配合約制條件坐標轉換方法

為因應圖解地籍圖坐標系統的改變，必須考慮兩平面系統的轉換，因 此利用多項式表示轉換前後的映射關係，但對於圖解地籍圖可以將二階以 上的高次項除去化簡如下：

1 2 0

1 2 0

x=a X+a Y+a

y=b X+b Y+b (1)

因此對於平面坐標的轉換，目前常用的坐標轉換模式有下列三種：

1. 三參數坐標轉換：

三參數轉換具有保持轉換前後不伸縮變形的特性，具有兩個平移量及 一個旋轉量，是目前實務上複丈作業常應用的轉換模式。(鄭彩堂等〔6〕；

林登建等〔7〕)

圖 5 三參數轉換示意圖

xp = cosθ* Xp - sinθ* Yp + x0

yp = sinθ* Xp + cosθ* Yp + y0 (2) 式中:

1.Xp,YP為轉換前坐標 2.xp,yp為轉換後坐標

3.x0,y0為兩坐標系統平移量

4.θ為兩坐標系統旋轉量(順時針為正) 2. 四參數坐標轉換：

四參數轉換具有轉換前後形狀不變但各軸以同一比例伸縮的特性，具 有兩個平移量、一個旋轉量及一個尺度比例因子，又稱為相似轉換(Helmert 轉換)。(鄭彩堂等〔6〕；劉正倫等〔9〕)

圖 6 四參數轉換示意圖 xp = S(cosθ* Xp - sinθ* Yp)+ x0

yp = S(sinθ* Xp + cosθ* Yp)+ y0 (3) 令上式a = Scosθ,b = Ssinθ,c = x0,d = y05,則可將3式改寫為如下:

xp = aXp - bYp + c

yp = bXp + aYp + d (4) 式中:

1.Xp,YP為轉換前坐標 2.xp,yp為轉換後坐標

3.x0,y0為兩坐標系統平移量

4.θ為兩坐標系統旋轉量(順時針為正) 5.S為兩軸之尺度比例

3. 六參數坐標轉換：

六參數轉換具有改變轉換前後形狀及大小的特性，具有兩個平移量、

一個旋轉量、一個坐標軸非正交偏移量及兩個尺度比例因子，又稱為仿射 轉換(Affine 轉換)。(鄭彩堂等〔6〕；劉正倫等〔9〕)

圖 7 六參數轉換示意圖

由x'- y'非正交坐標系統轉換為x - y正交坐標系統 xp = xp'- yp'sinδ

yp = yp'cosδ (5) 由旋轉量θ

xp"= cosθ* xp - sinθ* yp

yp"= sinθ* xp + cosθ* yp (6) 由比例尺Sx及Sy及平移量

Xp = Sx * xp"+ x0

Yp = Sy * yp"+ y0 (7) 綜合以上三式

Xp = Sx * cosθ* xp'- Sx *(cosθsinδ- sinθcosδ)* yp'+ x0

Yp = Sy * sinθ* xp'- Sy *(sinθsinδ+ cosθcosδ)* yp'+ y0 (8) 令上式a = Sx * cosθ,b = Sx *(cosθsinδ- sinθcosδ),c = x0,

d = y0,e = Sy * sinθ,f = Sy *(sinθsinδ+ cosθcosδ),則可將 2 - 9式改寫為如下:

xp = aXp - bYp + c

yp = eXp +fYp + d (9)

式中:

1.Xp,Yp為轉換前坐標 2.xp,yp為轉換後坐標

3.x0,y0為兩坐標系統平移量

4.θ為兩坐標系統旋轉量(順時針為正) 5.Sx及Sy為兩軸之尺度比例

6.δ為非正交偏移量

綜合以上坐標轉換模式，主要是針對點對點轉換，但實務上現況測量 的位置絕大多數位於經界線上或其延伸線，因此對於圖解地籍圖坐標轉換 還須要配合三點共線條件，劉正倫等3 人〔9〕，邱元宏等 2 人〔12〕，如圖 8 及 10 式所示，。

1 2 2 3 1 2 2 3

4 6 5 6 4 6 5 6

( )( ) ( )( ) 0

(10) ( )( ) ( )( ) 0

Y Y X X X X Y Y or Y Y X X X X Y Y

   

   

－ －

－ －

最後將點對點轉換模式代入共線條件相關位置再配合單獨點對點條件 及實測現況點，經由偏微分線性化後組成如 11 式之數學模式，再與最小二 乘法原則V PV ^T min組合為 12 式，接著分別對 V 及 X 偏微分並逐步求得轉 換參數及改正數後完成套圖平差，因待求解個數與方程式個數相同，因此 就相同套圖條件及權重的情形下，套圖成果具有唯一解。

,

0 (11

2 ( ) min

A B X V W

AX BV W

T T

V PV K AX BV W



  

    

為相應之係數矩陣, 為未知數矩陣, 為改正數矩陣, 為不符值係數矩陣

)

(12) P

K為引進之Lagrange乘數矩陣, 為權重矩陣 圖 8 共線條件示意圖