相對重力網形之平差處理中的觀測量為各個相鄰監測部之間的相對重力差 值，該相對重力觀測量包含各種儀器外部環境變化的影響及儀器內部系統誤差而 造成的影響，故此必需對重力觀測量進行改正 (Vanicek and Krakiwsky，1986；
Moritz & Mueller，1987；Torge，1989)，本研究的儀器外部環境改正方法及過程 詳述於第四章所示，而儀器內部的系統誤差如Hwang et al (2002)指出受到儀器漂 移及未率定參數的影響，該影響值可在組成觀測方程式中以數學模式來表示，並 經過平差處理而求得；本章將介紹觀測組方程的處理，自由基準及加權約制平差 之平差處理模式說明，最後敍述以平差程式gravnet的平差處理實例。
5-1 建立相對重力觀測方程式
相對重力觀測方程式的組成元素包括經過環境改正的相對重力值觀測量、基 準未知數、率定函數和漂移參數。參考文獻(Torge，1989)重力觀測方程式可編寫 為如(5-1)式所示。
(5-1)式 在(5-1)式中的元素包括： 為經過環境改正及約化後的重力觀測值；t 為觀 測時間； 為觀測量的殘差；g 為站點的重力值；z 為重力儀讀數量； 為率 定函數； 為重力儀之漂移函數。其中重力儀器之系統誤差 及 的函數 式參考文獻(Torge , 1989；Hwang et al, 2002)說明如(5-2)式及(5-3)式所示。
(5-2)式 在(5-2)式中 為頻率，該值可參考文獻(Krieg, 1981，Jiang et al., 1988)的說 明，m，n 為模式組數量， 、 、 為平差處理後所求得的系數，本文簡化以 一階率定函數的標準處理數學模式來計算。
儀器漂移量以讀數 z 和時間 t 的關係以泰勒函數展開(Taylor series expansion)
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來模擬重力儀的漂移效應，如(5-3)式所示。
(5-3)式
在(5-3)式中的 為測量時段的參考時間，把上式經過簡化成多項式(5-4)式。
(5-4)式
如(5-4)式所示可推導得重力儀漂移量模式 ；在(5-4) 式的 為參考時刻 時的近似儀器漂移量； 為約化(5-3)式後的漂移率系數；
p、s 為階數項；本文以一階儀器漂移計算模型來進行計算。
相對重力觀測方程式參考文獻(Hwang et al, 2002)重力觀測方程式可編寫為 (5-5)式所示。
(5-5)式
在(5-5)式中 為相鄰監測站 和監測站 之間重力差值( )； 為 之殘差； 和 為監測時間；未知基準 N0可在兩式相減下而消除。
若有 n 個觀測量，該設計矩陣表示於觀測方程式如(5-6)式所示。
(5-6)式
在(5-6)式 為 的相對重力觀測量矩陣， 之權重 P 為 Σ ；V 為 的殘差矩陣；A 為設計矩陣；X 為 的未知數矩陣；u 為未知數總個數，未知 數包括重力值 、 ，重力儀器率定函數之參數 、 、 及重力儀漂移率 。
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5-2 自由基準平差法
在重力觀測方程式如(5-6)式，令目標方程式(Target function) VTPV 為最 小值，利用 / =0，可得法方程式(Koch, 1987)如(5-7)式所示。
(ATPA)X = AT P Lb 或 NX = U (5-7)式
在(5-7)式的 為相對重力觀測量矩陣， 之權重 P 為 Σ ；V 為殘差矩陣；
A 為設計矩陣；X 為未知數矩陣，未知數總數為 u 的 X 矩陣，包含的重力值矩 陣 及儀器參數 ，可編寫成如(5-8)式所示(Hwang et al, 2002)。
X = (5-8)式
在建立的觀測方程式中，根據文獻(Hwang et al, 2002；魏祥鴻，2005)指出若 無加約制條件，會造成法方程式中 A 之秩虧度(rank defect)為 1，即表示 A 之秩 不足，則 N-1不存在，在自由網平差中沒有已知的解算數據，若要得出唯一解，
在 VT P V 改正量加權平方和最小外，需有(5-9)式兩種特性(Caspary, 1988):
且 (5-9)式
在(5-9)式的 為 規(norm)值， 為未知數的協因子矩陣(Cofactor Matrix)的跡(trace)，故此，若不用加權約制方法而使法方程式(5-7)式有唯一解，
這時可加入基準條件(Koch, 1987)如(5-10)式所示。
STX = 0 (5-10)式 在(5-10)式 S 矩陣為需要滿足的條件(Koch, 1987；Caspary, 1988)：
AS = 0 (5-11)式 若在重力點數為 k，而重力儀器參數量為 u-k 個，重力觀測方程之 A 矩陣設 定為每一列之前 k 個元素內由 0、-1、1 組成，並且-1、1 只出現一次；S 矩陣可
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編寫成(5-12)式(Hwang et al, 2002；魏祥鴻，2005)所示。
(5-12)式
未知數之解為最小規範數解( minimum norm solution)，滿足(5-7)式並加入基 準條件(5-10)式後，未知數之解如(5-13)式(Koch, 1987；Caspary,1988)所示。
(5-13)式 經誤差傳播得 後驗協變方矩陣為如(5-14)式(Koch, 1987)，N + 為 N 的虛擬 逆矩陣(pseudo inverse)(Caspary,1988)，而後驗單位權變方如(5-15)式所示。
(5-14)式
(5-15)式
在(5-13)式中解算得的 為滿足(5-10)式，因此可編成(5-16)式(Koch, 1987)：
(5-16)式 在(5-16)式的 為在於 矩陣第 i 站之重力估值，其所有點的重力平均值為 零，故此，自由基準解算得出的重力值為不具實質意義的非真正重力值，而解算 得的改正數 V 為唯一具有意義(Koch, 1987)，解算得的 矩陣如(5-17)式所示。
(5-17)式 在(5-17)式中 為解算得的重力值矩陣， 為解算得的儀器參數矩陣，則 兩站間經過儀器參數改正後的相對重力值 如(5-18)式所示。
(5-18)式 在(5-18)式的 為對應 的系數矩陣， 為對應 的系數矩陣，各測站點 的重力值可由已知一個重力值，解算得改正後的相對重力值 。
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5-3 加權約制平差法
在重力網平差系統中加入加權約制方程式，以加入未知數觀測方程式來克服 平差的秩虧問題，利用一個或一個以上的已知監測點之重力值及其先驗變方值 (priori variance)的加權約制條件，使改正數 值接近於零，參考文獻(Uotila,1986；
Hwang et al, 2002；魏祥鴻，2005)該加權約制方程數學模式如(5-19)式所示。
； 的權矩陣為 (5-19)式
在(5-19)式的 為約制先驗重力值， 為約制方程的殘差值，其協變方矩陣 為Σg，該約制重力值的權 為對角線矩陣，Hwang et al(2002)指出 值的三要 點：(1) 當 值為無限大時，約制先驗重力值在平差處理後不會被改變，其殘差 值為零；(2) 當 值為零時，約制先驗重力值在平差處理中能自由變化，變動之 大小與權成反比；(3) 的對角線元素中不能為零，如法方程式(5-7)式需具備可 逆變化。
利用觀測方程式(5-6)式和加權約制方程式(5-19)式可組合新的觀測方程式及 其權矩陣如(5-20)式所示。
； 權矩陣
(5-20)式 以最小化新目標函數式(new target function) 如(5-21)式，可獲得新法方程 式如(5-22)式，以最小二乘法可求得未知數之估值 如(5-23)式(Hwang et al, 2002；
魏祥鴻，2005)。
(5-21)式
(5-22)式
(5-23)式
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以(5-23)式的估值 及(5-20)式的 ，可得觀測量改正數的加權平方和(5-21) 式，該後驗單位權變方(posteriori variance) 如(5-24)式所示。
(5-24)式
在(5-24)式中 為改正數的加權平方和(如(5-21)式)；n 為相對重力觀測數目；
u 為未知數的個數；r 為約制數的總數，即為約制方程式(5-19)式之數目。經過誤 差傳播獲得的未知數 的後驗協方變(posteriori covariance)矩陣 如(5-25)式。
(5-25)式 在(5-25)式中， 為約制重力值的權如(5-19)式，約制之控制點設計矩陣 為 對角線元素中不能為零的 對角線矩陣。Hwang et al(2002)指出在加權約制平 差處理中，若只約制一個已知點的情況稱為最小約制(minimum constraint)平差法。
5-4 平差模式之整體模式測試及偵測粗差
在平差的過程中，平差的結果受到所使用的數學模式及資料內的粗差所影響 着，故此，需要對平差所運用的資料進行偵測粗差及數學模式的測試是不可或缺 的步驟(李莉華，2001)；本章以介紹重力網平差運用的整體模式測試及偵測粗差 的方法。
5-4-1 整體模式測試
根據 Hwang et al(2002)指出若使用的數學模式及隨機模式不正確，可引致錯 誤的平差結果；本文以整體模式測試(Global model test)來對所使用的數學模式及 隨機模式進行測試，根據條件式(5-26)式(Koch, 1987)的成立，表示所使用的模式 為正確及完整的。
； (5-26)式
在(5-26)式的 為先驗單位權變方； 為後驗單位權變方；m 為平差的
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自由度； ； 為在信心水平為 及自由度為 m 時的 分佈之臨 界值， ； 臨界值的近似公式(Koch, 1987)於範圍 計算如 (5-27)式、(5-28)式所示。
； (5-27)式 在(5-27)式的 於範圍 的計算如(5-28)式所示。
； (5-28)式 若條件式(5-26)式不成立，則表示如三點所示：(1)數學模式或隨機模式不適 合；(2) 粗差存在於數據資料中，需要把資料中的粗差刪除。(3)所用的權值或先 驗權值 估值不正確。
5-4-2 偵測粗差
根據文獻 Caspary(1988)提及的偵測粗差方法(Baarda, 1968；Pope,1976)都對 偵測粗差的效果有良好的表現；本文運用偵測粗差的方法為Pope’s τ-test 法(Pope, 1976)，該偵測法以殘差之協變方矩陣來執行運算，並根據自由基準平差和加權 約制平差之法方程式解的不同情況而分成如下兩個處理部分 (李莉華，2001；
Hwang et al, 2002)：
(1)自由基準平差：
以觀測方程式(5-6)式及其解(5-13)式組合成殘差方程式如(5-29)式所示：
(5-29)式 在(5-29)式中 ，
利用誤差傳播法，條件式(5-11)式AS=NS=0，及矩陣等式法(Lancaster and
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Tismenetsky, 1985)，殘差 之協變方矩陣可編寫如(5-30)式所示。
(5-30)式 (2)加權約制平差：
以(5-20)式及(5-23)式可編寫成殘差方程式如(5-31)式(Hwang et al, 2002)。
(5-31)式
在(5-31)式中 ，殘差矩陣 Z= 的加權約制之殘差協 變方矩陣如(5-32)式所示(Hwang et al, 2002)。
(5-32)式
依據以上完成的自由基準殘差協變方矩陣( )或加權約制之殘差協變方矩 陣 ，如(5-30)式和(5-32)式所示；若設定第 i 個觀測量殘差為 、其標準差為 (以 或 開方之對角元素所得)；若所得的 及 達成條件(5-33)式，則 表示第 i 個觀測量為粗差。
(5-33)式
在(5-33)式的觀測量總數為 n；當信心水平為 )，並且自由度為 1 及 m 時的臨界值 (Pope, 1976)；在加權約制平差處理時，以(5-33)式來檢查其約制值 是否合理，當達成(5-33)式時，代表要把觀測量中的粗差刪除，並重新計算。
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5-5 顯著測試
本文所用的重力變化顯著性測試為 Koch(1987)顯著測試方法，其顯著性測試 方法說明為：
(1) 假設 g1及 g2為第一時期(初期)與第二時期(後期)之重力值， 及 分別 為對應的標準差，d1及 d2分別為相應的平差自由度，
(2) 以 Koch(1987)的假說分為零假說及變動說。
零假說 ： 變動說 ： 測試子
(5-34)式 若(5-34)式成立，代表拒絕 ，即變化顯著。在(5-33)式中的 值為在 自由度為 及信心水平 下，Student’s t-分佈，即 t 分佈(Mikhail，
1976)之 臨界值，分佈如圖 5-1 所示。若以本研究的信心水平 為 95%
和自由度 m 為 31 時，則可從 95%雙側 t 分佈表(即 97.5%單側 t 分佈表(Mikhail，
1976))可得 。若以 90%之信心水平和自由度 m 為 31 時，則 90%雙 側 t 分佈表中可得 。
圖5-1 t 分佈之機率密度函數及臨界值 的機率函數圖
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