值 5 37.5 10 70 15 97.5 以此資料建立一個二次函數的報價總值函數g x( )﹐以及獲利函數h x( )g x( ) f x( )﹒ (1)若接到訂單為 20 千個﹐試問交貨時﹐每千個玩具的基本成本平均是多少萬元? (2)試求報價總值函數g x( )﹒ (3)根據h x( )﹐試問訂單數量是多少時﹐獲利總值最高? 【解答】 (1)2.25;(2) ( ) 1 2 10 g x   x8x;(3)30 千個 (1)∵ f(20) 5 2 20 45    ﹙萬元﹚﹐∴所求 45 2.25 20   (萬元) (2)令g x( )ax2bx c ﹐則 25 5 37.5 100 10 70 225 15 97.5 a b c a b c a b c                 1 10 a    ﹐b ﹐8 c   ∴0 ( ) 1 2 8 10 g x   xx (3) ( ) ( 1 2 8 ) (5 2 ) 1 2 6 5 1 ( 30)2 85 10 10 10 h x   xx   x   xx   x   ∴訂單數量是30 千個時﹐獲利總值最高

(27)

19.設二次函數 y  ax2  bx  6 在 x  2 時﹐有最小值 2﹐且此函數的圖形與 x 軸交於 P﹐Q 兩點﹐與y 軸交於 R 點﹐試求此△PQR 的面積為____________

【解答】6

由題意﹐設f (x)  a(x  2)2  2  ax2  4ax  (4a  2)ax2  bx  6  ax2  4ax  (4a  2)

2

4

6

4

a

a

b

8

2

b

a

  y  2x2  8x  6y  0  2x2  8x  6  0  x  1﹐3,P(1﹐0)﹐Q(3﹐0)x  0  y  6﹐即 R  (0﹐6), 則△PQR 之面積 2 1 PQ高 2 1  2  6  6 20.在一棟建築物裡﹐從 5 公尺高的窗口﹐用水管斜著向外噴水﹐噴出的水在垂直於牆壁的平 面上﹐畫出一條拋物線如下圖;其頂點距離牆1 公尺﹐並在離牆 3 公尺處落到地面﹐則水柱 之最高點高度比發射點高度高出____________公尺﹒ 【解答】 5 3 建立坐標系如圖  交 x 軸於(3﹐0)﹐(  1﹐0)y = a(x  3)(x + 1)﹐a < 0﹐又過(0﹐5) ∴ 5 = a(  3)(1) ∴ a = 5 3  y = 5 3(x  3)(x + 1)x = 1 代入 ∴ y = 5 3 (  2)  2 = 20 3  可求 =20 3  5 = 5 3(公尺)

(28)

隨堂練習.若雪山隧道入口的建造為一拋物線圖形﹐地面AB寬為12 公尺,隧道正中央高度為 18 公尺﹐試問地面上距洞口 A 點 4 公尺處的高度為____________公尺﹒ 【解答】 16 建立坐標系如圖,A (  6﹐0)﹐B (6﹐0)﹐C (0﹐18) 設y  f (x)  ax2  18﹐a < 0 過(6﹐0) ∴ 0  a  36  18 ∴ a  1 2 y  1 2x 2  18 又距A 點 4 公尺處的點 H (  2﹐0) x   2 代入 ∴ y  1 2 4  18  16 即所求高度為16 公尺 21.一條 100 公尺的繩子在河岸邊圍成一矩形的菜園﹐但靠河邊不圍﹐則最多可圍成面積____ ________平方公尺﹒ 【解答】1250 如圖﹐設AD BC xAB100 2 x  面積= x(100  2x) =  2x2 + 100x =  2(x  25)2 + 1250 ∴ 當 x = 25 時﹐有最大面積 1250 平方公尺

(29)

22.賀伯特先生有一片呈等腰直角三角形形狀的花圃﹐此三角形的斜邊長 10 公尺﹒今欲在此 花圃中挖出一個面積最大的矩形水池﹐且水池的一邊是在三角形的斜邊上﹐求此水池的最大 面積為____________﹒ 【解答】12.5 如圖,設AD x ﹐BDy ∵ △ABC 為等腰直角三角形且BC10 ∴ ABAC5 2  x  y 5 2 又△ADE 與△BDF 亦為等腰直角三角形 DE 2x﹐ 2 y DF  矩形水池面積 2 2 y DE DF  x xy  x(5 2 x)   x2  5 2x   (x 5 2 2 ) 225 2 ∴ 最大面積  25 2 隨堂練習.一農夫想用 70 公尺長之竹籬圍成一底角為 60°的等腰梯形菜圃﹐並在其中上底正 中央留著寬2 公尺的出入口﹐如圖所示﹒問此農夫所能圍成的最大面積為____________平方 公尺﹒ 【解答】162 3 令BG CH x(∵ ABCD 為等腰梯形)  AG DH  3xAB CD 2x(∵ ABG60°)   1 2 GH  [(70  2)  2(x  2x)]  36  3x ∴ BC(36  3x) + 2x = 36  x ∴ 梯形面積1 2[(36  3x)  (36  x)]  3x  3(36  2x)  x  3(  2x2  36x)   2 3[(x  9)2  81]  當 x  9 時有最大面積 ( 2 3)(  81)  162 3

(30)

23.銳角三角形之紙片,沿平行一邊之直線折疊,欲使折斷之三角形與原三角形重疊的部分 的面積最大,應如何折疊?又最大面積為何?

【解答】設△ABC 邊AB a,在AB的折點P,在AC 的折點Q

PQ//BC,折疊後的三角形APQ,△APQ  APQ

AP x,△APQ 與△ABC 重疊部分(圖中斜線部分)的面積為 f (x),△ABC 的面積 S

(1)若 x 

2 1

a,則 A落在△ABC 內(圖一)

△APQ △APQ~△ABC,相似比為 x:a,f (x):S  x2a2  f (x)  2 2 a x S(x  2 a ) 此時x  2 1 a 時,f (x)之值最大,最大值  f ( 2 1 a)  4 1 S   (2)若 2 1 a  x  a,則 A落在△ABC 外(圖二) △APQ~ABC  △APQ  22 a x S( 2 1 a  x  a) ∵ PBB  APQ  APQ  PBB ∴ A BAPBPAPBP x  (a  x)  2x  a 又△ABC~△ABC  △ABC (2 2 )2 a a xS ∴ f (x)  22 a S x (2 2 )2 a S a x 2 a S [ 3(x  3 2 a)2 3 1 a2] 此時x  3 2 a 時,f (x)之最大值為 f ( 3 2 a)  3 1 S 由(1),(2)知當 x  3 2 a 時,f (x)有最大值 3 1 S

(31)

主題4:單項函數 1.單項函數:設 n 為正整數﹐a0﹐則y ax n就稱為單項函數 2.單項函數的圖形介紹: (1)若n1時﹐則單項函數y ax 的圖形為通過原點的一直線 (2)若 n 為偶數﹐則y ax n的圖形如下: ① 當a0時:         ②當a0時:   由上述圖形可以得知: (a)當a0時,y ax n的圖形開口向上;而當a0時﹐y ax n的圖形開口向下﹒ (b)圖形必通過原點,且對稱於 y 軸﹐也就是a x( )n axn,則稱y ax n為偶函數﹒ (c)單項函數y ax n| |a 愈大﹐其圖形開口愈小﹒ (3)若n3且n 為奇數,則y ax n的圖形如下: ① 當a0時:         ②當a0時: 由上述圖形可以得知: (a)當a0時﹐y ax n的圖形為在一、三象限內的嚴格遞增曲線;當a0時,y ax n的圖形 為在二、四象限內的嚴格遞減曲線 (b)圖形必通過原點,且對稱於原點,也就是a x( )n  axn,則稱y ax n為奇函數 (c)單項函數y ax n| |a 愈大,其圖形愈接近y 軸。

(32)

※重要範例 1.試在平面上繪出下列各函數的圖形: (1) y x 3﹒ (2)y(x2)3﹒ (3) y(x2)33 【解答】 2.三次函數y2x36x26x7的圖形沿 x 軸方向平移 h 個單位,再沿 y 軸方向平移 k 個單位, 恰與一單項函數的圖形重合,求數對( , )h k 及此單項函數。 【解答】y2x36x26x72(x33x23x  1) 5 2(x1)35 將 x 以x1﹐y 以y5代入,得y 5 2[(x 1) 1]35,即y2x3 ∴y2x36x26x7的圖形沿x 軸方向 平移 1 個單位,再沿 y 軸方向平移5個單位 可以得一單項函數y2x3,即數對( , ) (1,h k  5) 3.已知四次函數y ax 4, a0﹐圖形通過( , )p q ﹐其中pq0﹐則y ax4的圖形必通過下 列哪些點?(1) ( ,pq) (2)(p q, ) (3)(0, 0) (4)(p, q) (5)( , )p q 【解答】(1)(3)(4) ∵y ax 4的圖形與y ax4的圖形對稱於 x 軸﹐y ax4的對稱軸為x0(如右圖) 故選(1)(3)(4) 隨堂練習.下列哪些函數的圖形經由平移後可以和一單項函數的圖形重合?(多選) (1)y x 3 (2)y2x24x3 (3)y2(x1)32 (4)y x 3x 5)y 2x312x224x17 簡答:(1)(2)(3)(5) (1)將y x 3沿 y 軸方向平移3個單位﹐得y  3 x 3,即y x 為單項函數 (2)y2x24x 3 y2(x1)21沿 x 軸方向平移 1  個單位﹐再沿 y 軸方向平移1個單位, 得y2x2為一單項函數 (3)y2(x1)32沿 x 軸方向平移 1 個單位﹐再沿 y 軸方向平移 2 個單位﹐得y2x3為 一單 項函數 (4)令y0得x3  x 0 x x( 2 1) 0   x x( 1)(x 1) 0 ∴x 1﹐0 或 1y x 3x與 x 軸相交於三點﹐而單項函數與 x 軸皆僅交於一點y x 3x無法經平移後與某一單項函數重合 (5)y 2(x36x212x 8) 1 3 2( 2) 1 y x      沿 x 軸方向平移2個單位,再沿 y 軸方向平移1個單位,

參考文獻

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