重心法

第二章 文獻探討

為了讓本研究之目的能夠達成，故在探討研究問題前，先就現有相關 之文獻，進行深入探討與分析，從中了解前人研究的方法及結果，以省去 不必要的嘗試與錯誤。因此，本章擬分成「重心法之理論探討與演算法」

與「中位數法之理論探討與演算法」兩小節，進行文獻探討。

第一節 重心法

杉山公造提出之重心法，乃是利用物理靜態平衡之原理，將兩階層中 固定的一階層視為連結擺錘之端點，另一階層視為可移動之頂點，計算出 來之重心值視為擺錘到達平衡後之相對位置。

圖 2-1 重心法原理範例

例如：一個二階階層圖中，個別檢視頂點 A、B 之情況，則頂點 A 之情況 如下：

8

修正後

圖 2-2 重心法原理範例變化圖(a) 頂點 B 之情況亦如下：

修正後

圖 2-3 重心法原理範例變化圖(b)

9

因此，經過重心法排序後之二階階層圖應如下：

圖 2-4 重心排序後之重心法原理範例

經由上述的觀察，且透過位置函數x

( )

⋅ 來描述時，可得x

( )

¹ =¹，

( )

^{2 =2}

x ，^x

( )

^{3 =3}，而平衡後的 A 所在位置，介於頂點 2 與頂點 3 之間，故 頂點 A 所在位置大約等於 2.5，平衡後的 B 所在位置，介於頂點 1 與頂點 2 之間，故頂點 B 所在位置大約等於 1.5。對應杉山公造所定義頂點之重 心值，可以發現頂點 A 之重心值等於 2.5，頂點 B 之重心值等於 1.5，兩 者是相符的。此即為重心法用來解決減少交錯邊數之理論緣起。

重心法藉由計算重心值，將階層圖中，每一層內之概念節點，依照各 概念節點之重心值，由小到大，由左到右之順序，做重新排列。為方便描 述重心法之演算法則，首先定義幾個重要函數，其次介紹重心法之演算步 驟。

一、函數定義

（一）^K

( )

^⋅ ：表示將鄰接矩陣映到非負整數之函數。令

( )

2 1,1

1 i L j L

aij

M ≤≤ ≤ ≤

為一鄰接矩陣則

( ) ∑ ∑ ∑ ∑

−

= = +

−

= = +

=

1

1 1

1

1 1

1 1 2 2

L

j L

j k

L L

k j a a M

K

α β α

α β

10

11

6.步驟 6：若M =₃ M₁或疊代次數剛好大於^r，則結束第一階段 演算，進入第二階段演算；否則，回到步驟 2 繼續計 算。

（二）第二階段

1.步驟 1：令M4 =R_C

(

M3

)

。

2.步驟 2：M₄之行重心值若不是由小到大排列時，則令

4

1 M

M = ，且跳到第二階段步驟 5，否則進行步驟 3。

3.步驟 3：M5 =R_R

(

M4

)

。

4.步驟 4：M₅之列重心值若不是由小到大排列，則令M =₁ M₅且 跳到第二階段步驟 5，否則結束執行。

5.步驟 5：若第二階段之疊代次數大於初始值r時，則結束執 行，否則跳到第一階段步驟 2。

三、重心法演算實例

圖 2-5 利用重心法減少交錯邊前的圖形

12

13

14

圖 2-7 中位數法原理範例

例如：一個二階階層圖中，個別檢視頂點 A、B 之情況後，

則頂點 A 之情況如下：

修正後

圖 2-8 中位數法原理範例變化圖(a) 頂點 B 之情況如下：

15

修正後

圖 2-9 中位數法原理範例變化圖(b) 因此，中位數法排序後之二階階層圖如下：

圖 2-10 排序後之中位數法原理範例

經 由 上 述 的 觀 察 ， 且 透 過 位 置 函 數 ^x

( )

^⋅ 來 描 述 時 ， 可 得 ^x

( )

^{1 =1，}

( )

² =²

x ，x

( )

³ =³，x

( )

⁴ =⁴，x

( )

⁵ =⁵，而修正後 A 的所在位置在頂點 4 之 下，故頂點 A 之所在位置大約等於 4；修正後 B 的所在位置在頂點 3 之下，

故頂點 B 之所在位置大約等於 3。對應 Eades＆Wormald（1994）所定義頂 點之中位數值，可以發現頂點 A 之中位數值等於 4，頂點 B 之中位數值等 於 3，兩者是相符的。此即為中位數法用來解決減少交錯邊數之理論緣起。

16

17

Eades＆Wormald 之中位數法演算方式亦分為兩個階段來進行。

（一）第一階段

1.步驟 1：計算K

(

M1

)

，這裏M₁表示為第 1 層與第 2 層之鄰接 矩陣。

2.步驟 2：令M2 =Q_R

(

M1

)

。

3.步驟 3：若K

(

M2

)

<K

(

M1

)

，則令M =^∗ M₂， K =^∗ K

(

M2

)

。 4.步驟 4：令M3 =Q_C

(

M2

)

。

5.步驟 5：若K

(

M₃

)

< K^∗，則M =^∗ M₃，K =^∗ K

(

M3

)

。

6.步驟 6：若M =₃ M₁，則結束演算法，進入第二階段。否則，

回到步驟 2 繼續計算。

（二）第二階段

若M₃有兩個以上元素具有相同中位數時，其判別法則如下：

1. 若^med

( )

^v_i ⁼med

( )

vj ，且

vi

N 為奇數、

vj

N 為偶數，則頂點v_i 排在頂點v_j之前。

2. 若

vi

N 與

vj

N 同為奇數或偶數時，則根據

vi

d 與

vj

d 之值的大

小，來決定頂點v_i與頂點v_j的順序，數值小的頂點排在數值 大的頂點之前。

3. 如果依然無法判定彼此之先後順序時，則可以自由選擇先 後順序。

18

19

20

圖 2-12 使用中位數法減少交錯邊後的圖形

第三章 研究結果

為了方便敘述起見，令^Med

( )

^G 表示根據中位數法，排列各層之頂點順 序後，此二階階層圖的總交錯數目；^BC

( )

^G 表示根據重心法，排列各層之 頂點順序後，此二階階層圖的總交錯數目。

第一節 固定一層排另外一層時之比較分析

一、對任意二階階層圖 而言，若固定 層排 層時，則

。

(

^{L L E}

G= ₁U ₂,

)

L2 L₁

( )

^{G 3BC}

( )

^G

Med ≤

在證明此關係式前，我們先定義幾個符號，然後再證明以下引理 與定理，以增加研究結果一證明的可讀性。

一、 假設u,v∈L₁，定義

( ) ( )

⎩⎨

⎧

=

=

=

其他情形 ,

0 , 1

uv

uv med u med v

τ

τ 。

二、 令N_uv =

{

w∈L₁ |

( )

w,u ∈E,

( )

w,v ∈E

}

，定義l_uv= N_uv 。

三、 令

( ) ( )

2

−1

=t t

χ t 。

四、 當^u,v∈^L₂,^x2

( )

^u < ^x2

( )

^v ，定義C_uv =

{ { ( ) ( )

u,t , v,w

} ( )

:x₁ t > x₁

( )

w

}

。 五、 ^cross

(

^G,x₁^,x₂

)

表示為任意二階階層圖^{G =}

(

^L_1U^L₂^,E

)

中的交錯邊

數總和。

(

^{G, x}₁

opt

)

表示為任意二階階層圖^G=

(

^L_1U^L₂^,E

)

中，固定 層排 層時，能產生的最小交錯邊數。

L2

L1

六、 交錯邊Ce為

{ { ( ) ( )

^{u,t , v,w}

} ( )

^:x₁ ^{u >x}₁

( ) ( )

^v,x₂ ^{t > x}₂

( )

^w

}

^。

例如在圖 3-1 中，α ⁼

{

^3,4,5

}

， β ⁼

{

^{9,10,11,12,13}

}

， γ ⁼

{

^1,2,6,8

}

， δ ⁼

{

^7,12,13

}

。

圖 3-1 集合α 、β、γ 、δ

定義 的度數為a α ，b的度數為β ，c的度數為γ ，d的度數為 δ ，e的度數為

{

uw∈α :vw∈γ

}

， 的度數為f

{

vw∈β :uw∈δ

}

，

的度數為

g

{

vw∈γ:uw∈δ

}

。

如果^med

( )

^{u = x}₁

( )

^{u ≤med}

( )

^{v = x}₁

( )

^v ，則α 內的邊不會與β內的邊 產生交錯，故交錯數為 0，而α 內的邊與γ 內的邊所產生的最大

交錯數為^a

(

^c−g

) (

⁻χ ^e+1

)

，同理β內的邊與δ 內的邊所產生的 最大交錯數為^b

(

^d−g

) (

⁻χ ^{f +1}

)

，而γ內的邊與δ 內的邊所產生 的最大交錯數為^cd−χ

(

^g+1

)

。

所以C_uv ≤ ^a

(

^c−g

) (

⁻χ ^e+1

)

+^b

(

^d−g

) (

⁻χ ^{f +1}

)

+^cd−χ

(

^g+1

)

。

從(II)可推論出

個別對 層中的頂點兩兩提出分析，L₁ ∀u,v∈L₁， ，

由引理 1 與下面不等式

{

u v

}

uv d d

l ≤min , ，

(

²

) (

¹

)

^{1 1}

8 2 ⎟= − = − ² − ≥−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

uv uv

uv

uv l l l

χ l

可以得知當d_u為奇數時，C_uv ≤ 3⋅C_vu。

如果d_u是偶數，而d_v為奇數，我們可以設定τ_uv =0，若τ_uv ≠0的 情況下，會造成^x₂

( )

^{u >x}₂

( )

^v ，和之前設定產生矛盾。

當d_u是偶數，d_v為奇數，τ_uv =0，由引理 1 中同樣能推論出

vu。

uv C

C ≤ 3⋅

最後如果d_u與d_v皆為偶數，從引理 1 中可推導出 4C_uv ≤3d_ud_v −2d_u +1≤3d_ud_v −3，當d_u ≥2， 4C_vu ≥d_ud_v −1，當

(

^{1 2}

)

⁰

8 2

2 ⎟− + ≥

⎠

⎜ ⎞

⎝

+ ⎛ ^uv _{uv uv}

u l l

d χ τ ，

所以C_uv ≤ 3⋅C_vu。

因C_uv ≤ B⋅C_vu，可以得出B=3，

(

^{G,x ,x}

)

^{3 opt}

(

^{G,x ,x}

)

cross _{1 2} ≤ ⋅ _{1 2} ，^Med

( )

^{G ≤ 3⋅opt}

( )

^G

證明以上引理與定理後，接下便開始證明研究結果一：

對任意二階階層圖^G=

(

^L_1U^L₂^,E

)

而言，若固定 層排 層時，

則 。

L2 L₁

( )

^{G 3BC}

( )

^G

Med ≤

證明：假設^BC

( )

^{G <opt}

( )

^G ，表示可以在二階階層圖^{G =}

(

^L_1U^L₂^,E

)

中，

固定 層，排 層時，產生一組頂點的順序排列，會使得

，此與 L2 L₁

( )

^{G <opt}

( )

^G

BC ^opt

( )

^G 的定義產生矛盾，故^BC

( )

^{G ≥opt}

( )

^G 。 又由定理 1 可得^Med

( )

^{G ≤ 3⋅opt}

( )

^G ，因此^Med

( )

^{G ≤3BC}

(

^G

)

)

。

二、對任意二階階層圖^G=

(

^L_1U^L₂^,E 而言，對所有^u,v∈L₁，若

( )

u ^L

( )

v 且

L_{1 1}

bc

bc > ^med

( )

^{u >med}

( )

^v ，則^Med

( )

^{G =BC}

( )

^G 。 證明：假設L₁ =2，u,v∈L₁，令^x

( ) ( )

^{u < xv} 。

由於bc^L1

( )

u >bc^L1

( )

v 且^med

( )

^{u >med}

( )

^v ，則重心法與中位數法對 排序後具有一致性，

v

u, ^x

( ) ( )

^{v <xu} ，故^Med

( )

^{G =BC}

(

^G

)

。 同理，若 L₁ =n，∀^u,v∈^L₁，使用重心法與中位數法對 做排 序，因

v u,

( )

^{u L}

( )

^v

L_{1 1}

bc

bc > 且^med

( )

^{u >med}

( )

^v ，所以^x

( ) (

^{v <x u}

)

，依此 方式個別對n個頂點進行兩兩比較後，可得兩方法之 排序具 有一致性。

v u,

對所有 ，因為重心法與中位數法之 排序具有一致 性，且

,v L1

u ∈ u,v

( )

u ^L

( )

v

L_{1 1}

bc

bc > ,^med

( )

^{u >med}

( )

^v ,^x

( ) ( )

^{v < xu} ，表示重心值 與中位數值皆由小至大排序，此為計算後最終之結果，所以可 得^Med

( )

^{G =BC}

( )

^G 。

三、存在二階階層圖^G=

(

^L_{1 U}^L₂^,E

)

使得^Med

( )

^{G ≤BC}

( )

^G 。

實例說明：考慮圖 3-2 之二階階層圖^{G =}

(

^L_1U^L₂^,E

)

，對 層各頂點分 別使用重心法與中位數法做排序

L1

圖 3-2 ^Med

( )

^{G ≤BC}

( )

^G 之範例原圖 使用重心法排列後

圖 3-3 重心法排列後的^Med

( )

^{G ≤BC}

( )

^G 之圖 使用中位數法排列後

圖 3-4 中位數法排列後的^Med

( )

^{G ≤BC}

( )

^G 之圖

分別計算圖 3-3 與圖 3-4 之交錯邊數，可得到圖 3-3 之交

若一二階階層圖中，有一頂點v的鄰域 中有某些頂點，

證明：首先考慮此鄰接矩陣M內各行的行重心值，因為

（二）考慮a_k +b_k =a_k+1+b_k+1−1,1≤k ≤ L₁ −1，若 為 偶

+1

− _k

k a

b

數，則 2 2

2 2

1 2

1 1 1

1 + + +

+ +

− <

= +

−

= +

+ _{k k k k k k k}

k b a b a b a b

a ，

( )

k <med

(

k+1

)

med^{C C} 。

若b_k −a_k +1為奇數，則

2 2

1 2

1 1 1

1 + + +

+ +

− =

= +

+ _{k k k k k}

k b a b a b

a ，

( )

k =med

(

k+1

)

med^{C C} ，

但依中位數法演算方式，因b_k −a_k +1為奇數，所以 N_k 為 奇數、N_k+1 為偶數，可得兩行不能互換。

（三）最後考慮a_k +b_k =a_k+1 +b_k+1,1≤k ≤ L₁ −1，因

a_k ≤a_k+1,b_k ≤b_k+1，所以a_k =a_k+1,b_k =b_k+1，再由 的定義 可知，在

C

Ai

M 中，第 與k k+1行的 0,1 數字排列完全相同，

兩行互換不影響交錯邊數並且不改變各列列中位數值。

由（一）、（二）、（三）可知M 的行中位數值完全由小至大排序。

因鄰接矩陣M 的行重心值與行中位數值皆由小至大排序，故對 M 中的各行，其排序都具有一致性。

同理，可證明出鄰接矩陣M內各列的列重心值與行中位數值皆 由小至大排序，故對M內的各列，其排序也都具有一致性。

因此M 的行、列重心值與行、列中位數值皆由小至大排序，且 兩方法的行、列的排序都具有一致性，所以M應為重心法或中 位數法計算後所得到的最佳鄰接矩陣，且^BC

( )

^{G =Med}

(

^G

)

。

由本證明中可以發現鄰接矩陣M 應該為重心法或中位數法計算 後所得到的最佳鄰接矩陣，接下來考慮M是否有最小交錯邊數，若M 擁有最小交錯邊數，則重心法或中位數法的計算方式能否達到此結 果。

（一）對符合前述條件之鄰接矩陣

2 1,1

)1

(m_{ij i L j L}

M = _{≤≤ ≤ ≤} ，其擁有最小交 錯邊數。

在證明此關係式前，我們先證明以下引理，以增加研究結 果證明的可讀性。

引理 4：在一個二階階層圖之鄰接矩陣

2 1,1

)1

(m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} 中，

若m_ij =m_kl =1，且i< ,k j<l，則 和 會在二階階層 圖G中產生一交錯邊。

mij m_kl

證明：若m_ij =m_kl =1，表示

( ) ( )

^{i, j , k,l ∈E，}

又i< ,k j<l，表示^x₁

( )

^{i >x}₁

( ) ( )

^{k ,x}₂ ^{j >x}₂

( )

^k ，

因此由交錯邊的定義可知， 和 會在二階階層圖G 中產生一交錯邊。

mij m_kl

引理 5：在一個二階階層圖的鄰接矩陣

2 1,1

)1

(m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} 中，

若有一方形區域，範圍為1≤i< j≤ L₁,1≤k<l ≤ L₂ ，且 l

v k j u i

m_uv =1, ≤ ≤ , ≤ ≤ ，m_uv =0,其它情況，則我們無法 減少鄰接矩陣M 的交錯邊數。

證明：在鄰接矩陣M 中，我們唯一可做的只有將任意兩行或是 兩列互換，在計算完重心值或中位數值後的行列互換，

可視為將行列兩兩互換的連續行為。

因m_uv =1,i≤u ≤ j,k ≤v≤l，m_uv =0,其它範圍，所以交錯 邊僅出現在此方形區域中，故只需探討能否減少此方形 區域中交錯邊數。

先看任意兩行互換的情況，在此鄰接矩陣M中，其各行 的數字 0,1 排列只有兩種可能：

(1) m_uv =0,1≤v≤ L₂ ，如：

[

^{0 0} L ⁰

]

。 (2) m_uv = ,1k ≤v≤l，m_uv =0,其它範圍，例如：

[

⁰ L ^{0 1} L ^{1 0} L ⁰

]

。

若互換之兩行的 0,1 排列皆同為(1)或(2)，則兩行互換 不影響交錯邊數。

若互換之兩行的 0,1 排列不同時，考慮 0,1 排列為(2)之 行與另一個 0,1 排列同為(2)之行的影響。

令行 a 的 0,1 排列為(1)，行 b、c 的 0,1 排列為(2) 1. 若行 b 原本在行 c 上方，行 a、b 互換，則行 a 依然

在行 c 上方。

因為 b、c 的 0,1 排列相同，所以 a、b 的互換可視為

證明：首先觀察鄰接矩陣M 的各行，對任意兩行，其連接矩陣

證明：令 的鄰域u N_u中各點之位置函數分別為

圖 3-6 縮短連接邊總長之範例

對於此圖形，其行與列重心值均無同重心，但觀察行 與列中位數值，皆可發現具有相同重心值，且中位數法無 法有效判斷其先後順序，若不做互換，則 ， 如果互換，則

( )

^{G Med}

( )

^G

BC =

( )

^{G Med}

( )

^G

BC > ，且需再做多次中位數法的 互換，才能重新得到^BC

( )

^{G =Med}

( )

^G 之結果。

對二階階層圖做多次行與列重心的排序，可以將其位 置函數具有極端值的點，逐漸靠近其他位於相同鄰域的頂 點，在無同重心之前提下，也不會有多個點具有相同鄰域，

使得某些點的位置函數相對於相同鄰域的點而言，會產生 極端的現象，例如圖 3-8 之範例。在無極端值影響重心排

使得某些點的位置函數相對於相同鄰域的點而言，會產生 極端的現象，例如圖 3-8 之範例。在無極端值影響重心排

在文檔中 重心法和中位數法對二階階層圖之比較分析研究 (頁 17-0)