邊界條件

本模式目前考量三種邊界條件設定，分別為渠道入流、渠道出 流與固體邊界。一般而言，渠道入流邊界條件設定為單位寬度入流

量，渠道出流邊界條件則採用水位高程設定。在固體邊界處，應用

環流傳輸係數；ρ_s = 泥砂密度；β = 粒徑百分比； p = 孔隙率；

Em= 作用層厚度；q_bi = i 方向某一粒徑之底床載通量；S = 懸浮載 源；S_f = 作用層源(active-layer floor source)。

2.2.2 輔助關係式

(1)亂流傳輸

亂流傳輸係數採用Elder (1979)之經驗公式，可表示為

1 5.93u d*

非凝聚性沉滓之底床載通量則採用Van Rijn (1984a)之經驗式 (以ξ方向為例)：

2 2 道處，將再受(3)彎道曲率半徑_r之影響；本研究採用Struiksma (1985) 所引用之公式，因此某一粒徑之底床載通量可再進一步修正為：

其中，_α = 沉滓運移角度；_δ = 底床剪應力之方向； _fs = 沉滓之形

其中_wfk則在不同之粒徑下採用不同之經驗式(Van Rijn,1984b)，

如下三式所示：

k k

以下式表示：

圖 2.1 彎道二次流示意圖

圖 2.2 作用層示意圖 (摘自 Spasojevic 1988)

外 岸 內 岸

第三章 數值架構

2 11 2 11 1 12 1 12

在數值差分方法選用的考量上，利用顯式數值方法求解時，演算時間 式中，除了移流項採用一階精度混合型上風法(hybrid scheme)(Spalding 1972)差分外，所有空間差分均採用二階精度的中央差分法。另外，時間

差分方法採用能反映方向性的上風法；

由於各物理量具有高度之相關性，如河床質與懸浮質藉著懸浮載源

採用與水理部分相同的差分概念，以圖 3.1 中之主格點 P 為例，(2.16)

出其積分路徑。由於模式採用固定格點，故離開點不能保證剛好落在格點

另外，懸浮載質量守恆之擴散項之數值方法，同水理部分之延散步 Newton-Raphson 法疊代求解：

1 1

式中，[ F] s

∂

∂^G 為 Jacobian 係數矩陣中之一列向量；^msGⁿ⁺¹

為前一次疊代未知 向量；ΔsG

為疊代修正向量，可表為Δ = Δ ΔsG ( s₁, s_2k,Δs_2k+1)

。解得修正向量ΔsG

後，可得新的^m+1sGⁿ⁺¹向量：

1 1 1

m n m n

s s s

+ G + = G + + ΔG

(3.34) 當達到Δ ≤sG ε_s

(ε_s為收斂容許誤差值)之收斂條件時，疊代得以結束。

P

圖 3.2 質點運移軌跡示意圖 (摘自 Spasojevic 1988)

圖 3.3 質點運移軌跡在計算平面之示意圖 (摘自 Spasojevic 1988)

第四章 模式適用性及二次流效應之敏感度測試分析

經由第二章與第三章在模式理論基礎及數值方法之說明介紹 後，將於本章節進行模式在沉滓運移部份之理論基礎的適用性分析，

並進行模式各項二次流效應之敏感度分析，以期檢定各項影響因子 在彎道動床模式之影響程度及提供模式參數修正之方向。

4.1 模式適用性測試分析及問題解析

根據 Yeh and Kennedy(1993)所描述之一般在具有動床特性之彎 曲渠道會有四項特徵：(1)有徑向沉滓運移之情形；(2)傾斜之底床形 狀；(3)偏斜之主流位置，一般位於彎道外岸；(4)具有二次流之流場。

因此模式演算以能達到理論應展現之彎道動床特性為目的。

測試案例係採用 Struiksma(1983)於荷蘭臺夫特科技大學水利實 驗室(Delft Hydraulic Laboratory) 所作之室內水槽試驗組別 T2，此後 簡稱 DHL-T2 實驗。

DHL-T2 實驗之水槽佈置如圖 4.1 所示，從斷面 A^D至斷面 BD及 斷面 CD至斷面 DD為直線道，長度均為 15m，斷面 BD為彎道起點，

從此處沿著渠道至斷面 CD處為一蜿蜒 140°之固定曲率半徑之動床矩 形渠道，渠道寬度為 1.5m，渠道中心線之曲率半徑為 12m，彎道全 長 29.32m，全渠道之縱向底床坡降為 0.00203，Chezy 係數為 28.8 m^1/2/s，底床作用層採用粒徑為 0.45mm 之均勻砂。上游邊界條件為固 定入流量 0.062 m³/s，下游邊界條件則為實測水位 0.1m。採用 121×37 之非均勻計算格網，其中側方向格網分佈情形如圖 4.2 所示，此案例 之總模擬時間為 400 min，程式演算Δ

t

由於以往之學者在數值模式中，針對彎道底床載二次流所應用之

參數均為固定值，並不因不同斷面或不同渠道位置而有所差異，其中 包括沉滓形狀因子 f_s與渦流係數A，故本研究於初步模擬時，仍是應 用固定值之參數，採用 Kassem and Chaudhry(2002)之設定值，其中 f_s 為 2，A則為 9.10。

圖 4.3 為模擬 DHL 實驗 T2 之彎道段各橫斷面無因次水面高程示 意圖，分別取0°(彎道入口)、23.3°、46.6°、70°、93.3°、116.6°、140°(彎 道出口)、彎道出口 5m 和彎道出口 10m 等九個斷面作說明，其中縱 軸為該斷面各點實際水位(Zs)與平均水位(Zsm)之比較值，由圖可明確 觀察到在彎道段，外岸有明顯水面超高之情形；水流流出彎道後，水 面超高情形隨之減小，且徑向慣性力和徑向靜水壓之差異逐漸消失，

而二次流效應亦隨之衰退。

圖 4.4 和圖 4.5 分別為模擬 DHL-T2 實驗之縱向底床變化圖及縱 向水深示意圖，此二圖中實線段為實驗值，方塊點狀線為本研究所模 擬之結果。另外，圖 4.5 虛線段為 Struiksma(1985)所模擬之結果。由 圖 4.4 中可清楚看到無論是實驗結果或是本研究模擬結果，皆有外岸 沖刷、內岸淤積之定性上的共通點；由圖 4.5 中可明顯看出彎道內岸 水深較淺，彎道外岸水深值則明顯高於內岸水深值。

惟在定量上觀察圖 4.4 和圖 4.5，無論本模式之模擬結果或 Struiksma(1985)模擬結果皆與實驗結果有一定之差距，尤其是以彎道 入口段之水深或底床高程特別明顯。由此二圖中實驗段之量測值來觀 察，在彎道入口段的外岸區域有沖刷較深和內岸區域有淤積較高之情 形，稱之為「過度沖淤」(overshoot)現象，數值模擬結果與實驗結果 明顯有所不符。Struiksma(1985)評斷是為影響彎道動床模式之因素相 當複雜，可能會受到模式之參數或相關演算條件之設定而致使無法反

應實際現象之情形，並針對此結論予以分析探討，提出三項可能影響

為展示各影響因子之敏感度，選用均方根差(root mean square error)E_rms來作為評斷該因子之敏感程度，此指數敘述如下：

例總計算格點數目。 式可分為兩種型態，一種為傳統模式(Conventional Model；CN 模式)，

一種為彎道模式(Bend-Flow Model；BF 模式)，這兩種模式最主要之 差異在於動力方程式中對延散剪應力的處理。CN 模式忽略彎道二次

探討。二次流強度因子計算式如下所示：

f

c C

r

SI = H (4.3)

此部份分析採 DHL-T2 實驗作為模擬對象，該實驗之SI 值為 0.0766，此SI值比對於圖 4.6 中屬較小之值，其中圖 4.6(謝，2002)為 不同θ_b之MaxU^*與SI關係圖，θ_b為彎道長度因子=L/(2πr_C)，MaxU^*為ξ 方向速度之最大相對差異= ( / )

b

u u

Max Δ ，此案例之SI值大於忽略水理 二次流效應之SI值 0.02，故模擬此案例理應考慮水理二次流效應；表 4.3(謝，2002)為不同θ_b之MaxU^*與SI之回歸函數一覽表，以彎道中心斷 面70°為例，其θ_b等於 0.1944，利用表 4.1 中之回歸函數可得其MaxU^*等 於 0.531，代表水理二次流影響^ξ方向之流速達 50%以上，因此必須考 量水理二次流效應。

圖 4.7 為模擬 DHL-T2 實驗時，水理二次流效應對縱向水深影響 示意圖，並參照表 4.2 可查得模式在計算水理二次流與否之水深E_rms值 並不高，在距離彎道內岸 0.375m 之縱斷面為 0.001674，距離彎道外 岸 0.375m 之 縱 斷 面 則 為 0.001361 ， 若 以 全 彎 道 網 格 來 看 則 為 0.001484；若以E_mzp之值來觀察，由表 4.3 可得知模擬此案例時，模式 針 對 計 算 水 理 二 次 流 與 否 影 響 整 體 彎 道 之 平 均 底 床 變 動 量 約 10.2%，在距離彎道內岸 0.375m 之縱斷面為 12.95%，距離彎道外岸 0.375m 之縱斷面則為 7.35%，因此可發現水理二次流在此案例對底床 沖淤仍有所影響。

但由於本案例之SI值實屬較小之值，因此本研究為探討當模擬案 例在較大SI值的時候，水理二次流效應對底床沉滓運移之影響程度，

以 DHL 實驗同一渠道形狀之案例，採用同一粒徑砂( = mm)，

設計較大SI之流況，而設計案例與原 DHL -T2 實驗差異之相關資訊 為：(1)設計流量=0.1163 cms；(2)平均水深=0.15 m；(3)平均流速=0.51 m/s；(4)二次流強度因子SI=0.1149。

圖 4.8 為當SI值為 0.1149 時，水理二次流效應對縱向水深影響示 意圖，由圖 4.7 與圖 4.8 可以明顯看出模式在開啟和未開啟水理二次 流的條件下，在較大SI值的時候(約為 DHL-T2 實驗之 1.5 倍)，其水 深之差異明顯大於小SI值時之差異，若以水深之E_rms值來觀察，距離 彎道內岸 0.375m 之縱斷面為 0.007097，距離彎道外岸 0.375m 之縱斷 面則為 0.004544，若以全彎道網格來看則為 0.005914；若以E_mzp之值 來觀察，模式在此案針對計算水理二次流與否影響整體彎道之平均底 床變動量約 12.26%，在距離彎道內岸 0.375m 之縱斷面為 9.0%，距 離彎道外岸 0.375m 之縱斷面則為 15.0%，整體高於模擬 DHL-T2 實 驗之水深E_mzp值；由此可得知SI值愈大，水理二次流效應對底床載沖 淤之影響則較為明顯。

4.2.2 滑移邊界效應分析

在模擬天然渠道或實驗渠道時，理論上邊界之流速和流量應設定 為 0，亦稱之為不滑移邊界(non-slip boundary)，但程式在處理邊界處 常會因為鄰近格網之流速不連續而造成邊界數值演算之不穩定性，因 此偶爾會以滑移邊界(slip boundary)來模擬案例。

圖 4.9 為模擬 DHL-T2 實驗考慮滑移邊界與否之縱向水深比較 圖，縱軸為模擬水深，橫軸為彎道內之縱向距離，虛線為設定不滑移 邊界之水深，實線為設定滑移邊界之水深，由圖中可觀察得不滑移邊 界和滑移邊界所模擬出之水深差異極小，由表 4.2 可見得其水深E_rms值 在內外岸 0.375m 處分別為 0.000337 和 0.000220，若考慮全彎道網格

之水深E_rms值則為 0.000329，亦可以見得模式在演算彎道輸砂時，滑 移邊界之設定對底床沖淤之影響程度極小，甚至可以忽略之。若以E_mzp 之值來觀察，由表 4.3 可得知模擬此案例時，模式針對設定滑移邊界 與否影響整體彎道平均之底床變動量約 1.99%，在距離彎道內岸 0.375m 之縱斷面為 1.74%，距離彎道外岸 0.375m 之縱斷面則為 2.05%，因此可發現滑移邊界之設定與否對此案例之底床變動程度並 不大，相較於水理二次流之影響則更小。

4.2.3 懸浮載二次流效應分析

天然河川泥砂運動種類依性質可分為推移載(bed load)、懸浮載 (suspended load)及沖洗載(wash load)，其中推移載及懸浮載合稱河床 質載(bed material load)，即總輸砂量，為與河床變動有關之泥砂運移 量，沖洗載亦是以懸浮型態輸送，但存在底床之量極小，可視為不參 與底床改變之量，一般多予以忽略。而在懸浮載運移的部份，其係為 漂浮在水中之泥砂運動，其特性類似污染質傳輸，具有紊流擴散效 應，可將水中各項物質擴散至各個方向，在明渠流中，較重要的擴散 方向則是水流方向和橫斷面方向之傳輸。

然而 Struiksma(1985)認為懸浮載源對彎道底床沖刷之影響程度 極微小，且通常可以被忽略；Yeh and Kennedy(1993)亦忽略懸浮載源

然而 Struiksma(1985)認為懸浮載源對彎道底床沖刷之影響程度 極微小，且通常可以被忽略；Yeh and Kennedy(1993)亦忽略懸浮載源