1：已知△ABC △PQR，若 ＝x＋4， ＝2x－2， ＝3y＋1，
＝y＋7， ＝12，則△PQR 的三邊和為多少？
想法：全等三角形之對應邊相等 解：
敘述 理由
(1) △ABC △PQR
＝
x＋4＝3y＋1 (2) △ABC △PQR
＝
2x－2＝y＋7 (3) x＝6 且 y＝3
(4) ＝3y＋1＝3×3＋1＝10
＝y＋7＝3＋7＝10 (5) △ABC △PQR
＝ ＝12 (6) △PQR 的三邊和為
＋ ＋
＝10＋10＋12＝32
已知
對應邊相等
將已知 ＝x＋4， ＝3y＋1 代入 已知
對應邊相等
將已知 ＝2x－2， ＝y＋7 代入 由(1) ＆ (2)解二元一次聯立方程式 將(3) y＝3 代入已知 ＝3y＋1 將(3) y＝3 代入已知 ＝y＋7 已知
對應邊相等 ＆ 已知 ＝12
△PQR 的三邊和為 ＋ ＋ 將(4) ＆ (5) 代入
2-49
(1) 第三邊長的長度為 。
(2) 若此三角形的三邊和為偶數，則第三邊長為 。 想法：(1) 等腰三角形兩腰相等
(2) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (3) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 解：
敘述 理由
(1) 若此等腰三角形的腰為 8，
則三邊為 8、8 和 13
(2) 8、8 和 13 可為等腰三角形三邊長
(3) 若此等腰三角形的腰為 13，
則三邊為 13、13 和 8
(4) 13、13 和 8 可為等腰三角形三邊長
(5) 所以此等腰三角形的第三邊長為 8 或 13
(6) 若三邊為 8、8 和 13，
則三邊和為 8＋8＋13＝29 為奇數 (7) 若三邊為 13、13 和 8，
則三邊和為 13＋13＋8＝34 為偶數 (8) 若此三角形的三邊和為偶數，
則第三邊長為 13
假設
假設腰為 8 ＆ 已知另兩邊為 8 和 13 8＋8＞13 ＞8－8
13＋8＞8＞13－8 假設
假設腰為 13 ＆ 已知另兩邊為 8 和 13 13＋13＞8 ＞13－13
13＋8＞13＞13－8 由(2) ＆ (4)
由(2) 基本加法 由(4) 基本加法 題目條件限制 由(7)
2-50
三角形的三邊長為 。 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊
(2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 解：
敘述 理由
(1) 假設此三角形另外兩邊長為 (2＋d)、(2＋2d)；其中 d 為正整數 此三角形三邊長為 2、(2＋d)、(2＋2d) (2) (2＋2d)＋(2＋d) ＞2＞(2＋2d)－(2＋d) 其中 d 為正整數
(3) 3d＋4＞2＞d ；其中 d 為正整數 (4) 3d＋4＞2 且 2＞d ；其中 d 為正整數 (5) 2＞d＞ 2
− ；其中 d 為正整數 3 (6) d＝1
(7) 此三角形三邊長為 2、3、4
已知三角形的三邊長成等差數列 且皆為整數，且最小邊長為 2
三角形兩邊長的和大於第三邊 三角形兩邊長的差小於第三邊 由(2)化簡
由(3)化簡 由(4)化簡 由(5)
將(6)代入(1)
2-51
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 解：
敘述 理由
(1) 12＋5＞3x＋2＞12－5
(2) 17＞3x＋2＞7 (3) 15＞3x＞5 (4) 5＞x＞5
3
(5) 所以 x 不可能為 5，答案選(D) 5
已知三角形的三邊長為 5、12、3x＋2 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 由(1)化簡
由(2)化簡 由(3)化簡 由(4)
2-52
a 1 1 1 2 2 b 2 3 4 3 4 c 8 7 6 6 5
此條件的三角形邊長，分別是多少公分？
想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 解：
敘述 理由
(1) 假設三角形的三邊長為 a、b、c 其中 a≠b≠c；a、b、c 皆為正整數 且 a＋b＋c＝11
(2) 滿足(1)條件的 a、b、c 如下表所示
(3) 檢查第一種情況，a＝1、b＝2、c＝8 所以 a＝1、b＝2、c＝8 不符合條件 (4) 檢查第二種情況，a＝1、b＝3、c＝7 所以 a＝1、b＝3、c＝7 不符合條件 (5) 檢查第三種情況，a＝1、b＝4、c＝6 所以 a＝1、b＝4、c＝6 不符合條件 (6) 檢查第四種情況，a＝2、b＝3、c＝6 所以 a＝2、b＝3、c＝6 不符合條件 (7) 檢查第五種情況，a＝2、b＝4、c＝5 所以 a＝2、b＝4、c＝5 符合以下條件 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 (8) 所以此三角形的三邊長分別為 2 公分、4 公分、5 公分。
假設
已知三邊長皆不相等，且皆為整數 已知三邊之和為 11
由(1)
由(2)
1＋2＜8；不符合兩邊和大於第三邊 由(2)
1＋3＜7；不符合兩邊和大於第三邊 由(2)
1＋4＜6；不符合兩邊和大於第三邊 由(2)
2＋3＜6；不符合兩邊和大於第三邊 由(2)
4＋2＞5＞4－2 5＋2＞4＞5－2 5＋4＞2＞5－4 由(7)
2-53
(1) 共可排出幾種不同的三角形？
(2) 承(1)，其中等腰三角形有幾種？
想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 解：
敘述 理由
(1) 假設三角形的三邊長為 a 根、b 根、c 根 其中 a、b、c 皆為正整數
且 a＋b＋c＝21
(2) 滿足(1)條件的 a、b、c 如下表(一~五) (表一)
a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
(表二)
a 2 2 2 2 2 2 2 2
b 2 3 4 5 6 7 8 9
c 17 16 15 14 13 12 11 10
(表三)
a 3 3 3 3 3 3 3
b 3 4 5 6 7 8 9
c 15 14 13 12 11 10 9
(表四)
a 4 4 4 4 4
b 4 5 6 7 8
c 13 12 11 10 9
假設
已知三邊長皆為整數根 已知每次 21 根全部用完 由(1)
2-54
a 5 5 5 5 6 6 7
b 5 6 7 8 6 7 7
c 11 10 9 8 9 8 7
(3) 表一中只有 a＝1、b＝10、c＝10 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 1 根、10 根、10 根可排成三角形 (4) 表二中只有 a＝2、b＝9、c＝10 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 2 根、9 根、10 根可排成三角形 (5) 表三中有 a＝3、b＝8、c＝10 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 3 根、8 根、10 根可排成三角形 (6) 表三中有 a＝3、b＝9、c＝9 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 3 根、9 根、9 根可排成三角形 (7) 表四中有 a＝4、b＝7、c＝10 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 4 根、7 根、10 根可排成三角形 (8) 表四中有 a＝4、b＝8、c＝9 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 4 根、8 根、9 根可排成三角形 (9) 表五中有 a＝5、b＝6、c＝10 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 5 根、6 根、10 根可排成三角形
逐一檢查表一 10＋1＞10＞10－1 10＋10＞1＞10－10
逐一檢查表二 10＋9＞2＞10－9 10＋2＞9＞10－2 9＋2＞10＞9－2 逐一檢查表三 10＋8＞3＞10－8 10＋3＞8＞10－3 8＋3＞10＞8－3 逐一檢查表三 9＋9＞3＞9－9 9＋3＞9＞9－3
逐一檢查表四 7＋4＞10＞7－4 10＋7＞4＞10－7 10＋4＞7＞10－4 逐一檢查表四 9＋8＞4＞9－8 9＋4＞8＞9－4 8＋4＞9＞8－4 逐一檢查表五 6＋5＞10＞6－5 10＋5＞6＞10－5 10＋6＞5＞10－6
2-55
三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 5 根、7 根、9 根可排成三角形
(11) 表五中有 a＝5、b＝8、c＝8 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 5 根、8 根、8 根可排成三角形 (12) 表五中有 a＝6、b＝6、c＝9 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 6 根、6 根、9 根可排成三角形 (13) 表五中有 a＝6、b＝7、c＝8 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 6 根、7 根、8 根可排成三角形 (14) 表五中有 a＝7、b＝7、c＝7 符合 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 所以 7 根、7 根、7 根可排成三角形 (15) 所以 21 根竹筷共可排出 12 種三角形 (16) 其中有 5 種等腰三角形
7＋5＞9＞7－5 9＋5＞7＞9－5 9＋7＞5＞9－7
逐一檢查表五 8＋5＞8＞8－5 8＋8＞5＞8－8
逐一檢查表五 6＋6＞9＞6－6 9＋6＞6＞9－6
逐一檢查表五 7＋6＞8＞7－6 8＋6＞7＞8－6 8＋7＞6＞8－7 逐一檢查表五 7＋7＞7＞7－7
由(3)~(14)
由(3)(6)(11)(12)(14)
2-56
的中點，則△BPC 三邊和、△BQC 三邊和、△BMC 三邊和的大小關係為何？
圖 2.1 想法：(1) 三角形任意兩邊長的和大於第三邊 (2) 三角形任意兩邊長的差小於第三邊 (3) 判斷兩個三角形全等的方法有：
1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 解：
敘述 理由
(1) 延長 與 ，且兩線交於 E 點 連接 、 ，如圖 2.1(a)
(2) 在△AME 與△DMC 中，
∠EAM＝∠CDM＝90°
＝
∠AME＝∠DMC (3) 所以△AME △DMC
兩條不互相平行的直線必相交於一點；
兩點可決定一直線。
圖 2.1(a) 如圖 2.1(a)所示
已知 ABCD 為長方形 ＆ (1)作圖 已知 M 為 的中點
對頂角相等
由(2) ＆ A.S.A.三角形全等定理