微微微

微 微 微分 分 分方 方 方程 程 程II习 习 习题 题 题课 课 课讲 讲 讲义 义 义

本 本 本科 科 科15级 级 级 理 理 理科 科试 科 试 试验 验 验1班 班 班 吴 吴 吴天 天 天

2019年 年 年3月 月 月29日 日 日

前 前 前 言 言 言

微分方程II，在中国科大是一门基础数学方向的专业必修课，也是推免至中国科大数学科 学学院要求修读并通过的课程之一. 它的主要内容包括：Sobolev空间，线性椭圆方程，抛物方程等 理论. 这些理论中，尤其是Sobolev空间的理论，都是比较近现代的数学理论，也是推动现代分析学 发展的重要工具. 这门课程要求相对熟练地掌握实分析以及部分泛函分析(Riesz表示定理、紧算子的 谱理论)的知识，因此，本门课程也会大量地应用各种硬分析、不等式估计的技巧，希望同学们能够 在学习的过程中，不仅学会PDE研究的方法，还能更加深入地领会实分析的方法与技巧，以及泛函 分析的理论在现代PDE中的应用.

本讲义将习题课的主要内容罗列出来，可以说一个提纲，也会将以前学过的有用的知识列出 来，便于同学们查阅. 为避免大家查阅困难，我尽量将公式安排的紧凑，因此看似页数虽少，但内 容颇多. 不仅如此，证明大多比较简略，一来启发大家思考，二来缩短篇幅. 水平有限，如有谬误，

还望批评指正.

2019春-微分方程II助教 吴天 2019年2月28日 于中国科学技术大学

目 目 目 录 录 录

前

前前 言言言 i

1 预预预备备备知知知识识识 1

1.1 微分形式与外微分 . . . 1

1.2 常用记号声明 . . . 2

1.3 常用不等式 . . . 3

2 测测测度度度理理理论论论与与与Lebesgue积积积分分分 5 2.1 测度理论 . . . 5

2.2 Lebesgue积分理论 . . . 6

2.3 Lebesgue微分定理 . . . 8

3 多多多变变变量量量微微微积积积分分分 10 3.1 场论初步与多重指标 . . . 10

3.2 边界的光滑性与Gauss-Green定理 . . . 11

3.3 极坐标换元法与余面积公式 . . . 12

3.4 卷积与磨光算子 . . . 12

3.5 单位分解定理 . . . 16

4 调调调和和和函函函数数数的的的性性性质质质 18 4.1 调和函数与平均值性质 . . . 18

4.2 调和函数的梯度估计 . . . 19

4.3 Laplace方程的基本解 . . . 21

4.4 Harnack不等式 . . . 27

5 泛泛泛函函函分分分析析与析与与L^p空空空间间间 32 5.1 Banach空间和Hilbert空间 . . . 32

ii

参参参考考考文文文献献献 34

第 第 第1讲 讲 讲 预 预 预备 备 备知 知 知识 识 识

秋名山上行人稀，常有车手较高低. 旧时车道今犹在，不见当年老司机.

——某位车技高超的助教

在本门课程开始的前几次习题课，我们需要复习一些以前学习过的知识.

§1.1 微 微 微分 分 分形 形 形式 式与 式 与 与外 外 外微 微 微分 分 分

事实上，外微分的定义是通过光滑流形上的张量场给出的，具体内容超出了本门课程，感兴趣 的同学可以查阅微分流形有关的书籍. 因此，这里我们以一种通俗易懂的方式，换句话说，是一种约 定俗成的规则来给出，虽然这样不大符合数学体系的严谨性，但是便于大家理解.

考虑在Rⁿ上，对于微分dx_i (i = 1, · · · , n)之间定义外积运算“∧”，并规定dx_i ∧ dx_j = −dx_j ∧ dxi，以及结合律. 由反交换律容易推出，对任意i，dx_i∧ dx_i = 0.

定定定义义义1.1.1 对于任意E ⊂ Rⁿ，定义

U^k(E) = { X

i1,··· ,ik

fi1,··· ,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dx_ik : i1 < · · · < ik, fi1,··· ,ik ∈ C^∞(E)}

其中的元素称为E上的k-微分形式，简称k-形式. 易知，U^k(E)是一个 ⁿ_k

维的线性空间. 任意一 个k-形式与一个l-形式可以通过函数部分相乘、微分形式部分平凡相接的方式定义外积.

定定定义义义1.1.2 设1 6 k 6 n − 1，ω = X

i1,··· ,ik

f_{i1,··· ,ik}dx_i1∧ · · · ∧ dx_ik ∈ U^k(E)，定义

dω = X

i1,··· ,ik

df_{i1,··· ,ik}∧ dx_i1∧ · · · ∧ dx_ik = X

i1,··· ,ik

n

X

j=1

∂f_{i1,··· ,ik}

∂xj

dx_j∧ dx_i1 ∧ · · · ∧ dx_ik ∈ U^k+1(E)

为ω的外微分. 容易验证：d(dω) = 0，U⁰(E) = C^∞(E)，U^k(E) = {0} (∀k > n).

例例例1.1 (dx + dy + dz) ∧ (xdx ∧ dy − zdy ∧ dz) = (x − z)dx ∧ dy ∧ dz.

1

2 1. 预备知识 例

例例1.2 设ω = xy²dy ∧ dz − xz²dx ∧ dy ∈ U²(R³)，则dω = (y²− 2xz)dx ∧ dy ∧ dz ∈ U³(R³).

设Φ为Rⁿ中的一个k维曲面，具有C¹参数表示：Φ :















x₁ = x₁(u₁, · · · , u_k)

· · ·

x_n= x_n(u₁, · · · , u_k)

，其中(u₁, · · · , uk) ∈

E ⊂ R^k，我们可以定义k-形式ω = X

i1,··· ,ik

f_{i1,··· ,ik}dx_i1 ∧ · · · ∧ dx_ik ∈ U^k(E)在Φ上的积分：

ˆ

Φ

ω = ˆ

E

X

i1,··· ,ik

f_{i1,··· ,ik}(Φ(u₁, · · · , u_k))∂(x_i1, · · · , x_ik)

∂(u₁, · · · , u_k) du₁· · · du_k.

定义了积分以后，我们可以把Stokes、Gauss公式拓展到高维，并写为统一形式：

ˆ

∂U

ω = ˆ

U

dω

这也被誉为是最美的公式之一. 最后我们看一个物理学中的例子.

例

例例1.3 电磁学中著名的Maxwell方程：







∇ · #»

B = 0, ^∂_∂t^B#»+ ∇ × #»

E = 0,

∇ · #»

E = 4πρ, ^∂_∂t^E#»− ∇ × #»

B = −4π#»

J .

定义Faraday 2-形式：F = E_xdx ∧ dt + Eydy ∧ dt + Ezdz ∧ dt + Bxdy ∧ dz + Bydz ∧ dx + Bzdx ∧ dy.

定义电流1-形式：J = ρdt + J_xdx + J_ydy + J_zdz.

定义Minkowski度量下的Hodge星算子∗ : U^k(R⁴) → U^4−k(R⁴)，满足：

(1)对于2-形式，有：∗∗ = −1，∗(dx∧dt) = dy∧dz, ∗(dy∧dt) = dz∧dx, ∗(dz∧dt) = dx∧dy.

(2)对于1-形式，有：dt ∧ (∗dt) = dx ∧ (∗dx) = · · · = dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz.

根据以上条件，Maxwell方程等价于：dF = 0, d ∗ F = 4π ∗ J. 证明留作练习.

§1.2 常 常 常用 用 用记 记 记号 号 号声 声 声明 明 明

在本门课中，有许多约定俗成的记号，在此说明.

凡是提到U, V 等集合的时候，默认它们为Rⁿ中的开集.

记V b U表示V ⊂ U，且V 是紧的，此时，我们称V 是U的紧子集.

定义C^k(U ) = {u ∈ C^k(U ) : D^αu在V 上一致连续, ∀|α| 6 k, V 是U 的任意有界子集}.

自然地，我们可以定义C^∞(U ) =

∞

\

k=1

C^k(U ).

我们用Du表示u的梯度，而不是∇u，因为D²表示Hesse阵，而∇² = ∆，我们需要的是前者.

§1.3. 常用不等式 3

定义积分平均记号：

U

f (x)dx := 1 m(U )

ˆ

U

f (x)dx.

通常对于1 6 p 6 +∞，记它的对偶为p⁰，满足1 p+ 1

p⁰ = 1.

§1.3 常 常 常用 用 用不 不 不等 等 等式 式 式

本节我们介绍若干在微分方程中需要用到的不等式.

我们称函数f 凸的，如果∀x, y ∈ Rⁿ，0 6 τ 6 1，有f(τx + (1 − τ)y) 6 τf(x) + (1 − τ)f(y). 如 果f 是凸的，则∀x ∈ Rⁿ，∃r ∈ Rⁿ，使得f (y) > f(x) + r · (y − x) (∀y ∈ Rⁿ). 特别地，如果f 在x处 可微，则r可以取为Df (x). 如果f 是C²的，则f 是凸函数当且仅当D²f > 0，其中D²表示Hesse阵.

定定定理理理1.3.1 (Jensen不等式)设f 是R^m上的凸函数，U 是Rⁿ中的开集，u : U → R^m可积，则

f



U

udx

 6

U

f (u)dx.

【【【证证证明明明】】】由f 的凸性，∀p ∈ R^m，∃r ∈ R^m，使得f (q) > f(p) + r · (q − p) (∀q ∈ R^m).

设p =

U

udy，q = u(x)，f (u(x)) > f



U

udy

 +r ·

 u(x) −

U

udy



. 两侧对x积分即可.

高中的时候我们学习过均值不等式：|ab| 6 1 2a²+1

2b²，而在PDE当中，我们经常需要使用系数 带ε的形式：|ab| 6 εa²+ 1

4εb² (∀ε > 0). 类似地，我们研究Young不等式.

定定定理理理1.3.2 (Young不等式)设1 < p < ∞，a, b > 0，则ab 6 a^p p +b^p0

p⁰ .

【【【证证证明明明】】对f (x) = e】 ^x在log a^p和log b^p0之间通过以1 p和1

p⁰为系数的凸组合的Jensen不等式得到.

【【【注注注】】】带ε的Young不等式：ab 6 εa^p+(εp)^−q/p q b^q.

定定定理理理1.3.3 (H¨older不等式)设1 6 p 6 ∞，u ∈ L^p(U )，v ∈ L^p0(U )，则kuvk_L¹_{(U )}6 kukL^p(U )kvk_Lp0(U ).

【【【证证证明明明】】】不妨设kuk_L^p = kvk_Lp0 = 1. 由Young不等式：

kuvk_L1(U )= ˆ

U

|uv|dx 6 1 p

ˆ

U

|u|^pdx + 1 p⁰

ˆ

U

|v|^p0dx = 1 = kukL^pkvk_Lp0.

【【【注注注】】】事实上，上述证明过程只对p > 1的情况给出，当p = 1, ∞的时候需要另行讨论，不过此证明 中是显然的，因此略去，不过对于L^p空间的证明一定需要注意分情况讨论.

在0 < p < 1，p⁰ < 0时，我们有反H¨older不等式：

定定定理理理1.3.4 (反H¨older不等式)设0 < p < 1，u ∈ L^p(U )，v ∈ L^p0(U )，则kuvk_L1(U )> kukL^p(U )kvk_Lp0(U ).

【【【证证证明明明】】】不妨uv ∈ L¹(U )，否则显然成立. 置p = 1 p，则

kuk_Lp(U )=

ˆ

U

|uv|^p

|v|^p dx

p

6

ˆ

U

|uv|dx

 ˆ

U

1

|v|^1−pp dx

!^1−p

p

= kuvk_L1(U )

kvk_Lp0(U )

.

4 1. 预备知识 定

定定理理理1.3.5 (Minkowski不等式)设1 6 p 6 ∞，u, v ∈ L^p(U )，则ku + vk_L^p_{(U )}6 kukL^p(U )+ kvk_L^p_{(U )}.

【

【【证证证明明明】】】ku + vk^p_Lp(U )= ˆ

U

|u + v|^pdx 6 ˆ

U

|u + v|^p−1(|u| + |v|)dx 6

ˆ

U

|u + v|^pdx

^p−1_p ˆ

U

|u|^pdx

1/p

+

ˆ

U

|v|^pdx

1/p!

= ku+vk^p−1_Lp(U ) kuk_Lp(U )+ kvk_L^p_{(U )}
.

它同样有如下的反Minkowski不等式：

定

定定理理理1.3.6 设0 < p < 1，u, v ∈ L^p(U )，则k|u| + |v|k_L^p_{(U )}> kukL^p(U )+ kvk_L^p_{(U )}.

【

【【证证证明明明】】】类似定理1.3.5的证明，只不过利用的是反H¨older不等式.

定

定定理理理1.3.7 (一 般 的H¨older不 等 式)设1 6 p1, · · · , pm 6 ∞，

m

X

k=1

1

p_k = 1， 且uk ∈ L^pk(U ) (k = 1, · · · , m)，则

ˆ

U

|u₁· · · u_m| dx ≤

m

Y

k=1

ku_kk_{Lpk(U )}.

【

【【证证证明明明】】】利用普通的H¨older不等式结合归纳法得到.

定

定定理理理1.3.8 (插 值 不 等 式)设1 6 s 6 r 6 t 6 ∞， 则 存 在θ ∈ (0, 1)， 使 得1 r = θ

s + (1 − θ) t . 设u ∈ L^s(U ) ∩ L^t(U )，则u ∈ L^r(U )，且kuk_L^r_{(U )}6 kuk^θ_L^s_{(U )}kuk^1−θ_Lt(U ).

【

【【证证证明明明】】】 ˆ

U

|u|^rdx = ˆ

U

|u|^θr|u|^(1−θ)rdx 6

ˆ

U

|u|^sdx

^θr

s ˆ

U

|u|^tdx

^(1−θ)r

t

.

定

定定理理理1.3.9 (Gronwall不 等 式)设η ∈ AC[0, T ]是 非 负 的 ， 满 足η⁰(t) 6 φ(t)η(t) + ψ(t)， 其 中φ, ψ均 为[0, T ]上的非负可积函数，则η(t) 6 exp

ˆ _t

0

φ(s)ds

  η(0) +

ˆ _t

0

ψ(s)ds



(0 6 t 6 T ). 特别地，

如果∀t ∈ [0, T ]，有η⁰6 φη，且η(0) = 0，则η ≡ 0.

【

【【证证证明明明】】】 d ds



η(s)e^{−´0sφ(r)dr}

= e^{−´0sφ(r)dr} η⁰(s) − φ(s)η(s)
6 e^{−´0sφ(r)dr}ψ(s) a.e. 0 6 s 6 T .

∴ ∀t ∈ [0, T ], η(t) exp



− ˆ _t

0

φ(r)dr



6 η(0)+

ˆ _t

0

exp



− ˆ _s

0

φ(r)dr



ψ(s)ds 6 η(0)+

ˆ _t

0

ψ(s)ds.

Gronwall不等式还有一个对应于积分方程的形式，证明留作练习.

推

推推论论论1.3.10 (Gronwall不 等 式 的 积 分 形 式)设ξ(t)在[0, T ]上 非 负 可 积 ， 对 几 乎 处 处 的t满 足ξ(t) 6 C₁

ˆ _t

0

ξ(s)ds + C₂， 其 中C₁, C₂ > 0， 则ξ(t) 6 C2 1 + C₁te^C1t

a.e. 0 6 t 6 T . 特 别 地 ， 如 果ξ(t) 6 C1

ˆ _t

0 ξ(s)ds a.e. 0 6 t 6 T ，则ξ(t)几乎处处为0.

第 第 第2讲 讲 讲 测 测 测度 度 度理 理 理论 论 论与 与 与Lebesgue积 积 积分 分 分

本讲内容，主要是介绍抽象外测度理论，以及大家在实分析中学过的有关Lebesgue积分、微分 定理，本讲涉及到的集合均为Euclid空间下的集合，2.2及其之后的测度均为Lebesgue测度.

§2.1 测 测 测度 度 度理 理 理论 论 论

本节提到的测度，均为外测度，特此说明.

定定定义义义2.1.1 设X非空，如果定义在幂集2^X = {A : A ⊂ X}上的非负广义函数µ满足µ(Ø) = 0，且对任 意{A_k}^∞_k=1，有µ(A) 6

∞

X

k=1

µ(Ak) (次可数可加性)，我们称µ为X上的一个测度，(X, µ)为测度空间.

定定定义义义2.1.2 若集合A满足对任意B ⊂ X，有µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B − A)，则称A为µ-可测集.

我们称A ⊂ 2^X为X上的一个σ-代数，如果X, Ø ∈ A，且A对集合的可数交、可数并、取补集运 算封闭. Rⁿ中由所有开集生成的σ-代数中的集合叫做Borel集，记作B.

定定定义义义2.1.3 如果Rⁿ上的测度µ称为Borel正则测度，如果满足任意的Borel集µ-可测，且对于任意A ⊂ Rⁿ，存在Borel集B ⊇ A，使得µ(A) = µ(B). 我们把任意一个紧集测度都有限的Borel正则测度叫 做Radon测度.

定定定义义义2.1.4 设f : X → Y 满足对任意Y 上的开集U ，f⁻¹(U )是µ-可测的，称f 是µ-可测映射.

我们就Borel正则测度和Radon测度，叙述几条实分析中出现过的结论. 它们的详细证明请参 考[6]的1.1、1.2.

定定定理理理2.1.5 设µ是Rⁿ上的Radon测度，则

(1)∀A ⊂ Rⁿ，µ(A) = inf{µ(U ) : A ⊂ U, U 是开集}；

(2)对任意Rⁿ上的µ-可测集A，µ(A) = sup{µ(K) : K ⊂ A, K是紧集}.

定定定理理理2.1.6 设f, g : X → R∞是µ-可测的，则f ± g, f g, |f |都是µ-可测的. 如果g 6= 0，则f

g也是µ-可测 的. 设f_k: X → R^∞是µ-可测的(k ∈ N^∗)，则inf

k>1fk, sup

k>1

fk, lim inf

k→∞ fk, lim sup

k→∞

fk都是µ-可测的.

引引引理理理2.1.7 (Borel-Cantelli引理)设{E_k}^∞_k=1是一列µ-可测集，

∞

X

k=1

µ(E_k) < ∞，则µ(lim sup

k→∞

E_k) = 0.

定定定理理理2.1.8 (Lusin定理)设µ是Rⁿ上的Borel正则测度，f : Rⁿ → R^m是µ-可测的. 设A ⊂ Rⁿ是µ-可测 的，µ(A) < ∞. 固定ε > 0，则存在紧集K ⊂ A，使得µ(A − K) < ε，且f

_K是连续的.

5

6 2. 测度理论与Lebesgue积分 定

定定理理理2.1.9 (Egorov定理)设µ是Rⁿ上的一个测度，f_k : Rⁿ → R^m是µ-可测的(k ∈ N^∗). 设A是µ-可测 的，µ(A) < ∞，在A上有f_k → f µ-a.e.，则∀ε > 0，∃B ⊂ A为µ-可测集，使得µ(A − B) < ε，且 在B上{f_k}一致收敛到f .

例

例例2.1 对于s > 0，δ > 0，A ⊂ Rⁿ，定义如下非负广义函数：

H^s_δ(A) := inf nX^∞

j=1

π^s2 Γ(^s₂ + 1)

diam Cj

2

s

: A ⊂

∞

[

j=1

Cj, diam Cj 6 δ o

.

定义H^s(A) := lim

δ→0H^s_δ(A) = sup

δ>0

H_δ^s(A). 能够证明，这是一个Borel正则测度，但只有当s > n时，这 是一个Radon测度(请思考为什么)，我们称它为s维Hausdorff测度. 它度量的是一个集合在某一特定 维度中的大小，例如，在R³中，H¹能够度量线的长度，H²能够度量面的面积. 容易发现，Hⁿ= Lⁿ (n维Lebesgue测 度). 在Lⁿ测度下，无法分辨出低维度集合的大小，而在取定恰当参数s的情况 下，Hausdorff测度就能够分辨，因此Hausdorff测度是更精细的一种测度.

对任意A ⊂ Rⁿ，存在唯一s₀，使得对任意s > s₀，H^s(A) = 0；任意s < s₀，H^s(A) = ∞(请思 考为什么). 因此，我们定义s(A) = inf{s : H^s(A) = 0}为A的Hausdorff维度. Hausdorff维度不一定是 整数，例如Cantor三分集C的Hausdorff维度s(C) = log 2

log 3(证明比较复杂，不过有相关论文可查).

§2.2 Lebesgue积 积 积分 分 分理 理 理论 论 论

称f (x)是个简单函数，如果存在有限个两两不交的可测集E_k，使得f (x) =

N

X

k=1

a_kχ_Ek(x). 我们

可以定义它的积分：

ˆ

Rⁿ

f (x)dx =

N

X

k=1

akm(Ek). 如果f (x)是一个非负可测函数，则我们可以定义 ˆ

Rⁿ

f (x)dx = sup

h(x)6f (x)

nˆ

Rⁿ

h(x)dx : h(x)在Rⁿ上非负简单函数o .

当 ˆ

Rⁿ

f (x)dx < +∞时，称f (x)是Lebesgue可积的.

对于一般的可测函数f (x)，定义f₊(x) =







f (x) , f (x) > 0 0 , f (x) 6 0

，f₋(x) =







−f (x) , f (x) < 0 0 , f (x) > 0

. 因此，这种情况下，我们可以定义一般可测函数的Lebesgue积分：

ˆ

Rⁿ

f (x)dx = ˆ

Rⁿ

f₊(x)dx − ˆ

Rⁿ

f−(x)dx.

当 ˆ

Rⁿ

f (x)dx < +∞，称f (x)是Lebesgue可积的，记作f ∈ L(Rⁿ).

在Lebesgue积分理论中，最核心的部分就是三大收敛定理，我们对它们的内容只做回顾，详细

§2.2. Lebesgue积分理论 7 证明请参考[7]. 以下出现的集合E默认均为Rⁿ上的可测集.

定定定理理理2.2.1 (Levi单调收敛定理)设{f_n}是E上的非负可测单调递增(减)函数列，且∀x ∈ E， lim

n→∞fn(x) = f (x)，则 lim

n→∞

ˆ

E

fn(x)dx = ˆ

E

f (x)dx.

定定定理理理2.2.2 (Fatou引理)设{f_n}是E上的非负可测函数列，则 ˆ

E

lim inf

n→∞ f_n(x)dx 6 lim inf

n→∞

ˆ

E

f_k(x)dx.

定定定理理理2.2.3 (控制收敛定理)设f_n ∈ L(E)， lim

n→∞fn(x) = f (x) a.e. x ∈ E. 如果存在F ∈ L(E)，使 得|f_n(x)| 6 F (x) a.e. x ∈ E (∀n ∈ N^∗)，则 lim

n→∞

ˆ

E

f_n(x)dx = ˆ

E

f (x)dx.

【【【注注注】】】实际上，定理2.2.3的几乎处处收敛改成依测度收敛，结论依旧成立.

此外，关于Lebesgue积分还有几个比较重要的定理.

定定定理理理2.2.4 (积分的绝对连续性)若f ∈ L(E)，则∀ε > 0，∃δ > 0，使得∀F ⊂ E，m(F ) < δ，有

   ˆ

F

f (x)dx    6

ˆ

F

|f (x)|dx < ε.

【【【证证证明明明】】】不妨f 非负. 由于非负可测函数可被简单函数从下方逼近，因此存在ϕ为简单函数，使 ˆ

E

f (x) − ϕ(x)
dx < ε 2. 设ϕ(x) 6 M，取δ = ε

2M，则当F ⊂ E且m(F ) < δ时，

ˆ

F

f (x)dx 6 ˆ

E

f (x) − ϕ(x)
dx + ˆ

F

ϕ(x)dx < ε.

许多关于Lebesgue积分结论的证明，都是类似于上述方法，先考虑非负可测简单函数，再考虑 逼近一般情况. 同学们可以尝试着证明下面的定理.

定定定理理理2.2.5 (平移定理)设f ∈ L(Rⁿ)，则∀y ∈ Rⁿ，f (x+y) ∈ L(Rⁿ)，且 ˆ

Rⁿ

f (x+y)dx = ˆ

Rⁿ

f (x)dx.

下面给出Lebesgue可积函数与连续函数的关系.

定定定理理理2.2.6 若f ∈ L(E)，则∀ε > 0，∃g(x) ∈ C₀(Rⁿ)，使得 ˆ

E

|f (x) − g(x)|dx < ε.

【【【 注注注 】】】 它 的 证 明 是 依 靠 非 负 可 测 简 单 函 数 逼 近 非 负 可 积 函 数 的 同 时 又 能 被 紧 支 连 续 函 数 逼 近(Lusin定理)完成的. 下面的定理是它的推论.

定定定理理理2.2.7 (积分的平移连续性)设f ∈ L(Rⁿ)，则 lim

h→0

ˆ

Rⁿ

|f (x + h) − f (x)|dx = 0.

【【【证证证明明明】】】∀ε > 0，取分解：f (x) = f₁(x) + f2(x)，使得f1∈ C₀(Rⁿ)，

ˆ

Rⁿ

|f₂(x)|dx < ε 4. 由于f₁紧支且一致连续，故∃δ > 0，使得当|h| < δ时，

ˆ

Rⁿ

|f₁(x + h) − f (x)|dx < ε 2.

∴ ˆ

Rⁿ

|f (x + h) − f (x)|dx 6 ε 2+

ˆ

Rⁿ

|f (x + h)|dx + ˆ

Rⁿ

|f (x)|dx = ε 2 + 2

ˆ

Rⁿ

|f (x)|dx < ε.

下面给出两个在交换积分次序时常用的定理.

8 2. 测度理论与Lebesgue积分 定

定定理理理2.2.8 (Fubini定理)若f ∈ L(Rⁿ)，(x, y) ∈ Rⁿ= R^p× R^q，则 (1)对于几乎处处的x ∈ R^p，f (x, y)是R^q上的可积函数.

(2)积分 ˆ

R^q

f (x, y)dy是R^p上的可积函数.

(3) ˆ

Rⁿ

f (x, y)dxdy = ˆ

R^p

dx ˆ

R^q

f (x, y)dy = ˆ

R^q

dy ˆ

R^p

f (x, y)dx.

定

定定理理理2.2.9 (Tonelli定理)若f 是Rⁿ= R^p× R^q上的非负可测函数，则 (1)对于几乎处处的x ∈ R^p，f (x, y)是R^q上非负可测函数.

(2)积分 ˆ

R^q

f (x, y)dy是R^p上的非负可测函数.

(3) ˆ

Rⁿ

f (x, y)dxdy = ˆ

R^p

dx ˆ

R^q

f (x, y)dy = ˆ

R^q

dy ˆ

R^p

f (x, y)dx.

例

例例2.2 我们定义f ∈ L(E)的分布函数：f_∗(λ) = m({x ∈ E : |f (x)| > λ})，λ > 0. 求 证 ： 对 任 意p > 1，有

ˆ

E

|f (x)|^pdx = p ˆ _+∞

0

λ^p−1f∗(λ)dλ.

【

【【证证证明明明】】】记F (λ, x) = χ|f (x)|>λ(λ, x)，即在|f (x)| > λ时，F (λ, x) = 1，其余的时候为0.

ˆ

E

|f (x)|^pdx = ˆ

E

dx ˆ _+∞

0

pλ^p−1F (λ, x)dλ = ˆ _+∞

0

pλ^p−1dλ ˆ

E

F (λ, x)dx = p ˆ _+∞

0

λ^p−1f∗(λ)dλ.

§2.3 Lebesgue微 微 微分 分 分定 定 定理 理 理

在数学分析中，大家学习过微积分基本定理，而它表明了微分与积分运算的可逆关系. 而在上 一节，我们定义了Lebesgue积分，因此我们也需要研究更一般的微分理论. 而下面的Lebesgue微分 定理探讨的是先积分再微分的问题.

定

定定理理理2.3.1 (Lebesgue微分定理)设f ∈ L¹_loc(Rⁿ)，则 lim

m(B)→0

x∈B B

f (y)dy = f (x) a.e. x，其中B是球.

我们定义满足 lim

m(B)→0

x∈B B

|f (y) − f (x)|dy = 0.的点x为f 的Lebesgue点. 我们有如下更强的结论.

推

推推论论论2.3.2 (Lebesgue点的稠密性)f ∈ L¹_loc(Rⁿ)，则Rⁿ中几乎处处都为f 的Lebesgue点.

【

【【证证证明明明】】】∀r ∈ Q，定义Er = {x : lim

m(B)→0

x∈B B

|f (y) − r|dy 6= |f (x) − r|}，定义E = [

r∈Q

E_r. 由定理2.3.1，每个E_r是零测集，Q是可数集，因此E是零测集.

取x /∈ E，∀ε > 0，∃r ∈ Q，使得|f(x) − r| < ε，因此

B

|f (y) − f (x)|dy 6

B

|f (y) − r|dy + |f (x) − r|

令m(B) → 0，有： lim sup

m(B)→0 x∈B

B

|f (y) − f (x)|dy 6 2ε.

§2.3. Lebesgue微分定理 9

我们称f 是[a, b]上的有界变差函数， 如果它的总变差sup

N

X

k=1

|f (t_k) − f (t_k−1)| < +∞，其中sup是 对任意一种[a, b]的分割：a = t₀ < · · · < tN = b来取，一般记作f ∈ BV[a, b]. 我们容易知道：单调函 数、导数有界的函数以顶是有界变差函数. 不仅如此，我们还有如下定理.

定定定理理理2.3.3 (Jordan分解定理)f ∈ BV[a, b]当且仅当f = g − h，其中g和h均为[a, b]上的递增函数.

事实上，有界变差函数一定是几乎处处可微的，但是并不能保证导数的可积性. 称f 是[a, b]上的 绝对连续函数，如果∀ε > 0，∃δ > 0，使得当

N

X

k=1

(b_k− a_k) < δ时，

N

X

k=1

|f (b_k) − f (a_k)| < ε，其中要 求(a_k, bk)之间两两不交，一般记作f ∈ AC[a, b]. 有了绝对连续函数的概念，我们可以研究先微分再 积分的问题.

定定定理理理2.3.4 如果f 是单调递增的连续函数，则f⁰几乎处处存在，且f⁰是非负可测函数，满足 ˆ _b

a

f⁰(x)dx 6 f (b) − f (a).

定定定理理理2.3.5 f ∈ AC[a, b]，则f⁰几乎处处存在且可积，且∀x ∈ [a, b]，满足f (x) − f (a) = ˆ _x

a

f⁰(t)dt.

第

第 第3讲 讲 讲 多 多 多变 变 变量 量 量微 微 微积 积 积分 分 分

§3.1 场 场 场论 论 论初 初 初步 步 步与 与 与多 多 多重 重 重指 指 指标 标 标

首先，我们复习一些多变量微积分的基础知识. 这一节，我们总是假定出现的函数具有充分好的 光滑性，区域也充分满足需要的条件.

任取向量ν ∈ Rⁿ，我们定义函数f 在x处的方向导数∂f

∂ν(x) := lim

h→0⁺

f (x + hν) − f (x)

h . 它有一个

非常实用的计算公式：∂f

∂ν = ∇f · ν，其中∇f =

∂f

∂x₁, · · · , ∂f

∂x_n

为f 的梯度. 除了梯度，我们还通 常需要用到一个向量值函数的散度. 设F : Rⁿ→ Rⁿ，则定义其散度为：

divF = ∇ · F = lim

m(U )→0

1 Hⁿ⁻¹(∂U )

˛

∂U

F · dS.

设F = (F₁, · · · , F_n)，我们有一种更实用地计算散度的方法：∇ · F =

n

X

k=1

∂F_k

∂xk

. 设f ，g是数量值函数，F是向量值函数，则有如下公式：

∇(f g) = f ∇g + g∇f ，∇ · (f F) = ∇f · F + f ∇ · F.

下面引入多重指标的概念，它在之后PDE的学习中有着重要作用.

定

定定义义义3.1.1 称α是一个多重指标，如果α = (α₁, · · · , αn) ∈ Nⁿ. 定 义|α| =

n

X

k=1

αk，α! =

n

Y

k=1

αk!.

设x = (x₁, · · · , x_n) ∈ Rⁿ，定义x^α =

n

Y

k=1

x^α_k^k. 设f 是Rⁿ具有足够光滑性的函数，定义

D^αf = ∂^|α|f

∂^α1x₁· · · ∂^αnx_n.

多重指标在表达一些结论的时候有着简化公式的作用，下面给出一个使用多重指标表达的多变 量中的Taylor展开的例子.

定

定定理理理3.1.2 设f 在x₀附近是光滑的，则对在x₀的某个邻域内的x，有 10

§3.2. 边界的光滑性与Gauss-Green定理 11

f (x) =

∞

X

n=0

X

|α|=n

D^αf (x0)

α! (x − x0)^α.

§3.2 边 边 边界 界 界的 的 的光 光 光滑 滑 滑性 性 性与 与 与Gauss-Green定 定 定理 理 理

本节中，设U 是有界开集，k ∈ N^∗.

定定定义义义3.2.1 我们称∂U 是C^k的边界，如果∀x⁰ ∈ ∂U ，∃r > 0和一个C^k的函数γ : Rⁿ⁻¹→ R，使得

U ∩ B x⁰, r
= x ∈ B x⁰, r
: x_n> γ (x1, · · · , xn−1) .

如果∀k ∈ N^∗，都有∂U 是C^k的，则称∂U 是C^∞的. 如果γ是解析的，则称∂U 是解析的.

上述定义，在理论上给出了对于一个有界开集的边界光滑性的刻画. 当∂U 是C¹的时候，考察它 的单位外法向场：ν = (ν₁, · · · , νn)，可以定义u ∈ C¹(U )的外法向导数：∂u

∂ν := ν · Du.

有了上述准备工作，我们可以引入拉直边界的方法. 固定x⁰ ∈ ∂U ，取恰当的r和γ，定义







y_i= x_i=: Φⁱ(x), i = 1, · · · , n − 1 yn= xn− γ (x₁, . . . , xn−1) =: Φⁿ(x)

从而我们有变换公式：y = Φ(x). 同理，我们反解方程得到反变换公式x = Ψ(y) = Φ⁻¹(y)：







xi = yi =: Ψⁱ(y), i = 1, · · · , n − 1 x_n= y_n+ γ (y₁, . . . , y_n−1) =: Ψⁿ(y)

我们把映射x → Φ(x) = y称作“在x⁰附近拉直U 的映射”. 试证明det DΦ = det DΨ = 1.

下面，在∂U 是C¹的情况下，我们回顾并总结有关于Gauss-Green定理的结论.

定定定理理理3.2.2 (Gauss散度定理)设u ∈ C¹(U ; Rⁿ)，则 ˆ

U

div udx = ˆ

∂U

u · νdS.

定定定理理理3.2.3 (Gauss-Green定理)设u ∈ C¹(U )，则 ˆ

U

u_xidx = ˆ

∂U

uν_idS (i = 1, · · · , n).

【【【注注注】】】事实上，这是Gauss散度定理用于ue_i的直接推论.

如果直接将Gauss-Green定理应用于函数uv，我们得到：

定定定理理理3.2.4 (分部积分公式)设u, v ∈ C¹(U )，则 ˆ

U

uxivdx = − ˆ

U

uvxidx + ˆ

∂U

uvνidS (i = 1, · · · , n).

请同学们尝试着使用上述结论证明：

12 3. 多变量微积分 定

定定理理理3.2.5 (Green公式)设u, v ∈ C²(U )，则 (1)

ˆ

U

∆udx = ˆ

∂U

∂u

∂νdS；

(2) ˆ

U

Dv · Dudx = − ˆ

U

u∆vdx + ˆ

∂U

u∂v

∂νdS；

(3) ˆ

U

(u∆v − v∆u) dx = ˆ

∂U

 u∂v

∂ν − v∂u

∂ν

 dS.

§3.3 极 极 极坐 坐 坐标 标 标换 换 换元 元 元法 法与 法 与 与余 余 余面 面 面积 积 积公 公 公式 式 式

在PDE的研究中，我们在计算积分的时候，经常要用到极坐标代换的技巧.

定

定定理理理3.3.1 设f ∈ C(Rⁿ) ∩ L(Rⁿ)，则∀x0 ∈ Rⁿ， ˆ

Rⁿ

f dx = ˆ _∞

0

ˆ

∂B(x0,r)

f dS

! dr.

这可以理解为考虑在一个球上的积分，可以看作被切作一个个表面的面积分，然后再对半径积 分. 而这个思想可以表述为一个不难证明的恒等式：

d dr

ˆ

B(x0,r)

f dx

!

= ˆ

∂B(x0,r)

f dS.

下面，我们把它总结为一个更一般的结论.

定

定定理理理3.3.2 (余面积公式)设u : Rⁿ → R是Lipschitz连续函数，对于几乎处处的r ∈ R，定义水平 集{x ∈ Rⁿ|u(x) = r}是Rⁿ 中的一个光滑的 (n − 1)维超曲面. 设f ∈ C(Rⁿ) ∩ L(Rⁿ)，则

ˆ

Rⁿ

f |Du|dx = ˆ _∞

−∞

ˆ

{u=r}

f dS

! dr.

【

【【注注注】】】具体证明比较复杂，在[6]的3.4节有更详细的阐述.

§3.4 卷 卷 卷积 积 积与 与 与磨 磨 磨光 光 光算 算 算子 子 子

定

定定义义义3.4.1 设f 和g是Rⁿ上的可测函数，如果积分 ˆ

Rⁿ

f (x − y)g(y)dy

存在，则称此积分为f 与g的卷积，记为(f ∗ g)(x).

首先，我们给出一个显然的不等式：

定

定定理理理3.4.2 若f, g ∈ L(Rⁿ)，则f ∗ g ∈ L(Rⁿ)存在，且kf ∗ gk_L¹_(Rⁿ₎6 kf kL¹(Rⁿ)kgk_L1(Rⁿ).

【

【【证证证明明明】】】先使用三角不等式平凡地化为f, g非负的情况，然后使用Tonelli定理. 留作练习.

定

定定理理理3.4.3 设f ∈ L(Rⁿ)，g(x)在Rⁿ上有界可测，则(f ∗ g)(x)在R上一致连续.

§3.4. 卷积与磨光算子 13

【【【证证证明明明】】】不妨|g| 6 M. 则|(f ∗ g)(x + h) − (f ∗ g)(x)| 6 ˆ

Rⁿ

|f (x + h − t) − f (x − t)||g(t)|dt

6 M ˆ

Rⁿ

|f (x + h − t) − f (x − t)|dt → 0 (h → 0).

其中使用了可积函数积分的绝对连续性. 由于上述估计对任意x ∈ Rⁿ成立，因此结论得证.

定定理定理理3.4.4 设f ∈ L¹_loc(U ), g ∈ C₀^∞(U )，则f ∗ g ∈ C^∞(U )，且D^α(f ∗ g) = f ∗ (D^αg).

【【【证证证明明明】】】不妨使用定义先证明一阶导数的情况，然后使用归纳法(归纳法显然，留作练习).

设spt g ⊂ V ⊂ U . 由于f ∈ L¹_loc(U )，所以f ∈ L¹(V ).

不妨考察∂(f ∗ g)

∂x₁ (x). 对h > 0充分小，由Taylor展开，∃θ ∈ (0, 1)，使得 

g(x + he₁− y) − g(x − y)

h − ∂g

∂x1

(x − y)   =

   1 2

∂²g

∂x²₁(x + y + θhe₁)h    6

1 2max

V

∂²g

∂x²₁   h.

利用g ∈ C₀^∞(Rⁿ)：

   1 h

ˆ

U

f (y) g(x + he₁− y) − g(x − y)
dy − ˆ

U

f (y) ∂g

∂x₁(x − y)dy   

6 ˆ

V

|f (y)| · 1 2max

V

∂²g

∂x²₁  

hdy = 1 2max

V

∂²g

∂x²₁  

· kf k_L1(V )h → 0 (h → 0⁺).

∴由偏导数的定义：∂(f ∗ g)

∂x1

(x) = ˆ

U

f (y) ∂g

∂x1

(x − y)dy =

 f ∗ ∂g

∂x1

 (x).

【【【注注注】】】虽然表面上被称作卷积，但是它并没有“乘法”所应具有的所有性质. 事实上，L¹(R)中不 存在函数u(x)是卷积的单位元，即u ∗ f (x) = f (x) a.e. x ∈ R，对任意的f ∈ L¹(R)成立. 否则，

取δ > 0，使得 ˆ _2δ

−2δ

|u(x)|dx < 1. 考察f (x) = χ_[−δ,δ](x)，则

f (x) = (u ∗ f )(x) = ˆ _δ

−δ

u(x − y)dy = ˆ _x+δ

x−δ

u(t)dt a.e. x ∈ R.

因此必定有x₀∈ [−δ, δ]，使得1 = f (x₀) = ˆ _x0+δ

x0−δ

|u(t)|dt 6 ˆ _2δ

−2δ

|u(t)|dt < 1，矛盾！

有了卷积这个工具，我们就可以定义磨光函数与磨光算子，把一个函数磨光，是用光滑 函数逼近一般可积函数的有效方法。取C =

ˆ

B1

exp

 1

|x|²− 1



dx，定义函数

η(x) =









 1 C exp

 1

|x|²− 1



, |x| < 1 0 , |x| > 1

显 然 ，η ∈ C₀^∞(Rⁿ)且 ˆ

Rⁿ

η(x)dx = 1， 通 常 称η为 软 化 子. 对 于ε > 0， 定 义η_ε(x) = 1 εⁿηx

ε

，

14 3. 多变量微积分 称η_ε为磨光核. 显然，

ˆ

Rⁿ

ηε(x)dx = 1，spt {ηε} = B_ε. 对于u ∈ L¹_loc(U )，定义u的磨光函数u^ε：

u^ε(x) = J_εu(x) = (η_ε∗ u)(x) = ˆ

U

η_ε(x − y)u(y)dy, ∀x ∈ U.

其中的J_ε称为磨光算子. 若记U_ε= {x ∈ U : dist(x, ∂U ) > ε}，那么

u^ε(x) = ˆ

Bε(x)

η_ε(x − y)u(y)dy, ∀x ∈ U_ε.

定

定定理理理3.4.5 (磨光性质)磨光函数u^ε具有下面的性质：

(1)u^ε∈ C^∞(U_ε)；

(2)u^ε→ u几乎处处于U ；

(3)当u ∈ C(U )时，在U 的任一紧子集上u^ε一致收敛到u；

(4)若1 6 p < ∞，u ∈ L^p_loc(U ), 那么在 L^p_loc(U )中 u^ε→ u；

(5)假设u ∈ L¹(U )并且spt u ⊂ U ，记δ = dist(spt u, ∂U )，则当ε < δ

4时，有u^ε∈ C₀^∞(U )；

(6)若u ∈ L^p(Rⁿ+), 那么∀σ > 0，在空间L^p(Rⁿ2σ)中u^ε→ u，其中Rⁿσ = {x ∈ Rⁿ: xn> σ}.

【

【【证证证明明明】】】(1)它是定理3.4.4的直接推论.

(2)由定理2.3.2(Lebesgue点的稠密性)立刻可得，证明留作练习.

(3)由于u ∈ C(U )，对任意U₀ b U ，取U0 b V b U . 由于u在V 上一致连续，因此

lim

r→0⁺ Br(x)

|u(y) − u(x)|dy = 0

对x ∈ U₀一致地成立. 类似于(2)的证明过程，能够得到在U₀上u^ε一致收敛到u.

(4)假设1 6 p < ∞，u ∈ L^p_loc(U ). 取U₀b V b U . 先证当ε > 0充分小时，ku^εk_Lp(U0)6 kukL^p(V ). 事实上，对于x ∈ U₀，

|u^ε(x)| =      ˆ

Bc(x)

ηε(x − y)u(y)dy     

6 ˆ

Bε(x)

ηε(x − y)dy

!1−¹_p ˆ

Bε(x)

ηε(x − y)|u(y)|^pdy

!¹_p

因为 ˆ

Bε(x)

ηε(x − y)dy = 1，所以当ε适当小时，

ˆ

U0

|u^ε(x)|^pdx

6 ˆ

U0

ˆ

Bε(x)

η_ε(x − y)|u(y)|^pdy

! dx 6

ˆ

V

|u(y)|^p ˆ

Bε(y)

η_ε(x − y)dx

! dy =

ˆ

V

|u(y)|^pdy

因此ku^εk_Lp(U0)6 kukL^p(V ). 固定U0 b V b U ，δ > 0, 并取v ∈ C(V )使得ku − vkL^p(V )< δ.

§3.4. 卷积与磨光算子 15

∴ ku^ε− uk_Lp(U0)6 ku^ε− v^εk_Lp(U0)+ kv^ε− vk_Lp(U0)+ kv − uk_L^p_(U0) 6 2kv − ukL^p(V )+ kv^ε− vk_Lp(U0) 6 2δ + kv^ε− vk_Lp(U0).

由于v^ε → v在 ¯V 上一致成立，因此 lim

ε→0⁺

ku^ε− uk_Lp(U0)6 2δ.

(5)设ε < δ

4，由(1)知u^ε∈ C^∞(U_ε). 先证u^ε∈ C₀^∞(U_ε). 事实上，按照定义我们有 u^ε(x) =

ˆ

|x−y|<ε

ηε(x − y)u(y)dy, ∀x ∈ Uε.

设x ∈ U_ε，dist(x, ∂U ) < δ

2. 对于满足|x − y| < ε的y, 由dist(y, ∂U ) 6 |x − y| + dist(x, ∂U ) <

3δ

4 知，y /∈ spt u. 从而u^ε(x) = 0. 这说明spt u^ε⊂ U_ε. 再把u^ε零延拓到U , 则u^ε∈ C₀^∞(U ).

(6)∀δ > 0，因为u ∈ L^p(Rⁿ+)，故存在m  1，使得 ˆ

A⁽¹⁾m

|u|^pdx < δ, ˆ

A⁽²⁾m

|u|^pdx < δ

其中, A⁽¹⁾_m = Rⁿ_σ∩ {|x| > m}, A⁽²⁾m = Rⁿ_2σ∩ {|x| > 2m}. 类似于(4)的证明可知, 当ε > 0适当小时，

ˆ

A⁽²⁾m

|u^ε|^pdx 6 ˆ

A⁽¹⁾m

|u|^pdx < δ.

由(4)知，在Lˆ ^p(Rⁿ_2σ\A⁽²⁾_m )中u^ε→ u. 于是

Rⁿ2σ

|u^ε− u|^pdx = ˆ

Rⁿ2σ\A⁽²⁾m

|u^ε− u|^pdx + ˆ

A⁽²⁾m

|u^ε− u|^pdx

6 ˆ

Rⁿ2σ\A⁽²⁾_m

|u^ε− u|^pdx + 2^p−1

ˆ

A⁽²⁾m

|u^ε|^pdx + ˆ

A⁽²⁾m

|u|^pdx



6 2^pδ + ˆ

Rⁿ2σ\A⁽²⁾_m

|u^ε− u|^pdx.

由此得lim

ε→0ku^ε− uk_Lp(Rⁿ_2σ)6 2δ^1p.

【【【注注注】】】1. 如果U 是有界开集，把L^p(U )中得函数u零延拓到U 的外部后仍记为u. 取一个紧包含U 的开 集U₁，那么u ∈ L^p(U1). 由(1)知，u^ε∈ C^∞(U ). 再由(4)知，在L^p(U )中u^ε→ u.

2. 从(4)的证明过程可以看出: 如果u ∈ L^p(U )并且spt u b U , 那么当0 < ε  1时, 有ku^εk_Lp(U ) 6 kuk_Lp(U ).

定定定理理理3.4.6 设U 是非空开集，紧集K ⊂ U , 则存在φ ∈ C₀^∞(U ), 使得在K上φ ≡ 1.

【【【证证证明明明】】】取开集V 使得K ⊂ V 并且V ⊂ U ，ε = 1

3min{dist(K, ∂V ), dist(V, ∂U )}. 容易验证特征函数

16 3. 多变量微积分

φ(x) = χ^ε_V(x) = ˆ

Bε

ηε(y)χ_V(x − y)dy满足定理的要求.

§3.5 单 单 单位 位 位分 分 分解 解 解定 定 定理 理 理

研究函数性质的一个重要方法是把问题局部化，即在一点的邻域内讨论. 然而局部化之后还需 要将其整合为整体，这就需要单位分解定理. 本节给出三个不同版本.

定

定定理理理3.5.1 假设U 是Rⁿ中的紧集，U₁, · · · , Um是U 的一个开覆盖，那么存在ζ_i(x) ∈ C₀^∞(Ui)使得 (1)0 6 ζi(x) 6 1, ∀x ∈ Ui, i = 1, 2, · · · , m；

(2)

m

X

i=1

ζi(x) = 1, ∀x ∈ U.

称ζ₁, ζ₂, · · · , ζ_m为U 的从属于开覆盖U₁, U₂, · · · , U_m的一个有限C^∞-单位分解.

【

【【证证证明明明】】】因为开集U₁覆盖闭集U \

m

[

i=2

Ui，所以δ₁= dist(∂U1, U \

m

[

i=2

Ui) > 0. 把U1缩小为

U₁^∗=



x ∈ U1 : dist(x, ∂U1) > δ1

2



U₁^∗, U2, · · · , Um仍然构成U 的开覆盖. 类似地，逐个缩小U₂, · · · , Um为U₂^∗, · · · , U_m^∗，那么U₁^∗, U₂^∗, · · · , U_m^∗ 还构成U 的开覆盖. 由定理3.4.6知，存在φ_i ∈ C₀^∞(Ui)，在U_i^∗上φ_i ≡ 1. 记φ(x) =

m

X

i=1

φi(x)，那么 取ζ_i(x) = φ_i(x)

φ(x), i = 1, 2, · · · , m即为所要的单位分解.

定

定定理理理3.5.2 设U 是Rⁿ中的集合，U是U 的一个开覆盖，那么存在C₀^∞(Rⁿ)中的一个函数族Σ(至多是可 数集)，具有下列性质：

(1)对于任意的ζ ∈ Σ和x ∈ Rⁿ，有0 6 ζ(x) 6 1；

(2)对每个ζ ∈ Σ,都存在U ∈ U 使得spt ζ ⊂ U ； (3)X

ζ∈Σ

ζ(x) = 1, ∀x ∈ U ；

(4)对U 的任意紧子集U⁰，函数族Σ中至多有有限个ζ在U⁰上不恒为零.

称函数族Σ为U 的从属于开覆盖U的一个C^∞-单位分解.

【

【【证证证明明明】】】先考虑U 是紧集的情况，利用有限覆盖定理知，存在U₁, U₂, · · · , U_k∈ U 使得U ⊂

k

[

i=1

U_i，由 定理3.5.1知结论成立. 再考虑U 是开集的情况：对于正整数k，定义

A_k=



x ∈ U : |x| 6 k, dist(x, ∂U ) > 1 k



，U_k = A_k\A^◦_k−1

其中A₀ = Ø. 这里，开始的几个U_k可能是空集，但是不影响讨论. 显然，U_k是紧集且U =

∞

[

k=1

U_k. 定义开集族V₁ = V₂ = {V ∩ A^◦₃ : V ∈ U }，V_k = {V ∩ A^◦_k+1∩ A^◦_k−2 : V ∈ U }，k > 3. 那么Vk是 紧集U_k的开覆盖. 利用上一步的结论知，存在U_k的一个从属于开覆盖V_k的有限C^∞-单位分解Σ_k. 显

§3.5. 单位分解定理 17 然，对于U 的任意紧子集U⁰，只能存在有限多个k，使得U⁰与V_k中的元素（集合）相交.

又注意到Σ_k是有限单位分解，所以在每一点x ∈ U ，有σ(x) > 0. 容易验证，函数族

Σ =

(φ(x) σ(x) : φ ∈

∞

[

k=1

Σ_k )

具有定理的4个性质. 注意到Σ_k是有限集，故Σ至多是可数集.

最后考虑U 是任意集合的情况. 由于U ⊂ B := S_{U ∈U}，而B是开集，所以对B做出的单位分解同 样也是对U 做出的单位分解.

定定定理理理3.5.3 假设U 是Rⁿ中的集合，{U_i}ⁿ_i=1是U 的一个开覆盖， 那么存在ζ_i ∈ C₀^∞(U_i)，使得 (1)0 6 ζi(x) 6 1, ∀x ∈ Ui, i = 1, 2, · · · ；

(2)

∞

X

i=1

ζi(x) = 1, ∀x ∈ U ；

(3)∀x0∈ U ，存在x₀的一个邻域B_ε(x0)，使得{ζi}^∞_i=1中只有有限个ζ_i在B_ε(x0)不恒为零.

称 {ζ_i}^∞_i=1是U 的从属于开覆盖{U_i}^∞_i=1的一个C^∞-单位分解.

【【【证证证明明明】】】取{ψ_k}^∞_k=1是由定理3.5.2得到的U 的一个从属于开覆盖{U_i}^∞_i=1的一个C^∞-单位分解.

当ψ_k6≡ 0时，由spt ψ_k⊂ U_ik确定了一个多值映射f : k → i_k. 对于任意的i，定义

ζ_i(x) =









 X

f (k)=i

ψ_k(x) , 如果存在k使得f (k) = i

0 , 若不存在k使得f (k) = i .

从定理3.5.2的证明可以看出，∀x ∈ U ， X

f (k)=i

ψk(x)中只包含有限多项非零项，因此ζi(x)有定义，容 易验证{ζ_i}^∞_i=1满足所要的条件.

第

第 第4讲 讲 讲 调 调 调和 和 和函 函 函数 数 数的 的 的性 性 性质 质 质

我们称如下方程为Poisson方程的Dirichlet边界问题(通常简记为D.P.问题)：







∆u(x) = f (x) , x ∈ U u(x) = g(x) , x ∈ ∂U

其中∆ =

n

X

k=1

∂²

∂x²_k为Laplace算子. 这是最简单的一种线性椭圆方程，如果非齐次项f (x) = 0，这个方 程退化为Laplace方程，它的解函数被称为U 上的调和函数.

§4.1 调 调 调和 和 和函 函 函数 数 数与 与平 与 平 平均 均 均值 值 值性 性 性质 质 质

本小节探讨一般的调和函数理论，记ω_n为n维单位球的表面积，即

ω_n= Hⁿ⁻¹ ∂B₁(0)
= 2πⁿ² Γn 2

 ，其中Γ(s) = ˆ _+∞

0

t^s−1e^−tdt为Euler第二积分.

依照定义3.1.1定义多重指标：α = (α₁, · · · , α_n) ∈ Zⁿ，|α| =

n

X

i=1

α_i，α! =

n

Y

i=1

α_i!.

设x = (x₁, · · · , x_n)，定义x^α=

n

Y

i=1

x^α_iⁱ，D^α = ∂^|α|

∂^α1x₁· · · ∂^αnx_n. 定

定定义义义4.1.1 称u ∈ C(U )满足平均值性质(mean value property，记作u ∈M.V.P.(U ))，如果满足：

u(x) = 1 ωnrⁿ⁻¹

ˆ

∂Br(x)

u(y)dS_y (∀B_r(x) ⊂ U ) 或 u(x) = n ωnrⁿ

ˆ

Br(x)

u(y)dy (∀B_r(x) ⊂ U ).

【

【【注注注】】】定义4.1.1的两个条件的等价性的证明是平凡的，留作练习.

性

性性质质质4.1.2 (最大模原理)设u ∈ C(U ) ∩ M.V.P.(U )，且u不是常数，则u的最大值和最小值均只能 在∂U 上取得. 进而有max

U

|u| = max

∂U |u|.

【

【【证证证明明明】】】仅对最大值情况做出证明. 置Σ = {x ∈ U : u(x) = max

U

u}. 显然Σ是闭集.

18

§4.2. 调和函数的梯度估计 19

∀x ∈ Σ，取r > 0，使B_r(x) ⊂ U ，记M = max

U

u，由平均值性质：

M = u(x0) = n ωnrⁿ

ˆ

Br(x0)

u(y)dy 6 n ωnrⁿ

ˆ

Br(x0)

M dy = M

由u的连续性，u(y) ≡ M (∀y ∈ B_r(x₀))，即B_r(x₀) ⊂ Σ，Σ是开集. 故Σ = Ø或Σ = U.

定定定理理理4.1.3 u ∈ C(U ) ∩ M.V.P.(U )当且仅当∆u(x) = 0 (∀x ∈ U )，并且调和函数一定光滑.

【【【证证证明明明】】】(充分性) 取B_r(x) ⊂ U ，ρ ∈ (0, r). 记B_ρ= B_ρ(x). 由Gauss散度定理：

0 = ˆ

Bρ

∆u(y)dy = ˆ

∂Bρ

∂u

∂ndS = ρⁿ⁻¹ ∂

∂ρ ˆ

|w|=1

u(x + ρw)dS_w.

约掉ρⁿ⁻¹，并对ρ从0到r积分，有：

ˆ

|w|=1

u(x + rw)dSw = u(x)ωn. (必要性) 已知U 上的连续函数u满足平均值性质. 取ϕ ∈ C₀^∞ B₁(0)

满足 ˆ

B1(0)

ϕ(x)dx = 1，

且ϕ(x)为径向函数，设为ϕ(x) = ψ(|x|)，则ω_n ˆ ₁

0

rⁿ⁻¹ψ(r)dr = 1. 置ϕ_ε(x) = 1 εⁿϕx

ε

 . 对∀x ∈ U ，ε < dist(x, ∂U )，有：(ϕ_ε∗ u)(x) =

ˆ

U

u(x + y)ϕε(y)dy = ˆ

|y|<1

u(x + εy)ϕ(y)dy

= ˆ ₁

0

rⁿ⁻¹dr ˆ

∂B1(0)

u(x + εrw)ϕ(rw)dS_w = ˆ ₁

0

ψ(r)rⁿ⁻¹dr ˆ

|w|=1

u(x + εrw)dS_w =====^M.V.P= u(x).

因此对∀ε > 0，∀x ∈ U_ε:= {y ∈ U : dist(y, ∂U ) > ε}，u(x) = (ϕε∗ u)(x) ∈ C^∞(Uε).

∴ u ∈ C^∞(U ). 由充分性的证明知：对∀B_r(x) ⊂ U 有 ˆ

Br(x)

∆u(y)dy = rⁿ⁻¹ ∂

∂r ˆ

|w|=1

u(x + rw)dSw= rⁿ⁻¹ ∂

∂r ωnu(x)
= 0.

由B_r(x)的任意性即得：∆u(x) = 0 (∀x ∈ U ).

【【【注注注】】】证明当中的ϕ总是可以取出的，例如：ϕ(x) =









 C · exp

 1 4|x|²− 1



, |x| < 1 2

0, |x| > 1

2 .

§4.2 调 调 调和 和 和函 函 函数 数 数的 的 的梯 梯 梯度 度 度估 估 估计 计 计

定定定理理理4.2.1 (梯度估计)设u ∈ C B_R(0)

是B_R(0)上的调和函数，则：

(1)|Du(x₀)| 6 n R max

BR(0)|u|，特别地，若u > 0，则|Du(x0)| 6 n Ru(x₀).

(2)对任意多重指标α，|D^αu(x0)| 6 n^|α|e^|α|−1|α|!

R^|α| max

B_R(x0)

|u|.

【【【证证证明明明】】】(1)易知，∀i = 1, · · · , n，D_xiu也是B_R(x0)上的调和函数. 则

20 4. 调和函数的性质

Dxiu(x0) = n ωnRⁿ

ˆ

∂B_R(x0)

u(y)νidSy ⇒ Du(x₀) = n ωnRⁿ

ˆ

∂B_R(x0)

u(y)νdSy

∴ |Du(x0)| 6 n ωnRⁿ

ˆ

∂BR(x0)

|u||ν|dS_y 6 n

ωnRⁿ · ω_nRⁿ⁻¹ max

y∈ ¯B_R(x0)

|u(y)| = n R max

y∈ ¯B_R(x0)

|u(y)|.

特别地，u > 0时：|Du(x0)| 6 n ω_nRⁿ

ˆ

∂BR(x0)

u(y)dSy = n Ru(x0).

(2)当|α| = 1时 ， 由(1)知 结 论 成 立. 下 面 考 察|α| = k时 ， 如 果 结 论 成 立 ， 当|α| = k + 1时 ， 取0 < r < R，不妨只考察 ∂^k+1

∂x^k+1₁ u(x₀)：

∂^k+1

∂x^k+1₁ u(x₀)     

6 n r max

x∈ ¯Br(x0)

∂^k

∂x^k₁u(x)    6 n

r max

x∈ ¯Br(x0)

 n^ke^k−1k!

(R − r)^k max

y∈ ¯BR−r(x)

|u(y)|



6 n^k+1e^k−1k!

r(R − r)^k max

y∈ ¯BR(x0)

|u(y)| ^r=

R

======k+1 n^k+1e^k−1(k + 1)!

R^k+1

 1 +1

k

k

max

y∈ ¯BR(x0)

|u(y)|

6 n^k+1e^k(k + 1)!

R^k+1 max

y∈ ¯BR(x0)

|u(y)|. 由归纳法知，结论得证.

利用定理4.2.1(1)的特殊情况，我们可以轻易推导出Liouville定理.

定

定定理理理4.2.2 (Liouville定理)Rⁿ上的有上界或下界的调和函数必为常数.

【

【【证证证明明明】】】不妨设u > 0(请思考为什么). ∀i = 1, · · · , n，∀x0 ∈ Rⁿ，∀R > 0，有 

∂

∂x_iu(x₀)    6 n

R max

y∈ ¯BR(x0)

u(x₀).

令R → +∞：有 ∂

∂x_iu(x0) = 0 (∀x0 ∈ Rⁿ)，进而u为常数.

在多变量微积分中，我们称f 在U 上解析，如果f ∈ C^∞(U )，且对∀x₀ ∈ U ，∃r > 0，使得|x − x0| < r时，f (x)具有的Taylor展开

m−1

X

k=0

X

|α|=k

D^αf (x0)

α! (x − x0)^α+ Rm(x, x0)满足 lim

m→∞Rm(x, x0) = 0.

定

定定理理理4.2.3 开区域上的调和函数一定在这个开区域上解析.

【

【【证证证明明明】】】取B_2r(x) ⊂ U ，取h ∈ Rⁿ满足|h| < r

2n²e < r. 取含Lagrange余项的Taylor展式：

u(x + h) =

m−1

X

k=0

X

|α|=k

D^αf (x0)

α! (x − x0)^α+ 1 m!

hXⁿ

k=1

hk

∂

∂x_k

m

u i

(x1+ θh1, · · · , xn+ θhn) + Rm(h)

§4.3. Laplace方程的基本解 21

其中θ ∈ (0, 1). 由定理4.2.1，余项|R_m(h)| 6 1

m!|h|^mn^mn^me^m−1m!

r^m max

y∈ ¯Br(x+θh)

|u(y)|

6 1

m!|h|^mn^mn^me^m−1m!

r^m max

y∈ ¯B2r(x)

|u(y)| = 1 e

 |h|n²e r

m

max

B2r

|u| < 1 2^memax

B2r

|u|.

∴ lim

m→∞|R_m(h)| = 0，即u是U 上的解析函数.

§4.3 Laplace方 方 方程 程 程的 的 的基 基 基本 本 本解 解 解

我们称Γ是Laplace方程∆u = 0的基本解：Γ(x) =









 1

2πlog |x| , n = 2 1

(2 − n)w_n|x|²⁻ⁿ , n > 3 .

性性性质质质4.3.1 ∆Γ = 0 (∀x 6= 0)，且 ˆ

∂Br(0)

∂Γ

∂νdS = 1 (∀r > 0).

【【【证证证明明明】】】∆Γ = 0显然，留作练习. 当n > 3时，

ˆ

∂Br(0)

∂Γ

∂νdS = ˆ

∂Br(0)

DΓ · x rdS_x

=====x=rw

ˆ

∂B1(0)

rⁿ⁻¹DΓ(rw)wdSw = rⁿ⁻¹ ˆ

∂B1(0)

∂

∂r Γ(rw)
dS_w

= rⁿ⁻¹ ˆ

∂B1(0)

∂

∂r

 r²⁻ⁿ (2 − n)wn

 dS_w =

ˆ

∂B1(0)

1 wn

dS_w = 1.

对于n = 2，

ˆ

∂Br(0)

∂Γ

∂νdS = rⁿ⁻¹ ˆ

∂B1(0)

∂

∂r

 log |r|

2π



dS_w= r ˆ

∂B1(0)

dSw

2πr = 1.

以下讨论均以n > 3为例，n = 2类似. 注意到∇ · (vDw) = Dv · Dw + v∆w. 由Green公式：

ˆ

U

(v∆w + Dv · Dw)dx = ˆ

∂U

v∂w

∂νdSx

其中w ∈ C²(U ) ∩ C¹(U )，v ∈ C¹(U ) ∩ C(U ). 如果w, v ∈ C²(U ) ∩ C¹(U )，则通过对称相减：

ˆ

U

(v∆w − w∆v)dx = ˆ

∂U

 v∂w

∂ν − w∂v

∂ν

 dS_x. 定定定理理理4.3.2 (Green恒等式)u ∈ C²(U ) ∩ C¹(U )，则∀x ∈ U ，有

u(x) = ˆ

U

Γ(x − y)∆_yu(y)dy − ˆ

∂U



Γ(x − y)∂u

∂ν(y) − u(y)∂Γ

∂ν_y(x − y)

 dS_y.

【【【证证证明明明】】】∀r > 0, Γ在U \ B_r(0)

上关于y是光滑的. 下面用u代替u(y)，Γ代替Γ(x − y)：

ˆ

U \Br(x)

(Γ∆u − u∆Γ) dy = ˆ

∂U

 Γ∂u

∂ν − u∂Γ

∂ν

 dS_y−

ˆ

∂Br(x)

 Γ∂u

∂ν − u∂Γ

∂ν

 dS_y

22 4. 调和函数的性质 其中∆_yΓ(x − y) = 0 (∀y ∈ U \B_r(x)). 令r → 0⁺：

ˆ

U

Γ∆udy = ˆ

∂U

 Γ∂u

∂ν − u∂Γ

∂ν



dS_y− lim

r→0+

ˆ

∂Br(x)

 Γ∂u

∂ν − u∂Γ

∂ν

 dS_y

其中      ˆ

∂Br(x)

Γ∂u

∂νdSy

= r²⁻ⁿ (n − 2)w_n

     ˆ

∂Br(x)

∂u

∂νdSy

6 r²⁻ⁿ (n − 2)w_n

     ˆ

∂Br(x)

|Dukν|dS_y     

≤ r²⁻ⁿ

(n − 2)w_nw_nrⁿ⁻¹ max

∂Br(x)

|Du| = r

n − 2 max

∂Br(x)

|Du| → 0 (r → 0⁺).

而 ˆ

∂Br(x)

u∂Γ

∂νdS_y = ˆ

∂Br(x)

uDΓ(x − y)y − x

r dS_y ^w=

y−x

======r

ˆ

∂B1(0)

rⁿ⁻¹u(x + rw) ∂

∂r(Γ(rw)) dS_w

= 1 wn

ˆ

∂B1(0)

u(x + rw)dSw → u(x) (r → 0⁺). 因此，结论得证.

【

【【注注注】】】我们令定理4.3.2中的u ≡ 1，则有 ˆ

∂U

∂Γ

∂νy

(x − y)dS_y = 1 (∀x ∈ U ). 我们还可以这样得到：

ˆ

∂U

∂Γ

∂νy

(x − y)dS_y = ˆ

∂ U \Br(x)

∂Γ

∂νy

(x − y)dS_y + ˆ

∂Br(x)

∂Γ

∂νy

(x − y)dS_y (∀0 < r < dist(x, U ))

其中 ˆ

∂ U \Br(x)

∂Γ

∂νy

(x − y)dS_y = ˆ

U \Br(x)

∆Γ(x − y)dy = 0. 因此 ˆ

∂U

∂Γ

∂νy

(x − y)dSy = ˆ

∂Br(x)

∂Γ

∂νy

(x − y)dy = 1.

下面，我们考虑D.P.问题：







∆u(x) = f (x) , x ∈ U u(x) = g(x) , x ∈ ∂U

. 对于x ∈ U ，考察φ(x, ·) ∈ C²(U )满足







∆yφ(x, y) = 0 , y ∈ U φ(x, y) = Γ(x − y) , y ∈ ∂U

对u和φ应用Green公式，有：

ˆ

U

(φ∆u − u∆φ) dy = ˆ

∂U

 φ∂u

∂ν − u∂φ

∂ν

 dSy

⇔ 0 = ˆ

U

φ∆udy − ˆ

∂U

 φ∂u

∂ν − u∂φ

∂ν

 dS_y