目錄 單元二：根式的運算............................................................................1

目錄

單元二：根式的運算...1

課文A：根式的乘除...1

課文B：最簡根式與分母有理化...8

課文C：根式的加減...18

課文D：根式的四則運算...30

單元三：畢式定理...38

課文A：畢式定理...38

課文B：平面上兩點間的距離...51

單元二：根式的運算

課文 A：根式的乘除

在這個單元中，我們要學根式的運算！

什麼是根式呢？

根式就是指含有根號的數或式子，像是 √⁵ 、 √^2×√⁵ 、 √^12÷√² 、

√²⁷⁻√¹² …等都叫根式。

回想一下，我們在國一學代數式時，有一些簡記的方式，而在根式 當中，也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式。

例如：

2× x 簡記成 ^{2 x} ； ^2×√³ _{就可以簡記成} ²√³ _。

(−1)× x 簡記成 ^−x ； ^(−1)×√⁷ _{就可以簡記成} ⁻√⁷ 。

4

5× x 簡記成 ⁴₅ ^x 或是 ^{4 x}₅ ； ⁴₅^×√3 簡記成 ⁴₅√3 或是 ⁴√³

5 。

接下來，我們要看根式的乘法運算。

√^3×√⁷ 這個式子會等於什麼？

我們先將它平方後變成整數，再開根號還原回來比較看看！

(√3×√7)²=(√3×√7)×(√3 ×√7)=¿ √3×√7 ×√3×√7

¿(√^3×√^3)×(√^{7 ×}√⁷⁾⁼⁽√^3)2×(√^{7)2=3 ×7} 我們將 √^3×√^{7 平方後，發現 (}√^3×√^{7)2=3 ×7 ；}

再將 (√^3×√^{7)2 開根號還原回去} √^3×√^{7 ，而等號右邊 3 ×7 開根號} 就會是

√^{3× 7}

。

所以就會得到 √^3×√⁷⁼√^{3 ×7} 。

從上面的這個例子，我們可以得到一個結論：

有兩個 √^{3 、兩個}

√^{7 ！}

我們換位置乘一下！

若 ^a 、 ^b 均大於等於 ⁰ ，則 √^{a ×}√^b=√^{a ×b}

我們來試試看其他題：

Ex1.計算下列各根式的乘積：

(1) √^7×√¹³ (2) √^{6 ×}

√

√

√

解：

(1) √^7×√¹³⁼√^{7 ×13=}√⁹¹

(2) √^{6 ×}

√

(3)

√

√

9 10₂

 5

2 ¿

√

注意！

√

√

√

Ex2.計算下列各根式的乘積：

(1) ²√^{7 ×5}√³ (2) √⁷

5 ×8√⁵ (3) ₅²√^11×3₄√³ 解題思維：

這題根式乘積的計算已經跟上題有些不一樣了，每個根號前面 多了一個數。

我們來想一下，從前面根式的簡記可以知道： ²√^{7=2 ×}√⁷ ；

5√3=5 ×√3 。

所以我們計算 ²√^{7 ×5}√³ 時，

2√^{7 ×5}√^3=2×√^{7 × 5×}√^{3=2 ×5 ×}√^{7 ×}√³

¿(2× 5) ×(√^{7 ×}√^3)=10×√²¹⁼¹⁰√²¹

仔細看這個計算的過程，其實會發現這個根式乘積的計算就是

“根號外面乘根號外面，根號裡面乘根號裡面”，例如在計算

2√^{7 ×5}√³ 時，根號外面乘根號外面就是 ^{2× 5} ，根號裡面乘 根號裡面就是 ^{7 ×3} ，所以 ²√^{7 ×5}√^{3=(2× 5)}√^{7 × 3=10}√²¹ 。 解：

(1) ²√^{7 ×5}√^{3=(2× 5)}√^{7 × 3=10}√²¹ (2) √⁷

5 其實就是 ¹₅√⁷ _{，根號外面就是} ¹_{5 ，根號裡面就是}

7 。

√⁷

5 ×8√⁵⁼¹

5√^{7 × 8}√⁵⁼

(

)

4√3=¿ 3 10√33

看完根式的乘法運算後，來看一下根式的除法運算。

我們如果要計算 √^11÷√² 這個式子呢？

回憶一下，我們之前有學過除法與分數的關係，例如 ³₄ 可以想像 成有兩種唸法，一種是由下往上唸，唸成「 ⁴ 分之 ³ 」；而另一 種就是由上往下唸，唸成「 ³ 除以 ⁴ 」。

這個用來除法運算換成分數或分數換成除法運算都非常好用，所以

√^11÷√² _其實就是 √¹¹

√^{2 。} 這個分數會等於什麼？

我們先將它平方後變成整數，再開根號還原回來比較看看！

(√¹¹

√^{2 )}

2

=¿ √¹¹

√^{2 ×}

√¹¹

√²

√¹¹

¿¿

¿2

¿

√²

¿¿

¿2

¿

¿√^11×√¹¹

√2 ×√2 =¿

我們將 √¹¹

√^{2 平方後，發現 (}

√¹¹

√^{2 )}

2

=11

2 ；

再將 ⁽√¹¹

√^{2 )}

2

開根號還原回去 √¹¹

√^{2 ，而等號右邊}

11

2 開根號就會是

√

所以就會得到 √11

√^{2 =}

√

而 ¹¹₂ 其實就是 ^{11÷ 2} ，所以 √^11÷√²⁼√11

√^{2 =}

√

所以我們得到一個結論：

若 ^{a ≥ 0} 、 ^b>0 ，則 √^{a ÷}√^b=√a

√^b=

√

我們來試試看其他題：

Ex3.計算下列各式：

(1) √^{48 ÷}√¹² (2)

√

√

√

解：

(1) √^{48 ÷}√¹²⁼√^{48 ÷12=}√⁴⁼²

(2)

√

√

√

(3)

√^12÷

√

√

√^{4 還可以化簡為}

2 ！

重點提問

1. 請問根式的乘法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 ⁵√^{6 × 3}√⁵ 。

2. 請問根式的除法怎麼運算？

請用這個運算規則計算

√

A.隨堂練習

1.計算下列各根式的乘積：

(1) √^{6 ×}√³⁵ (2) √^{14 ×}

√

√

√

2.計算下列各根式的乘積：

(1) ³√^{5 × 2}√² (2) √2

3 × 9√³ (3) ³₂√^5×4

9√⁷

3.計算下列各式：

(1) √^{98 ÷}√² (2)

√

√

√

還是不太懂，

請看下面影片(2) 還是不太懂，

請看下面影片(1)

單元二：根式的運算

課文 B：最簡根式與分母有理化

在根式的運算中，我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有 一致性，所以我們就會借用

最簡根式

什麼是最簡根式呢？就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式！

像是 √⁸ 是可以繼續化簡的：

√^{8 ¿}

√

√

2√² 已經無法再化簡了，所以我們就稱 ²√² _是 √⁸ _{的最簡根式。}

又像是 √¹² ：

√¹²⁼

√

√

2√³ 已經無法再化簡了，所以我們就稱 ²√³ 是 √¹² 的最簡根式。

我們來練習看看！

8 可以拆成 2²× 2

根式的乘法運算：

√a ×√b=√a ×b ； 這個等式反過來看，即

√^{a ×b=}√^{a ×}√^b

Ex1.將下列各式化為最簡根式：

(1) √⁷² (2) √⁸⁰ (3) √³⁶⁰ 解題思維：

我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就可以再往外提出 去，目標就是要提到不能再提為止。所以我們在對根號內的數 因數分解時，可以盡量用完全平方數去分解。

解：

√⁷²⁼√^{4 × 9 ×2=}√^{4 ×}√^{9 ×}√^{2=2× 3×}√²

¿6√²

而第(2)小題

√⁸⁰⁼√^{4 × 4 ×5=}√^{4 × 4 ×}√^{5=4 ×}√⁵⁼⁴√⁵

(3) √³⁶⁰⁼√^{36 ×10=6}√¹⁰

剛好兩個 4 ！

Ex2. 將下列各式化為最簡根式：

(1)

√

√

√

解題思維：

跟上一題一樣，我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就 可以再往外提出去，這一個過程我們可以利用「集滿兩個換出 去」這個口訣記。

這個口訣是什麼意思呢？

像是

√

√

√

√

¿2× 3 ×√¹⁵⁼⁶√¹⁵ 我們利用這個口訣，可以這樣想：

√

再例如

√

√

3 、 1 個 5

原本裡面 ² 個 ² ， 換出去外面變成 ¹ 個

2

原本裡面 1 個 5 ， 集滿兩個才能換出去，

所以繼續留在裡面。

原本裡面 3 個 3 ，

其中 2 個 3 換出去外面變成 1 個

3 ；

根號裡面留下 ¹ 個 ³ 。 根號裡面有 ⁴ 個 ² 、 ⁵

個 3

原本裡面 4 個 2 ， 換出去外面變成 2 個

2

原本裡面 5 個 3 ，

其中 4 個 3 換出去外面變成 2

個 ³ ；

根號裡面留下 ¹ 個 ³ 。

解：

(1)

√

√

√

Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1) √^{6 ×}√^{8 ×}√¹² (2) √^10×√^{14 ×}√⁹⁸ 解：

(1) √^{6 ×}√^{8 ×}√¹²⁼√^{6 ×8 × 12=}√6 ×(4 × 2)×(2× 6)

¿√6 ×4 ×4 ×6=6 × 4=24

說明：

√^{6 ×}√^{8 ×}√¹² 根據根式的乘法運算就是 √^{6 ×8 ×12} ，

而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解，我們只要朝著

「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√^{6 ×8 ×12}

從分解當中可以發現有 ² 個 ⁶ ，其他 ^{4 × 2× 2} 可以湊成 ² 個 ⁴ ，

「集滿兩個換出去」，所以換出去變成 ¹ 個 ⁶ 、 ¹ 個 ⁴ ，也就 是 ^{6 × 4=24} 。

想一想有沒有其他分法呢？

(2) √^10×√^{14 ×}√⁹⁸⁼√10 ×14 × 98

¿√(5 ×2)×(2 ×7)×(7 ×14)=2×7 ×√^{5× 14=14}√⁷⁰

說明：

√^10×√^{14 ×}√⁹⁸ 根據根式的乘法運算就是 √^{10× 14 ×98} ，

而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解，我們只要朝著

「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√^{10× 14 ×98}

從分解當中可以發現有 ² 個 ² 、 ² 個 ⁷ ，可以集滿兩個換 出去，

而其他 ^{5 ×14=70} 不能拆成一對一對。

所以換出去根號外面變成 ¹ 個 ² 、 ¹ 個 ⁷ ， ⁷⁰ 留在根號 裡面不能換出去，也就是 ^{2× 7 ×}√^{5 ×14=14}√⁷⁰ 。

除了上面那種「根號內仍有可以提出到根號外的因數」的根式可以 繼續化簡以外，還有兩大類可以繼續化簡：

(一) 分母有根式，例如： √^{23 、}

√3

√^{50 等…。}

(二) 根號內仍有小數或分數，例如：

√

這兩類在化簡的時候，我們的目標是想將分母的根式消去，讓它成 為有理數，這個過程我們稱為分母有理化。

最簡單的方法就是，我們可以利用「 √^{a ×}√^a=a 」將分母有理化。

舉例來說， √^{23 的分母是} √³ _{，那我們知道} √^3×√³⁼³ _{，所以我們} 分母再乘一個 √³ 就可以將分母的根式消掉了。但是不能只單單乘 以分母，我們要維持分數的相等，因此分子分母應該要同時都乘以

√³ 。

所以 √²³⁼

2 ×√³

√^3×√³⁼

2√³

3 。那麼 ²√³

3 就是 √²3 的最簡根式了！

來看一題範例吧！

Ex4. 將 √³

√^{50 化為最簡根式。}

解題思維：

√³

√^{50 的分母是} √⁵⁰ _{，那我們知道} √^50×√⁵⁰⁼⁵⁰ _{，所以分子} 分母應該要同時都乘以 √⁵⁰ 。

√³

√⁵⁰⁼

√^3×√⁵⁰

√^50×√⁵⁰⁼

√¹⁵⁰

50

¿

5 6

50₁₀ ¿√⁶

10

除了這樣算以外，

我們知道分母是 √⁵⁰⁼

√

√³

√50= √^{3 ×}√²

√

√⁶

5 ×2=√⁶

10 會發現答案一樣！

解： √³

√⁵⁰⁼

√^{3 ×}√²

√

√⁶

5 ×2=√⁶

10

如果根號內仍有分數怎麼辦呢？

Ex5. 將下列各式化為最簡根式：

(1)

√

√

解題思維：

其實就是利用分母有理化的方式去進行化簡。

分子 √¹⁵⁰⁼√^{25 ×6=5}√^{6 ，}

所以還可以化簡。

像是

√

解：(1)

√

(2)

√

^√

如果根號內仍有小數怎麼辦呢？

Ex6. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √^0.2 (2) √^3.2 解題思維：

我們只要將小數化成分數，就可以繼續算下去了！

解：(1) √^0.2=

√

¿=√⁵

5

(2) √^{3.2=¿ ¿}

√

注意！ √^{20 可以繼續化簡，}

√²⁰⁼

√

重點提問

1. 從上面的課文中，大致上有三類的根式仍然還不是最簡根式，請 問是哪三類？

2. √¹⁰⁸ 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

3.

√

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

4. √³¹¹ 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

B.隨堂練習

1.將下列各式化為最簡根式：

(1) √¹⁰⁸ (2) √¹²⁸ (3) √⁴⁵⁰

2. 將下列各式化為最簡根式：

(1)

√

√

√

3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1) √^10×√^{20 ×}√⁸ (2) √^18×√^{1 2 ×}√⁴⁴

4. 將 √⁸

√^{27 化為最簡根式。}

5. 將下列各式化為最簡根式：

(1)

√

√

還是不太懂，

請看下面影片(1) 還是不太懂，

請看下面影片(2)

還是不太懂，

請看下面影片(3)

單元二：根式的運算

課文 C：根式的加減

我們接下來要說的就是根式的加減。

先回憶一下，二元一次式的化簡。

今天如果要化簡 5 x+3 y +2 x−5 y 這個二元一次式的話，

因為同類項才可以合併，所以可以先將同類項標記出來：

然後知道含有 ^x 項的是 ^{5 x} 和 ^{+2 x} 合併化簡得到 ^{7 x} ， 含有 ^y 項的是 ^{+3 y} 和 ^{−5 y} 合併化簡得到 ^{−2 y} 。 所以 5 x+3 y +2 x−5 y=7 x−2 y 。

而根式的加減也有類似的規則，

那就是「同類方根能進行合併，非同類方根不能合併」。

什麼是同類方根呢？

a , b 均為正數，若將 √^a _與 √^b 化為最簡根式後，根號內的數相

同，

我們就稱為它們為同類方根。

舉個例子， √¹² 與 √²⁷ 。

先化簡成最簡根式： √¹²⁼√^{4 × 3=2}√³ ， √²⁷⁼√^{9 ×3=3}√³ 。

像這樣子， √¹² 的最簡根式 ²√³ 與 √²⁷ 的最簡根式 ³√³ 的根號 部分都是 √³ ，我們就稱 √¹² 與 √²⁷ 是同類方根。

同類方根在根式的加減非常好用，因為我們只要把同類方根進行合 併就好，不是同類方根就沒辦法合併。

我們來看個例題。

Ex1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) ⁵√³⁺²√³ (2) ⁷√²⁻√² (3) √⁵⁺⁵√⁵ 解題思維：

5√³⁺²√³ _{所代表的是} ⁵ _個 √³ _加上 ² _個 √³ _{，那加完之後} 就是有 ⁽⁵⁺²⁾ 個 √³ ，也就是 ⁽⁵⁺²⁾√³⁼⁷√³ 。

7√²⁻√² _{所代表的是} ⁷ _個 √² _扣掉 ¹ _個 √² _{，那扣完之後} 就是有 ⁽⁷⁻¹⁾ 個 √² ，也就是 ⁽⁷⁻¹⁾√²⁼⁶√² _。

解：

(1) ⁵√³⁺²√^3=(5+2)√³⁼⁷√³ (2) ⁷√²⁻√^2=(7−1)√²⁼⁶√² (3) √⁵⁺⁵√^5=(1+5)√⁵⁼⁶√⁵

Ex2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) ⁵√³⁻²√²⁺√³⁺³√² (2) ²√¹¹⁺²√⁶⁺²⁻³√¹¹⁺√⁶ 解：

(1)

5√³⁻²√²⁺√³⁺³√²

¿6√³⁺√² 說明：

這題有不同類型的同類方根。

一類是與 √³ 有關的同類方根。有兩個，分別是 ⁵√³ 和

+√³ ，兩個合併化簡後會得到 ⁶√³ 。

另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個，分別是 ⁻²√2

和 ⁺³√² ，兩個合併化簡後會得到 ⁺√² 。

所以 ⁵√³⁻²√²⁺√³⁺³√² 合併化簡出來的結果是 ⁶√³⁺√² 。

(2)

2√¹¹⁺²√⁶⁺²⁻³√¹¹⁺√⁶

¿−√¹¹⁺³√⁶⁺² 說明：

我們要先分組： ²√¹¹⁺²√⁶⁺²⁻³√¹¹⁺√⁶

與 √¹¹ 有關的同類方根有兩個，分別是 ²√¹¹ 和 ⁻³√¹¹ ，兩 個合併化簡後會得到 ⁻√¹¹ 。

與 √⁶ 有關的同類方根也有兩個，分別是 ⁺²√⁶ 和 ⁺√⁶ ，兩 個合併化簡後會得到 ⁺³√⁶ 。

另外有一個 ⁺² ，沒有跟它同類的。

所以 ²√¹¹⁺²√⁶⁺²⁻³√¹¹⁺√⁶ 合併化簡出來的結果是

−√¹¹⁺³√⁶⁺² 。 省思：

當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時，我們必 須先將同類方根分為同一組，再把同組的同類方根進行合併。

Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √⁶³⁻√⁷⁵ (2) √⁴⁸⁺⁵√¹² 解題思維：

在遇到還沒化為最簡根式的根式加減計算時，會比較難以看出 同類方根，所以我們會先把各個根號化成最簡根式，再利用

「同類方根進行合併，非同類方根不能合併」去合併化簡。

解：

(1) √⁶³⁻√⁷⁵⁼³√⁷⁻⁵√³ 說明：

√⁶³ _與 √⁷⁵ 不是最簡根式，換成最簡根式：

√⁶³⁼√^{9 ×7=3}√⁷ 、 √⁷⁵⁼√^{25 ×3=5}√³ ，化簡後發現這兩個根 式不是同類方根，所以不能合併，所以 √⁶³⁻√⁷⁵⁼³√⁷⁻⁵√³ 就 已經是化到最簡了！

(2) √48+5√12=4√3+5

√

說明：

√⁴⁸ _與 ⁵√¹² 不是最簡根式，先換成最簡根式：

√⁴⁸⁼√^{16 × 3=4}√³ _； ⁵√¹²⁼⁵√4 ×3=5 ×2 ×√³⁼¹⁰√³ _， 發現這兩個都是與 √³ 有關的同類方根，所以合併後就是

10√³ 。

Ex4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √⁶³⁻³√²⁸⁺√¹⁷⁵ (2) √²⁰⁺√⁸⁰⁺√¹²⁵⁺√¹⁸⁰ 解：

(1) √63−3√28+√175=3√7−6√7+5√7=2√7

說明：

√⁶³⁼√^{9 ×7=3}√^{7 、 3}√²⁸⁼³√4 × 7=3 × 2×√⁷⁼⁶√^{7 、}

√¹⁷⁵⁼√^{25 ×7=5}√^{7 ，}

發現這三個都是 √^{7 有關的同類方根，}

√⁶³⁻³√²⁸⁺√¹⁷⁵⁼³√⁷⁻⁶√⁷⁺⁵√^7=(3−6+5)√⁷ 所以合併後就是 2√7 。

(2) √²⁰⁺√⁸⁰⁺√¹²⁵⁺√¹⁸⁰⁼²√⁵⁺⁴√⁵⁺⁵√⁵⁺⁶√⁵⁼¹⁷√⁵ 說明：

√20 、 √80 、 √125 與 √180 都不是最簡根式，先換成最 簡根式：

√²⁰⁼√^{4 ×5=2}√^{5 、} √⁸⁰⁼√^{16 ×5=4}√^{5 、}

√¹²⁵⁼√^{25 ×5=5}√^{5 、} √¹⁸⁰⁼√^{36 ×5=6}√^{5 ，} 發現這三個都是 √^{5 有關的同類方根，}

√²⁰⁺√⁸⁰⁺√¹²⁵⁺√¹⁸⁰⁼²√⁵⁺⁴√⁵⁺⁵√⁵⁺⁶√⁵

¿(2+4 +5+6 )√⁵⁼¹⁷√⁵ 所以合併後就是 17√^{5 。}

Ex5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √¹²⁺

√²

2 (2)

√

√

(1) √¹²⁺

√²

2 = 1×√²

√^{2 ×}√²⁺

√²

2 =√²

2 +√²

2 =√² 說明：

1

√² 分母有根號，所以不是最簡根式，先換成最簡根式：

1

√^{2 分子分母同乘} √² _， ¹

√2=√²

2 。

而 √²

2 其實等於 ¹₂√² _{，也就是所謂的} ¹

2 個 √² _。

發現這兩個都是與 √² _{有關的同類方根，} ¹_{2 個} √² _加上 ¹₂ 個 √² 就是有 ¹ 個 √² ，所以合併化簡後就是 √² 。

(2)

√

√

⁽

⁾

說明：

√

√

√

√^{4 ，分母} √4 就直接

是 ² ，所以

√

√

√^{5 ，分子} √4 就直接

是 ² ，所以

√

還要再化簡。

分子分母同乘 √⁵ _，所以 ^{2 ×}√5

√^{5 ×}√⁵⁼

2√5

5 結果就是最簡根式了。

而 √⁵

2 等於 ¹₂√⁵ _{，也就是所謂的} ¹_{2 個} √⁵ _； ²√⁵

5 等於

2

5√⁵ _{，也就是所謂的 5}² _個 √⁵ _。

發現這兩個都是與 √⁵ _{有關的同類方根，} ¹_{2 個} √⁵ _{減掉 5}²

個 √⁵ _就是有 ⁽¹₂⁻²₅⁾ _個 √⁵ _，

(

5

)

(

10

)

重點提問

1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」？

2. 連連看，將同類方根連在一起。

√2 √24 √⁵

2 ³√7 √2

√^{12 ‧ ‧ ‧ ‧ ‧}

^{‧ ‧ ‧ ‧ ‧}

√³³ √^{5 2}√^{6 2}√² ₇¹√⁷ 3. 請問根式的加法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 ²√⁵⁺⁵√²⁻√⁵⁻³√² 。

4. 「 ⁴√⁸⁺√³⁻√²⁺²√³⁻√⁵ 」

(1)上面根式當中，請問有幾類同類方根？

(2)計算上面根式，並將結果化為最簡根式。

C.隨堂練習

1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) ³√³⁺²√³ (2) ⁶√⁶⁻√⁶ (3) √⁷⁺³√⁷

2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) ⁶√²⁺⁴√³⁺√²⁻²√³ (2) ⁶√¹³⁺³√⁷⁻⁵⁻⁶√⁷⁻√^{1 3}

3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √²⁷⁻√²⁴ (2) ²√⁷⁵⁺√¹⁰⁸

4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √³⁶³⁻²√²⁷⁺⁴√⁴⁸ (2) √⁵⁺√⁴⁵⁺√¹²⁵⁺√²⁴⁵

5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √²³⁺

√³

2 (2)

√

√

還是不太懂，

單元二：根式的運算

課文 D：根式的四則運算

接下來我們要來看根式的四則運算，既然是四則運算，當然有加減 跟乘除還有括號都存在。

我們先來看一下分配律的題目！

Ex1.計算 √³⁽√¹⁵⁺√²¹⁾ ，並化為最簡根式。

解：

√³⁽√¹⁵⁺√²¹⁾⁼√^{3 ×}√¹⁵⁺√^{3 ×}√²¹⁼³√⁵⁺³√⁷ 說明：

這其實是分配律，括號中的 √¹⁵ 跟 √²¹ 其實共同擁有外面的

√³ ，我們將 √³ 乘進去 √³⁽√¹⁵⁺√²¹⁾⁼√^{3 ×}√¹⁵⁺√^{3 ×}√²¹

我們可以用「集滿兩個換出去」， ¹⁵ 拆成 ^{3 ×5} 、 ²¹ 拆成

3 ×7

√^3×√¹⁵⁺√^{3 ×}√²¹ 所以 √^3×√¹⁵⁼³√⁵ 、 √^3×√²¹⁼³√⁷ ， 答案就是 ³√⁵⁺³√⁷ 。

Ex2.計算 ⁽³√⁵⁻²⁾⁽⁴√⁵⁺³⁾ ，並化為最簡根式。

解：

(₃√5−2) (₄√5+3)₌₃√5 ×4√5+3√5 ×3−2× 4√5−2× 3

¿60+9√⁵⁻⁸√^{5−6=54 +}√⁵ 說明：

這是兩個根式乘以兩個根式，就是利用分配律分別相乘，

(3√^{5−2) (4}√⁵⁺³⁾

第一個箭頭： ³√5 × 4√5 ，外面乘外面 ^{3 ×4=12} 、裡面乘裡面

√^5×√⁵⁼⁵ _{，所以第一個就是} ^{12× 5=60} _。 第二個箭頭： ³√^{5 × 3=9}√⁵ 。

第三個箭頭： ^{−2× 4}√⁵⁼⁻⁸√⁵ 。 第四個箭頭： ^{−2× 3=−6} 。 所以就是 ⁶⁰⁺⁹√⁵⁻⁸√⁵⁻⁶ ，

同類方根可以合併， ^60−6=54 、 ⁹√⁵⁻⁸√⁵⁼√⁵ ， 因此 ⁵⁴⁺√⁵ 就是答案。

1 2

3 4

1 2

3 4

接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目！

Ex3.計算下列各式，並化為最簡根式。

(1) ₍₃₋₂

√⁷⁾² (2) ₍₂

√⁵⁺³√²⁾² (3) ⁽√⁵⁺¹⁾⁽√⁵⁻¹⁾

解：

(1)

(3−2√^{7)2=32−2 ×3 ×2}√⁷⁺⁽²√⁷⁾²

¿9−12√^7+28=37−12√⁷ 說明：

這一小題其實就是利用差的平方公式： ^{(a−b)2=a2−2 ab+b2} 把 ₍₃₋₂

√^{7)2 括號內的 3 當成 a ， 2}√^{7 當成 b 。} 所以 ₍₃₋₂

√^{7)2=32−2 ×3 ×2}√⁷⁺⁽²√⁷⁾²

(a−b)²=a²−2 ab+b²

¿9−12√^7+28=37−12√⁷

(2)

(2√⁵⁺³√²⁾²⁼⁽²√^{5)2+2 ×2}√^{5× 3}√²⁺⁽³√²⁾²

¿20+12√10+18=38+12√¹⁰ 說明：

這一小題其實就是利用和的平方公式： ^{(a+b)2=a2+2 ab+b2}

(2√⁷⁾²⁼²√^{7 ×2}√^{7=4 ×7}

2× 3 ×2√⁷

把 ₍₂

√⁵⁺³√^{2)2 括號內的 2}√^{5 當成 a ， 3}√^{2 當成 b 。} 所以 ₍₂

√⁵⁺³√²⁾²⁼⁽²√^{5)2+2 ×2}√^{5× 3}√²⁺⁽³√²⁾²

(a+b)²=a²+2 ab+b²

¿20+12√10+18=38+12√¹⁰

(3)

(√⁵⁺¹⁾⁽√⁵⁻¹⁾⁼√^{52−12=5−1=4} 說明：

這一小題其實就是利用平方差公式： ⁽a+b ) (a−b)=a²−b²

√5 當成 ^a ， ¹ 當成 ^b 。 所以 ₍

√⁵⁺¹⁾⁽√⁵⁻¹⁾⁼√⁵²⁻¹²

(a+b ) (a−b)=a²−b²

¿5−1=4

看完一些根式的四則運算後，我們來看個奇怪分數： √^{5+12 。}

請問一下這個奇怪的分數： √5+1² 是不是一個最簡根式？

當然不是啊！看它的分母： √5+1 ，含有根式，而且實際上它還可 以繼續化簡，化簡到分母不含有根式。

文本B 當中有提到，當分母為一個 √^a 時，再乘一個 √^a 就會使得

「√^{a ×}√^a=a」 ，分母的根式就會消除。

如果我們 √^{5+12 分子分母同乘以} √⁵ _，會發現 ⁽√5+1)_×√5=5+√5 ，

(3√²⁾²⁼³√^{2 ×3}√²

¿9 ×2

(2√⁵⁾²⁼²√^{5 ×2}√⁵

¿4 × 5

2× 2√^{5 ×3}√²