Polarization I I
I I
在數值計算時，使用較為精準的六能帶模型，但由於 split off 對輕重電洞的影響較小，
1/ 2 1
Pol 12
3 c
2 2 2
Pol 1 1
2
yh
b
(3.1.19)由此可了解到，
lh越小，輕電洞成分越多，則偏振越強。式子(3.1.19)可了解偏振與量 子點高度，大小與不對稱性的定性關係。在下個章節各種量子點的分析，由簡單模型得 到可幫助我們了解數值計算的結果。3.2、應變效應對輕重電洞能量的影響
圖 3.2.2、塊材外加雙軸應變的示意圖。(a)XY 方向壓縮。(b)XY 方向膨脹
(a) (b)
(c)
圖 3.2.3、InAs 的塊材在四能帶模型外加雙軸應變，電子與輕重電洞在
點的能量變化。(a)電子能量。(b) 考慮 Z 方向變化的輕重電洞能量。(c)忽略 Z 方向變化的輕重電洞能量。本論文中所計算的量子點均使用 k.p 六能帶模型，塊材中六能帶模型輕電洞與應變的關 係為：
k.p 4 band model
9
2則輕重電洞能量均下降。
multiphysics® 計算量子點內外的應變。由圖(3.2.7(b))可知，量子點內 Z 方向膨脹，XY
方向壓縮，而量子點外 XY 方向膨脹，Z 方向壓縮。量子盒形狀的量子點的應變類似於 雙軸應變效應，量子點內類似雙軸壓縮效應，量子點外類似雙軸拉伸效應。由塊材的四 能帶模型可知，雙軸壓縮與拉伸的效應對輕重電洞能量造成相反的趨勢，所以如圖 (3.2.7(a))量子點內部重電洞能量上升，輕電洞能量下降，量子點外部則與內部相反。若 考慮六能帶模型，由塊材理論可知(圖 3.2.4(a))，輕電洞能量在雙軸壓縮應變效應較大時，將會由下降的趨勢轉為上升，所以在量子點內類似雙軸壓縮效應時，六能帶模型的輕電 洞能量將會比四能帶模型高(圖 3.2.8)。
(a) (b)
圖 3.2.7、bx20(nm)，by18(nm)，h5(nm)的量子盒形狀量子點。(a)輕重電洞位能。(b)使用 Comsol multiphysics® 所計算的應變。
圖 3.2.8、bx20(nm)，by18(nm)，h5(nm)的量子盒形狀量子點的輕重電洞位能。(a)六能帶模型。(b) 四能帶模型。
真實的量子點形狀較接近於截角金字塔，由簡單的量子盒得到一些應變與位能的概 念後，以下開始討論較真實的截角金字塔形狀量子點。由圖(3.2.9)可知，電子受到類似
k.p 6 band model k.p 4 band model
雙軸壓縮應變的效應能量上升，與塊材理論趨勢相同(圖 3.2.3(a))。
圖 3.2.9、高 h5nm，長bx 20nm，寬
by 18nm 截角金字塔形狀量子點考慮應變效應對電子與輕重電洞 位能的變化。
量子盒與截角金字塔由於形狀的不同，所以應變也有所差異。由圖(3.2.10)的形變示意圖 可知，截角金字塔由於邊界為斜邊的影響使得 Z 方向膨脹量縮小，此效應在量子點頂端 最為明顯，所以
zz在量子點底部最大，量子點頂端最小(如圖 3.2.11(a))。量子點的應變 類似於雙軸效應，所以 Z 方向膨脹量縮小連帶使得 XY 方向壓縮量減少。而量子點交界 面內外不同的材料為了維持相同的晶格長度，內部的 InAs 的 XY 方向壓縮量減少，這 將會使得外部的 GaAs 的 XY 膨脹量增大。所以量子點外 Z 方向的壓縮量變得更大。由 圖(3.2.4(a))塊材的六能帶模型可知，當
較大時，輕電洞能量上升，重電洞能量下降。所以圖(3.2.11(c)(d))量子點外能量變化趨勢與塊材理論相同。
圖 3.2.10、截角金字塔與量子盒形狀量子點的形變示意圖
(a) (b)
(c) (d)
圖 3.2.11、bx20(nm)，by18(nm)，h5(nm)的量子點應變。(a)截角金字塔。(b)量子盒。量子點輕重 電洞的位能。(c)截角金字塔。(d)量子盒。
截角金字塔與量子盒的應變差異在於截角金字塔量子點頂端的 Z 方向膨脹量較小，當量 子點逐漸變高時，量子點斜邊的效應越來越大，頂端 Z 方向的膨脹量將會越來越小，到 達一定高度時 Z 方向將會轉為壓縮的效應(圖 3.2.12)。所以量子點底部的應變類似雙軸 壓縮應變，越往頂端雙軸壓縮效應越來越弱，體應變的效應則越來越強。如圖(3.2.13(a))，
量子點底部類似雙軸壓縮效應，而頂端則變成 X、Y 與 Z 三個方向均為壓縮。所以量子 點底部的位能變化可由圖(3.2.13(c))的六能帶模型雙軸效應的塊材理論分析能量變化，A 點到 B 點可看出輕重電洞能量均下降，圖(3.2.13(b))也得知 A 點到 B 點的輕重電洞位能 均下降。而 B 點到 C 點的雙軸效應較弱，體應變效應較強，所以由圖(3.2.13(d))得知，
輕重電洞能量均上升，但量子點頂端仍然有較弱的雙軸效應，所以由圖(3.2.13(b))可看 出 B 點到 C 點的能量變化趨勢介於雙軸效應與體應變效應兩者之間，能量下降較為平 緩，C 點之後則有微微上升的趨勢。
圖 3.2.12、截角金字塔形狀量子點高度變高的形變示意圖
(a) (c)
(b) (d)
圖 3.2.13、bx20(nm)，by18(nm)，h7(nm)的量子點。(a)應變分布。(b)輕重電洞位能。InAs 的塊材 六能帶模型的
點能量變化。(c)考慮雙軸應變效應的整體能量變化。(d)忽略雙軸效應，只剩下體應變效 應的能量變化。A B
C
A B
C
3.3、輕重電洞耦合與光學異向性
由以上可得知位能的變化之後，接著討論電子與輕重電洞的電子結構與波函數。使 用單能帶模型計算電子，六能帶模型計算輕重電洞，而計算輕重電洞時分兩部分討論：
不考慮輕重電洞耦合，討論能階與波函數的變化；考慮輕重電洞耦合，了解真實情況量 子點內的能階與波函數。
圖 3.3.1、高h5nm，長bx 20nm，寬by 18nm 截角金字塔形狀量子點的電子位能與能階。
(a) (b)
圖 3.3.2、高h5nm，長bx 20nm，寬by 18nm 截角金字塔形狀量子點的電子基態波函數。(a)
z 0
(nm) 的 XY 平面。(b)y = 0(nm)的 XZ 平面。ground state energy
ground state energy ground state energy
由圖(3.3.2)可得知電子的基態波函數在量子點中為球對稱的形式。輕重電洞的部分先討
由此可知，X、Y 方向重電洞的等校質量為
1/ (
1
2)
、輕電洞等效質量為1/ (
1
2)
， 而 Z 方向重電洞的等效質量為1/ (
1 2 )
2 、輕電洞等效質量為1/ (
1 2 )
2 。將此結果整 理成下表，表 3.3.1、輕重電洞在各方向的等效質量
X 方向 Y 方向 Z 方向
重電洞(heavy hole)等效質量
1 2 輕電洞(light hole)等效質量
1 2
111 111
HH potential
LH potential
R=S=0
ene rgy lev el
表 3.3.2、h=5nm，bx= 20nm，by=18nm 截角金字塔形狀量子點不考慮輕重電洞耦合時，各能態所對
(a)
不考慮輕重電洞耦合的波函數在基態(ground state)的情況下，重電洞為 100%。因此若不
圖 3.3.8、高h5nm，長bx20nm，寬by 18nm 截角金字塔形狀量子點考慮輕重電洞耦合的輕重電洞位 能與能階。
(a)
h=5nm 20nm
18nm
x y
b b
z=0ground state
ground state
(b)
圖 3.3.9、高h5nm，長bx 20nm，寬by 18nm 截角金字塔形狀量子點考慮輕重電洞耦合的基態波函數。
基態波函數均為重電洞為主要成分，並混了少量的輕電洞。(a)z = 0(nm)的 XY 平面波函數。(b)y= 0 (nm) 的 XZ 平面波函數。
h=5nm 20nm
18nm
x
y
b b
y=0ground state
(a) (b)
差有關。當輕重電洞能量差越大，則基態波函數的輕電洞成分越少(圖 3.3.10(a)(b))，而