第二章 文獻回顧
2.1 資料包絡分析法
2.1.1 CCR 模式
(Charnes, Cooper and Rhodes 1978)提出資料包絡分析的 CCR 模式衡量擁有 多項投入指標與多項產出指標之決策單位，其觀念可溯自 (Farrell 1957)對生產效 率所提出的衡量方法。此方法的評估程序則是由 DMU 輪流作為被評量的主角，
以 DMUk表示。在各決策單位的效率值最高為 1 的條件下，制定對他一組各指標 的權重，使得主角有最高的效率值。若在評量過程中主角獲得效率值為 1，稱之 為高效；反之獲得效率值小於 1，稱之為低效。CCR 模式在固定規模報酬的假設 下將 DMU 區分成高效以及低效兩群。令 m 和 s 分別代表投入指標與產出指標的 個數，urk、vik分別代表主角 DMUk的第 r 項產出指標與第 i 項投入指標之權重，
x
ij、yrj分別代表 DMUj之第 i 項投入指標與第 r 項產出指標的已知值。對評量 DMUk的效率，以下列模式（P1）表示之，其中 k = 1,, n，亦即此模式需進行 n 次：
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之為正的阿基米德數（positive Archimedean infinitesimal constant）。而我們探討 投入與產出的因果關係，若投入指標的值（xij）越小對效率值越有利時，表示該 指標具有望小特性，稱為望小指標。換言之，若產出指標的值（yrj）越大對效率 值越有利時，表示該指標具有望大特性，稱為望大指標。由於模式（P1）的目標函數為分數規劃型式，求解不易，因此將模式經由固 定分母的值轉換成線性規劃，將分母設限為 1，如同模式（P2）。模式的型態是 以投入導向（input-oriented）的 CCR 模式探討效率，其考量係在於要以目前的 產出水準下，應利用多少的投入量，才能夠成為相對有效率。
上述模式（P2）雖然求解較為方便，但其限制式個數仍多，因此可以將其轉
另外，可從產出導向（output-oriented）的 CCR 模式來評估效率，其考量係 在於要以目前的投入水準下，應利用多少的產出量，才能夠成為相對有效率。依 效率的定義來說，即是實際投入與實際產出的比值，可稱為產出導向效率，其比 率型式如模式（P4）所示：
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（P6）DEA-CCR-產出導向-對偶模式 造成低效的情況。 (Banker, Charnes and Cooper 1984)將 CCR 模式修正為在生產 規模報酬可以變動的情況之下，來衡量各 DMU 之技術效率及規模效率，稱之為
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（increasing returns to scale, IRS）；當
u
o為零時，表示生產固定規模報酬（constantreturns to scale, CRS）；當
u
o為正值時，表示生產規模報酬遞減（decreasing returns to scale, DRS）。同樣為了計算上的簡便且增加解釋上的資訊，將模式（P8）轉換 成對偶模式（P9）。
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(Adler, Friedman and Sinuany-Stern 2002)針對早期 DEA 排序研究作了回顧，
分成六類來探討。第一類為利用交叉效率矩陣的評估方式，讓自我與同儕之間相
因決策者在對一些方案探討下必頇挑選其中最好。另外，亦有時要對決策單 位分配獎勵金，此時不止是對高效去探討，對低效也需要排序。因此在 DEA 架 構下我們對特定對象排序的方法大致分為三種類型探討，第一類型為高效的決策 單位排序、第二類型為低效排序、第三種類型為整體決策單位排序。
第一類型關於高效群排序中，早期最著名是 (Andersen and Petersen 1993)所 提出僅對高效排序的方法。此方法乃將高效類的決策單位分別從資料集合中剔 除，以其餘的決策單位為基礎，以被剔除的決策單位作為主角，算出它的效率值 可能大於 1，此值稱為超高效，主要藉由得到不同超高效來辨別高效群以作為排 序的依據。後續的研究發現在評估上可能遇到無可行解的問題， (Thrall 1996) 注意到將高效的 DMUs 代入超高效 CCR 模式中可能發生此情形。對此情況 (Mehrabian, Alirezaee and Jahanshahloo 1999)建議一修正型的對偶型式的模式來 確認是否為可行解。然而 (Cook, Kress and Seiford 1992)利用權重的限制，在模 式中分析對優先順序條件設限區分出 DEA 中的高效 DMUs 的優劣順序。
(Torgersen, Forsund and Kittelsen 1996)是利用標竿（benchmark）排序方法，以量 測低效 DMUs 以高效 DMUs 為參考標竿的次數來排序高效 DMUs。上述的介紹 為對高效排序的方法。
第二類型是探討低效群排序。 (Bardhan, et al. 1996) 在對偶 DEA 模式下利 用 測 量 低 效 優 位 （ Measure Inefficiency Dominance, MID ） 指 標 來 排 序 低 效 DMUs，測量的方式是根據帄均在所有投入項與產出項的差額與指標值的比值來 作衡量。
第三類型是對整體全排序。 (Doyle and Green 1994)的研究中以交叉效率
（cross efficiency）的概念來進行排序。依據同儕評估的觀念對交叉效率直觀的
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瞭解且討論每個單位的相對價值；不同於 DEA 的 CCR 模式自我評估的觀念。以 不同 DMUk在 CCR 模式下所選擇的權重來評估自己的相對效率值。將不同 DMUk
下所計算的效率值加總後帄均，求得交叉效率的帄均，作為排序的基準。假設
kj 表示以 DMUk所選擇的最佳的權重值來衡量 DMUj的效率值，每個 DMUj會得到n 個效率值，以
j表示各 DMUj評估下所得到效率值的帄均，則
nk kj
j
n, j ,..., n.
1
1
/ （13）以下列說明第 j 個決策單位的求解步驟：
（1）以 CCR 模式或其他 DEA 模式衡量 DMUk之效率以及所對應的權重。
（2）將 DMUk所對應的權重值，代入計算其他 DMUj的交叉效率值。
（3）最後，可計算出 DMUj在不同主角下所得的交叉效率以及求得帄均，
稱之為帄均交叉效率值
j，作為排序的基準。而 (Hashimoto 1997)發展 DEA 的超高效模式及採用保證區域法（assurance region），為了完全排序整個 DMUs。由上述說明，本研究以三種類型去探討，主 要區別出在 DEA 模式運作下特定對象的決策單位作討論。
根據近期的研究發現，DEA 排序仍是 DEA 不足的地方，主要原因是並沒有 在相同的基準下去比較，而所得效率值是相對的，所以無法去判別所有的 DMUs 的優劣順序。針對以著名超高效模式來排序的方法， (Banker and Chang 2006) 進一步討論。藉由利用超高效模式進行模擬離群值檢測和高效群排序兩種不同評 估方式的詴驗，以統計迴歸分析證實超高效模式不適合用在排序上。從各研究的 討論上皆認為 DEA 的效率值僅適用於分群指標，而不適用於在排序上。