資料包絡分析相關文獻

資料包絡分析的 CCR 評估模式是(Charnes et al., 1978)衡量決策單位之多項 投入與多項產出指標之相對績效的一種方法，主要源自於(Farrell, 1957)所提出的 生產效率前緣(efficiency frontier)觀念，也就是將所得到的投入項與產出項指標資 料，利用數學線性規劃的技巧求出一組相對最有效率的邊界，以作為衡量績效的 基礎。利用 Pareto 最佳解觀念來評估決策單位之相對績效，並且根據 CCR 模式

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(P1) DEA-CCR-Input Oriented-Multiplier Form-FP

1

6 其它 DMUs 之績效值為非高效。由於(P1)模式為乘數型分數規劃模式(multiplier

fractional programming)在求解上不容易，為了方便於數學計算上，將其轉換成乘

(P2) DEA-CCR- Input Oriented-Multiplier Form-LP

1

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同，會有多重解的產生。為了解決多重解的問題，將此模式轉換為對偶問題(dual

problem)可以減少限制式的個數，使得模式計算上更有效率。投入導向包絡型規 劃模式(P3)如下所示：

(P3) DEA-CCR- Input Oriented-Envelopment Form

1 1 第r 個產出項指標之餘額變數(surplus variable)，為數學線性規劃中將不等式轉化 為等式所使用之變數。變數μ_k是對應原問題限制式(2.1)中之等號限制式。根據

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(P4) DEA-CCR- Output Oriented-Multiplier Form-FP

1

9

(P5) DEA-CCR- Output Oriented-Multiplier Form-LP

1

(P6) DEA-CCR- Output Oriented-Envelopment Form

1 1

10 2.2 資料包絡分析績效值排序相關文獻

CCR 模式雖然將專家和管理者之意見融入績效評估中，可是 CCR 模式卻是 屬於一種固定報酬模式(Constant Returns to Scale, CRS)，表示投入量按一定比例 增加時，產出量也按一定比例增加。在利用 CCR 模式上所衡量出來的績效值是 屬於相對績效值，並沒辦法解決決策單位間排序的問題，為了解決所有 DMUs 間排序的問題，(Adler et al., 2002)針對 DEA 績效值排序相關文獻作了回顧，總 共分成六類進行探討。第一類是利用交叉效率的矩陣進行同儕間相互評比之方式。

第二類是有關於高效方面的評比，利用生產效率前緣的改變進行評比之方式。第 三類是標竿量測方面的評比，以其中一決策單位來當作其它決策單位的目標來做 排序。第四類是利用統計的多變量技巧。第五類是針對低效的決策單位做排序。

第六類是 DEA 結合管理者的意見，利用多準則方法(multi-criteria)求得優先訊息 (priority information)的方式進行評比。

(Andersen & Petersen, 1993)所提出之 AP 模式是將生產效率前緣上高效決策 單位加以排序，利用生產效率前緣上高效決策單位DMUk分別從資料集合中剔除，

並且消除所有 DMUs 之績效值最大為 1 的上限限制，在其它 DMUs 為基礎情況 下，計算被剔除的主角DMUk績效值並且加以排序。在非高效決策單位為主角時，

並不會改變原本所建構之生產效率前緣，因此非高效決策單位之績效值會和 CCR 模式所算出的績效值相同。此 AP 模式透過生產效率前緣之改變來重新計算 高效決策單位之績效值，卻會因為樣本太小會造成所有 DMUs 之績效值均為高

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效，以及原始資料規模的問題造成所計算出來的績效值有偏差之狀況。

以整體來衡量決策單位績效值而言，(Doyle & Green, 1994)也提出了交叉效 率的觀念，主要是以數學線性模式(P2)中各個 DMUk輪流當主角的情況下所計算 出來的權重，來評估其它DMUj之績效值，將此績效值加總取其平均作為交叉效 率值，以作為排序之基準。下列說明為各個DMUj交叉效率值的求解步驟：

步驟一 利用 CCR 模式，求得在每個 DMUk輪流當主角的情況下，選擇一組 主角自己最有利的權重。

步驟二 將步驟一所求得的主角 DMUk的權重代入其它DMU，計算各個j DMUj

之績效值θ 。 _kj^*

步驟三 將步驟二所得到的各個 DMUj在不同主角DMUk下之評比所得到的績 效值θ ，利用方程式(9)將所得到的績效值加總取其平均，稱為交叉 _kj^* 效率值Φ^*_j，以作為排序的基準。

*

* 1 , 1,..., .

n k kj

j j n

n θ

Φ = ∑= =

(9)

由上述步驟得知，在每個 DMUk輪流當主角之情況下，會得到一組最佳解權 重u_rk^* 和v^*_ik，利用主角DMUk所計算出來的這組最佳解權重，分別代入其它DMUj

並計算其績效值θ ，將每個 DMU_kj^* k輪流當主角所評比的DMUj之績效值加總取 其平均，稱為交叉效率值Φ^*_j，如表一所示：

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表一 交叉效率表

DMUj

1 2 … j … n

DMUk

1 θ11^* θ₁₂^* … θ_{1 j}^* … θ 1n^*

2 θ₂₁^* θ₂₂^* … θ_{2 j}^* … θ _2n^*

… … … … …

k θk^*1 θ_k^*₂ … θkj^* _… θ _kn^*

… … … … …

n θn^*1 θ_n^*₂ … θnj^* … θ _nn^* 平均 Φ₁^* Φ^*₂ … Φ^*j … Φ^*n

以交叉效率為衡量的方式，主要是以 CCR 模式(P2 或 P3)為基礎下，求解一 組最佳解權重來最大化主角DMUk之績效值，並利用了同儕評估的觀念，透過每 個DMUk輪流當主角所獲得之最佳解權重，代入其它DMUj來求其績效值。然而 當所評估的主角為非高效時，會有一組高效決策單位當作其參考對象，若是將其 它並不是其參考對象的決策單位刪除，並且重新做(P2 或 P3)，並不會影響到主 角為非高效決策單位之權重和績效值。因此將主角為非高效決策單位所計算出來 的這組權重，代入非其參考對象之決策單位，並不是一個很客觀公正的方式。針 對以交叉效率為衡量上面所產生之問題，(劉 & 陳, 2009)利用距離函數之觀念，

以三階段程序來改善原先交叉效率主角為非高效決策單位所產生之問題，並且衡 量決策單位之績效表現。數學模式(P7)如下所示：

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由於上述模式是以 CCR 模式下，每個主角 DMUk選擇一組對自己最有利之 權重，所計算出來之主角績效值當作參考水準，在此方法下利用距離函數之觀念，

使得大家和主角績效值差距總和最小，在DMUk輪流當主角情況下，此模式需重 複n 次，分別求得一組權重來滿足主角和其它人績效值差距總和最小。本研究主 要是利用(P7)模式所求得交叉效率值進行延伸，以組織整體之觀念利用決策單位 之交叉效率值加總取其平均當作組織所設定之參考水準，求得一組共同權重使得 所有受評單位與參考水準之績效值差距總和最小，以組織整體為衡量時，本研究 會使得受評單位向組織所設定目標靠近，也就意謂著以此方法為受評單位績效衡 量下，會使組織整體績效值變異達到最小。

2.3 共同權重分析相關文獻

共同權重(common weights)的觀念最早由(Cook et al., 1990)和(Roll et al., 1991)首先所提出來的，乃針對傳統 DEA 決策單位績效值為相對績效關係，無法 進行排序所提出的一套方法。共同權重的意義為所有受評單位選擇一組相同的權 重下進行績效評比之方式，有別於傳統的 DEA 而言，是用來減少各個決策單位 各自選擇權重下所造成的變異，也避免非高效決策單位透過傳統 DEA 的情況下 變成高效而無法區辨其排名。另外傳統 DEA 是由各個決策單位輪流當主角之觀 念，會面臨到各個決策單位輪流當主角時，會有其各自所形成之生產效率前緣，

因此在不同的決策單位之生產效率前緣上面，要為所有決策單位之績效值進行排 序之動作，仍屬不夠客觀公正。因此至今共同權重的發展就不再只侷限在傳統

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DEA 之架構，而是根據實務上的情境去做分析，並建立了一套模式來滿足管理 者之要求。為了與傳統 DEA 之決策單位有所區別，將 DEA 的決策單位改為受 評單位。

(Liu & Peng, 2008)利用了共同權重分析(Common Weights Analysis, CWA)觀 念，針對高效群進行排序之動作，不同於 DEA 是主角分別決定一組權重來使其

16 Weights Analysis, MCWA)，不同於 CWA 在所有 UOAs 以績效值為 1 當作上限限 制，以及利用L1-norm 差距的觀念，使得各個 UOAj在求得一組共同權重下，使

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u_r ≥ε_r^O >0, r=1,..., ,s (12.2) v_i ≥ε_i^I >0, i=1,..., ,m (12.3) Δ Δ^O_j, ^I_j free in sign , j=1,..., .n (12.4) 不管是 CWA 或是 MCWA 模式均是利用組織整體之觀念來求解一組共同權 重，使得座標軸上與參考水準線上之水平垂直位移距離差距總和最小或是直線距 離差距總和最小，可是卻產生 CWA 和 MCWA 模式中參考水準績效值設定為 1 之問題，對於組織整體而言，參考水準的訂定應該是由管理者根據當時的實際情 況去訂定，也就是意味著當組織整體績效表現愈好時，其所設定的參考水準有可 能是超過 1 的；當組織整體績效表現愈差時，其所設定的參考水準有可能是小於 1 的，並非是一成不變的。

(Kao & Hung, 2005)提出了距離函數的觀念，以自己本身績效值為參考水準 基礎下，利用一組共同權重來衡量自己本身和所設定的參考水準績效值之差距，

對於所有 UOAs 而言，管理者希望各個 UOAj都能往自己所設定的參考水準靠近，

也就表示在此組共同權重下，會使得所有 UOAs 距離自己本身所設定的參考水準 績效值差距總和最小，數學模式(P10)如下所示：

(P10)

(

( ) )

1

, , 1,

n p p

p k k

j

Min D E E u v p

=

⎡ ⎤

=⎢⎣∑ − ⎥⎦ ≥ (13.0)

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v_i ≥ε_i^I >0, i=1,..., .m (14.3) 當距離參數 p=2 時，目標函數在數學上所代表的意涵是屬於歐基里德距離 (Euclidian distance)最小，表示所有 UOAj績效值距離參考水準變異的程度最小，

對於距離參數p=2 而言，在計算上面會較其它距離參數來得更加精確。

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Q3以及平均數Ω^*_j 為基準下之變異數。其中當距離參數p=1 時，以四分位數為基 準下分別為 0.7277、0.8311 和 0.9839，其變異數分別為 0.0464、0.0278 和 0.0417，

其餘以下類推。在不同距離參數p=1、2、∞情況下，以平均數為基準下，其變 異數分別為 0.0266、0.0215 和 0.0295，均會小於以四分位數為基準下之變異數，

說明了在相同資料下以平均數為基準之方式，其精確度會較以四分位數為基準來

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對誤差的觀念相同(Mean Absolute Deviation, MAD)；當距離參數 p=2 時，所代表 的是各個UOAj與整體績效值平均之平方誤差(Mean Squared Error, MSE)最小；當 距離參數p=∞時，所代表的是各個績效值 UOAj與整體績效值平均之差異最大者 最小。因此將距離參數p=1、2、∞分別稱為 MAD、MSE、MAX。

3.2.1 距離參數 p=1 之案例解析

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α_ij ≥0, i=1,..., ,m j=1,..., ,n (36.5) β_ij ≥0, i=1,..., ,m j=1,..., ,n (36.6) U_r ≥0, r=1,..., ,s (36.7) P_r ≥0, r=1,..., ,s (36.8) V_i ≥0, i=1,..., ,m (36.9) O_i ≥0, i=1,..., .m (36.10) 數學線性模式(P22)是否較原本數學非線性模式(P16)求解來的好，底下舉一 簡單例子，假設有 8 個受評單位，兩個投入項以及兩個產出項指標，數據如表三 所示：  

表三 8 個受評單位數據資料

利用 Lingo 軟體重新求解(P16)與(P22)模式，求解結果如表四所示：

UOAj

Input Ouput x_1j x_2j y_1j y_2j

1 2 6 8 6

2 4 8 5 3

3 7 2 8 6

4 5 8 4 5

5 10 6 6 9

6 5 6 8 9

7 8 9 10 12

8 6 4 8 6

33 設定為 0.0001 1.129632 0.0001 2987.1240 2538.2710 3384.3640 線性模式(P22) 無參數設定 0.915289 0.0001 0.5027 0.4546 0.5454

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36 4 案例分析

第四章主要分析兩個案例：第一個案例為表三 8 個受評單位數據資料，第

第四章主要分析兩個案例：第一個案例為表三 8 個受評單位數據資料，第