第四章 實證分析與結果
第一節、 資料分析
壹、 資料來源
本研究採用實證資料為臺灣中部某一中學之數學、理化、生物、地球科學畢 業成績，及其國中基本學力測驗自然科成績。因各學科畢業成績，常因授課老師 評分標準不一的影響導致同樣能力值的學生，在不同班級可能得到不同之分數。
因此採用該中學共60 筆資料（如附錄）進行預測比較。
貳、 共線性診斷
當迴歸模式中自變數之間相關程度高，計算迴歸係數ˆ時會使X X 行列式接 近於零，迴歸係數有較大的抽樣誤差導致估計結果不精確，甚至迴歸係數與自變 數之相關係數正負號不同等問題，此種現象稱為共線性(collinear)。
本研究欲進行複線性迴歸模式、脊迴歸模式及基於單調測度之 Choquet 積分 迴歸模式的預測效力比較，因此需先檢驗所使用之資料是否具有共線性，若資料 無共線性的情況則無法進行模式的比較。
以下為一些常用檢驗自變數之間是否具有共線性的準則：
一、 相關係數(coefficient of correlation)
計算兩變數間的相關係數rij，若rij 0.7表示兩變數關聯度高，具有共線性存 在的可能性；然而相關係數高表示具有共線性，但具有共線性不一定代表相關係 數高，因而此指標不為必要條件(Kmenta, 1971)。
二、 變異數膨脹因子(variance inflation factor, VIF)
檢驗自變項是否具共線性可以使用容忍值(tolerance)或變異數膨脹因子來評 估，其公式如下：
1 Ri2
tolerance 1 2
1 1
Ri
tolerance
VIF
其中Ri2為以第 i 個自變數為應變數來預測時，該自變數可被其他自變數解釋 的比例。VIF 為容忍值之倒數，因此當Ri2 0時，VIF1代表該變數與其他自變 數之間無相關；而Ri2 1時，VIF代表明顯的共變性現象。一般以 VIF 高於 10 表示具有高度共線性，或以VIF遠大於1 表示有嚴重的共線性問題。
p VIF VIF
p
i
i 1
三、 條件指標(condition index, CI)
整體迴歸模式的共線性診斷可以經由相關係數矩陣的特徵值(eigenvalues)和 條件指標的運算進行判定。CI 值越高表示共線性問題越嚴重，一般以超過 30 表 示中度共線性程度，而超過100 表示嚴重的共線性(Belsley, Kuh, & Welsch, 1980)。
p k
CI
k
k max , 1,...,
其中 為相關係數矩陣之特徵值。 k
本節以統計套裝軟體spss 進行共線性診斷，各表格列示如下：
表4-1 各科成績與自然科成績之相關係數表
基測-自然科 數學 理化 生物 地球科學
基測-自然科 — 0.589** 0.752** 0.678** 0.622**
數學 0.589** — 0.837** 0.729** 0.766**
理化 0.752** 0.837** — 0.858** 0.885**
生物 0.678** 0.729** 0.858** — 0.780**
表4-2 迴歸模式摘要表
未標準化係數
標準化
係數 共線性統計量
B 之估
計值 標準誤差
Beta 分配
t 顯著性
允差 VIF (常數) -37.268 12.777 -2.917 0.005
數學 -0.14 0.178 -0.126 -0.791 0.433 0.295 3.384 理化 1.163 0.325 0.912 3.572 0.001 0.116 8.618 生物 0.234 0.275 0.144 0.850 0.399 0.262 3.815 地球科學 -0.311 0.292 -0.201 -1.065 0.292 0.213 4.696 n=60 df=4 R2=.584 R2a=.554 F=19.328**
**p<.01.
表4-3 特徵值與條件指標 維度 特徵值 條件指標 1 4.985 1.000 2 .010 22.489 3 .003 41.306 4 .001 58.241 5 .001 78.789
各科成績與自然科成績之相關係數呈現於表4-1，其相關係數皆大於 0.5 為中 等程度相關，而各科成績之間的相關係數皆大於 0.7 為高度相關且檢定結果達到 顯著，表示各科之間極有可能具有共線性的存在；而從表4-2 迴歸模式摘要表來 看，整體迴歸模式達到顯著但除了理化以外的迴歸係數均不顯著，且數學和地球 科學的迴歸係數之正負符號與相關係數不同。雖然各科的VIF 值皆不超過 10，但 VIF=5.1282>1 並且從表 4-3 可看出有 3 個特徵值的 CI 值超過 30，因此綜合上述 結果發現此資料有共線性問題存在，可以應用於本研究所使用的模式。