資料包絡分析法

義大利經濟學家伯瑞圖（Pareto）提出非凌駕解（non-dominance solution）

的概念，基本上認為橘子和蘋果是無法相比的，但是若某甲擁有二個橘子與 三個蘋果，則優於某乙的一個橘子與二個蘋果，雖然橘子與蘋果不能相比，

但是某甲的橘子與蘋果數量多於某乙，所以某甲優於某乙。此非凌駕解稱之 為伯瑞圖最佳解（Pareto optimality），此種概念對於受評者是最有利的評比方 式，因此許多的學者專家們一直努力由此概念鑽研，希望發展出評比的方法。

經濟學提到將不同的投入組合所能獲得的最大產出稱之為生產函數，然而在 現行的技術上，在經營效率皆無法獲得百分之百的效率，因此不可能超過生 產函數所定義的最大產量。

而此定義也有人稱為生產前緣（production frontier），Forsund 等人將以 生產前緣為概念的評估效率的方法，分為有母數（parametric）和無母數

（non-parametric）兩大類【9】。所謂有母數是指生產函數可以以單一明確的 函數形式表示，以 Aigner 和 Chu 為代表，近期較少使用。另外，所謂無母數 是指生產函數無法以單一明確的函數形式來表示，而無母數的代表是，Farrell 發表一篇生產效率衡量（the measurement of productive）的文章，提出以非預 設生產函數替代預設函數來預估效率值，建立數學規劃模式，因此 Farrell 的 研究成為了資料包絡分析法非預設生產函數衡量效率方式的雛形，然而此模 式僅限於處理單一產出的情況。

後來 Charnes,Cooper and Rhodes 發表一篇 Measuring the Efficiency of Operational Making Units 的文章，提出規模報酬固定下，當投入量等比例增 加時，產出量也應等比例增加，因此在構建生產函數的過程中，因為所有的 資料都被包絡在生產函數之下，所以學者將此方法稱之為資料包絡分析法

（data envelopment analysis，簡稱為 DEA），而此模式最好的一點是加入了伯 瑞圖最佳境界的概念。後來 Banker, Charnes and Cooper 又提出規模報酬可變

動下效率值的計算模式。

一、Farrell 效率觀念

Farrell 在他的研究中，提出三個主要的基本假設：

（一）生產前緣（production frontier）是由最有效率的單位所構成，無效 率的單位則落在生產前緣之下。

（二）固定規模報酬(constant return to scale, CRS)增加等比例單位的投 入，會得到等比例單位的產出。

（三）生產前緣突向原點(convex)，每一點的斜率皆為負值。

在此先來說明總生產效率（Overall Efficiency）、技術效率（Technical Efficiency）、規模效率（Scale Efficiency）與配置效率(Allocative Efficiency) /價格效率 (Price Efficiency)。

在說明總生產效率等於技術效率與配置/價格效率兩者之乘積的計算式 之前，先來向大家說明總生產效率（Overall Efficiency）、技術效率（Technical Efficiency）、規模效率（Scale Efficiency）與配置效率(Allocative Efficiency) / 價格效率 (Price Efficiency)的定義是什麼？如表 3.5 所示【29】：

表 3.5 效率說明表

名稱 定義

總生產效率（Overall Efficiency） 總生產效率等於技術效率與配置/價 格效率之乘積。

技術效率（Technical Efficiency） 用來衡量生產單位是否以最少之 投 入，來達到其產出，若生產單位可以 維持在相同的產出水準之下，減少其 多餘之投入，則將可以增加技術效率。

規模效率（Scale Efficiency） 1.在於衡量生產單位，是否以長期之最 適生產規模從事生產。

2.規模效率＝固定規模報酬之技術效 率/變動規模報酬之技術效率

配置效率(Allocative Efficiency) /價格 效率 (Price Efficiency)

在固定規模報酬之下，配置(價格)效 率將投入之單位價值(成本)納入考 量，衡量生產單位是否以最小成本之 投入組合來從事生產。在既定之投入 項相對價格下，若選擇最小成本之投 入組合，將可以達到配置(價格)效率。

資料來源：【29】

總生產效率等於技術效率與配置/價格效率兩者之乘積。

OE ＝ TE X PE （3.3.1）

OE：總生產效率 TE：技術效率 PE：價格效率

以圖3.5來說明這三者之間的關係【9】。

圖3.5 Farrell的效率前緣圖 資料來源：【9】

假設某廠商組合運用兩種投入項X1與X2，而生產一種產品為產出 項Y ，在固定規模報酬下，II＇為此廠商技術效率下的等量曲線，表示 最小的X1與X2投入項組合，可以生產一單位的產出項Y。而KK＇為在 既定之投入項相對價格下，選擇最小成本之X1與X2投入項組合的價格 效率曲線。看圖3.1，C點的技術效率為OB/OC，且價格效率為OA/OB，

因此，總生產效率為OA/OC，所以總生產效率有另一個表示式：

OC OA

＝

OC OB

×

OB

OA

（3.3.2）

以此觀點看來，若想改善C點的技術效率，在同樣單位的產出項Y 下，應該先減少投入項X1與X2，使得C點移向B點的位置（0C綫與II’曲 線的交點）。再來就是改善C點的價格效率，由B點移向D點，重新組合 投入項X1與X2，使之投入量最小（II’曲線與KK’曲線的交點），才能符 合總生產效率等於技術效率與價格效率兩者之乘積。

二、CCR 模式【18】

（一）投入導向

Ek

＝

Max

∑

∑

=

= m

i

ik i s

r

rk r

X v

Y u

1

1 （3.3.3）

s.t.

∑

∑

=

= m

i

ij i s

r

rj r

X v

Y u

1

1

≤ 1 , j = 1 ,..., n

（3.3.4）

^{u r , v i ≥ ε > 0 , r = 1 ,..., s , i = 1 ,..., m}

Ek 表示第 k 個被評估單位的效率值

Xik表示第 k 個 DMU 的第 i 個投入項的投入值 Vi 表示第 k 個 DMU 的第 i 個投入項的加權值 Yrk表示第 k 個 DMU 的第 r 產出項的產出值 ur 表示第 k 個 DMU 的第 r 產出項的加權值

ε 為非阿基米德常數（non-Archimedean small number），實際 應用時通常設為 0.0001 或者 0.000001，表示任何的指標均不可忽略 不計。

將（3.3.3）的目標函數分母設限為 1 時，使分數線性規劃

（fractional linear programming）的形式，轉化為線性規劃（linear programming）的形式：

Max hk

＝

^{s r rk}

r

Y

∑ u

= 1

（3.3.5）

s.t.

i ik m

i

X

∑ v

= 1

＝1

（3.3.6）

r rj s

r

Y

∑ u

= 1

－ i ij m

i

X

∑ v

= 1

n j 1 ,..., ,

0 =

≤

（3.3.7）

^{u r , v i ≥} ε ^{> 0 , r = 1 ,..., s , i = 1 ,..., m}

任 何 一 個 的 線 性 規 劃 問 題 ， 都 存 在 有 一 對 偶 問 題 （ dual problem），將（3.3.5）轉換為對偶問題的形式：

Min hk

＝

^{θ −ε}

（ _∑

⁻

= i m

i

s

1

＋ ∑

⁺

= r s

r

s

1

）

（3.3.8）

s.t. ∑

= n

j

ij j

X

1

λ

－ θ X ^ik － s ⁱ

⁻

＝ 0 i = 1 ,..., m

^（3.3.9）

∑

= n

j

rj j

Y

1

λ

－ s ^r

⁺

＝ Y ^{rk r = 1 ,..., s}

^（3.3.10）

^{λ j , s i}

⁻

^{, s r}

⁺

^{≥ 0 , r = 1 ,..., s , i = 1 ,..., m , j = 1 ,..., n}

θ不受限

此式中

s ⁱ

⁻

^, s ^r

⁺ 分別為差額變數（slack variable）和超額變數

（surplus variable），θ是對應於（3.3.7）中的限制式，θ值不受限。

此外，無效率的單位若要達到最佳境界的效率目標，由（3.3.9）

與（3.3.10）的限制式中，可以做以下的調整：

X ik

Δ ＝ X ^ik － （ θ

^*

X ^ik － s ⁱ

^−*

） i = 1 ,..., m

（3.3.11）

Y rk

Δ ＝（ Y ^rk ＋ s ^r

^+*

_）－ Y ^{rk r = 1 ,..., s}

^（3.3.12）

（二）產出導向

Min

g

k

1

＝

∑

∑

=

= m

i

rk r m

i

ik i

Y u

X v

1

1 （3.3.13）

s.t.

∑

∑

=

= s

r

rj r m

i

ij i

Y u

X v

1

1

≥ 1 , j = 1 ,..., n

^（3.3.14）

m i

s r

v

u r , i ≥ ε > 0 , = 1 ,..., , = 1 ,...,

將（3.3.13）的目標函數分母設限為 1 時，使分數線性規劃

（fractional linear programming）的形式，轉化為線性規劃（linear programming）的形式：

Min

g

k

1

＝

i ik m

i

X

∑ v

= 1

（3.3.15）

s.t.

^{r rk}

s

r

Y

∑ u

= 1

＝1

（3.3.16）

ij i m

i

X

∑ v

= 1

－

^{s r rj}

r

Y

∑ u

= 1

n j 1 ,..., ,

0 =

≥

（3.3.17）

m i

s r

v

u ^r , ⁱ ≥ ε > 0 , = 1 ,..., , = 1 ,...,

任 何 一 個 的 線 性 規 劃 問 題 ， 都 存 在 有 一 對 偶 問 題 （ dual problem），將（3.3.15）轉換為對偶問題的形式：

Min

g k

1 ＝

^{θ +ε}

（ _∑

⁺

= i m

i

s

1

＋ ∑

⁻

= r s

r

s

1

）

（3.3.18）

s.t. ∑

= n

j

rj j

Y

1

λ

－

θ

Y

^rk

－ s ^r

⁻

＝ 0, r = 1 ,..., s

（3.3.19）

∑

= n

j

ij j

X

1

λ

＋ s ⁱ

⁺

＝ X

^ik

^{i = 1 ,..., m}

^（3.3.20）

n j

m i

s r

s s i r

j ,

⁻

,

⁺

^≥ 0 , = 1 ,..., , = 1 ,..., , = 1 ,...,

λ

θ不受限

無效率的單位若要達到最佳境界的效率目標，由（3.3.19）與

（3.3.20）的限制式中，可以做以下的調整：

X

ik

Δ

＝ X

^ik

－ （ X

^ik

－ s ⁱ

^+*

） i = 1 ,..., m

（3.3.21）

Y

rk

Δ ＝（ θ ^* Y ^rk ＋ s ^r

^−*

）－ Y ^{rk r = 1 ,..., s}

^（3.3.22）

二、BCC 模式

（一） 投入導向

Ek

＝

^Max

∑

∑

=

= m

i

ik i s

r

rk r

X v

u Y u

1 1

0

- （3.3.23）

s.t.

∑

∑

=

= m

i

ij i s

r

rj r

X v

u Y u

1 1

0

-

≤ 1 , j = 1 ,..., n

（3.3.24）

m i

s r

v

u ^r , ⁱ ≥ ε > 0 , = 1 ,..., , = 1 ,...,

u ^o

不受限

將（3.3.23）的目標函數分母設限為 1 時，使分數線性規劃

（fractional linear programming）的形式，轉化為線性規劃（linear programming）的形式：

Max hk

＝

^{s r rk}

r

Y

∑ u

= 1

－ u ^o

（3.3.25）

s.t.

i ik m

i

X

∑ v

= 1

＝1

（3.3.26）

r rj s

r

Y

∑ u

= 1

－

i ij m

i

X

∑ v

= 1

－ u ^o ≤ 0 , j = 1 ,..., n

（3.3.27）

^{u r , v i ≥} ε ^{> 0 , r = 1 ,..., s , i = 1 ,..., m} u o

不受限

任 何 一 個 的 線 性 規 劃 問 題 ， 都 存 在 有 一 對 偶 問 題 （ dual problem），將（3.3.25）轉換為對偶問題的形式：

Min hk

＝

^{θ −ε}

（ _∑

⁻

= i m

i

s

1

＋ ∑

⁺

= r s

r

s

1

）

（3.3.28）

s.t. ∑

= n

j

ij j

X

1

λ

－ θ X

^ik

＋ s ⁱ

⁻

＝ 0 i = 1 ,..., m

^（3.3.29）

∑

= n

j

rj j

Y

1

λ

－ s ^r

⁺

＝ Y ^{rk r = 1 ,..., s}

^（3.3.30）

∑

= n

j j 1

λ

＝ 1

（3.3.31）

^{λ j , s i}

⁻

^{, s r}

⁺

^{≥ 0 , r = 1 ,..., s , i = 1 ,..., m , j = 1 ,..., n}

θ不受限

此式中

s ⁱ

⁻

^, s ^r

⁺ 分別為差額變數（slack variable）和超額變數

（surplus variable），θ是對應於（3.3.27）中的限制式，θ值不受限。

此外，無效率的單位若要達到最佳境界的效率目標，由（3.3.29）

與（3.3.30）的限制式中，可以做以下的調整：

X

ik

Δ

＝ X

^ik

－ （ θ ^* X

^ik

－ s ⁱ

^−*

） i = 1 ,..., m

（3.3.32）

Y rk

Δ ＝（ Y ^rk ＋ s ^r

^+*

）－ Y ^{rk r = 1 ,..., s}

（3.3.33）

另外，再判別規模報酬時，有三種情況：（1）當

u ^o

＝ 0 時 為固定規模報酬。（2）當

u ^o

＞ 0 時為規模報酬遞減。（3）當

u ^o

＜ 0 時為規模報酬遞增。

（二）產出導向

Min

g

k

1

＝

∑

∑

=

=

+ s

r

rk r m

i

ik i

Y u

v X v

1 1

0

（3.3.34）

s.t.

∑

∑

=

=

+ s

r

rj r m

i

ij i

Y u

v X v

1 1

0

n j 1 ,..., ,

1 =

≥

（3.3.35）

m i

s r

v

u r , i ≥ ε > 0 , = 1 ,..., , = 1 ,...,

v

o 不受限

將（3.3.34）的目標函數分母設限為 1 時，使分數線性規劃

（fractional linear programming）的形式，轉化為線性規劃（linear programming）的形式：

Min

g

k

1

＝

^{m i ik}

i

X

∑ v

= 1

＋ v

^o （3.3.36）

s.t.

^{r rk}

s

r

Y

∑ u

= 1

＝1

（3.3.37）

ij i m

i

X

∑ v

= 1

－

^{s r rj}

r

Y

∑ u

= 1

＋ v

^o

≥ 0 , j = 1 ,..., n

（3.3.38）

m i

s r

v

u ^r , ⁱ ≥ ε , = 1 ,..., , = 1 ,...,

v

o 不受限

任 何 一 個 的 線 性 規 劃 問 題 ， 都 存 在 有 一 對 偶 問 題 （ dual problem），將（3.3.36）轉換為對偶問題的形式：

Min

g

k

1

＝

^{θ +ε}

（ _∑

⁺

= i m

i

s

1

＋ ∑

⁻

= r s

r

s

1

）

（3.3.39）

s.t. ∑

= n

j

rj j

Y

1

λ

－ θ Y ^rk － s ^r

⁻

＝ 0 r = 1 ,..., s

^（3.3.40）

∑

= n

j

ij j

X

1

λ

＋ s ⁱ

⁺

＝ X ^{ik i = 1 ,..., m}

^（3.3.41）

∑

= n

j j 1

λ

＝1

n j

m i

s r

s s ^{i r}

j ^,

⁻

^,

⁺

^≥ 0 , = 1 ,..., , = 1 ,..., , = 1 ,..., λ

^θ不受限

此外，再判別規模報酬時，有三種情況：（1）當

v

o ＝ 0 時 為固定規模報酬。（2）當

v

o ＞ 0 時為規模報酬遞減。（3）當

v

o

＜ 0 時為規模報酬遞增。

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 30-41)