第二章 文獻探討
第一節 認知診斷模式
第二章 文獻探討
為了達到本研究的目的，本章節將對CDM、HO-IRT 及估計方法等方 面搜尋相關文獻，進行分析、歸納。第一節為認知診斷模式，包含DINA 及HO-DINA 模式等，第二節則是試題反應理論模式，包含 IRT、MIRT、
HO-IRT 模式等。
第一節 認知診斷模式
認知診斷測驗的發展，對教育實務問題有重大的意涵與啟示，不僅可 以替教師找出學生在學習上產生偏差的原因所在，以便教師針對學習產生 落差之處即時進行補救，以節省補救教學時間和增進教學效果(余民寧，
1995；涂金堂，2003)。相較於常使用的 IRT 模型，在定義為潛在能力的連 續量尺上，回饋受試者一個分數，定位或排序受試者的能力高低，而認知 診斷模型目的在診斷受試者的技能、知識概念或是完成試題所需的認知特 徵等，目前已有許多模式被開發且應用，較具有代表性的認知診斷模型，
包含 Fischer (1973)提出的線性邏輯測驗模式(linear logistic test model, LLTM)、Tatsuoka(1983)的規則空間(rule space)、Junker & Sijstma (2001)提 出的兩個認知診斷模式：DINA 模式和 NIDA 模型(Noisy Input; Deterministic
“And” gate model)、de la Torre & Douglus (2004)提出的 HO-DINA 模式、
Templin & Henson (2006)提出的 DINO 模式。
在許多的認知診斷模式中，需要定義每個試題與認知屬性之間的關係，
而這些關係所組成的矩陣稱為
Q
矩陣(Tatsuoka, 1985)，Q
矩陣大小為J K ， J 為總試題數，K 為認知屬性總數，qjk 1代表要解答試題 j ，需要具備 認知屬性 k，目前大多仰賴學科專家來界定，Q 矩陣也就代表屬性分布的 藍圖，在認知診斷模式中扮演著重要的角色，若每個試題涵蓋的認知屬性 太多，可能無法將不同的認知組型(patterns)區辨出來，反之，若每個試題6
對應的屬性太少，則可能無法提供足夠的訊息給模式估計參數，且
Q
矩陣的正確性會影響估計結果的好壞(Rupp & Templin, 2008)，因此在認知診斷 模型中，
Q
矩陣是非常重要的。一、DINA
若Xij為受試者i在試題 j 上的作答反應，其中i 1,...,N、j 1,...,J ， 且
i { ,..., }
i1
ik 代表受試者的認知屬性二元向量，其中k1,...,K，而
ik若為1 則表示受試者能掌握或精熟認知屬性 k ；而
ik為0 代表受試者不 了解或具備認知屬性 k ，一般而言，認知屬性可以被視為技能(skill)、概念 (concept)或是認知過程(cognitive process)，而用來連結試題與認知屬性的就 是Q 矩陣，代表著整份測驗包含了哪些概念，而這些概念又是由哪些試題 來測量。以整數四則的概念舉例來說，假設有四個技能分別是(1)整數加法 運算 (2)整數乘法運算 (3)括號內先運算 (4)先乘除後加減，則若要能回答 試題8 (2 6) ，則需要具備第(1)、(2)及(3)個技能才能解答，則這個試題 的Q 矩陣表示成 (1,1,1,0) 。在DINA 模式中，依據受試者認知屬性的狀態與試題的 Q 矩陣，將受 試者分為 ij {0,1}兩個類別，而其計算公式如(2.1)
1
jk
K q
ij ik
k
(2.1) 當ij為1 代表受試者i完全具備解答試題 j 所需要的認知屬性；反之，若ij為0 則表示受試者不完全具備必需的認知屬性，在理想的反應模式下，
DINA 模式假設具備需要的認知屬性時，即能答對該題，若缺少任一個認 知屬性就會答錯，但在實際的作答情形中，會受到雜訊(noise)干擾，也就 是粗心(slip)及猜測(guessing)兩種影響，粗心表示受試者在具備需要的屬性 時，卻不小心答錯了試題，其定義如公式(2.2)；另一種為受試者不完全具
7 假設試題與受試者之間局部獨立(local independence)，則 DINA 模式的 概似函數(likelihood function)如公式(2.5)。
(1 )
DeCarlo (2011)、de la Torre & Lee (2010)、de la Torre & Douglas (2008)、de la Torre (2009a, 2009b)、Henson & Douglas (2005)、Junker & Sijtsma (2001)、
Rupp & Templin (2008)。
在模式估計部分，de la Torre & Douglas (2004) 探討了 DINA 與 linear logistic model (LLM)模式的比較，利用 Markov chain Monte Carlo (MCMC) 來進行參數估計，研究結果顯示DINA 的參數估計精準度相較之下比較穩 定；de la Torre (2009a)更詳述了 DINA 參數估計的方法，如 joint maximum likelihood estimation 及 marginalized maximum likelihood estimation 等，降 低MCMC 參數估計的時間。
二、Higher-Order DINA
Leighton, Gierl & Hunka (2004)認為在認知屬性加上階層式的架構是 合理的，因此de la Torre & Douglas (2004) 延伸 DINA 模型，在 DINA 模
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潛在特質 指的是整數四則的精熟程度或是數學學科的能力，而 的高低 將影響掌握四個技能的機率。
在參數估計部分，de la Torre & Douglas(2004)使用 MCMC 方法估計 HO-DINA 模式參數，本研究將參考部分設定應用於 HO-IRT 與 HO-DINA 混合模型的估計。以下是de la Torre & Douglas 採用的 MCMC 估計流程，
a b Bernoulli
a b
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