第四章 模型建構
第三節 保單年度利率模型
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第二節 保單年度利差模型
由先前的資料分析發現利差對於脫退率存在明顯之趨勢，因此參考過去文獻 提及之 Arctangent model : qs = a + b Arctangent (m∆ − n)，a, b, m, n 為參數，
∆為利差，Arctangent 為反正切函數，於模型中加入保單年度因子，保單年度利 差模型如下:
SRi,t= a + b ∙ InverseGaussian Modeli( μ , 1 λ⁄ ) + c ∙ Arctangent (m∆i,t− n)
∆i,t = rt− rt−i，即為投保後第i 年，且第 t 年度時之利率與加保年利率之差；
a 、 b 、 c 、 m 、 n 、μ、 1 λ⁄ 為 欲 估 計 之 參 數 ， 並 以 最 小 平 方 法 估 計 之 : mina、b、c、m、n、μ、1 λ⁄ ∑(yi,t− SRi,t)2。三種險種之參數估計與 AIC、BIC 值如表 4-2、表 4-3，其 AIC、BIC 值明顯較之前的保單年度模型之配適為小。由 資料結果可看出，生死合險之結果最佳；定期壽險的配適結果最差。
表 4-2 保單年度與利差模型之估計值
a b c m n 𝜇 1 𝜆⁄
生死合險 0.60207 0.94671 0.59670 2.17858 1.63549 10.7208 4.62104 終身壽險 0.04138 0.2637 -0.04597 -3.3582 -0.72379 3.02016 9.44338 定期壽險 0.03403 0.5175 -0.0596 4.5401 -0.2420 3.09652 10.8372
表 4-3 保單年度與利差模型之 AIC、BIC 值
AIC BIC
生死合險 -4637.181 -4606.128 終身壽險 -2707.749 -2681.305 定期壽險 -2363.172 -2336.728
第三節 保單年度利率模型
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本文同樣也將其加入建模的考量，下式為保單年度利率模型之假設:
SRi,t= a + b ∙ InverseGaussian Modeli( μ , 1 λ⁄ ) + c ∙ ri,t
ri,t 為第 t 年度保單有效後第 i 年之利率，a、b、c、μ、 1 λ⁄ 為待估參數。
參數估計結果如表 4-4 至表 4-5，其 AIC、BIC 結果略較保單年度利差模型 小，但差異並不大，可能是由於在尚未去除第一保單年度的情況下，脫退率對利 率較利差為敏感，而利差則是在省略第一保單年度下脫退之不理性保戶才出現趨 勢。此外，同保單年度利差模型，其估計結果為生死合險最好；定期壽險最差。
表 4-4 保單年度與利率模型之估計值
a b c 𝜇 1 𝜆⁄
生死合險 -0.00904 1.064 0.3327 14.8534 4.56098 終身壽險 0.0112 0.28011 -0.0399 3.0959 9.0496 定期壽險 0.03032 0.55024 -0.3517 3.2002 10.2958
表 4-5 保單年度與利率模型之 AIC、BIC 值
AIC BIC
生死合險 -4639.206 -4617.025 終身壽險 -2707.287 -2688.399 定期壽險 -2364.364 -2345.475 第四節 羅吉斯迴歸
由第三章分析的部分發現有無體檢以及保額大小對脫退率皆有影響，因此本 研究於模型部份同時考慮各影響因子以羅吉斯迴歸模型建立脫退率模型:
ln � SRi,t
1 − SRi,t� = a1+ a2∗ Amounti,t+ a3∗ ∆i,t+ a4∗ ri,t+ a5∗ Healthi,t+ a6∗ Policyeari,t
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SRi,t為脫退率、ri,t為利率、∆i,t為利差、Amoumti,t為平均保額、Healthi,t為體檢率
、Policyeari,t為保單年度，a1、a2、a3、a4、a5、a6為截距項以及各解釋變數之 係數。
表 4-6 為三險種羅吉斯迴歸模型之係數估計值以及標準誤差，生死合險部分，
體檢率以及平均保額與脫退率呈正向關係，與第三章之分析結果不同，但其顯著 性也較低；終身壽險與生死合險不同，利差與利率之顯著性較低，平均保額與體 檢率與前數分析一致，且具顯著性；定期壽險部分則是利差較具顯著性。三險種 於保單年度皆與脫退率呈負向關係，且皆具顯著性。表 4-7 為羅吉斯迴歸模型之 AIC、BIC 值，可看出其於三種險種皆較保單年度利率模型以及保單年度利差模 型差，但優於保單年度模型，而其中生死合險之估計結果最佳，定期壽險最差。
表 4-6 三種險種於羅吉斯迴歸模型之估計值與標準誤差
生死合險 終身壽險 定期壽險
估計值 標準誤差 估計值 標準誤差 估計值 標準誤差 常數 -2.532 *** 0.153 -2.348*** 0.145 -1.709*** 0.217 平均保額 0.002* 0.003 -0.004*** 0.001 -0.002* 0.001 利差 4.867*** 1.118 2.814* 1.896 -7.307*** 2.645 利率 8.549 *** 1.427 2.758* 2.309 -3.690* 2.698 體檢率 0.282* 0.214 -0.770*** 0.259 0.299* 0.168 保單年度 -0.111*** 0.005 -0.125*** 0.008 -0.139*** 0.012
表 4-7 三險種於羅吉斯迴歸模型之 AIC、BIC 值
AIC BIC
生死合險 -1103.5757 -1076.4785 終身壽險 -460.66933 -437.33606 定期壽險 -346.92507 -323.5918
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第五章 脫退率於準備金之應用
參考 Tsai et al. (2002)及 Tsai et al. (2009)，討論脫退率對準備金之影響。
第一節 公司現金流量之模擬
假設公司的保單中目前包含了100,000張20年期保額為1000元之生死合險，
發行的對象為30歲的男性，且考量利差所帶來之效果，並假設於接下來20年間每 隔5年將新加入50,000張保單。惟二會造成保單終止的因素為: 死亡以及脫退。保 額將在保戶死亡的當年年末或者20年滿期時給付，令被保險人於x歲至x+1歲的死 亡率為q(m)x , 30 ≤ x < 50，參考HMD台灣死亡率資料，以Lee-Carter預測未來死 亡率，並考量世代效果，保費依據此死亡率與預定利率3%為基礎計算而得，第 一年為36.989，第五年為36.936，第十年為36.886，第十五年為36.84，第二十年 為36.796，於年初時繳交。若被保險人於第t年，保單有效後第i個保單年度時脫 退，則給付他Si的解約金，相當於 iV30，保單有效後第i年的保單價值準備金。
接著，令Dx(m)為在x至x + 1歲間死亡的人數；Di(s)為i至i + 1個保單年度間脫退的
人數；以及C(τ)(x)為在x歲時存活的人數。則公司現金流量的現值 L 可表示為下 式:
L = ∑49x=30(1000 × Dx(m)× vx−30+1) + ∑ �S20i=1 i× Di(s)× vi�+ 1000 × C(τ)(50) × v20− �∑49x=30P × C(τ)(x) × vx−30�
其中，vx−30= � 1 if x = 30
1
(1+r1)(1+r2)⋯(1+rx−30) if 30 < 𝑥 ≤ 50，r1為第一年的市場年利率。
並假設Dx(m)及Di(s)為參數(C(τ)(x), qx(m))及(C(τ)(x) − Dx(m), SRi (i))之二項分配。由 於準備金為保險公司負債的重要項目，探討不同情境下準備金的分配，主要是希 望了解脫退率的不同為準備金帶來的影響。因此本研究參考Tsai et al. (2002)之脫 退率應用，於各情境下模擬10,000次，數值結果如下述分三層呈現，欲探討死亡
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率風險、利率風險、脫退率風險存在時對公司準備金之影響。
第一層分析只有死亡率風險存在的情況，以二項分配參數(C(τ)(x), q(m)x )模擬 死亡人數Dx(m)，但假設市場利率固定為 3%，脫退率為 0% ；第二層除了死亡率 風險外亦加入利率風險於其中，市場利率以 CIR 模型模擬；最後第三層於死亡 率風險、利率風險外，再納入脫退率風險，脫退率以本研究第四章所建立之四種 脫退率模型模擬。
第二節 數值結果
數值結果如表 5-1 至表 5-2，各種模擬之敘述統計於附表 5-1 與附表 5-2，當 只有死亡率風險存在時，由於保單皆為生死合險，死亡率風險可藉自然避險分散 風險，因此標準差最小；加入利率風險後，由於其為無法分散的系統性風險，變 異較大，其模擬結果標準差由原來只有死亡率風險時的 27,850 增加至 7,768,974，
且其所須提存之準備金平均值由 4,795,166 增加至 7,736,298。最後加入脫退率風 險，以本研究所建立之保單年度模型、保單年度利差模型以及保單年度利率模型 納入準備金之模擬，其模擬結果分別為表 5-1 中之『死亡率、利率、脫退率(a)』、
『死亡率、利率、脫退率(b)』以及『死亡率、利率、脫退率(c)』。
『死亡率、利率、脫退率(a)』的部分，脫退率模型只考量了保單年度於 其中，因此大部分脫退的情況皆發生在保單年度第 1 年，保險公司也因此減少 許多用來預防未來利率風險之準備金，準備金平均值由只有死亡率及利率風險 存在時的 7,736,298 降至 863,930，且標準差亦降至 3,729,952。『死亡率、利率、
脫退率(b)』的部分則由於脫退率模型同時考量了保單年度以及利差因子，保 戶並不是這麼集中於保單年度第一年脫退，因此只會部分降低利率帶來的風險，
其準備金的平均值只降低至 6,864,368，但標準差依然有明顯的減少，由
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相似，且平均值及標準差皆較其略低，準備金平均值為 5,150,263，標準差為 3,898,581。最後，『死亡率、利率、脫退率(d)』之脫退率模型則以羅吉斯迴歸 方法加入利率、利差、平均保額、體檢率以及保單年度幾項解釋變數，由參數 估計結果可看出生死合險脫退率受新增加之保額以及體檢因子影響較不顯著，
因此結果與『死亡率、利率、脫退率(b)』、『死亡率、利率、脫退率(c)』差異 不大，其準備金平均值較上述兩者為低，標準差則略高。
表 5-1 六種情境下準備金之平均值、中位數、標準差、偏態、峰態 平均值 中位數 標準差 偏態 峰態 死亡率 4,795,166 4,795,342 27,850 -0.018 2.96 死亡率、利率 7,736,298 7,923,307 7,768,974 -0.112 2.91 死亡率、利率、脫退率(a) 863,930 954,902 3,729,952 -0.11 2.91 死亡率、利率、脫退率(b) 6,864,368 6,920,400 3,935,436 -0.078 2.89 死亡率、利率、脫退率(c) 5,150,263 5133142 3,898,581 0.046 2.91 死亡率、利率、脫退率(d) 4,906,845 4,858,747 4,100,006 0.06 2.91
脫退率(a):考量保單年度因子；脫退率(b):考量保單年度因子以及利差因子；脫退率(c):考量保單 年度因子以及利率因子；脫退率(d):考量保單年度、利率、利差、體檢率、平均保額等因子
表 5-2 六種情境下準備金之第 95 百分位數、(第 95 百分位數-平均值)/標準差 第 95 百分位數 (第 95 百分位數-平均值)/標準差
死亡率 4,840,598 1.63
死亡率、利率 20,273,952 1.61
死亡率、利率、脫退率(a) 6,902,784 1.62 死亡率、利率、脫退率(b) 13,341,268 1.65 死亡率、利率、脫退率(c) 11,643,324 1.67 死亡率、利率、脫退率(d) 11,829,801 1.69
脫退率(a):考量保單年度因子；脫退率(b):考量保單年度因子以及利差因子；脫退率(c):考量保單 年度因子以及利率因子；脫退率(d):考量保單年度、利率、利差、體檢率、平均保額等因子
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第六章 結論與建議
本研究分析台灣壽險資料，於第三章觀察各種因子對脫退率之影響，發現下
述結果 : 終身壽險及定期壽險之男性脫退率高於女性，而生死合險之女性脫退 率較高；終身壽險及定期壽險部分，保額較低的保戶，脫退率較高；三險種之無 體檢保戶脫退率皆較高；三險種之季繳保戶脫退率皆較其於繳別為高；三險種之 脫退率皆隨保單年度有逐年遞減的趨勢，而此逐年遞減的趨勢主要來自於停效因 子；交叉分析不同觀察年度以及保單年度，發現不同觀察年度下之脫退率皆隨保 單年度呈現遞減趨勢，生死合險之脫退率更隨觀察年度遞減；去除保單年度第 1 年後，利差與脫退率存在一正向關係，符合過去利率假說所述；生死合險與終身 壽險之脫退率於利率 5.5%時特別高，且於 6%之後呈現一向上趨勢，而定期壽險 之脫退率則於利率 7%時特別高，此趨勢主要是由保單年度第一年之脫退率所造 成。
根據上述分析，本研究於第四章建立脫退率模型，首先，將最具趨勢之保單 年度納入建模考量，以Lognormal、Gamma、InverseGaussian、Poisson等模型進 行配適，發現InverseGaussian於三險種之配適結果皆最佳，因此以其建立保單年 度模型；接著，將過去利率假說所考量之利差因子納入考量，參考反正切利差模 型建立保單年度利差模型；亦將本研究中與脫退率呈正向關係之利率加入其中，
建立脫退率利率模型；最後更考慮體檢以及平均保額兩因子以羅吉斯迴歸方法建 立模型。
第五章應用的部分參考 Tsai et al. (2002)之過程，分三層模擬死亡率、利率以 及脫退率對準備金之影響，並於脫退率部分納入本研究所建立之脫退率模型。死 亡率風險可藉風險池達到分散風險的效果，因此準備金分配十分集中；而利率風 險為系統性風險，其準備金分配的平均值以及標準差皆較只有死亡率風險時高出
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風險時低，而三種脫退率模型中又以保單年度模型帶來的影響最大，由於大多數 的保戶皆在保單年度第 1 年脫退，公司所須提存的準備金也因此特別低；而保單 年度利差模型以及保單年度利率模型則因加入利率或利差之效果，脫退率並不會 完全著重在保單年度第 1 年，因此，雖然依然降低了未來之利率風險，其影響也
風險時低，而三種脫退率模型中又以保單年度模型帶來的影響最大，由於大多數 的保戶皆在保單年度第 1 年脫退，公司所須提存的準備金也因此特別低；而保單 年度利差模型以及保單年度利率模型則因加入利率或利差之效果，脫退率並不會 完全著重在保單年度第 1 年，因此，雖然依然降低了未來之利率風險，其影響也