賓漢流變模式(Bingham model)

賓漢模式是由 Bingham and Green 在 1920 所提出的流變關係式，

如圖 2-9 的(b)直線，又稱黏塑性模式（Visco-Plastic model），此模 式中含有一賓漢降伏應力(Bingham Yield stress)，流體所受的剪應力 需要大於賓漢降伏應力才會出現剪應變率，其方程式如下： 形成降伏應力τ_B主要原因。Johnson（1965）經由實驗和現場觀測土 石流將降伏應力用摩擦模式表示，摩擦模式凝聚力和內正向力，其中 摩 擦 力 正 比 於 作 用 在 剪 力 面 的 正 向 應 力 。 Johnson 建 議 之 Coulomb-Viscous model 如下：

τ σ_𝑛 φ_𝑐 μ_B𝛾̇ (2-19) 等號右邊前兩項為降伏應力的部份，如果土石流開始流動，須先 超過此降伏應力。τ_B及μ_B兩參數並非定值，會隨泥砂體積濃度、粒子 形狀、黏土性質、粒徑分布與溫度等情況而改變。

Johnson et al. (1984)提出下列在現地估計方法，以估計賓漢降伏 應力：

a. 臨界坡度法：

假設邊坡的寬度式無限大，如所示，用土石流停止流動時的 深度來求得賓漢降伏應力：

τ_𝐵 T_cρ (2-20) T_c：臨界流動深度(m)

：堆積傾斜坡度( °)

b. 特殊大石塊尺寸(於 1917 年在 surprise canyon 土石流案例求 得的)：

τ_𝐵 0. 19𝑙_𝑚𝑖𝑛 ρ_b 𝑛_𝑣ρ (2-21) ρ_b：特殊大石塊單位重( ⁄ ³ )

𝑙_𝑚𝑖𝑛：特殊大石塊在 x 軸、y 軸和 z 軸中最短的長度

𝑛_𝑣：特殊大石塊被水淹沒的體積

特殊大石塊總體積

c. 半橢圓形截面土石流流道估算：

圖 2-10 將半橢圓截面的流道簡化成矩形截面的流道 (Johnson et al，1984)(圖中的 d 為流動深度 h)

Johnson(1970)認為，土石流流道比較常是半橢圓形截面，通常土 石流流動時離流道壁面最近的土石流會先降伏成流體流動；離較遠的 流道壁面較遠的，因流動剪力為大於降伏剪應力而不會產生流動，形 成塞流(plug flow)，會被下面流動區域搬運運移。圖 2-10 表示半橢圓 形截面流道(圖 2-10(a))可以簡化成矩形截面流道(圖 2-10(b))，其原 因是因土石流降伏強度，而矩形截面流道離尖角部分較近的部分不會 流動，而形成”未流動死水區(dead regions)” (Johnson et al, 1984)。

其兩者的截面，土石流流速分布幾乎差不多。假設土石流流道截面為

線對稱的半橢圓截面，流道寬度 W 約為深度 h 的兩倍，塞流寬度W_𝑝， 其賓漢降伏剪力強度為τ_𝐵為：

τ_𝐵 W_𝑝⁄ 𝜌4 _𝑚𝑠 𝑛 (2-22) 𝜌_𝑚：泥漿密度

：流道傾斜坡度( °)

然後再假設 _{𝑝,𝑚𝑎𝑥}為土石流中最大表面流速(同時也為塞流的表面流 速)，其黏滯係數μ_B為：

μ_B ( _𝑣

, ) ( ) 1 ² (2-23)

在 Pierson(1986)在 3 號監測站監測土石流流道，其流道寬度 W 不等於深度 h 的兩倍，泥漿密度𝜌_𝑚為 .0 𝑚³，流道傾斜坡度 為 7 度，其賓漢降伏剪力強度為τ_𝐵為：

τ_𝐵 (W_𝑝⁄ )𝜌_𝑚𝑠 𝑛 𝑊 ⁄ ⁄ ² 1 (2-24) 在 Pia R Tecca et al.(2003)中有提到在 1998 年，有用到此現地估 測方法來監測義大利 Eastern Dolomites 地區內 Acquabona 溪流流域的 土石流，也因此求得賓漢流變參數，其結果如表 2-5 所示：

表 2-5 1998 年義大利 Acquabona 溪流流域土石流監測結果 (Pia R Tecca et al.,2003)

賓漢黏滯係數(μ_B)和牛頓流體的黏滯係數相當，賓漢黏滯係數可 用牛頓流體的黏滯係數的計算方式。然而大部分的賓漢黏滯係數是從 室內試驗方法所得到的。一般取土石流漿體部份，依試驗儀器限制決 定取樣的最大粒徑。較常用的為旋轉式流變計：試驗時量測轉矩 (moment)與轉速，求取管壁剪力與外視剪應變率(apparent shear strain rate)，經由迴歸分析求得賓漢降伏應力與賓漢黏滯係數。

雖然賓漢模型可描述泥流的流動行為，但對於粗粒料的流動行為 並無法完整描述，因賓漢模型不包含粗粒料碰撞而產生的離散力和紊 流力。然而，如果假設粗粒料碰撞而產生的離散力小到可忽略，也可 以用賓漢模型來逼近。王志賢(2000)用兩個總體積濃度(即包含所有粒 徑粒料的體積濃度，也就是 Cv)相同實驗樣本。一個是純細粒料泥漿 體，另一個是含粗、細粒料混和的泥漿體。兩者都用 Brookfield DV-III

水平旋轉流變計，測量出各自的賓漢降伏應力和賓漢黏滯係數。然後 針對含粗、細粒料混和的泥漿體，以粒徑 2mm 為界限，分成純粗粒 料的體積濃度(Cvg)和純細粒料的體積濃度(Cvf)。然後將含粗、細粒料 混和的泥漿體實驗樣品所測出的降伏應力和黏滯係數減去純細粒料 泥漿體的部分而得到差值。減出來的差值用純粗粒料的體積濃度、粗 粒料粒徑和粗細粒料粒徑界限(即 2mm)進行迴歸出參數式。最後把原 本純細粒料的降伏應力和黏滯係數表示式加上粗粒料的部分由迴歸 得到的參數式，可得到含粗粒料賓漢流變模式表示式。整個實驗的概 念圖如圖 2-11 所示。

圖 2-11 含粗顆粒漿體流變特性之分析概念

註：粗顆粒濃度 Cvg= ^{粗顆粒體積}

細顆粒體積+水體積+粗顆粒體積 (2-25)

細顆粒濃度 Cvf = 細顆粒體積+水體積+粗顆粒體積 ^{粗顆粒體積} (2-26) 由王志賢(2000)所得到的實驗結果，粗粒料加入細粒料漿體皆可 略提高賓漢降伏應力和賓漢黏滯係數，但賓漢降伏應力提高的程度比 賓漢黏滯係數還多。

通常做土石流流槽實驗和數值模擬，如果要使用賓漢流變模式，

需針對賓漢降伏應力τ_B和賓漢黏滯係數μ_B對體積濃度 Cv的迴歸關係 式來表示土石流的材料性質。賓漢降伏應力τ_B和賓漢黏滯係數μ_B的迴 歸式會和體積濃度 Cv呈現自然對數關係，其迴歸式如下：

𝜏_𝑦 𝛼₁ (2-27) 𝜇_B 𝛼₂ (2-28) 對於式(2-28)，在圖 2-12由前人用賓漢模式為主作流槽實驗作出 體積濃度𝐶 對應賓漢黏滯係數𝜇_B的實驗結果圖，將圖 2-12上面各𝐶 值對應的𝜇_B作迴歸，其迴歸式會與(2-28)差不多。此迴歸計算方式在 之後 O’Brien et al.(1985)所提出的二項式流變模式也用此方法估算體 積濃度對降伏應力和黏滯係數的關係。

圖 2-12 以賓漢流體為基底，前人實驗賓漢黏滯係數和體積濃度的關係 (間 接摘自 Takahashi(2007))

Dent and Lang (1983)模擬雪崩時針對藉由雙折線法(雙黏性)來考 慮賓漢流變模型中的賓漢降伏應力τ_B：

當賓漢黏塑性物體所受的剪力未達τ_B時，且剪應變率非常小(假 設其剪應變率為𝛾_𝑙𝑠𝑟，假設𝛾_𝑙𝑠𝑟̇ < 10 ¹ 𝑠 ¹ )時，其處在固體狀態的黏

塑性物體內的黏滯係數非常大(假設其黏滯係數為𝜇_𝑙𝑠𝑟，假設 𝜇_𝑙𝑠𝑟 > 10 𝑃𝑎 ∗ 𝑠 )，大到黏塑性物體無法流動。到達一定的剪應變 率時，所受的剪力約大於降伏應力τ_B，其原本在固體狀態的黏塑性物 體開始液化。其說法可以解釋泥流型土石流受剪力才開始流動的物理

現象，其流變模型稱為"賓漢雙黏性流變模型(Bi-viscous Bingham model)”，如圖 2-13。陳孟志(2011)和柯昱明(2012)分別模擬海嘯沖刷

坑的發展和高濃度泥沙沖刷行為，也採用此賓漢雙黏性流變模型。

圖 2-13 賓漢模型(實線部分)及賓漢雙黏性模型(虛線部分)的比較(Dentand et al.，1986)

Shao & Lo(2003)曾用過 Barnes H.A. et al. (1989) 所提出的 Cross 𝜇_lsr：極低剪應變率的黏滯係數。Hammad and Vradis(1994)數值 模擬賓漢流，當𝜇_lsr等於10³μ_B，整個 Cross 等效流變模型連續性較佳，

剪應力-剪應變關係圖比較不會出現不連續點，使數值運算較為穩定。

賓漢模型和 Cross 等效賓漢模型的比較如圖 2-14 所示：

圖 2-14 賓漢模型和 Cross 等效賓漢模型的比較 (Shao et al.，2003)