f (x) =
∞
X
n=0
X
|α|=n
Dαf (x0)
α! (x − x0)α.
§3.2 边 边 边界 界 界的 的 的光 光 光滑 滑 滑性 性 性与 与 与Gauss-Green定 定 定理 理 理
本节中，设U 是有界开集，k ∈ N∗.
定定定义义义3.2.1 我们称∂U 是Ck的边界，如果∀x0 ∈ ∂U ，∃r > 0和一个Ck的函数γ : Rn−1→ R，使得
U ∩ B x0, r = x ∈ B x0, r : xn> γ (x1, · · · , xn−1) .
如果∀k ∈ N∗，都有∂U 是Ck的，则称∂U 是C∞的. 如果γ是解析的，则称∂U 是解析的.
上述定义，在理论上给出了对于一个有界开集的边界光滑性的刻画. 当∂U 是C1的时候，考察它 的单位外法向场：ν = (ν1, · · · , νn)，可以定义u ∈ C1(U )的外法向导数：∂u
∂ν := ν · Du.
有了上述准备工作，我们可以引入拉直边界的方法. 固定x0 ∈ ∂U ，取恰当的r和γ，定义
yi= xi=: Φi(x), i = 1, · · · , n − 1 yn= xn− γ (x1, . . . , xn−1) =: Φn(x)
从而我们有变换公式：y = Φ(x). 同理，我们反解方程得到反变换公式x = Ψ(y) = Φ−1(y)：
xi = yi =: Ψi(y), i = 1, · · · , n − 1 xn= yn+ γ (y1, . . . , yn−1) =: Ψn(y)
我们把映射x → Φ(x) = y称作“在x0附近拉直U 的映射”. 试证明det DΦ = det DΨ = 1.
下面，在∂U 是C1的情况下，我们回顾并总结有关于Gauss-Green定理的结论.
定定定理理理3.2.2 (Gauss散度定理)设u ∈ C1(U ; Rn)，则 ˆ
U
div udx = ˆ
∂U
u · νdS.
定定定理理理3.2.3 (Gauss-Green定理)设u ∈ C1(U )，则 ˆ
U
uxidx = ˆ
∂U
uνidS (i = 1, · · · , n).
【【【注注注】】】事实上，这是Gauss散度定理用于uei的直接推论.
如果直接将Gauss-Green定理应用于函数uv，我们得到：
定定定理理理3.2.4 (分部积分公式)设u, v ∈ C1(U )，则 ˆ
U
uxivdx = − ˆ
U
uvxidx + ˆ
∂U
uvνidS (i = 1, · · · , n).
请同学们尝试着使用上述结论证明：
12 3. 多变量微积分 定
定定理理理3.2.5 (Green公式)设u, v ∈ C2(U )，则 (1)
ˆ
U
∆udx = ˆ
∂U
∂u
∂νdS；
(2) ˆ
U
Dv · Dudx = − ˆ
U
u∆vdx + ˆ
∂U
u∂v
∂νdS；
(3) ˆ
U
(u∆v − v∆u) dx = ˆ
∂U
u∂v
∂ν − v∂u
∂ν
dS.
§3.3 极 极 极坐 坐 坐标 标 标换 换 换元 元 元法 法 法与 与 与余 余 余面 面 面积 积 积公 公 公式 式 式
在PDE的研究中，我们在计算积分的时候，经常要用到极坐标代换的技巧.
定
定定理理理3.3.1 设f ∈ C(Rn) ∩ L(Rn)，则∀x0 ∈ Rn， ˆ
Rn
f dx = ˆ ∞
0
ˆ
∂B(x0,r)
f dS
! dr.
这可以理解为考虑在一个球上的积分，可以看作被切作一个个表面的面积分，然后再对半径积 分. 而这个思想可以表述为一个不难证明的恒等式：
d dr
ˆ
B(x0,r)
f dx
!
= ˆ
∂B(x0,r)
f dS.
下面，我们把它总结为一个更一般的结论.
定
定定理理理3.3.2 (余面积公式)设u : Rn → R是Lipschitz连续函数，对于几乎处处的r ∈ R，定义水平 集{x ∈ Rn|u(x) = r}是Rn 中的一个光滑的 (n − 1)维超曲面. 设f ∈ C(Rn) ∩ L(Rn)，则
ˆ
Rn
f |Du|dx = ˆ ∞
−∞
ˆ
{u=r}
f dS
! dr.
【
【【注注注】】】具体证明比较复杂，在[6]的3.4节有更详细的阐述.
§3.4 卷 卷 卷积 积 积与 与 与磨 磨 磨光 光 光算 算 算子 子 子
定
定定义义义3.4.1 设f 和g是Rn上的可测函数，如果积分 ˆ
Rn
f (x − y)g(y)dy
存在，则称此积分为f 与g的卷积，记为(f ∗ g)(x).
首先，我们给出一个显然的不等式：
定
定定理理理3.4.2 若f, g ∈ L(Rn)，则f ∗ g ∈ L(Rn)存在，且kf ∗ gkL1(Rn)6 kf kL1(Rn)kgkL1(Rn).
【
【【证证证明明明】】】先使用三角不等式平凡地化为f, g非负的情况，然后使用Tonelli定理. 留作练习.
定
定定理理理3.4.3 设f ∈ L(Rn)，g(x)在Rn上有界可测，则(f ∗ g)(x)在R上一致连续.
§3.4. 卷积与磨光算子 13
14 3. 多变量微积分 称ηε为磨光核. 显然，
ˆ
Rn
ηε(x)dx = 1，spt {ηε} = Bε. 对于u ∈ L1loc(U )，定义u的磨光函数uε：
uε(x) = Jεu(x) = (ηε∗ u)(x) = ˆ
U
ηε(x − y)u(y)dy, ∀x ∈ U.
其中的Jε称为磨光算子. 若记Uε= {x ∈ U : dist(x, ∂U ) > ε}，那么
uε(x) = ˆ
Bε(x)
ηε(x − y)u(y)dy, ∀x ∈ Uε.
定
定定理理理3.4.5 (磨光性质)磨光函数uε具有下面的性质：
(1)uε∈ C∞(Uε)；
(2)uε→ u几乎处处于U ；
(3)当u ∈ C(U )时，在U 的任一紧子集上uε一致收敛到u；
(4)若1 6 p < ∞，u ∈ Lploc(U ), 那么在 Lploc(U )中 uε→ u；
(5)假设u ∈ L1(U )并且spt u ⊂ U ，记δ = dist(spt u, ∂U )，则当ε < δ
4时，有uε∈ C0∞(U )；
(6)若u ∈ Lp(Rn+), 那么∀σ > 0，在空间Lp(Rn2σ)中uε→ u，其中Rnσ = {x ∈ Rn: xn> σ}.
【
【【证证证明明明】】】(1)它是定理3.4.4的直接推论.
(2)由定理2.3.2(Lebesgue点的稠密性)立刻可得，证明留作练习.
(3)由于u ∈ C(U )，对任意U0 b U ，取U0 b V b U . 由于u在V 上一致连续，因此
lim
r→0+ Br(x)
|u(y) − u(x)|dy = 0
对x ∈ U0一致地成立. 类似于(2)的证明过程，能够得到在U0上uε一致收敛到u.
(4)假设1 6 p < ∞，u ∈ Lploc(U ). 取U0b V b U . 先证当ε > 0充分小时，kuεkLp(U0)6 kukLp(V ). 事实上，对于x ∈ U0，
|uε(x)| = ˆ
Bc(x)
ηε(x − y)u(y)dy
6 ˆ
Bε(x)
ηε(x − y)dy
!1−1p ˆ
Bε(x)
ηε(x − y)|u(y)|pdy
!1p
因为 ˆ
Bε(x)
ηε(x − y)dy = 1，所以当ε适当小时，
ˆ
U0
|uε(x)|pdx
6 ˆ
U0
ˆ
Bε(x)
ηε(x − y)|u(y)|pdy
! dx 6
ˆ
V
|u(y)|p ˆ
Bε(y)
ηε(x − y)dx
! dy =
ˆ
V
|u(y)|pdy
因此kuεkLp(U0)6 kukLp(V ). 固定U0 b V b U ，δ > 0, 并取v ∈ C(V )使得ku − vkLp(V )< δ.
§3.4. 卷积与磨光算子 15
∴ kuε− ukLp(U0)6 kuε− vεkLp(U0)+ kvε− vkLp(U0)+ kv − ukLp(U0) 6 2kv − ukLp(V )+ kvε− vkLp(U0) 6 2δ + kvε− vkLp(U0).
由于vε → v在 ¯V 上一致成立，因此 lim
ε→0+
kuε− ukLp(U0)6 2δ.
(5)设ε < δ
4，由(1)知uε∈ C∞(Uε). 先证uε∈ C0∞(Uε). 事实上，按照定义我们有 uε(x) =
ˆ
|x−y|<ε
ηε(x − y)u(y)dy, ∀x ∈ Uε.
设x ∈ Uε，dist(x, ∂U ) < δ
2. 对于满足|x − y| < ε的y, 由dist(y, ∂U ) 6 |x − y| + dist(x, ∂U ) <
3δ
4 知，y /∈ spt u. 从而uε(x) = 0. 这说明spt uε⊂ Uε. 再把uε零延拓到U , 则uε∈ C0∞(U ).
(6)∀δ > 0，因为u ∈ Lp(Rn+)，故存在m 1，使得 ˆ
A(1)m
|u|pdx < δ, ˆ
A(2)m
|u|pdx < δ
其中, A(1)m = Rnσ∩ {|x| > m}, A(2)m = Rn2σ∩ {|x| > 2m}. 类似于(4)的证明可知, 当ε > 0适当小时，
ˆ
A(2)m
|uε|pdx 6 ˆ
A(1)m
|u|pdx < δ.
由(4)知，在Lˆ p(Rn2σ\A(2)m )中uε→ u. 于是
Rn2σ
|uε− u|pdx = ˆ
Rn2σ\A(2)m
|uε− u|pdx + ˆ
A(2)m
|uε− u|pdx
6 ˆ
Rn2σ\A(2)m
|uε− u|pdx + 2p−1
ˆ
A(2)m
|uε|pdx + ˆ
A(2)m
|u|pdx
6 2pδ + ˆ
Rn2σ\A(2)m
|uε− u|pdx.
由此得lim
ε→0kuε− ukLp(Rn2σ)6 2δ1p.
【【【注注注】】】1. 如果U 是有界开集，把Lp(U )中得函数u零延拓到U 的外部后仍记为u. 取一个紧包含U 的开 集U1，那么u ∈ Lp(U1). 由(1)知，uε∈ C∞(U ). 再由(4)知，在Lp(U )中uε→ u.
2. 从(4)的证明过程可以看出: 如果u ∈ Lp(U )并且spt u b U , 那么当0 < ε 1时, 有kuεkLp(U ) 6 kukLp(U ).
定定定理理理3.4.6 设U 是非空开集，紧集K ⊂ U , 则存在φ ∈ C0∞(U ), 使得在K上φ ≡ 1.
【【【证证证明明明】】】取开集V 使得K ⊂ V 并且V ⊂ U ，ε = 1
3min{dist(K, ∂V ), dist(V, ∂U )}. 容易验证特征函数
16 3. 多变量微积分
φ(x) = χεV(x) = ˆ
Bε
ηε(y)χV(x − y)dy满足定理的要求.
§3.5 单 单 单位 位 位分 分 分解 解 解定 定 定理 理 理
研究函数性质的一个重要方法是把问题局部化，即在一点的邻域内讨论. 然而局部化之后还需 要将其整合为整体，这就需要单位分解定理. 本节给出三个不同版本.
定
定定理理理3.5.1 假设U 是Rn中的紧集，U1, · · · , Um是U 的一个开覆盖，那么存在ζi(x) ∈ C0∞(Ui)使得 (1)0 6 ζi(x) 6 1, ∀x ∈ Ui, i = 1, 2, · · · , m；
(2)
m
X
i=1
ζi(x) = 1, ∀x ∈ U.
称ζ1, ζ2, · · · , ζm为U 的从属于开覆盖U1, U2, · · · , Um的一个有限C∞-单位分解.
【
【【证证证明明明】】】因为开集U1覆盖闭集U \
m
[
i=2
Ui，所以δ1= dist(∂U1, U \
m
[
i=2
Ui) > 0. 把U1缩小为
U1∗=
x ∈ U1 : dist(x, ∂U1) > δ1
2
U1∗, U2, · · · , Um仍然构成U 的开覆盖. 类似地，逐个缩小U2, · · · , Um为U2∗, · · · , Um∗，那么U1∗, U2∗, · · · , Um∗ 还构成U 的开覆盖. 由定理3.4.6知，存在φi ∈ C0∞(Ui)，在Ui∗上φi ≡ 1. 记φ(x) =
m
X
i=1
φi(x)，那么 取ζi(x) = φi(x)
φ(x), i = 1, 2, · · · , m即为所要的单位分解.
定
定定理理理3.5.2 设U 是Rn中的集合，U是U 的一个开覆盖，那么存在C0∞(Rn)中的一个函数族Σ(至多是可 数集)，具有下列性质：
(1)对于任意的ζ ∈ Σ和x ∈ Rn，有0 6 ζ(x) 6 1；
(2)对每个ζ ∈ Σ,都存在U ∈ U 使得spt ζ ⊂ U ； (3)X
ζ∈Σ
ζ(x) = 1, ∀x ∈ U ；
(4)对U 的任意紧子集U0，函数族Σ中至多有有限个ζ在U0上不恒为零.
称函数族Σ为U 的从属于开覆盖U的一个C∞-单位分解.
【
【【证证证明明明】】】先考虑U 是紧集的情况，利用有限覆盖定理知，存在U1, U2, · · · , Uk∈ U 使得U ⊂
k
[
i=1
Ui，由 定理3.5.1知结论成立. 再考虑U 是开集的情况：对于正整数k，定义
Ak=
x ∈ U : |x| 6 k, dist(x, ∂U ) > 1 k
，Uk = Ak\A◦k−1
其中A0 = Ø. 这里，开始的几个Uk可能是空集，但是不影响讨论. 显然，Uk是紧集且U =
∞
[
k=1
Uk. 定义开集族V1 = V2 = {V ∩ A◦3 : V ∈ U }，Vk = {V ∩ A◦k+1∩ A◦k−2 : V ∈ U }，k > 3. 那么Vk是 紧集Uk的开覆盖. 利用上一步的结论知，存在Uk的一个从属于开覆盖Vk的有限C∞-单位分解Σk. 显
§3.5. 单位分解定理 17 然，对于U 的任意紧子集U0，只能存在有限多个k，使得U0与Vk中的元素（集合）相交.
又注意到Σk是有限单位分解，所以在每一点x ∈ U ，有σ(x) > 0. 容易验证，函数族
Σ =
(φ(x) σ(x) : φ ∈
∞
[
k=1
Σk )
具有定理的4个性质. 注意到Σk是有限集，故Σ至多是可数集.
最后考虑U 是任意集合的情况. 由于U ⊂ B := SU ∈U，而B是开集，所以对B做出的单位分解同 样也是对U 做出的单位分解.
定定定理理理3.5.3 假设U 是Rn中的集合，{Ui}ni=1是U 的一个开覆盖， 那么存在ζi ∈ C0∞(Ui)，使得 (1)0 6 ζi(x) 6 1, ∀x ∈ Ui, i = 1, 2, · · · ；
(2)
∞
X
i=1
ζi(x) = 1, ∀x ∈ U ；
(3)∀x0∈ U ，存在x0的一个邻域Bε(x0)，使得{ζi}∞i=1中只有有限个ζi在Bε(x0)不恒为零.
称 {ζi}∞i=1是U 的从属于开覆盖{Ui}∞i=1的一个C∞-单位分解.
【【【证证证明明明】】】取{ψk}∞k=1是由定理3.5.2得到的U 的一个从属于开覆盖{Ui}∞i=1的一个C∞-单位分解.
当ψk6≡ 0时，由spt ψk⊂ Uik确定了一个多值映射f : k → ik. 对于任意的i，定义
ζi(x) =
X
f (k)=i
ψk(x) , 如果存在k使得f (k) = i
0 , 若不存在k使得f (k) = i .
从定理3.5.2的证明可以看出，∀x ∈ U ， X
f (k)=i
ψk(x)中只包含有限多项非零项，因此ζi(x)有定义，容 易验证{ζi}∞i=1满足所要的条件.
第
第 第4讲 讲 讲 调 调 调和 和 和函 函 函数 数 数的 的 的性 性 性质 质 质
我们称如下方程为Poisson方程的Dirichlet边界问题(通常简记为D.P.问题)：
∆u(x) = f (x) , x ∈ U u(x) = g(x) , x ∈ ∂U
其中∆ =
n
X
k=1
∂2
∂x2k为Laplace算子. 这是最简单的一种线性椭圆方程，如果非齐次项f (x) = 0，这个方 程退化为Laplace方程，它的解函数被称为U 上的调和函数.
§4.1 调 调 调和 和 和函 函 函数 数 数与 与 与平 平 平均 均 均值 值 值性 性 性质 质 质
本小节探讨一般的调和函数理论，记ωn为n维单位球的表面积，即
ωn= Hn−1 ∂B1(0) = 2πn2 Γn 2
，其中Γ(s) = ˆ +∞
0
ts−1e−tdt为Euler第二积分.
依照定义3.1.1定义多重指标：α = (α1, · · · , αn) ∈ Zn，|α| =
n
X
i=1
αi，α! =
n
Y
i=1
αi!.
设x = (x1, · · · , xn)，定义xα=
n
Y
i=1
xαii，Dα = ∂|α|
∂α1x1· · · ∂αnxn. 定
定定义义义4.1.1 称u ∈ C(U )满足平均值性质(mean value property，记作u ∈M.V.P.(U ))，如果满足：
u(x) = 1 ωnrn−1
ˆ
∂Br(x)
u(y)dSy (∀Br(x) ⊂ U ) 或 u(x) = n ωnrn
ˆ
Br(x)
u(y)dy (∀Br(x) ⊂ U ).
【
【【注注注】】】定义4.1.1的两个条件的等价性的证明是平凡的，留作练习.
性
性性质质质4.1.2 (最大模原理)设u ∈ C(U ) ∩ M.V.P.(U )，且u不是常数，则u的最大值和最小值均只能 在∂U 上取得. 进而有max
U
|u| = max
∂U |u|.
【
【【证证证明明明】】】仅对最大值情况做出证明. 置Σ = {x ∈ U : u(x) = max
U
u}. 显然Σ是闭集.
18
§4.2. 调和函数的梯度估计 19
20 4. 调和函数的性质
2n2e < r. 取含Lagrange余项的Taylor展式：
u(x + h) =
§4.3. Laplace方程的基本解 21
22 4. 调和函数的性质
§4.3. Laplace方程的基本解 23
24 4. 调和函数的性质
§4.3. Laplace方程的基本解 25
26 4. 调和函数的性质
+
n · 2|x| · x
|x|
ωnR|x − y|n+2 +(n + 2) n R2− |x|2
ωnR|x − y|n+3 · x − y
|x − y|
· (x − y)
= − 2n
ωnR|x − y|n + 2n|x|2
ωnR|x − y|n+2 − 2nxy
ωnR|x − y|n+2 + 2n R2− |x|2 ωnR|x − y|n+2 + 2n|x|2
ωnR|x − y|n+2 − 2nxy ωnR|x − y|n+2
= 2n|x|2
ωnR|x − y|n+2 −|x − y|2+ |x|2− xy + R2− |x|2+ |x|2− xy
= 2n|x|2
ωnR|x − y|n+2 −|y|2+ 2xy − xy + R2− |x|2+ |x|2− xy = 0 (∀y ∈ ∂BR(0)) .
(5) ˆ
∂BR(0)
K(x, y)dSy = ˆ
∂BR(0)
∂G
∂νy
dSy = ˆ
∂BR(0)
∂Γ(x − y)
∂νy
dSy− ˆ
∂BR(0)
∂φ(x, y)
∂νy
dSy = 1.
定
定定理理理4.3.10 对于ϕ ∈ C(∂BR(0)), 定义Possion公式：
u(x) =
ˆ
∂BR
K(x, y)ϕ(y)dSy , x ∈ BR(0) ϕ(x) , x ∈ ∂BR(0)
它满足u ∈ C∞(BR(0)) ∩ C( ¯BR(0))且
∆u = 0 , x ∈ BR(0) u = ϕ , x ∈ ∂BR(0)
.
【
【【证证证明明明】】】由引理4.3.8知：u在BR(0)上调和，故u ∈ C∞(BR(0)).
下面只需证 u ∈ C( ¯BR(0))，即对∀y0 ∈ ∂BR(0), 有： lim
x→y0
|x|<R
ˆ
∂BR(0)
K(x, y)ϕ(y)dSy = ϕ(y0).
由引理4.3.8(5),对固定δ > 0，
ˆ
∂BR(0)
K(x, y)ϕ(y)dSy − ϕ(y0)
= ˆ
∂BR(0)∩Bδ(y0)
K(x, y) (ϕ(y) − ϕ(y0)) dSy+ ˆ
∂BR(0)\Bδ(y0)
K(x, y) (ϕ(y) − ϕ(y0)) dSy := I1+ I2. 由于ϕ ∈ C (∂BR(0))，所以∀ε > 0，∃δ = δ(ε)，使得
|ϕ(y) − ϕ(y0)| < ε (∀y ∈ ∂BR(0) ∩ Bδ(y0))
∴ |I1| ≤ ε ˆ
∂BR(0)∩Bδ(y0)
K(x, y)dSy ≤ ε → 0 (ε → 0)；
|I2| ≤ 2 · max
y∈∂BR(0)
|ϕ(y)| · ˆ
∂BR(0)
K(x, y)dSy → 0 (x → y0且x ∈ BR(0)) .
§4.4. Harnack不等式 27
28 4. 调和函数的性质 推
推推论论论4.4.2 设u > 0是U ⊂ Rn上的调和函数，B2R(y) ⊂ U ，则α(1
2)u(y) 6 u(x) 6 β(1
2)u(y) (∀x ∈ BR(y))， 其中 α(t) = 1 − t
(1 + t)n−1单调递减，且β(t) = 1 + t
(1 − t)n−1单调递增.
【
【【证证证明明明】】】由定理4.4.1知， u(x) >
R R + |x|
n−2
R − |x|
R + |x|u(0) = α(|x|
R)u(0).
同理，u(x) 6 β(|x|R)u(0). 利用u > 0且在B2R(y)上调和，将0换成y，x换成x − y，R换成2R：
α |x − y|
2R
u(y) 6 u(x) 6 β |x − y|
2R
u(y).
若x ∈ BR(y)，则|x − y|
2R < 1
2，从而α |x − y|
2R
> α(1
2)，β |x − y|
2R
6 β(1
2).
∴ α(1
2)u(y) 6 u(x) 6 β(1
2)u(y) (∀x ∈ BR(y)).
定
定定理理理4.4.3 设K是U 上的紧子集，则∃C = C(U, K) > 0，使得∀u > 0且在U上调和，有 1
Cu(y) 6 u(x) 6 Cu(y) (∀x, y ∈ U ).
【
【【证证证明明明】】】选取0 < R < 1
2dist(K, ∂U ) (请思考为什么可以做到).
故存在有限个覆盖BR(xi) (i = 1, 2, · · · , N )，且能保证对任意的i，有xi ∈ K，且B2R(xi) ⊂ U . 对∀x, y ∈ K，取xj1, · · · , xjs ∈ {x1, · · · , xN}. 取z0, · · · , zs∈ U ，使得
z0= x，zs= y，zi−1, zi ∈ BR(xji) (i = 1, 2, · · · , s).
应用推论4.4.2，我们有：
αs(1
2)u(y) 6 αs−1(1
2)u(zs−1) 6 · · · 6 α(1
2)u(x) 6 β(1
2)u(z1) 6 · · · 6 βs(1 2)u(y).
进而选取C = max
βs(1
2), α−s(1 2)
= C(U, K, n)，有1
Cu(y) 6 u(x) 6 Cu(y) (∀x, y ∈ K).
定
定定义义义4.4.4 设u ∈ C2(U ),称它是下(上)调和函数，如果它满足∆u 6 (>)0 (∀x ∈ U ).
定
定定理理理4.4.5 设u ∈ C2(B1∩ C(B1)是下调和函数在B1上，即∀x ∈ B1(0)，∆u(x) > 0，则sup
B1
u 6 sup
∂B1
u.
若u ∈ C2(U )是下（上）调和函数，则∀Br(x) ⊂ U ，有：
(1)u(x) > (6) 1
|∂Br(x)|
ˆ
∂Br(x)
u(y)dSy； (2)u(x) > (6) 1
|∂Br(x)|
ˆ
Br(x)
u(y)dy.
【
【【证证证明明明】】】只需证(1)下调和的情况. 0 >
ˆ
Bρ(x)
∆u(y)dy = ρn−1 ˆ
∂B1(0)
∂
∂ρu(x + ρω)dSω.
§4.4. Harnack不等式 29
30 4. 调和函数的性质
§4.4. Harnack不等式 31 取ϕ = η4∈ C02(B1), 使得η ≡ 1 (x ∈ B1
2)，则
∆(η4w) + 2
n
X
i=1
DivDi(η4w) > 1
nη4w2− 8|Dη|(η2w)32 − 4(η|∆η| + 19η2|Dη|2)(η2w).
由Young不等式：8|Dη|(η2w)32 6 8ε(η2w)2 4 3
+8ε−3|Dη|4 4
ε=24n1
====== 1
4nη4w2+ C(n, η).
且4(η|∆η| + 19η2|Dη|2)(η2w) 6 4ε(η2w)2+1
ε(η|Dη| + 19η2|Dη|2) ε=
1
=====16n= 1
4nη4w2+ C(n, η).
设η4w在x0 ∈ B1处取最大值，则∆(η4w)(x0) 6 0且D(ηw)(x0) = 0 ∴ ∆(η4w2)(x0) 6 C(n, η).
若w(x0) > 1，则η4w(x0) 6 η4w2(x0) 6 C(n, η).
否则，w(x0) < 1，η4w(x0) < η4(x0) 6 C(n, η) ⇒ η4w 6 C(n, η) (x ∈ B1).
∴ w(x) 6 C(n, η)(∀x ∈ B1
2)，此即 sup
B1 2(0)
|D log u| 6 C(n).
定定定理理理4.4.9 设u > 0是B1(0)上的调和函数，则 sup
B1 2
(0)|D log u| 6 n
【【【证证证明明明】】】利用梯度估计：|Du(x)| 6 nu(x) (∀x ∈ B1
2) ∴ |D log u(x)| 6 n (∀x ∈ B1
2).
推推推论论论4.4.10 设B1(0)上调和函数u > 0，则u(x1) 6 C(n)u(x2) (∀x1, x2∈ B1 2(0)).
假设u > 0 (x ∈ B1). ∀x1, x2 ∈ B1
2，由定理2.12：
logu(x1) u(x2) =
ˆ 1
0
d
dt(log u(tx1+ (1 − t)x2))dt 6 ˆ 1
0
sup
06t61
|D(log u(tx1+ (1 − t)x2))kx1− x2|dt
6 C(n)|x1− x2| 6 C(n)，因此u(x1) 6 eC(n)u(x2).
【【【注注注】】】如果是BR的情况，以上讨论做一个伸缩即可.
第 第 第5讲 讲 讲 泛 泛 泛函 函 函分 分 分析 析 析与 与 与L p 空 空 空间 间 间
§5.1 Banach空 空 空间 间 间和 和 和Hilbert空 空 空间 间 间
定
定定义义义5.1.1 设X 是线性空间，k · k是一个范数，即满足：
(1)(正定性)∀x ∈ X ，kxk > 0，当且仅当x = θ取等；
(2)(齐次性)∀α ∈ C，x ∈ X ，kαxk = |α| · kxk；
(3)(三角不等式)∀x, y ∈ X ，kx + yk 6 kxk + kyk.
如果k · k是完备的(即Cauchy列收敛)，则称(X , k · k)是一个Banach空间.
定
定定理理理5.1.2 (Bananch不动点定理)设(X , k · k)是Banach空间，T : X → X 是压缩映射，即存在0 < k <
1，使得对任意x, y ∈ X ，kT x − T yk 6 kkx − yk，则T 在X 上存在唯一不动点x0，即T x0= x0. 定
定定义义义5.1.3 称A ⊂ X 是列紧集，如果A中任意点列都有收敛子列. 如果这个收敛子列能够保证收敛 到A中，则称A是自列紧集. 如果任意A的开覆盖总有有限子覆盖，称A是紧集.
定
定定理理理5.1.4 Banach空间中的紧集当且仅当是自列紧集.
定
定定理理理5.1.5 (Arzela-Ascoli引理)X 是紧的Banach空间，X 上的函数列{fn}∞n=1一致收敛当且仅当：
(1)(一致有界)∃M > 0，使得∀x ∈ X ，n ∈ N∗，|fn(x)| 6 M ；
(2)(等度连续)∀ε > 0，∃δ > 0，使得|fn(x) − fn(y)| < ε (∀n ∈ N∗, x, y ∈ X , kx − yk < δ).
定
定定理理理5.1.6 有限维线性空间X 上的上的范数必定等价，即若k · k1、k · k2都是X 上的范数，则必定存在 正常数c1, c2，使得c1kxk1 6 kxk2 6 c2kxk1 (∀x ∈ X ).
定
定定义义义5.1.7 设H是线性空间，具有一个双线性函数(·, ·)，满足：
(1)(正定性) ∀x ∈ H，(x, x) > 0，当且仅当x = θ取等；
(2)(共轭双线性)∀x, y, z ∈ H，α, β ∈ C，(αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z)；
(3)(共轭对称性)∀x, y ∈ H，(x, y) = (y, x).
我 们 称(·, ·)为 一个 内 积 ， 它 能 诱 导 范 数 ：k · k = p(·, ·)，如果这个范数完备，称(H, (·, ·))为一 个Hilbert空间.
定
定定义义义5.1.8 称S = {eα : α ∈ A}是Hilbert空间H的一个正交规范集，如果对任意的α, β ∈ A，eα ⊥ eβ，且∀α ∈ A，keαk = 1. 如果S⊥:= {x ∈ H : x ⊥ y (∀y ∈ S)} = {θ}，称S为完备的.
32
§5.1. Banach空间和Hilbert空间 33 定定定理理理5.1.9 (Bessel不等式)设S = {eα : α ∈ A}是Hilbert空间H的一个正交规范集，则对任意x ∈ H，X
α∈A
|(x, eα)|26 kxk2.
定定定理理理5.1.10 如 果H上 的 正 交 规 范 集S = {eα : α ∈ A}是 一 个 基(或 封 闭 的)，i.e. ∀x ∈ H，x = X
α∈A
(x, eα)eα. 它与下列条件都等价：
(1)S是完备的；(2)满足Parseval等式，即Bessel不等式取等.
定定定理理理5.1.11 (正交分解)设M 是Hilbert空间H上的一个闭线性子空间. 那么∀x ∈ H，存在唯一正交分 解x = y + z，其中y ∈ M ，z ∈ M⊥.
参
参 参考 考 考文 文 文献 献 献
[1] 张恭庆，林源渠. 泛函分析讲义(上册). 北京大学出版社，1987.3
[2] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations(Second Edition). American Mathematical Society Providence, Rhode Island, 2010.1
[3] 常庚哲，史济怀. 数学分析教程. 中国科学技术大学出版社，2013.1
[4] Elias M.Stein, Rami Shakarchi. Real Analysis. Princeton University Press, 2013.1 [5] 王明新. 索伯列夫空间. 高等教育出版社，2013.5
[6] Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions(Revised Edition). CRC Press, 2015.3
[7] 周民强. 实变函数论(第3版). 北京大学出版社，2016.10 [8] Han Qing, Lin Fanghua. Elliptic Equation. (未出版)