2.2 數值方法
2.2.4 逆運算法
逆向問題的求解建基在直接問題的求解，吾人以前述理論可以求得 凝固過程中，各種不同的邊界條件（例如，不同的等效熱傳係數h ，詳 見2.1.2 節 ）， 所 造 成 鑄 件 各 位 置 之 溫 度 隨 時 間 的 變 化 T xN, tZ ，i 1,2, ⋯ , noxp，j 1,2, ⋯ , notp。
若 使 用 單 一 點 （x xV WX， 稱 作 校 正 點 ） 之 離 散 量 測 溫 度YZ
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（j = 1,2, … , notp）作為校正溫度，則為了得知於時刻t3時，是何等效熱 傳係數h 造成接下來一個或多個時刻之校正溫度值，吾人尋找h （等效 熱傳係數h 之估測值）使得校正點之量測溫度YZ與該位置之模擬溫度有最 小平方差，即尋找h = h ，使得目標函數（objective function[9]，方程式 (2.44)）有最小值。
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其中Φ|稱作靈敏係數（sensitivity coefficient[15]），代表模擬溫度對 h 的 變化程度。數值計算上，靈敏係數可以用如下方式求得，ε為一微小量：
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吾人參考孫憲琪[15]的想法，將適當增量∆h3Lf3 L設定為方程式(2.52)所得 之結果再乘上一鬆弛因子，ω.。
至於逆運算疊代的收斂條件可以有多種選擇，例如：
|∆h| < 10 a (2.53)
G∆h
h G < 10 a (2.54)
S < 10 2 (2.55)
各校正點與模擬溫度之溫差絕對值< 10 3 (2.56) 圖 2.8 為逆運算之流程示意。
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圖 2.8 逆運算流程示意
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3.1.2.1 史蒂芬問題（Stefan Problem）
史蒂芬問題探討一維半無窮長區域的凝固問題，統御方程式及邊界
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陶管：80% Mullite，20% Glass 耐熱套管
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檢查內部石墨坩鍋之完整性，且兩者皆需去除黏附雜質及水分。
圖 3.2 熔解爐內部
(3) 熱電偶（如圖 3.3 所示）
圖 3.3 最左端為公接頭（之後接於由 34902A-16 拉出來之母接頭），
中間段為耐熱套管，右端為更加耐熱但不可彎折之陶管，末端為線材 之點焊接點（此點即為溫度量測點）。用於實驗之前，需檢查整體是 否牢固，讀值是否正確。
圖 3.3 熱電偶
(4) 方向性凝固載台（如圖 3.4 所示）
圖 3.4 下方為方向性凝固載台之操控面板，可由此控制載台升降及其
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速度（由步進馬達帶動螺桿達成）。保溫設備搭建於圖 3.4 最上方之 固定平台上，而安放保溫模之冷激銅盒將置於升降載台上，當載台上 升即可使保溫模處於保溫設備中。
圖 3.4 方向性凝固載台
(5) 保溫設備（如圖 3.5 與圖 3.6 所示）
圖 3.5 為保溫層內部，黑色線圈部分為電熱管，分上下兩組，各以一 溫控器（圖 3.6）調節。圖 3.6 中，左（右）方溫控器控制保溫層上
（下）部電熱管。溫控器之資訊來源分別為圖 3.5 中一點鐘方向的兩 根熱電偶，另外亦安插三根熱電偶以記錄內部溫度。保溫層下部以一 挖洞之隔熱平板隔絕外界，而保溫模立於冷激銅盒上，將透過平板缺 口處於保溫層中，如圖 3.5 中央所示，該圖中未包含澆鑄過程中安插 於保溫模上以量測鑄件溫度變化的熱電偶。保溫層下部外圍部分顯示
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於圖 3.4 之最上方。
圖 3.5 保溫設備內部
圖 3.6 溫控器
(6) 冷激銅盒（如圖 3.7 所示）
圖 3.7 顯示掀蓋後之冷激銅盒內部流道，封蓋邊緣以止洩帶（白色部 分）幫助密合，避免冷卻水溢漏。圖 3.8 為冷激銅盒之側視圖，左下 洞口為入水孔，右上洞口為出水孔，確保冷卻水充滿流道。圖 3.9 為 磨平後的冷激銅盒表面，冷激銅盒後方為安插妥熱電偶之直立保溫 模。
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圖 3.7 冷激銅盒內部流道
圖 3.8 冷激銅盒之側視圖
圖 3.9 磨平後的冷激銅盒表面
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(7) 直立式保溫模（如圖 3.10 所示）
直立式保溫模若過於鬆軟而無法安插熱電偶，可將之以攝氏兩百度烘 烤一小時。實驗時，保溫設備（含不鏽鋼澆斗與頂蓋）、直立式保溫 模，與冷激銅盒之擺放如圖 3.11 所示。
圖 3.10 直立式保溫模
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圖 3.11 保溫設備、冷激銅盒，與直立式保溫模之示意圖
(8) 溫度擷取器（如圖 3. 12 與圖 3.13 所示）
圖 3. 12 為溫度擷取器，圖 3.13 為所搭配之擷取卡 34902A-16，最多 可接 16 條母線，連接後需檢查是否牢固。
圖 3. 12 溫度擷取器，34972A 平板缺口
澆鑄口
直立式保溫模 保溫層
隔熱平板 冷激銅盒
電熱管 不鏽鋼漏斗
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圖 3.13 擷取卡 34902A-16
(9) 恆溫循環水槽（如圖 3.14 所示）
恆溫循環水槽之最大容量為 50 公升，可設定溫度範圍−20~100℃；
使用時水位需高於內部加熱或降溫線圈以維持高效能。
圖 3.14 恆溫循環水槽 (10) 助磨磚（如圖 3.15 所示）
使用助磨磚搭配砂紙，可將銅盒表面磨平去繡，達到減低表面粗糙 度、提高熱傳量，以及減少每次實驗差異的目標。
圖 3.15 助磨磚
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圖 3.16 澆鑄實驗流程圖
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表 3.3 澆鑄實驗參數設定表 恆溫水槽設定溫度 5℃
上加熱器設定溫度 330℃
下加熱器設定溫度 330℃
熔解爐設定溫度 330℃
冷氣設定溫度 18℃
載台下降速度設定 0.2 mm/sec
圖 3.17 熱電偶配置圖
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等效熱傳係數。
本研究設定空間範圍為 0~10 mm，使用圖 3.17 中之 1、2 號熱電偶量 測溫度分別作為校正點（5 mm）溫度與邊界（10 mm）溫度，而 0 mm 則為使用等效熱傳係數之金屬邊界，以此估測下部邊界之等效熱傳係 數。
另亦設定空間範圍為 0~10 mm，使用圖 3.17 中之 4、5 號熱電偶量測 溫度分別作為校正點（5 mm）溫度與邊界（10 mm）溫度，而 0 mm 則 為使用等效熱傳係數之金屬邊界，以此估測上部邊界之等效熱傳係數。
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a b
圖 4.1 有限差分法求解無相變化之暫態熱傳問題，case 1 a. 不同時間下之溫度分布，b. 量測點之溫度
a b
圖 4.2 有限差分法求解無相變化之暫態熱傳問題，case 2 a. 不同時間下之溫度分布，b. 量測點之溫度
表 4.2 模擬溫度與解析解之最大差值（℃）
比較
組別 t = 1 sec t = 2 sec x = 2 mm x = 10 mm
case 1 1.0906 0.6976 1.8223 0.5886
case 2 0.0110 0.0070 0.0428 0.0075
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a b
圖 4.3 等效比熱法解史蒂芬問題，case 1。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
a b
圖 4.4 等效比熱法解史蒂芬問題，case 2。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
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a b
圖 4.5 等效比熱法解史蒂芬問題，case 3。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
a b
圖 4.6 等效比熱法解史蒂芬問題，case 4。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
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a b
圖 4.7 等效比熱法解史蒂芬問題，case 5。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
a b
圖 4.8 等效比熱法解史蒂芬問題，case 6。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
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a b
圖 4.9 等效比熱法解史蒂芬問題，case 7。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
a b
圖 4.10 等效比熱法解史蒂芬問題，case 8。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
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a b
圖 4.11 等效比熱法解史蒂芬問題，case 9。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
a b
圖 4.12 等效比熱法解史蒂芬問題，case 10。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
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兩個位置的模擬量測點溫度歷史皆是如此，只是較小的空間步伐使之較 細微，而x = 2 mm 的量測點則因為下降較陡，曲線的波浪特徵極不明顯。
關於此部分之補充說明可參考附錄 A。
溫度區間的大小基本上要在時空步伐較小的情況（case 5 至 case 7）
才有影響，雖然 case 5 中x = 2 mm處之量測溫度較準確，但 case 7 整體 而言表現較佳。
值得注意的是，於大小相當的時空步伐下，例如圖 4.3 與圖 4.13 相 比，等效比熱-熱焓法遠較等效比熱法接近解析解。
a b
圖 4.13 等效比熱-熱焓法解史蒂芬問題，case 1。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
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a b
圖 4.14 等效比熱-熱焓法解史蒂芬問題，case 5。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
a b
圖 4.15 等效比熱-熱焓法解史蒂芬問題，case 8。a. 溫度分布，b. 量測點溫度
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圖 4.17 模擬純錫理想澆鑄之量測點溫度
圖 4.18 實驗數據（圖 4.21 之局部）
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4.1.3 逆運算無相變化暫態熱傳問題之解析解數據求解等效熱傳係數
吾人使用解析解（方程式 3.2)）的方式逆運算 4.1.1 節中以解析解所 產生的量測點溫度，分別採用單步法與二步法逆運算等效熱傳係數h 。 求取靈敏係數之微小變量ε = 10 a，計算適當增量Δh之鬆弛因子ω. = 1，
參考溫度TL " = 5℃，以(2.53)作收斂條件。結果如圖 4.19 所示，可確認
逆運算架構無誤。
a b
圖 4.19 以解析解逆運算解析解數據之結果。a. 單步法，b. 二步法
吾人另外使用數值模擬的方式進行逆運算，使用如表 4.1 所示之兩組 參數，圖 4.20.a 為 case 1 採用單步法逆運算等效熱傳係數h 之結果，於 起始時明顯地不理想，但很快地接近正解h = 5000 W/ mA∙ ℃ 。圖 4.20.b 為同 case 採用二步法的結果，於開始的時候較單步法好，但仍不 甚理想，至於後段時間的表現無甚相差。
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圖 4.20 以數值解逆運算解析解數據之結果，case 1。a. 單步法，b. 二步法
Case 2 之結果如圖 4.21 所示，整體較 case 1 而言，接近正解很多，
於開始時之表現有所改善。採用二步法的效果略較 case 1 佳，但結果不 為單調遞減。
圖 4.21 以數值解逆運算解析解數據之結果，case 2。a. 單步法，b. 二步法
根據上述結果，推論初期表現不佳乃溫度變化較大導致數值模擬不 易掌握實際情況所造成；於此情況下收斂之等效熱傳係數估測值雖本身 並非正確，但校正點之解析解溫度與模擬溫度相符。
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4.2 逆運算實驗數據求解逆運算實驗數據求解逆運算實驗數據求解等效逆運算實驗數據求解等效等效等效熱熱熱熱傳傳傳傳係數係數係數係數
實驗所得之中心處各高度之溫度歷史如圖 4.22 所示，圖 4.22.a 左側 為澆鑄前由加熱器所維持之保溫模內溫度；圖 4.22.b 為圖 4.22.a 之局部 放大，顯示澆鑄初期無可避免的凌亂溫度。環境溫度量測為 23.1℃。
a
b
圖 4.22 實驗數據。a. 全部時間，b. 澆鑄初期
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圖 4.23 初始溫度假設為均溫所得之he
圖 4.24 初始溫度假設為均溫之模擬溫度。
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若 假 設 初 始 溫 度 為 線 性 分 布 ， 即 假 設0 < x < 5 mm 與5 Y x <
10 mm 之溫度，分別為使用x = 5 mm及x = 10 mm之量測點溫度做線 性外差與內插的結果；如此便可消除前述現象，如圖 4.25 與圖 4.26 所示。
h 之絕對極大值發生於澆鑄初期，隨著時間增加而迅速下降，但隨後趨 緩，於約5400 W m⁄ A ∙ ℃ 處有停駐趨勢，之後震盪逐漸明顯且下降至 1000~2000 W m⁄ A∙ ℃ 範圍後呈水平趨勢。推論震盪源自於量測點後期 溫度相近，其所含雜訊效應接近等效熱傳係數的影響所致。
圖 4.25 初始溫度假設為線性分布所得之he（TL " = 5℃）
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圖 4.26 使用圖 4.25 之he模擬溫度變化
圖 4.25 搭配圖 4.22 來看，吾人推論澆鑄初期因熱量大量被冷激銅盒 抽走，使得溫度急速下降，因此h 之峰值發生於此；隨著冷激銅盒表面 溫度增溫，其抽走之熱量減少，因此反映在h 迅速下降。h 結束停駐趨 勢的時刻，恰好是鑄件完全凝固的時候，推測因為此後不再有潛熱釋放
（即需排導之熱量減少），導致h 再次下降。澆鑄末期，鑄件溫度不再明 顯下降，且與水溫相近，故推論此時h 於趨勢上接近穩態。依方程式(4.1)，
（即需排導之熱量減少），導致h 再次下降。澆鑄末期，鑄件溫度不再明 顯下降，且與水溫相近，故推論此時h 於趨勢上接近穩態。依方程式(4.1)，