第二章 文獻探討
第一節 貝氏網路
一、貝氏網路簡介
本研究中，主要使用貝氏網路作為推論的工具，首先簡介一下貝氏網路。貝 氏網路是機率圖形模式，可將教育測驗領域中不確定性，組合成模型（Vomlel, 2004）。使用圖形模式的優點是，它能很容易而且很直覺的表達變數之間的因果 關係，而關係的強度藉由機率來表達，也可作為未來推論的工具。
貝氏網路是一個應用十分廣泛的工具，特別是人工智慧系統、電腦化科學、
決策學、工程學。因為貝氏網路是以非循環有向圖 (directed acyclic graph, DAG) 為基礎，應用其變數之間的因果關係，與其相互影響的機率，所以，貝氏網路也 叫做貝氏信念網路(bayesian belief networks)、信念網路(belief networks)、因果關 係網路(casual networks)、機率網路(probabilistic networks)或者為知識地圖
(knowledge map)(蘇俊和，2002)。
貝氏網路將量化和質化的知識編成有意義的符號，量化的知識用條件機率表 (condition probability table, CPT)表示，質化的使用有向性非循環圖編碼。有向性 非循環圖暗示變數(
X
i)i∈V之間某些條件獨立關係（Vomlel, 2004）。貝氏網路結構圖是非循環有向圖所構成。所謂非循環就是無有向閉路、無有 向迴路及自我迴路之圖形稱為「非循環圖(acyclic graph)」。有向圖形是由頂點
(vertex)的集合。
V
={v
1,v
2,v
3,...,v
n}和有向邊(directed edge)的集合 }, , , ,
{
e
1e
2e
3e
mE
= L 所組成，簡寫成G
( EV
, )，令G
=G
( EV
, )(劉湘川，2004)。頂 點是構成圖形的點，也就是貝氏網路中的節點，而有向邊連結節點之間具有方向 性的線段。因此，一個完整的貝氏網路結構圖，包含二個部分，分別是頂點，或 稱為節點(node)，及有向邊。在貝氏網路中，節點對應於有限範圍中的任意的變數，在本研究中，節點分 為三種，包含技能，錯誤類型，及試題，而節點的類型，將在下一節作詳盡的介 紹，而節點與節點之間，利用有向邊連結，而有向邊的有無即代表其節點之間的 關係，是否為條件相依或條件獨立的情形，節點連結表示條件相依。
有向圖頂點之關係可藉「親屬關係」來表示。親屬關係包含親代(parents)、
子代(children)、後代(descendants pasts)、祖先(ancestors)、配偶(spouses)。若X→Y 則稱「X 為Y 之親代」且稱「Y 為X 之子代」。
二、貝氏定理
貝氏網路根據貝氏定理建立的，在本節內對貝氏定理簡介。
貝氏定理是:
) (
) ( )
| ) (
|
(
P B
A P A B B P
A
P
= (2.1)條件機率P(B|A)表示給予A的條件之下，B發生的機率。機率P(A)和機率P(B)表示A 和B各自發生的機率。P(B|A)，P(A)和P(B)在本研究中先用訓練的資料求得。
在多節點的貝氏網路中，令
U
=(X
1,X
2,X
3,...,X
n)為所有變數的範圍，其聯 合機率P
(X
1,X
2,X
3,...,X
n)為P
(U)，P
(U)可以從貝氏網路的條件機率中被明確的求出，只要在U中條件獨立依然成立，聯合機率分佈
P
(U)即為所有的條件機率的 乘積，其數學式子如下(Jensen, 2001)：)
機率，如下:
) (
) , , , ) (
| , , (
4 4 3 2 1 4
3 2
1
P X
X X X X X P
X X X
P
= (2.4)三、建立貝氏網路模型的步驟
總結以上的觀念，要建立貝氏網路來做推論，必須取得研究資料樣本後，先 根據資料及學科專業知識的分析，建立一個完整的貝氏網路結構模型、再根據資 料來進行推論。建立模型的過程如圖2-2所示，分成以下三個步驟
圖 2- 2 建立貝氏網路模型的流程
(一) 根據研究資料，設立貝氏網路節點
根據所設定的研究資料，進行學科專業知識探討與分析，建立節點與節點之 間的連線關係，其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識，組成完整的貝氏 網路結構。
(二) 設定模型中，節點的機率分布
對問題中，計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。
設定研究資料 建構貝氏網路
驗證貝氏網路模型
設定模型中，節點的 機率分布
觀測 資料
以觀測的資料當證據，透過貝氏網路推論，獲得所感興趣的未觀測節點後驗機率 分布。
(三) 評估後驗機率的正確性
將模型填入這些資料適合嗎？這後驗機率對建立模型中所要知道的節點推 論是否正確？
根據以上三個步驟的檢視後，取得一個完整而且最合適的貝氏網路模型，將 可根據此貝氏網路模型來進行推論。