Chapter 3 Magnetic dipoles in two-dimensional system with weak field
3.4 功率譜密度
3.4.2 輸出訊號的功率譜密度
系統模擬所得到的輸出訊號是在弱外場的作用下每個時刻系統分別處在這兩個狀 態(狀態的劃分如圖 3-4)的個數。在相同的隨時間變化之微弱外場下，改變噪音的 強度會造成每個時刻處於兩個狀態的個數產生改變，如 Fig.3-14 所示。
在無噪音的情形，由於外場的強度太弱無法將粒子由一個狀態踢到另一個狀態，
即外場所施予的力無法使粒子越過位能井高度，因此這些一開始處於平衡態的一 百個不同的初始狀態會平均的分布這兩個位能井區域，呈現兩個位能井區域的系 統數為(50,50)之分布；當噪音小幅度的增加時，噪音給予系統的粒子一個隨機的力 量，可能會使得原來無法被外場驅動的粒子能夠越過位能的高點而躍遷至另一個 位能井中，因此系統處與某個狀態的粒子數會有跟著外場變化的趨勢。此時外場 若再繼續的加大，會變成這個施予粒子的隨機力太大而造成多次的跳動，這個太 過頻繁而隨機的跳躍使得我們所看到的個數變化變得雜亂。
0 0.5 1 1.5 2
x 105 0
50 100
time(sec)
# of system at state 1
0 0.5 1 1.5 2
x 105 0
50 100
time(sec)
# of system at state 1
0 0.5 1 1.5 2
x 105 0
50 100
time(sec)
# of system at state 1
0 0.5 1 1.5 2
x 105 0
50 100
time(sec)
# of system at state 1
0 0.5 1 1.5 2
x 105 0
50 100
time(sec)
# of system at state 1
0 0.5 1 1.5 2
x 105 20
40 60 80
time(sec)
# of system at state 1
Fig. 3-14 系統處於第一個狀態的個數隨著噪音 D 改變之變化。
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 104
frequency
Power spectrum density(dB/frequency)
D=0.0006 D=0.0007 D=0.0008 D=0.0009 D=0.0010 D=0.0011 D=0.0012 D=0.0013
4510 4520 4530 4540 4550 4560 4570 4580 4590
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
x 104
frequency
Power spectrum density(dB/frequency)
D=0.0006 D=0.0007 D=0.0008 D=0.0009 D=0.0010 D=0.0011 D=0.0012 D=0.0013 對應於上面討論所呈現的功率譜密度，若系統的個數變化完全跟著外場的頻率變 化(即外場很強)時，我們會在功率譜密度圖上看到在對應到外場頻率值的位置看到 很大的峰值。在我們的系統中由於外場很微弱所以當無噪音時在外場頻率處看不 到明顯的高峰；當增加噪音的強度時，一開始我們會看到在輸入訊號頻率處的功 率譜密度隨著噪音增大而增加，如 Fig.3-15 所示；而當噪音增加到某個程度之後，
若繼續增加噪音則功率譜密度反而會降低。
Fig. 3-15 隨著噪音強度 D 的增加，處於第一個狀態的系統數目之頻譜密 度；圖中的峰值處對應到外場的頻率。
由式 3-10 可得到粒子經過最可能路徑到達另一個位能井之參數
548 . 342457 2 )
2 ( 1
) 0756 . 201446 2 .
(0 003 .
23268 . 192667 1 .
) 0 2 (
1
) 39297 . 103333 1 .
(0 003 .
noise intensity(dB)
power spectrum density(dB/frequency)
S(w) for path2 S(w) for path1 S(w)
Fig. 3-16 在不同噪音強度之下，對應到外場頻率處的輸出訊號功率譜密度之強度。
輸出訊號在外場頻率處之功率譜強度如 Fig.3-16 所示。其中藍綠色的實線是模擬系 統所得到的結果，虛線代表的是由理論所計算出來的功率譜密度，其中黃色的虛 線所表示的是粒子經由第一條路徑(最可能路徑)到達另一個位能井之訊號，紅色虛
線所表示的是粒子經由第二條路徑(較高的位能壁)到達另一個位能井之訊號所呈 的功率譜強度。由於功率譜的強度會和模擬所帶入的系統個數有關係，當系統個 數越多則功率譜越強，因此在此圖中我們將功率譜密度之最大值設定為 1 以方便 做比較。由 Fig.3-16 可以看到，隨著噪音改變所得到的外場頻率處之譜強峰值和理 論算出來的峰值處是非常接近的，而模擬的結果在峰值的右方會有高於黃色虛線 的強度，這可能是由於在較大的噪音強度之下，粒子除了可經由最可能的路徑附 近做躍遷之外，亦可以經由另外一個鞍點到達另一個位能井所致。
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11
30 40 50 60 70
# os systems transiton through path1
0.020 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12
0.5 1
noise intensity(dB)
power spectrum density(dB/frequency)
Fig. 3-17 系統由一個穩定態經過最可能路徑到達另一個穩定態之躍遷個數。
由於此一粒子在能量面上運動的圖像對應到兩個磁偶極轉動的角度，兩條不同的 路徑對應到兩磁偶極之夾角，所以利用兩個磁偶極之角度差即可判斷出粒子由一 個位能井躍遷至另一位能井所走的路徑為何。Fig.3-17 上圖所表示的是一百個粒子 裡有多少數量會走第一條路徑，我們可以看到當噪音強度 D 小於 0.038(dB)時，幾 乎所有的粒子都會走第一路徑，而當 D 大於 0.038(dB)之後，有大約一半的粒子會 走第二條路徑。
接著我們利用第二章所得到的結果，計算系統之信噪比。由 2-14 式可知信噪比定 義為輸出總信號功率譜與s處的平均功率譜之比值；即對 Fig.3-15 的功率譜進 行積分做為總信號之功率譜，而在峰值處之背景高度視為平均功率譜高。系統輸 出之信噪比如圖 Fig.3-18 所示，而由理論所得到的圖形為 Fig3-19。
0.020 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 107
noise intensity(dB)
Signal to Noise ratio
Fig. 3-18 系統輸出之信噪比與噪音強度之關係圖。
理論值所得到的輸出訊號的噪音譜高比我們得到的要強得多，造成所得到的信噪 比之圖形和我們得到的有很大的差異。一種可能的原因是由於我們得到功率譜的 方式是利用 Matlab 的函數 pwelch 來得到，它所使用的 Welch 方法會降低噪音的譜 高所致；另外也可能是系統本身的差異使得理論與實驗值無法吻合得很好。
0.020 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 500
1000
power spectrum density(dB/frequency)
0.020 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.5
1 1.5x 10-3
0.020 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 1
2 3x 10-6
noise intensity(dB)
S/N ratio
theorisignal output theoretically
noise output theoretically
Fig. 3-19 理論計算之訊號、噪音及信噪比隨噪音強度增加之值。