重心法和中位數法對二階階層圖之比較分析研究

國立台中教育大學數學教育研究所碩士論文

指導教授： 胡豐榮 博士

重心法和中位數法對二階階層圖

之比較分析研究

研究生：林技保 撰

中華民國九十六年一月

中文摘要

一般在處理具有上下位關聯之資料時，均先將這些資料圖示成階層 圖，然後再做進一步分析，以達到資料探勘的目的。然而，這類資料之實 證性研究中，往往碰到資料圖示成之階層圖過於複雜，特別是因為交錯邊 過多，而大大降低階層圖之可讀性與實用性。 有鑑於此，如何提高階層圖之可讀性與實用性，已逐漸受到資料分析 或教育統計研究之重視。例如何氏圖、概念圖等之最新分析研究，即在解 決降低交錯邊數過多之問題。 雖然，目前已有很多方法可以解決降低交錯邊過多的問題。然而，這 些方法當中，常發生對某些階層圖可以有效降低交錯邊數，但對其他之階 層圖時，則成效有限之問題。另外，何氏圖、概念圖等之研究中，閑少對 兩種或兩種以上之分析法，進行理論性的探討。基於此，本研究擬探討上

述研究中常使用之重心法（Barycentric method）；簡稱 BC 法與 Eades＆

Wormald 於 1994 年所提出的中位數法（Median Heuristic），在二階階層 圖（Bipartite Graphs）情況之下，對降低階層圖交錯數之成效與比較。 本研究主要目的有二，其一為當固定階層圖之一層，排另一層時，兩 種方法在降低階層圖交錯數之成效與比較。其二為以階層圖之鄰接矩陣為 基礎，同時考慮兩層的排序時，兩種方法在降低階層圖交錯數之成效與比 較。 I

本研究主要的結果如下： （1）當固定一層，對另一層做排序時，發現中位數法在減少交錯邊數 上優於 BC 法； （2）當同時考慮鄰接矩陣之行與列兩方向來排序時，BC 法在減少交 錯邊數上優於中位數法。 關鍵詞：概念圖、重心法、中位數法、二階階層圖、交錯數、可讀性 II

Abstract

When dealing with data having upper and bottom correlations, these data will

generally be diagrammed into hierarchies followed by a further analysis to understand

the meanings of the data. However, the readability and practicability of hierarchies are

usually descended in some recent researches because the hierarchies are mostly too

complicated, especially too many crossing edges.

Therefore, how to increase the readability and practicability of hierarchies has

become an important issue in data analysis and educational statistic research. Latest

analysis researches like the Forrester Diagram and concept maps are famous ones

dealing with such issue.

Although there are many methods able to solve the problem of too many

numbers of crossings now, some of them can usually effectively descend the number

of crossing edges only in certain cases while the result is limited in others. On the

other hand, the studies of the Forrester Diagram and concept maps were lack of

proceeding the theoretical discussions of minimizing the crossing edges. This research

is, therefore, trying to discuss and compare the effects on reducing the numbers of

crossings in hierarchies, comparing the Barycentric methods (i.e. BC Method) and

Median Heuristic proposed by Eades and Wormald in 1994 using in Bipartite Graphs.

There are two purposes in this research. One of them is to discuss and compare

the effects of the two methods on reducing the numbers of crossings in hierarchies

when fixing one layer and arranging another. The other purpose is to discuss and

compare the effects in two methods on reducing the numbers of crossings in

hierarchies when regarding adjacency matrix as basis and simultaneously consider

two layers.

We find that:

(1) when fixing one layer and only arranging another, Median Heuristic reduces

more numbers of crossing edges than BC Method does;

(2) when BC Method arranges with column barycenter and row barycenter, it

reduces more numbers of crossing edges than Median Heuristic arranging

with column Median and row Median.

Keywords: concept map, BC Method, Median Heuristic, Bipartite Graphs, numbers of

crossing, readability.

謝辭

本論文得以順利完成，最重要是感謝指導教授胡豐榮老師給予學生 在研究所求學其間，不論是在專業知識領域的細心指導以及待人處事 的態度等等，均給予學生極大的啟示與收穫，在此學生衷心地表達最 誠摯的謝意，同時並感謝口試委員王道明教授、許天維教授，對本論 文提供寶貴的建議與指導。 此外，要感謝學長姊、同學以及學弟，俊宏、寶貴等學長姊；順閔、 育政等同學；松霖、國寧等學弟，在平日生活及課業上的協助與切磋，才 使的研究所的生活充滿著歡笑及喜樂。最重要的是感謝最疼愛我的父母親 及家人們，因為有您們不斷的關懷與持續的鼓勵，讓我能夠拿到碩士學 位。亦感謝鎮槐相助及所有關心我的同學和朋友，適時的給我幫助及打 氣，謝謝大家。 技保 謹致於 九十六年一月 V

目錄

中文摘要………I 英文摘要………III 謝辭………V 目錄 ………VI 表目錄………VII 圖目錄 ………VIII 第一章 緒論………1 第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………2 第三節 名詞釋義………3 第四節 研究限制………6 第二章 文獻探討………7 第一節 重心法………7 第二節 中位數法 ………13 第三章 研究結果 ………21 第一節 固定一層排另外一層時之比較分析 ………21 第二節 同時考慮鄰接矩陣之行與列時之比較分析 ………31 第四章 結論及建議 ………43 第一節 結論 ………43 第二節 建議 ………43 參考文獻 ………45 VI

表目錄

表1-1 L2層之各點重心………5

表1-2 L₂層各點之頂點中位數………6

圖目錄

圖 1-1 二階階層………3 圖 1-2 二階多重圖………3 圖 2-1 重心法原理範例………7 圖 2-2 重心法原理範例變化圖(a) ………8 圖 2-3 重心法原理範例變化圖(b) ………8 圖 2-4 重心排序後之重心法原理範例………9 圖 2-5 利用重心法減少交錯邊前的圖形 ………11 圖 2-6 利用重心法減少交錯邊後的圖形 ………13 圖 2-7 中位數法原理範例 ………14 圖 2-8 中位數法原理範例變化圖(a)………14 圖 2-9 中位數法原理範例變化圖(b)………15 圖 2-10 排序後之中位數法原理範例………15 圖 2-11 使用中位數法減少交錯邊前的圖形………18 圖 2-12 使用中位數法減少交錯邊後的圖形………20 圖 3-1 集合α 、β、γ 、δ ………23 圖 3-2 Med

( )

G ≤BC

( )

G 之範例原圖………29 圖 3-3 重心法排列後的Med

( )

G ≤BC

( )

G 之圖………29 VIII

圖 3-4 中位數法排列後的Med

( )

G ≤BC

( )

G 之圖………29 圖 3-5 具有極端值之二階階層圖 ………30 圖 3-6 縮短連接邊總長之範例 ………40 圖 3-7 無同重心的圖形 ………40 圖 3-8 無法減少交錯邊數的圖形 ………41 圖 3-9 產生相同中位數值的圖形 ………42 IX

第一章 緒論

第一節 研究動機

一般在分析具有上下位關係的資料時，為了方便對資料作整體性的探 勘，常會將這些資料圖示成階層結構圖。也就是，當資料兩兩具有上下位 關係時，則以直線連結這些相關資料，使這些資料展現成一個網狀階層結 構圖（Eades & Wormald，1994）。可是，這種將資料階層化呈現之方式， 對早期的研究並沒有出現太大的困難，主要的原因乃在於早期的研究中， 資料的處理量並沒有像現在這麼龐大。然而，順應數位化時代的來臨，在 資料的處理量日趨龐大下，早期將資料階層化之分析方式，隨即呈現捉襟 見肘之窘境。因此，在資料量龐大且這些資料具有上下位階層關係之前提 下，如何有效地將這些資料轉譯成可讀性高之階層結構圖，已成為當下極 為重要之研究課題。 在國外，杉山公造（Kozo Sugiyama）認為，一個容易讓人了解的階層 結構圖應具有的五項要素：概念階層化排列、概念節點的交錯邊要少、概 念節點的連接必需為直線、概念節點需緊密的排列、概念節點的分佈必需 均勻。針對以上五點要素，杉山公造於 1981 年提出重心法（barycentric method）；簡稱 BC 法，利用兩階層間之概念節點，定義重心值，並根據重

心值提出，如何減少階層結構圖交錯邊數之演算法。另外，Eades & Wormald 於 1994 年提出不同於重心法之新方法，此法稱為中位數法（median heuristic），來探討減少階層結構圖交錯邊數之問題。

在國內，關於資料階層結構化之研究，首推何氏圖（Forrester diagram）之研究。何氏圖之研究中，淡江大學楊維楨教授，於 2001 年提 出了如何將何氏圖轉譯成可讀性高之階層結構圖的演算法，其演算法乃直 接應用杉山公造所提出之重心法，來解決減少階層結構圖交錯邊數的問 題。另外，廖寶貴（民 95）與陳俊宏（民 95）將減少交錯邊技術，應用 於教育統計上，得到相當不錯之研究結果。 由此可見，重心法在減少交錯邊問題上，扮演極為重要的角色。但相 對應於重心法之中位數法，是否優於重心法，亦或在減少交錯邊數之成效 不如重心法呢？這個問題，Eades & Wormald 之研究，並沒有給出明確的 答案。基於此，本研究擬探討重心法與中位數法，在減少交錯邊數上之成 效分析。本研究之研究結果，在實際的應用場合上，將有助於減少交錯邊 演算法之撰寫，使後續研究者對重心法與中位數法之使用時機，能瞭若指 掌，以達到繪製更具可讀性階層結構圖之目的。

第二節 研究目的

本研究針對杉山公造於 1981 年提出的重心法與 Eades＆Wormald 於 1994 年所提出的中位數法，在減少交錯邊數上進行成效分析。 本研究主要目的有二，其一為當固定階層結構圖之一層，排另一層 時，在給定階層結構圖下，兩種方法減少交錯邊數之情形與比較。其二為 以給定之階層結構圖的鄰接矩陣為基礎，同時考慮兩層的排序時，兩種方 法減少交錯邊數之情形與比較。

第三節 名詞釋義

一、二階階層圖 一個二階階層圖（bipartite graph）G=

(

L_1UL₂,E

)

，乃是由兩層 與邊集 所構成，其中 表示第一層頂點所成集合， 表示 第二層頂點所成集合。如圖 1-1 所示，此即為二階階層圖： 2 1, L L 2 1 L L E ⊆ × L₁ L₂ 圖 1-1 二階階層圖 二、二階多重圖 一個二階階層圖G=

(

L_1UL₂,E

)

，∀a∈L₁,b∈L₂， 之間的連接邊數 時，則稱 為二階多重圖（bipartite multigraph）。在圖 1-2 中， 可見點 A 與點 1 之間的連接邊數為 2，所以此圖為二階多重圖。 b a, 2 ≥ G 圖 1-2 二階多重圖

三、可讀性 一個可讀性高的二階階層圖應具有此四項要素：概念節點的交錯邊要 少、節點之連接必需為直線、節點需緊密排列、節點的分佈需均勻。 四、鄰接矩陣 一個二階階層圖中G=

(

L_1UL₂,E

)

，假設

{

}

2 ,..., , ₂ 1 2 v v vL L = ，

{

₁, ₂,..., ₁

}

1 u u uL L = ，L₁ 表示集合 之元素個數，L₁ L₂ 表示集合 之元素 個數。令 2 L

₍

(

₎

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = , , , 0 , , , 1 E v u E v u a j i j i ij 若 若 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 2 1 1 11 L L L ij L a a a a a M L O N M M N O L ， 則稱M 為鄰接矩陣（adjacency matrix）。 對於圖 1-1 之二階階層圖，其鄰接矩陣表示如下： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 M 五、鄰域 令N_v =

{

u∈L₁ |

( )

u,v ∈E

}

，則稱N_v為頂點 之鄰域（neighborhood）。 v 以圖 1-1 為例，點 1 的鄰域為

{ }

A,B 1 = v N ，點 2 的鄰域為

{ }

A 。 2 = v N 六、度 對任意v∈L₂，令d_v= N_v ，則稱d_v為頂點 之度（degree）。 v 以圖 1-1 為例，因點 1 的鄰域為

{ }

A,B 1 = v N ，故點 1 的度數為 2 1 = v N ， 點 2 的鄰域為

{ }

A ，故點 2 的度數為 2 = v N 2 2 = v N 。

七、位置函數 若 且頂點 在第一層之位置（由左邊算起）為i，則令 。 因此，函數 為 映到 1 L u∈ u x

( )

u =i

( )

⋅ x L₁

{

1,2,_L,L₁

}

之一對一函數。本研究稱 為位置函數。

( )

⋅ x 以圖 1-1 為例，點 A 的位置函數x

( )

u_A =1，點 B 的位置函數x

( )

u_B =2。 八、頂點重心 1 L層中，由左邊算起第 個頂點 之重心： l ul

( )

L 2 o 1 1 , , 1 , bc 1 1 2 _{l L} a a k u L k kl L k kl l L ₌ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × =

∑

∑

= = 2 L 層中，由左邊算起第 個頂點 之重心： k vk

( )

_L 1 _o 1 1 , , 1 , bc 2 2 1 _{k L} a a l v L l kl L l kl k L = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × =

∑

∑

= = 例如對於圖1-1的L₂層中，各點之重心分別為 表1-1 L2層之各點重心 頂點 1 2 3 4 5 重心值 1.5 1 2 1.5 1

九、頂點中位數 設v∈L2且Nv中之元素在第一層中由左至右排列成u1,u2,L,uN_v 之順 序。則 之中位數v med

( )

v 的定義如下：

( )

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 1 med v N u x v ，這裏 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 1 v N _表 示小於等於 2 1 + v N 之最大正整數。 例如對於圖1-1的L₂層中，各點之頂點中位數分別為 表1-2 L₂層各點之頂點中位數 頂點 1 2 3 4 5 重心值 1 1 2 1 1

第四節 研究限制

本研究原先可以考慮 N 階階層圖之減少交錯邊的問題，然而，因為 N 大於等於 3 的情形，在比較重心法與中位數法之成效分析上，交錯邊數的 計算過於複雜，且目前尚無法克服三階階層圖以上之 matlab 程式設計上 的瓶頸，因此，本研究侷限於階層化後之二階階層圖，著眼於重心法與中 位數法在此二階階層圖減少交錯邊之成效分析。 另外基於重心法與中位數法之定義上的限制，本研究不考慮二階多重 圖。

7

第二章 文獻探討

為了讓本研究之目的能夠達成，故在探討研究問題前，先就現有相關 之文獻，進行深入探討與分析，從中了解前人研究的方法及結果，以省去 不必要的嘗試與錯誤。因此，本章擬分成「重心法之理論探討與演算法」 與「中位數法之理論探討與演算法」兩小節，進行文獻探討。

第一節 重心法

杉山公造提出之重心法，乃是利用物理靜態平衡之原理，將兩階層中 固定的一階層視為連結擺錘之端點，另一階層視為可移動之頂點，計算出 來之重心值視為擺錘到達平衡後之相對位置。 圖 2-1 重心法原理範例 例如：一個二階階層圖中，個別檢視頂點 A、B 之情況，則頂點 A 之情況 如下：

8 修正後 圖 2-2 重心法原理範例變化圖(a) 頂點 B 之情況亦如下： 修正後 圖 2-3 重心法原理範例變化圖(b)

9 因此，經過重心法排序後之二階階層圖應如下： 圖 2-4 重心排序後之重心法原理範例 經由上述的觀察，且透過位置函數x

( )

⋅ 來描述時，可得x

( )

1 =1，

( )

2 =2 x ，x

( )

3 =3，而平衡後的 A 所在位置，介於頂點 2 與頂點 3 之間，故 頂點 A 所在位置大約等於 2.5，平衡後的 B 所在位置，介於頂點 1 與頂點 2 之間，故頂點 B 所在位置大約等於 1.5。對應杉山公造所定義頂點之重 心值，可以發現頂點 A 之重心值等於 2.5，頂點 B 之重心值等於 1.5，兩 者是相符的。此即為重心法用來解決減少交錯邊數之理論緣起。 重心法藉由計算重心值，將階層圖中，每一層內之概念節點，依照各 概念節點之重心值，由小到大，由左到右之順序，做重新排列。為方便描 述重心法之演算法則，首先定義幾個重要函數，其次介紹重心法之演算步 驟。 一、函數定義 （一）K

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣映到非負整數之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij a M ≤ ≤ ≤ ≤ 為一鄰接矩陣則

( )

_{∑ ∑ ∑ ∑}

− = = + − = = + = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 L j L j k L L k j a a M K α β α α β

10 （二）β_C

( )

⋅ ：表示根據行重心值，將鄰接矩陣映到重新排列該矩陣的 行後所得矩陣之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij a M ≤ ≤ ≤ ≤ = 且

( )

( )

( )

2 2 2 2 1 2 _{bc bc} bc L j L j L j L v v v ≤ ≤L≤ ，則

( )

( )

2 1,1 1 i L k L ij C M = N = a k ≤≤ ≤ ≤ β 。 （三）β_R

( )

⋅ ：表示根據列重心值，將鄰接矩陣映到重新排列該矩陣的 列後所得矩陣之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij a M ≤ ≤ ≤ ≤ = 且

( )

( )

1

( )

₁ 2 1 1 1 _{bc bc} bc L i L i L i L u u u ≤ ≤L≤ ，則

( )

( )

2 1,1 1 k L j L j i R M =L= ak _{≤ ≤ ≤ ≤} β 。 二、演算步驟 杉山公造之重心法演算方式，分為兩階段逐步進行。 （一）第一階段 1.步驟 1：設定初始重複循環第一階段演算之數（即疊代次數） r_{，然後計算}

₍

₎

1 M K ，這裏M₁表示為第 1 層與第 2 層之鄰接矩陣。 2.步驟 2：令M2 =βR

(

M1

)

。 3.步驟 3：若K

(

M2

)

<K

(

M1

)

，則令M =M2 ∗ _，

₍

₎

2 M K K =∗ 。 4.步驟 4：令M3 =βC

(

M2

)

。 5.步驟 5：若

(

)

_{< K}∗ M K ₃ ，則M =∗ M₃，K =∗ K

(

M₃

)

。

11 6.步驟 6：若M =₃ M₁或疊代次數剛好大於r，則結束第一階段 演算，進入第二階段演算；否則，回到步驟 2 繼續計 算。 （二）第二階段 1.步驟 1：令M4 =RC

(

M3

)

。 2.步驟 2：M₄之行重心值若不是由小到大排列時，則令 4 1 M M = ，且跳到第二階段步驟 5，否則進行步驟 3。 3.步驟 3：M5 =RR

(

M4

)

。 4.步驟 4：M5之列重心值若不是由小到大排列，則令M =1 M5且 跳到第二階段步驟 5，否則結束執行。 5.步驟 5：若第二階段之疊代次數大於初始值r時，則結束執 行，否則跳到第一階段步驟 2。 三、重心法演算實例 圖 2-5 利用重心法減少交錯邊前的圖形

12 a.步驟 1：寫出鄰接矩陣 5 5 . 4 5 . 3 2 5 . 2 4 1 1 1 0 0 e 5 . 2 0 1 0 0 1 d 2 0 0 0 1 0 c 5 . 2 0 0 1 1 0 b 5 . 1 0 0 0 1 1 a 5 4 3 2 1 1 c l R k B B M = ， K

(

M₁

)

=6 此鄰接矩陣產生兩個相同列重心的值，故無法有效判斷其先 後次序，因此，必須將此兩個元素相互交換，並同時探討交 換後所產生的交錯邊數。 下面將交換後產生之交錯邊數較少者，提出討論。 b.步驟 2：將列重心值按大小次序排列，得到 5 5 . 4 4 2 5 . 2 4 1 1 1 0 0 e 5 . 2 0 1 0 0 1 d 5 . 2 0 0 1 1 0 b 2 0 0 0 1 0 c 5 . 1 0 0 0 1 1 a 5 4 3 2 1 1 c l R k B B M = ， K

(

M₂

)

=5 c.步驟 3：將行重心值按大小次序排列，得到 5 5 . 4 4 5 . 2 2 4 1 1 1 0 0 e 3 0 1 0 1 0 d 2 0 0 1 0 1 b 1 0 0 0 0 1 c 5 . 1 0 0 0 1 1 a 5 4 3 1 2 1 c l R k B B M = ， K

(

M₃

)

=4

13 d.步驟 4：列重心值經大小次序排列後， 5 5 . 4 4 3 2 4 1 1 1 0 0 e 3 0 1 0 1 0 d 2 0 0 1 0 1 b 5 . 1 0 0 0 1 1 a 1 0 0 0 0 1 c 5 4 3 1 2 1 c l R k B B M = ， K

(

M₄

)

=3 因為行重心值與列重心值都已經按大小次序排列，故可以得 到最少交錯邊數為 3。得到最後排列的圖形如下： 圖 2-6 利用重心法減少交錯邊後的圖形

第二節 中位數法

Eades ＆ Wormald 於 1994 年所提出之中位數法，則是根據統計學資 料中位數之原理，將二階階層圖中的上層視為下層頂點所連接之資料數， 下層則視為可移動之頂點，根據計算出來的中位數值，由小到大、由左而 右重新排列下層之頂點順序。

14 圖 2-7 中位數法原理範例 例如：一個二階階層圖中，個別檢視頂點 A、B 之情況後， 則頂點 A 之情況如下： 修正後 圖 2-8 中位數法原理範例變化圖(a) 頂點 B 之情況如下：

15 修正後 圖 2-9 中位數法原理範例變化圖(b) 因此，中位數法排序後之二階階層圖如下： 圖 2-10 排序後之中位數法原理範例 經 由 上 述 的 觀 察 ， 且 透 過 位 置 函 數 x

( )

⋅ 來 描 述 時 ， 可 得 x

( )

1 =1，

( )

2 =2 x ，x

( )

3 =3，x

( )

4 =4，x

( )

5 =5，而修正後 A 的所在位置在頂點 4 之 下，故頂點 A 之所在位置大約等於 4；修正後 B 的所在位置在頂點 3 之下， 故頂點 B 之所在位置大約等於 3。對應 Eades＆Wormald（1994）所定義頂 點之中位數值，可以發現頂點 A 之中位數值等於 4，頂點 B 之中位數值等 於 3，兩者是相符的。此即為中位數法用來解決減少交錯邊數之理論緣起。

16 中位數法藉由計算頂點中位數值，將階層圖中，每一層內之概念節 點，依照各概念節點之中位數值由小到大、由左至右重新排序。為方便描 述演算法則，首先定義幾個重要函數，其次介紹 Eades ＆ Wormald 之中 位數法演算步驟。 一、函數定義 （一）K

( )

⋅ ：表示將鄰接矩陣映到非負整數之函數。 令

( )

2 1,1 1i L j L ij a M ≤ ≤ ≤ ≤ 為一鄰接矩陣， 則

( )

_{∑ ∑ ∑ ∑}

− = = + − = = + = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 L j L j k L L k j a a M K α β α α β 。 （二）Q_C

( )

⋅ ：表示根據行中位數值，將鄰接矩陣映到重新排列該矩陣 的行後所得矩陣之函數。令

( )

2 1,1 1 i L j L ij a M ≤ ≤ ≤ ≤ = 且

( )

( )

( )

2 2 1 med med med L j j j a a a ≤ ≤L≤ ， 則

( )

( )

2 1,1 1 i L k L ij C M N a k Q ≤ ≤ ≤ ≤ = = 。 （三）Q_R

( )

⋅ ：表示根據列中位數值，將鄰接矩陣映到重新排列該矩陣 的列後所得矩陣之函數。 令

( )

2 1,1 1 i L j L ij a M ≤ ≤ ≤ ≤ = 且

( )

( )

( )

1 2 1 med med med L i i i a a a ≤ ≤L≤ ， 則

( )

( )

2 1,1 1 i L k L j i R M L ak Q ≤ ≤ ≤ ≤ = = 。

17 Eades＆Wormald 之中位數法演算方式亦分為兩個階段來進行。 （一）第一階段 1.步驟 1：計算K

(

M1

)

，這裏M1表示為第 1 層與第 2 層之鄰接 矩陣。 2.步驟 2：令M2 =QR

(

M1

)

。 3.步驟 3：若K

(

M2

)

<K

(

M1

)

，則令M =M2 ∗ _，

₍

₎

2 M K K =∗ 。 4.步驟 4：令M3 =QC

(

M2

)

。 5.步驟 5：若

(

)

∗ < K M K ₃ ，則M =∗ M₃，K =∗ K

(

M₃

)

。 6.步驟 6：若M =₃ M₁，則結束演算法，進入第二階段。否則， 回到步驟 2 繼續計算。 （二）第二階段 若M₃有兩個以上元素具有相同中位數時，其判別法則如下： 1. 若med

( )

vi =med

( )

vj ，且 Nv_i 為奇數、 Nvj 為偶數，則頂點vi 排在頂點v_j之前。 2. 若 i v N 與 j v N 同為奇數或偶數時，則根據 i v d 與 j v d 之值的大 小，來決定頂點v_i與頂點v_j的順序，數值小的頂點排在數值 大的頂點之前。 3. 如果依然無法判定彼此之先後順序時，則可以自由選擇先 後順序。

18 三、中位數法演算實例 圖 2-11 使用中位數法減少交錯邊前的圖形 a.步驟 1：寫出鄰接矩陣 3 1 2 1 2 3 1 0 1 0 0 e 4 0 1 0 0 0 d 1 1 0 0 0 1 c 1 0 0 1 0 1 b 2 0 1 0 1 1 a 5 4 3 2 1 1 c l R k Q Q M = ， K

(

M₁

)

=10 此鄰接矩陣產生兩個相同列中位數的值，因此，必須藉由演 算方式第二階段，來探討彼此之先後順序，若需自由選擇先 後順序，則依照原本的排列順序。 b.步驟 2：將列中位數值按大小次序排列，得到 2 3 1 3 2 4 0 1 0 0 0 d 3 1 0 1 0 0 e 2 0 1 0 1 1 a 1 1 0 0 0 1 c 1 0 0 1 0 1 b 5 4 3 2 1 1 c l R k Q Q M = ， K

(

M₂

)

=10

19 c.步驟 3：將行中位數值按大小次序排列，得到 3 3 2 2 1 5 1 0 0 0 0 d 1 0 0 1 0 1 e 4 1 1 0 1 0 a 2 0 0 1 1 0 c 1 0 0 0 1 1 b 4 2 5 1 3 1 c l R k Q Q M = ， K

(

M₃

)

=9 d.步驟 4：列中位數值經大小次序排列後， 4 4 2 3 1 5 1 0 0 0 0 d 4 1 1 0 1 0 a 2 0 0 1 1 0 c 1 0 0 1 0 1 e 1 0 0 0 1 1 b 4 2 5 1 3 1 c l R k Q Q M = ， K

(

M₄

)

=4 e.步驟 5：行中位數值經大小次序排列後， 4 4 3 2 1 5 1 0 0 0 0 d 4 1 1 1 0 0 a 2 0 0 1 1 0 c 1 0 0 0 1 1 e 1 0 0 1 0 1 b 4 2 1 5 3 1 c l R k Q Q M = ， K

(

M₄

)

=4 因為行中位數值與列中位數值都已經按大小次序排列，故可 以得到最少交錯邊數為 4。得到最後排列的圖形如下：

20

第三章 研究結果

為了方便敘述起見，令Med

( )

G 表示根據中位數法，排列各層之頂點順 序後，此二階階層圖的總交錯數目；BC

( )

G 表示根據重心法，排列各層之 頂點順序後，此二階階層圖的總交錯數目。

第一節 固定一層排另外一層時之比較分析

一、對任意二階階層圖 而言，若固定 層排 層時，則 。

(

L L E G= _{1U 2},

)

L₂ L₁

( )

G 3BC

( )

G Med ≤ 在證明此關係式前，我們先定義幾個符號，然後再證明以下引理 與定理，以增加研究結果一證明的可讀性。 一、 假設u,v∈L₁，定義

( )

( )

⎩ ⎨ ⎧ = = = 其他情形 , 0 , 1 uv uv med u med v τ τ 。 二、 令Nuv =

{

w∈L1 |

( )

w,u ∈E,

( )

w,v ∈E

}

，定義luv= Nuv 。 三、 令

( ) ( )

2 1 − =t t t χ 。 四、 當u,v∈L2,x2

( )

u < x2

( )

v ，定義Cuv =

{

{

( ) ( )

u,t , v,w

} ( )

:x1 t > x1

( )

w

}

。 五、 cross

(

G,x₁,x₂

)

表示為任意二階階層圖G =

(

L_1UL₂,E

)

中的交錯邊 數總和。

(

G, x1 opt

)

表示為任意二階階層圖G=

(

L_1UL₂,E

)

中，固定 層排 層時，能產生的最小交錯邊數。 2 L 1 L

六、 交錯邊Ce為

{

{

( ) ( )

u,t , v,w

} ( )

:x₁ u >x₁

( ) ( )

v,x₂ t > x₂

( )

w

}

。 引理 1：假設 ,u v∈L₁，且med(u)≤med(v)，則 (a)如果度數du與度數dv皆為偶數 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ 2 8 2 3 4 uv u v u uv l d d d C χ ，

(

uv

)

uv uv u v u vu l l d d d C χ 1 2 τ 2 8 2 4 ⎟− + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ≥ 。 (b)如果du是偶數，而dv為奇數 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ 2 8 3 4 uv u v u uv l d d d C χ ，

(

uv

)

uv uv u v u vu l l d d d C χ 1 2 τ 2 8 4 ⎟− + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ≥ 。 (c) 如果du為奇數，而dv是偶數 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ≤ 2 8 2 2 3 4 uv u v u v uv l d d d d C χ ，

(

uv

)

uv uv v u v u vu l l d d d d C χ 1 2 τ 2 8 2 2 4 ⎟− + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ≥ 。 (d)如果du與dv都是奇數 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ≤ 2 8 1 3 4 uv u v u v uv l d d d d C χ ，

(

uv

)

uv uv v u v u vu l l d d d d C χ 1 2 τ 2 8 1 4 ⎟− + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ≥ 。 證明：將屬於點 ,u v鄰域的頂點分為四個集合α 、β、γ 、δ α =

{

w∈N_u :x₀

( )

w ≤med

( )

u

}

， β =

{

w∈N_v :x₀

( )

w ≥med

( )

v

}

， γ =

{

w∈N_v :x₀

( )

w <med

( )

v

}

， δ =

{

w∈N_u :x₀

( )

w >med

( )

u

}

。

例如在圖 3-1 中，α =

{

3,4,5

}

， β =

{

9,10,11,12,13

}

， γ =

{

1,2,6,8

}

， δ =

{

7,12,13

}

。 圖 3-1 集合α 、β、γ 、δ 定義 的度數為a α ，b的度數為β ，c的度數為γ ，d的度數為 δ ，e的度數為

{

uw∈α :vw∈γ

}

， 的度數為f

{

vw∈β :uw∈δ

}

， 的度數為 g

{

vw∈γ:uw∈δ

}

。 如果med

( )

u = x₁

( )

u ≤med

( )

v = x₁

( )

v ，則α 內的邊不會與β內的邊 產生交錯，故交錯數為 0，而α 內的邊與γ 內的邊所產生的最大 交錯數為a

(

c−g

) (

−χ e+1

)

，同理β內的邊與δ 內的邊所產生的 最大交錯數為b

(

d−g

) (

−χ f +1

)

，而γ內的邊與δ 內的邊所產生 的最大交錯數為cd−χ

(

g+1

)

。

所以Cuv ≤ a

(

c−g

) (

−χ e+1

)

+b

(

d−g

) (

−χ f +1

)

+cd−χ

(

g+1

)

。 因a≥e、b≥ f 與

( )

2 1 t2 t+ ≥ χ 2 2 2 2 g f e fg eg cd bd ac C_uv ≤ + + − − − + + 2 2 2 ef l l cd bd ac+ + − uv + uv − uv − ≤ τ

(

)

4 2 2 2 uv uv uv uv l l cd bd ac+ + − −τ + − τ ≤ 最後可得 (I) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ≤ 2 2 uv uv l cd bd ac C χ , 4 2 2 2 2 uv uv uv l l l − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ χ 此外，如果 ,u v在放置上會使得x₁

( )

u >x₁

( )

v ，則α 與β內的邊 必定產生交錯，且若med

( )

u =med

( )

v 會產生一個交錯邊。所以

( ) ( ) ( )

uv vu ab e f g ef fg eg C ≥ +χ +χ +χ + + + −τ 。 再從(I)做分析可得 (II)

(

)

4 2 1 2 2 uv uv uv vu l l ab C χ ⎟− + τ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ 現在考慮引理 1 裡(a)的情形，du與dv皆為偶數，由med

( )

u 和

( )

v med 的定義可得 2 u d d a= = 、 2 2 dv c b= + = 所以從(I)可推論出

(

)

(

)

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ + + ⋅ + − ⋅ ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 uv v u v u v u uv l d d d d d d C χ

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ 2 2 2 3 4 1 uv u v u l d d d χ 故 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ 2 8 2 3 4 uv u v u uv l d d d C χ 。

從(II)可推論出

(

)

(

)

4 2 1 2 2 2 2 2 uv uv uv v u uv l l d d C χ ⎟− + τ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ ≥ 故

(

uv

)

uv uv u v u vu l l d d d C χ 1 2 τ 2 8 4 ⎟− + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ≥ 。 考慮引理 1 裡(b)的情形，du是偶數，而dv為奇數，由med

( )

u 和

( )

v med 的定義可得 2 u d d a= = 、 2 1 + =dv b 、 2 1 − =dv c 所以從(I)可推論出

(

)

(

)

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ + + ⋅ + − ⋅ ≤ 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 uv v u v u v u uv l d d d d d d C χ

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ 2 2 3 4 1 uv u v u l d d d χ 故 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ 2 8 3 4 uv u v u uv l d d d C χ 。 從(II)可推論出

(

)

(

)

4 2 1 2 2 2 1 2 uv uv uv v u uv l l d d C χ ⎟− + τ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ ≥ 故

(

uv

)

uv uv u v u vu l l d d d C χ 1 2 τ 2 8 4 ⎟− + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ≥ 。 同理可推論出在(c)、(d)的情形下的結果。 引理 2：cross

(

G x x

)

=

∑

_{x( ) ( )u<x v}Cuv 1 1 2 1, , 。 證明：假設二階階層圖G =

(

L_1UL₂,E

)

， 、 層的頂點排列可以使得 交錯邊數為 。 1 L L₂

(

G,x1,x2

)

cross 因交錯邊Ce的定義為

{

{

( ) ( )

u,t , v,w

} ( )

:x₁ u >x₁

( ) ( )

v,x₂ t > x₂

( )

w

}

。 若Ce₁ =Ce₂，則表示連接邊相同

(

u₁,t₁

) (

= u₂,t₂

)

、

(

v₁,w₁

) (

= v₂,w₂

)

， 更代表其連接點也一致u1 =u2、v1 =v2、t1 =t2、w1 =w2， 1 Ce 和Ce₂完全相同，僅視為一個交錯邊。

個別對 層中的頂點兩兩提出分析，L1 ∀u,v∈L1， ， 皆可得到一交錯邊數 ，將全部 相加，

( )

v x

( )

u x₁ < ₁ uv C Cuv 最後可得cross

(

G x x

)

=

∑

_{x( ) ( )u<x v}Cuv 1 1 2 1, , 。 引理 3：opt

(

G,x1

)

≥

∑

_u,vmin

(

Cuv,Cvu

)

。 證明：假設二階階層圖G=

(

L_{1 U}L₂,E

)

，在固定 層排 層 後， 層的頂點排列可以使得交錯邊數為 2 L L₁ 1 L opt

(

G, x1

)

。 由引理 2 可知，opt

(

G x

)

=cross

(

G x x

)

=

∑

_{x( ) ( )u<x v}Cuv 1 1 2 1 1 , , , 但是Cuv ≥min

(

Cuv,Cvu

)

所以opt

(

G,x1

)

=

∑

_{x( ) ( )u<x v} Cuv ≥

∑

_u,vmin

(

Cuv,Cvu

)

1 1 定理 1：對全部的二階階層圖G=

(

L_1UL₂,E

)

而言，若固定 層排 層 時，則 2 L L₁

( )

G 3opt

( )

G med ≤ 。 證明：由引理 2、3 可推論如果有一個上界 B， ，使得 ， 則 ， 1 B≥ x₂

( )

u < x₂

( )

v vu uv C C ≤ B⋅

(

)

≥

_∑

⋅

(

)

v u Cuv Cvu x x G opt , 2 1 B min , B 1 , , ≥

∑

_u,vmin

(

B⋅Cuv,Cvu

)

B 1

(

0 1

)

, , , B 1 B 1 x x G cross C v u uv = =

∑

所以cross

(

G,x₁,x₂

)

≤B⋅opt

(

G,x₁,x₂

)

。

由引理 1 與下面不等式

{

u v

}

uv d d l ≤min , ，

(

2

) (

1

)

1 1 2 8 ⎟= − = − 2 − ≥− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ uv uv uv uv l l l l χ 可以得知當du為奇數時，Cuv ≤ 3⋅Cvu。 如果du是偶數，而dv為奇數，我們可以設定τuv =0，若τuv ≠0的 情況下，會造成x₂

( )

u >x₂

( )

v ，和之前設定產生矛盾。 當du是偶數，dv為奇數，τuv =0，由引理 1 中同樣能推論出 。 vu uv C C ≤ 3⋅ 最後如果du與dv皆為偶數，從引理 1 中可推導出 4Cuv ≤3dudv −2du +1≤3dudv −3，當du ≥2， 4C_vu ≥d_ud_v −1，當

(

1 2

)

0 2 8 2 ⎟− + ≥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + uv _{uv uv} u l l d χ τ ， 所以Cuv ≤ 3⋅Cvu。 因Cuv ≤ B⋅Cvu，可以得出B=3，

(

G,x ,x

)

3 opt

(

G,x ,x

)

cross _{1 2} ≤ ⋅ _{1 2} ，Med

( )

G ≤ 3⋅opt

( )

G

證明以上引理與定理後，接下便開始證明研究結果一： 對任意二階階層圖G=

(

L_1UL₂,E

)

而言，若固定 層排 層時， 則 。 2 L L₁

( )

G 3BC

( )

G Med ≤

證明：假設BC

( )

G <opt

( )

G ，表示可以在二階階層圖G =

(

L_1UL₂,E

)

中， 固定 層，排 層時，產生一組頂點的順序排列，會使得 ，此與 2 L L₁

( )

G <opt

( )

G BC opt

( )

G 的定義產生矛盾，故BC

( )

G ≥opt

( )

G 。

又由定理 1 可得Med

( )

G ≤ 3⋅opt

( )

G ，因此Med

( )

G ≤3BC

(

G

)

)

。 二、對任意二階階層圖G=

(

L_1UL₂,E 而言，對所有u,v∈L₁，若 且

( )

u L

( )

v L_{1 1} bc

bc > med

( )

u >med

( )

v ，則Med

( )

G =BC

( )

G 。

證明：假設L₁ =2，u,v∈L₁，令x

( ) ( )

u < xv 。 由於_bcL1

( )

u >_bcL1

( )

v 且_med

( )

_u >_med

( )

_v ，則重心法與中位數法對 排序後具有一致性， v u, x

( ) ( )

v <xu ，故Med

( )

G =BC

(

G

)

。 同理，若 L₁ =n，∀u,v∈L₁，使用重心法與中位數法對 做排 序，因 v u,

( )

u L

( )

v L_{1 1} bc bc > 且med

( )

u >med

( )

v ，所以x

( ) (

v <x u

)

，依此 方式個別對n個頂點進行兩兩比較後，可得兩方法之 排序具 有一致性。 v u, 對所有 ，因為重心法與中位數法之 排序具有一致 性，且 1 ,v L u ∈ u,v

( )

u L

( )

v L_{1 1} bc bc > ,med

( )

u >med

( )

v ,x

( ) ( )

v < xu ，表示重心值 與中位數值皆由小至大排序，此為計算後最終之結果，所以可 得Med

( )

G =BC

( )

G 。

三、存在二階階層圖G=

(

L_{1 U}L₂,E

)

使得Med

( )

G ≤BC

( )

G 。 實例說明：考慮圖 3-2 之二階階層圖G =

(

L_1UL₂,E

)

，對 層各頂點分 別使用重心法與中位數法做排序 1 L 圖 3-2 Med

( )

G ≤BC

( )

G 之範例原圖 使用重心法排列後 圖 3-3 重心法排列後的Med

( )

G ≤BC

( )

G 之圖 使用中位數法排列後 圖 3-4 中位數法排列後的Med

( )

G ≤BC

( )

G 之圖

分別計算圖 3-3 與圖 3-4 之交錯邊數，可得到圖 3-3 之交 錯邊數為 4，圖 3-4 之交錯邊數為 3，對此二階階層圖 而言，

(

L L E

)

G= _{1U 2}, Med

( )

G ≤BC

( )

G 。 考慮一含有孤立點之二階階層圖G，如圖 3-5 圖 3-5 具有極端值之二階階層圖 此圖中， 層內共具有 c 個頂點，頂點 u 連接至位置函數 為 b 的頂點，頂點 v 連接至位置函數為 1,2,…,a 和 c 的頂 點。 1 L 若

(

)(

)

2 1 a a b 2 c> − + ，則頂點 v 的重心值

( )

(

)

(

) (

)(

)

( )

u bc b 1 a 2 1 a a b 2 2 1 a a 1 a c 2 1 a a 1 a c v bc 1 1 a 1 L i L i = = + + − + + > + + + = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

= 所以x

( ) ( )

v <x u 。 但是明顯可見x

( ) ( )

u <x v 時，二階階層圖G的交錯邊數最 少。

若一二階階層圖中，有一頂點v的鄰域 中有某些頂點， 其位置函數 v N

( )

u x 相對於其他頂點位置函數極端大或是極端 小，則重心值會受極端值的影響，而使得在對頂點做排序 時，產生無法減少交錯邊數的情況，此時，Med

( )

G ≤BC

( )

G。

第二節 同時考慮鄰接矩陣之行與列時之比較分析

一、定義二階階層圖之鄰接矩陣 2 1,1 1 ) (m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} 中， 2 1,1 1 ) , ( _{i i i L a b L} C i a b _{i i} A = _{≤≤ ≤ ≤ ≤} ，m_ik =1,a_i ≤k ≤b_i,m_ik =0, 其它情形， 2 1,1 1 ) , ( _{j j a b L j L} R j a b _{j j} A = _{≤ ≤ ≤ ≤ ≤} ，m_kj =1,a_j ≤k≤b_j,m_kj =0, 其它情形， 若此二階階層圖中，對於 C、 , i A AC_j 1≤i≤ j≤ L₁ ，則 ，對 於 、 , j i j i a b b a ≤ , ≤ R i A A_jR 1≤i≤ j≤ L₂ ，則a_i ≤a_j,b_i ≤b_j，則BC

( )

G =Med

(

G

)

。 如在下面的鄰接矩陣M中，各列之 分別為 、 、 、 、 ，其 R A A₁R =(1,2) ) 3 , 2 ( 2 = R A 3 =(2,3) R A ₄R =(3,3) A 5 =(3,5) R A ai ≤aj,bi ≤bj， ，觀察各行之 同樣可得此結果。另外觀察此鄰接矩陣的 0,1 數字排列，可發現數字 1 的排列，大致上類似一個階梯狀的型態。 5 1≤i≤ j≤ AC 1 1 1 0 0 e 0 0 1 0 0 d 0 0 1 1 0 c 0 0 1 1 0 b 0 0 0 1 1 a 5 4 3 2 1 = M

證明：首先考慮此鄰接矩陣M內各行的行重心值，因為 2 1,1 1 ) , ( _{i i i L a b L} C i a b _{i i} A = _{≤≤ ≤ ≤ ≤} ，m_ik =1,a_i ≤k ≤b_i,m_ik =0, 其它情形， 所以

( )

(

) (

)

2 1 2 1 1 i i i i i i i i i i b a k C a b a b b a a b a b k i bc i i = + + − + ⋅ + − = + − =

∑

= ， 又因為對於 C、 , i A AC_j 1≤i≤ j≤ L₁ ，a_i ≤a_j,b_i ≤b_j， 故bcC

( )

1 ≤bcC

( )

2 ≤_L≤bcC

( )

L₁ 。 如果bcC

( )

k =bcC

(

k+1

)

,1≤k ≤ L₁ −1，則a_k +b_k =a_k+1+b_k+1，但 是ak ≤ak+1,bk ≤bk+1，所以可得到ak =ak+1,bk =bk+1，再由 的定 義可知，在 C i A M 中，第 與k k+1行的 0,1 數字排列完全相同，兩 行互換不影響交錯邊數並且不改變各列列重心的值，所以M 的 行重心完全由小至大排序。 接著考慮鄰接矩陣M中各行的行中位數值，因為 2 1,1 1 ) , ( i i _{i L a b L} C i a b _{i i} A = _{≤≤ ≤ ≤ ≤} ，mik =1,ai ≤k ≤bi,mik =0, 其它情形， 所以

( )

2 i i C a b i med = + 。 （一）考慮a_k +b_k ≤a_k+1 +b_k+1 −2,1≤k ≤ L₁ −1的情況，可得 2 2 2 2 1 1 1 1 + + + + + − _< + ≤ + k k k k k k b a b a b a ，

( )

k <med

(

k+1

)

medC C 。

（二）考慮a_k +b_k =a_k+1+b_k+1−1,1≤k ≤ L₁ −1，若 為 偶 1 + − k k a b 數，則 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 + + + + + − _< + = − + = + _{k k k k k k k} k b a b a b a b a ，

( )

k <med

(

k+1

)

medC C 。 若bk −ak +1為奇數，則 2 2 1 2 1 1 1 1 + + + + + − ₌ + = + _{k k k k k} k b a b a b a ，

( )

k =med

(

k+1

)

medC C ， 但依中位數法演算方式，因bk −ak +1為奇數，所以 Nk 為 奇數、Nk+₁ 為偶數，可得兩行不能互換。 （三）最後考慮ak +bk =ak+1 +bk+1,1≤k ≤ L1 −1，因 ak ≤ak+1,bk ≤bk+1，所以ak =ak+1,bk =bk+1，再由 的定義 可知，在 C i A M 中，第 與k k+1行的 0,1 數字排列完全相同， 兩行互換不影響交錯邊數並且不改變各列列中位數值。 由（一）、（二）、（三）可知M 的行中位數值完全由小至大排序。 因鄰接矩陣M 的行重心值與行中位數值皆由小至大排序，故對 M 中的各行，其排序都具有一致性。 同理，可證明出鄰接矩陣M內各列的列重心值與行中位數值皆 由小至大排序，故對M內的各列，其排序也都具有一致性。 因此M 的行、列重心值與行、列中位數值皆由小至大排序，且 兩方法的行、列的排序都具有一致性，所以M應為重心法或中 位數法計算後所得到的最佳鄰接矩陣，且BC

( )

G =Med

(

G

)

。

由本證明中可以發現鄰接矩陣M 應該為重心法或中位數法計算 後所得到的最佳鄰接矩陣，接下來考慮M是否有最小交錯邊數，若M 擁有最小交錯邊數，則重心法或中位數法的計算方式能否達到此結 果。 （一）對符合前述條件之鄰接矩陣 2 1,1 1 ) (m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} ，其擁有最小交 錯邊數。 在證明此關係式前，我們先證明以下引理，以增加研究結 果證明的可讀性。 引理 4：在一個二階階層圖之鄰接矩陣 2 1,1 1 ) (m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} 中， 若mij =mkl =1，且i< ,k j<l，則 和 會在二階階層 圖G中產生一交錯邊。 ij m mkl 證明：若m_ij =m_kl =1，表示

( ) ( )

i, j , k,l ∈E， 又i< ,k j<l，表示x₁

( )

i >x₁

( ) ( )

k ,x₂ j >x₂

( )

k ， 因此由交錯邊的定義可知， 和 會在二階階層圖G 中產生一交錯邊。 ij m mkl 引理 5：在一個二階階層圖的鄰接矩陣 2 1,1 1 ) (m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} 中， 若有一方形區域，範圍為1≤i< j≤ L1,1≤k<l ≤ L2 ，且 l v k j u i m_uv =1, ≤ ≤ , ≤ ≤ ，m_uv =0,其它情況，則我們無法 減少鄰接矩陣M 的交錯邊數。

證明：在鄰接矩陣M 中，我們唯一可做的只有將任意兩行或是 兩列互換，在計算完重心值或中位數值後的行列互換， 可視為將行列兩兩互換的連續行為。 因m_uv =1,i≤u ≤ j,k ≤v≤l，m_uv =0,其它範圍，所以交錯 邊僅出現在此方形區域中，故只需探討能否減少此方形 區域中交錯邊數。 先看任意兩行互換的情況，在此鄰接矩陣M中，其各行 的數字 0,1 排列只有兩種可能： (1) m_uv =0,1≤v≤ L₂ ，如：

[

0 0 _L 0

]

。 (2) m_uv = ,1k ≤v≤l，m_uv =0,其它範圍，例如： 。

[

0 L 0 1 L 1 0 L 0

]

若互換之兩行的 0,1 排列皆同為(1)或(2)，則兩行互換 不影響交錯邊數。 若互換之兩行的 0,1 排列不同時，考慮 0,1 排列為(2)之 行與另一個 0,1 排列同為(2)之行的影響。 令行 a 的 0,1 排列為(1)，行 b、c 的 0,1 排列為(2) 1. 若行 b 原本在行 c 上方，行 a、b 互換，則行 a 依然 在行 c 上方。

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 c b a L L L L L L L L L a、b 互換後 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 c a b L L L L L L L L L 假設行 b 中有一點mpq =1，行 c 中有一點mrs =1，且 q s p r < , < ，依引理 4 可知會產生一交錯邊。 當行 a、b 互換，則行 a 移至行 c 更上方時，令原先 點mpq變為m(p+t)q，t≥1，則r<

(

p+t

)

,s<q， 與 會產生交錯邊，所以行 a、b 互換不減少交錯邊數。 (p t)q m ₊ mrs 同理若行 b 原本在行 c 下方，行 a、b 互換，則行 a 依然在行 c 下方，同樣不減少交錯邊數。 2. 若行 b 原本在行 c 上方，行 a、b 互換，則行 a 改為 在行 c 下方。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 a c b L L L L L L L L L a、b 互換 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 b c a L L L L L L L L L

因為 b、c 的 0,1 排列相同，所以 a、b 的互換可視為 a、c 先互換，再對 a、b 做互換 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 a c b L L L L L L L L L a、c 互換 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 c a b L L L L L L L L L a、b 互換 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 c b a L L L L L L L L L 由 1 之結果，可得到 a、c 和 a、b 的互換不減少交錯 邊數，又因 b、c 的 0,1 排列相同，兩行互換不影響 交錯邊數。 同理，若行 b 原本在行 c 下方，行 a、b 互換，則行 a 改為在行 c 上方，同樣不減少交錯邊數。 由 1、2 的結果可知，我們無法減少鄰接矩陣M的交 錯邊數。 接著證明研究結果（一），對符合前述條件之鄰接矩陣 2 1,1 1 ) (m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} ，其擁有最小交錯邊數。

證明：首先觀察鄰接矩陣M 的各行，對任意兩行，其連接矩陣 的形式皆類似 _⎥， ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 * L L L L L M 因此我們可以將 * M 分為五部份， * _{1 2 5}， M M M M = + +_L+ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = 0 0 0 0 5 1 L L M M ， _⎥， ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 1 2 L L M ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 1 3 L L M ， _⎥。 ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 0 4 L L M 對Mi、Mj，1≤i< j ≤5，由引理 4 可推論出若mpq∈Mi， j rs M m ∈ mpq =mrs =1，則 和 不會產生交錯邊，因 此交錯邊僅產生於 中，而 、 、 、 內的交 錯邊皆為 0，對於 ，由引理 5 可知 內的交錯邊數無 法減少，所以對任意兩行，其交錯邊數皆達到最小，因 此可得到，由行的方向來看，鄰接矩陣 pq m mrs i M M₁ M₂ M₄ M₅ 3 M M3 M 有最小交錯邊 數。 同理由列的方向來看，鄰接矩陣M亦有最小交錯邊數， 因此對符合前述條件之鄰接矩陣 2 1,1 1 ) (m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} ，其 擁有最小交錯邊數。 針對重心法或中位數法的計算方式能否達到此結果，在此提出一 想法說明重心法之計算方式具有較高的可能性計算出鄰接矩陣M 。 定理 2：對任意二階階層圖G=

(

L_{1 U}L₂,E

)

而言，對u∈L₁，將u放置於 重心值的位置上，則點 的連接邊長度之總合會最小。 u

證明：令 的鄰域u Nu中各點之位置函數分別為a1,a2,K,aN_u ，設兩層 的寬度為 ，點u之位置為 ，因此點u的連接邊長度之總 合 0 ,t ≥ t k

∑

= − + = Nu i i k a t S 1 2 2 將兩層相互靠近，使之重疊在一起，則兩層寬度t=0，所以

(

)

0 1 1 1 1 2 ≥ ⋅ − = − ≥ − = − =

∑

∑

∑

∑

= = = = k N a k a k a k a S _u N i i N i i N i i N i i u u u u 因此當 u N i i N a k u

∑

= = 1 _{時，點 的連接邊長度之總合會最小，而 所在} 之位置即為重心值的位置。 u k 由定理 2 可以發現對一二階階層圖做重心法演算時，將各點放置 於其重心位置上時，可減少階層圖中所有連接邊的總長，之後將各點 放置於相對應之整數位上，雖然會增加連接邊長度，但基本上仍然可 以有效縮短連接邊的總長，藉由重覆執行重心法演算法則，最後應可 將總長縮減至一最小邊界。 以圖 3-6 為例，若一頂點的連接邊總長要達到最小，其鄰域中的 各點會緊鄰排列，如點 3、4、5 的排列，若將之轉為鄰接矩陣，可得 到

[

0 0 1 1 1 0

]

，符合範圍A的定義。 因此若重心法可以有效減少連接邊的總長，在計算之後，所得到 的鄰接矩陣應符合前述條件之鄰接矩陣。

圖 3-6 縮短連接邊總長之範例 二、若二階階層圖之鄰接矩陣的行與列重心值均無同重心時，則

( )

G Med

( )

G BC ≤ 。 實例說明：對於圖 3-7，其鄰接矩陣為 4 5 . 4 3 4 2 3 1 2 1 5 . 1 4 5 . 4 1 1 0 0 0 e 3 4 1 0 1 0 0 d 2 3 0 1 0 1 0 b 1 2 0 0 1 0 1 c 1 5 . 1 0 0 0 1 1 a 5 4 3 2 1 c l c l R k R k Q B Q B M= 圖 3-7 無同重心的圖形

對於此圖形，其行與列重心值均無同重心，但觀察行 與列中位數值，皆可發現具有相同重心值，且中位數法無 法有效判斷其先後順序，若不做互換，則 ， 如果互換，則

( )

G Med

( )

G BC =

( )

G Med

( )

G BC > ，且需再做多次中位數法的 互換，才能重新得到BC

( )

G =Med

( )

G 之結果。 對二階階層圖做多次行與列重心的排序，可以將其位 置函數具有極端值的點，逐漸靠近其他位於相同鄰域的頂 點，在無同重心之前提下，也不會有多個點具有相同鄰域， 使得某些點的位置函數相對於相同鄰域的點而言，會產生 極端的現象，例如圖 3-8 之範例。在無極端值影響重心排 序的情況下，重心法基本上可以得到一優良之結果。 圖 3-8 無法減少交錯邊數的圖形

以中位數值的定義來看，其值都會為整數，因此較容易 發生出現相同中位數值的情形，以圖 3-9 為例，頂點 a、b、 c、d 的度數皆≥2，觀察點 b、c、d，因為點 4 的位置函數

( )

4 =4 x ≥ ⎢_⎣⎡Nv₂+1_⎦⎤⎥，v∈

{

b,c,d

}

，所以med

( )

v ≠4，則點 a、b、 c、d 的med

( ) { }

v ∈ 1,2,3 ，必定會有相同中位數值產生。在二 階階層圖G=

(

L_1UL₂,E

)

，若L₁ ≠ L₂ ，則行中位數或列中 位數值也會出現相同中位數值的狀況。 圖 3-9 產生相同中位數值的圖形 在無同重心之前提下，出現相同中位數值的情況，若 中位數法可以有效判斷排列順序，基本上重心法和中位數 法會得到相同的頂點排列順序，BC

( )

G =Med

(

G

)

，但若中 位數法無法確實判斷順序時，則BC

( )

G ≤Med

(

G

)

。

第四章 結論與建議

第一節 結論

將前面研究結果再做整理：

一、對任意二階階層圖G=

(

L_1UL₂,E

)

而言，若固定L₂層排 層時， L₁

(一) Med

( )

G ≤3BC

( )

G 。

(二) 若_bcL1

( )

u >_bcL1

( )

v 且_med

( )

_u >_med

( )

_v ，則_Med

( )

_G =_BC

(

_G

)

。 (三) 在重心法運算上，重心值會受極端值的影響，而無法有效減少 交錯邊數。 二、對任意二階階層圖G =

(

L_1UL₂,E

)

而言，若同時考慮L₁、 層的排列時， L₂ (一) 若鄰接矩陣 2 1,1 1 ) (m_{ij i L j L} M = _{≤≤ ≤ ≤} 中，對於 C、 , i A AC_j 1≤i≤ j≤ L₁ ， 則ai ≤aj,bi ≤bj，對於 、 , R i A AR_j 1≤i≤ j≤ L₂，則 ， 所以 j i j i a b b a ≤ , ≤

( )

G Med

( )

G BC = ，且此二階階層圖 擁有最小交錯邊數。 G (二) 在無同重心之前提下，重心法可以得到良好之結果。而在中位 數法運算上，中位數值的計算方式容易出現相同中位數值之情 況，造成不易判別排列順序，而無法有效減少交錯邊數。

第二節 建議

本研究的建議有： 一、重心法與中位數法在演算方式各有其優劣，因此可針對兩者在演算步 驟的缺失與不足之處，改良原先步驟或增加新步驟，以加強減少交錯 邊數之效果。 二、探討擁有最小交錯邊數的二階階層圖，除了可能擁有重心值或中位數 值由小至大排序之性質外，其它應該具有的特性，並針對此特性製作 演算步驟，和重心法與中位數法的演算步驟做搭配。 三、討論更一般性的狀況，分析研究兩種方法在多階階層圖情況之下，對 於降低階層圖交錯數之成效與比較。

參考文獻

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