單元三：畢式定理
¿a2+2 ab+b2−2 ab
¿a2+b2
從上面的說明，我們就可以知道： c2=a2+b2 ，
而 a , b , c 其實就是直角三角形的三邊長，
c 就是這個直角三角形的斜邊， a , b 就是這個直角三角形的兩股，
所以 c2=a2+b2 代表的就是
「直角三角形中，斜邊平方等於兩股平方和」，
這種關係我們就稱作畢氏定理或勾股定理。
我們來練習一下題目！
Ex1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。
(1) (2) 解：
(1) 假設斜邊為 x ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
x2=52+122=25+144=169 x=±√169=±13
因為斜邊長>0 ，所以斜邊長 ¿13 。
(2) 假設斜邊為 y ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
y2=72+242=49+576=625 y=±√625=± 25
因為斜邊長>0 ，所以斜邊長 ¿25 。
上面這題是我們知道兩股長，利用畢氏定理求斜邊長。
接下來我們知道斜邊及其中一股長，要利用畢氏定理求另一股長。
Ex2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？
(1) (2)
解：
(1)設要求的股長為 x ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方 和」，
x2+32=52❑
⇒x2+9=25❑
⇒ x2=25−9=16
x=±√16=± 4 ，股長必為正的，所以另一股為 4 。
(2) 設要求的股長為 y ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方 和」，
y2+82=172❑
⇒ y2+64=289❑
⇒ y2=289−64=225
x=±√225=± 15 ，股長必為正的，所以另一股為 15 。
Ex3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
解題思維：
我們如果有直角三角形，就可以利用畢式定理了，
所以我們要想辦法做出直角三角形。
因為矩形四個是直角，所以將對角線畫起來，
連起來後就有直角三角形了！
這個直角三角形裡，
對角線
對角線就是直角三角形的斜邊。
接下來就可以利用畢式定理「斜邊平方等於兩股平方和」，求 出矩形的對角線長了！
解：
(1) 將對角線令為 x ，
根據畢氏定理可以列式： x2=82+132
x2=82+132=64 +169=233 ，
x=±√233 (因為對角線長是長度，所以負不合) 所以對角線長 ¿√233 。
(2) 將對角線令為 y ，
根據畢氏定理可以列式： y2=62+42
y2=62+42=36+16=52 ，
y=±√52=±√4 ×13=± 2√13 (對角線長是長度，故負不合) 所以對角線長 ¿2√13 。
好，再來我們看一些畢氏定理的應用！
Ex4.如圖直角三角形邊長為 5、12、13 ， 求斜邊上的高。
解題思維：
我們先看一下要求的東西，斜邊上的高是哪一個咧？
這是直角三角形，直角在 ∠C ，
所以斜邊在 13 這段（也就是 AB´ ），
所以斜邊上的高指的就是 CD´ 。 那這要怎麼求呢？
我們來想，一個三角形的面積有幾種算法。
先隨便畫一個三角形，讓這個三角形的三邊長為 a 、 b 、 c 。
13 8
4 6
我們可以先用 a 當底，三角形的面積是 底×高2 ，
高就是藍色這段，先叫做 ha ，代表這是以 a 為底的高，
所以面積的第一種算法為 a× h2 a 。
第二種算法我們以 b 當底，這樣的高就是橘色這段，
我們叫做 hb ，所以面積的第二種算法為 b× h2 b 。
那我可不可以以 c 當底？當然也可以，它的高是誰？
就是下圖綠色的那段，我們叫做 hc ，
因為它是以 c 為底的高，這樣面積就是 c × h2 c 。
這樣三角形的面積就有三種算法啦！但是我們算的是同一個三角形，
因此不管我用哪種算法，算出來的面積都要一樣！
a× ha
2 =b × hb
2 =c × hc 2
接著我們就可以用這個方式找出斜邊上的高。
在這個直角三角形裡面，它的面積算法有兩種：
第一種，我可以用 AC´ 當底，因為 ∠C 是直角，所以 BC´ 就是他
的高，這樣第一個三角形面積算法就是 AC × ´´ 2BC 。
第二種，我也可以用斜邊 AB´ 當底，這時候的高就是 CD´ ，而面 積就是 A B × ´´ 2CD 。
那這兩個算的是同一個三角形的面積，所以會一樣。
然後就可以解出斜邊上的高 CD´ 了！
解：
從圖中我們可以知道三角形面積 ¿5 ×122
設斜邊上的高為 CD´ ，則三角形面積 ¿13 × ´2CD ，
5 × 12
2 =13 × ´CD 2
兩邊都有 2 ，所以把 2 約掉，
5 × 12
2 =13 × ´CD 2
要求 CD´ ，所以把 13 移過去，
CD=´ 5 × 12 13 =60
13
省思：
當然你可以把這個公式化，
如果有一個直角三角形，兩股分別為 a 、 b ，斜邊為 c 。
那斜邊上的高 h 就會等於 a× bc 。 為什麼？因為 a× b2 =c ×h2 ，
所以 h=a × bc ，也就是兩股乘起來除以斜邊。
Ex5.
如圖，放著一把 5 公尺的長梯於牆上，
梯腳離牆角 1.4 公尺，求：
(1)梯頂離地面多少公尺？
(2)若欲將梯頂降低 80 公分，則梯腳須向後移動多少公分？
解：
(1)
首先，我們先看紅色這把梯子。
梯腳離牆角 1.4 公尺，梯子長 5 公尺，
要求梯頂距離地面的高度，也就是下圖中棕色這段的長度，
這裡就形成一個直角三角形。
這個紅色直角三角形，斜邊是 5 ，其中一股長 1.4 ， 就可以假設要求的為 h 。
h2=52−1.42=25−1.96=23.04
h=±√23.04 。那 23.04 怎麼開根號呢？
先把 23.04 化成分數，再來上面開上面，下面開下面：
√23.04=
√
2304100 =√230410 接著 2304 利用短除法算一下：2304=42× 122 4 2304
4 576 12 144 12
知道 2304 開出來是 48 ，因為有兩個 4 ，和兩個 12 。 所以
√23.04=
√
2304100 =√230410 =4810=4.8 因此 h=± 4.8 ，那因為是高度，所以負不合。
所以梯頂離地面 4.8 公尺。
(2)
如果要將梯頂降低 80 公分，也就是 0.8 公尺。
原本高度 4.8 公尺，降低了 0.8 公尺，變成 4 公尺。
再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變？
看圖，樓梯掉落（藍色變紅色）長度依然不變，還是維持 5 。 所以這裡形成新的直角三角形。
看綠色直角三角形，斜邊 5 ，一股長為 4 ，就可以假設所求為
a 。
a2=52−42=25−16=9 a=±√9=± 3 （負不合）
但題目是問梯腳後移多少？
原本梯腳離牆角為 1.4 ，但後來的梯腳離牆角為 3 ，所以要後移 多少？當然就是 3−1.4=1.6 ，所以後移 1.6 公尺。
5 4 a a
重點提問
1. 請問什麼是「畢氏定理」？
請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理。
2. 根據上面的課文，一個直角三角形斜邊上的高如何計算？
請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7、24、 25 斜邊上的高。
A.隨堂練習
1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。
(1) (2)
2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？
(1) (2)
3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
4.如圖直角三角形邊長為 3、 4 、5 ，求斜邊上的高。
5.平安拿一鋁梯在離牆 6 公尺處斜放在牆邊，
此時梯頂剛好離地面6 公尺(如圖所示)，求：
(1)鋁梯有多長？
(2)今移動此鋁梯使它在離牆 2 公尺處斜放，
則梯頂離地面多少公尺？
還是不太懂，
請看下面影片(1)
還是不太懂， 還是不太懂， 還是不太懂，