開 n 次方根電路架構

圖3.10 n=2,3,4,5 HSPICE輸出電流^I₀^ln(x)

圖3.11 n=2,3,4,5 HSPICE輸出電流I_out

圖3.12 n=2,3,4,5 相對誤差圖

圖3.13 n=2,3,4,5 頻寬圖

圖3.14 THD模擬結果圖 3-4.2 選擇式開 n 次方根電路

模擬電路上使用TSMC 提供的0.35μm製程參數，配合HSPICE 做 電路模擬。電路上提供電壓在2.5V，完成模擬。設計展開點為 、

，輸入電流I

2 a₀ = 0.1

) ln(a

* (1/n)

b₀ = ₀ = _x =40μA~130μA， , , 分別為： I₀ I_b I_u A

40 KV

I₀ = ₀² = μ

47.725uA 0.5)

(ln(2) 40uA

0.5) ) (ln(a I

I_b = _{0 0} + = × + =

uA 107 . ) 20 e ) b (1 (2 I I

b0

0 0

u =

×

−

= ×

電路參數如圖3.7電路W/L比例表3.3：   

表3.3 圖3.7電路參數 

W/L W/L W/L

Mp1 2.1/0.5 Mp4a 1.5/0.5 Mp5 1.1/1 Mn1 0.9/0.5 Mp4b 1.2/0.5 Mn6 0.4/1 Mp2 3.8/0.5 Mp4c 1/0.5 Mn7 0.5/1 Mp3 3.8/0.5 Mp4d 0.8/0.5

控制端A,B,C,D 如表 3.4：   

表3.4 控制端 A,B,C,D  n A B C D 2 1 0 0 1 3 1 0 0 0 4 0 1 0 0 5 0 0 1 0 6 0 0 0 1

自然對數電路輸出I₀ln(x)=-I₃ +I_b，如圖3.15。經指數函數電路輸出電 流 比較圖如圖 3.16 與圖 3.17。電路輸入範圍 40uA~130uA，相對 誤差為圖 3.18。頻寬大小如圖 3.19。全諧波失真(THD)模擬上如圖 3.20。

Iout

圖 3.15 輸出電流 Ioln(x)圖

圖3.16 輸出電流Iout圖

圖3.17 輸出電流Iout與Matlab圖

圖3.18 n=2,3,4,5,6 相對誤差圖

  圖3.19 n=2,3,4,5,6 頻寬圖

圖3.20 THD模擬結果圖

3-7 結論

此章節我們提出一個n平方根的電路，從自然對數與指數函數相 互關係，以壓縮與擴展的概念，近似泰勒二階式，完成精簡的電路，

輸入電流範圍高達40uA~120uA，電路的相對誤差也可在1.5%以內，n 在2,3,4,5，頻寬分別為435MHz、468MHz、486MH和497HMz，都可 高達400MHz以上，在全諧波失真(THD)也相當低。 

以電路精簡與應用上，在後幾章節我們修改提出以一個電路實現 選擇式n 平方根電路，藉由 A,B,C,D 四個控制輸入，來實現 n 平方根 電路，輸入電流範圍高達40uA~130uA，電路的相對誤差也可 

在 3%以內 n 在 2,3,4,5，頻寬分別為 375MHz、375MHz、373MH 和 373HMz，都可高達 350MHz 以上，在全諧波失真(THD)也相當低。

第四章 可變增益放大器電路

4.1 前言

在自然對數電路(Logarithm circuit)上的壓縮方法與指數函數電路 (Exponential circuit)上的擴展方法架構後，再應用到可變增益放大器 (VGA)上，利用本文先前提出的電路，設計一個簡易型的電流模式可 變增益放大器。 

4.2 數學原理

'

e

x 能表示為：

y ) x ln(

'

x = +

y y

) x ln(

'

x e xe

e = ⁺ = (4.1) 上式中，x 為一個常數項，y 為一個可變的範圍。以泰勒二階多項式 近似ln(x)在加入可變長數 y，可得到：

y ) 5 . 0 ) a ln(

) a x 2 1 1 ( 2 y ) x

ln( ² ₀

0

+ +

+

−

−

≈

+ (4.2)

指數函數使用泰勒二階多項式可表示為：

2 ) e b 1

' 1 x

( ) b 1 2 (

e e ^{0 0}

b 2 0 2

0 b

'

x +

+ −

−

≈ (4.3)

我們將x'= ln(x)+ y 代入上式中，可得：

2 ) e b 1

y ) x 1 ln(

( ) b 1 2 (

e e ^{0 0}

b 2 0 2

0 b

'

x +

− + +

−

≈ (4.4)

4.3 電路架構

4.3.1 可變增益放大器含直流雜訊效應

設計以自然對數電路與指數函數電路兩個電路為主在加上第二 個輸入電流 ，來完成可變增益放大器。電路前端的自然對數電路在 最後輸出端加入第二個輸入電流 ，如圖 4.1。 

Iy

Iy

 

M1

M2

M3

I1

I2

Ib

Ix

Logarithm circuit

ln(x)+Iy

I0

Iy

  圖4.1 自然對數電路

從(4.2)式，I₀ ln(x)+ I_y數學式表示為：

y 0

0 2 0

y 0

2 0 0

y 0

I 0.5) )

ln(a ( I 2a x)

(1 1 I -2

I 0.5) )

ln(a 2a x)

2(1 1 ( I I ln(x) I

+ +

+

−

=

+ +

+

−

−

= +

0

(4.5)

圖4.1，輸出電流為I_oln(x)+I_y =−I₃ +I_b +I_y，因此電路輸出電流為：

y b 2 2 0 2 x

0 y

o ) I I

4KV (1 I

2KV I

) x ln(

I + =− − + + (4.6)

上式中，V₀=(V_DD−V_Tp −V_Tn)/2， ) L (W 2μC K 1

K

K= _P = _n = _ox ，比較(4.5)與

2 0

0 KV

I =

(4.6)式，整理後可得， ，I_b =I₀(ln(a₀)+0.5)，x =a₀I_x/(2I₀)。 指數函數電路設計實現上與對數函數相同，都是使用平方電路來近似 指數函數電路，如圖4.2。

ln(x)+Iy

I0

M4

M5

M6

I4

I5

Expo

I6

Iout

Iv

nential circuit

  圖4.2 指數函數電路 指數函數以泰勒展開式表示為：

) 2 1 1 ' ( ) 1 2 (

0

0 2

0 2

0

' b b

x e

b b x

e e +

+ −

−

≈ (4.7)

電路實現可變增益放大器中，我們在數學推導式加入可變數 y，經過 指數函數，數學式為：

y 0

x 0 u y x' u

out )e

2I I (a I e I

I = = (4.8)

上式中，x'=I₀ln(x) / (I₀)，y=Iy/I₀，圖 4.2 電路中，I_out =I₆ +I_V， 與 為電流鏡關係，電流比例設計1：1， 輸出表示成： 

I

4

I

6 I_out

v 2 2 0

y 0

2 0 y

x' u

out ) I

V 4K'

I ln(x) (1 I

V K' e

I

I + +

+

=

= (4.9)

比較(4.7)式與(4.9)，可以得K'V₀² =I₀(1−b₀)/4,I_u =I₀/(2(1−b₀)e^b0), /2

e I

I_v = _u ^b0 。

應用自然對數電路與指數函數電路設計，考量電路複雜度，整體 電路用 6 個 MOS 與 2 個電流源實現精簡型的可變增益放大器如圖 4.3。整體電路同樣分為兩部分，前端為自然對數電路再加上一個可 變電流 ，後端為指數函數電路，實現我們所推導的數學(4.8)式，完 成CMOS 電流模式可變增益放大器。 

Iy

M1

M2

M3

I1

I2

Ib

Ix

Logarithm circuit

ln(x)+Iy

I0 M4

M5

M6

I4

I5

I6

Iout

Iv

Exponential circuit

Iy

  圖4.3 CMOS 電流模式可變增益放大器電路

out

4-3.2 可變增益放大器無直流雜訊效應

近以年來，一些論文已有在討論直流雜訊的問題，在本章節先前 提出的 CMOS 電流模式可變增益放大器，也存有直流雜訊的問題，

為了修正直流雜訊的問題，我們在電路圖4.3 輸出電流 減去一個直 流，修正此問題，如圖4.4。

I

M1

M2

M3

I1

I2

Ib

Ix

Logarithm circuit

ln(x)+Iy

I0 M4

M5

M6

I4

I5

I6

Iv

Exponential circuit

Iy ^{M7 Iout}

Ic

M8

M9

M10

Ia

M11 V

6 I

I +

I11

Iy

  圖4.4 CMOS 電流模式可變增益放大器電路

' c '

x

e

e −

能表示為：

y y

y ) c ln(

y ) x ln(

' c '

x

e e e xe ae

e − =

⁺

−

⁺

= −

(4.9) 上式中，x 與 a 為常數值，y 為可變數。

以泰勒二階多項式近似ln(x)在加入可變長數 y，可得到：

y 5 . 0 ) a ln(

) a x 2 1 1 ( 2 y ) x

ln( ² ₀

0

+ + +

−

−

≈

+ (4.10)

指數函數使用泰勒二階多項式可表示為：

2 ) e b 1

' 1 x

( ) b 1 2 (

e e ^{0 0}

b 2 0 2

0 b

'

x +

+ −

−

≈ (4.11)

我們將x'= ln(x)+ y 代入上式中，可得：

2 ) e b 1

y ) x 1 ln(

( ) b 1 2 (

e e ^{0 0}

b 2 0 2

0 b

'

x +

− + +

−

≈ (4.12)

以泰勒二階多項式近似ln(c)，可得到：

5 . 0 ) a ln(

) a x 2 1 1 ( 2 ) c

ln( ² ₀

0

+ +

−

−

≈ (4.13)

指數函數使用泰勒二階多項式可表示，為：

2 ) e b 1

' 1 a

( ) b 1 2 (

e e ^{0 0}

b 2 0 2

0 b

'

c +

+ −

−

≈ (4.14)

我們將a'= ln(c)+ y代入上式中，可得：

2 ) e b 1

y ) a 1 ln(

( ) b 1 2 (

e e ^{0 0}

b 2 0 2

0 b

'

a +

− + +

−

≈ (4.15)

圖4.4 中，輸出電流I₆ +I_v相同於(4.9)為：

v 2 2

y 2 0

0 y

x' u v

6 ) I

V 4K'

I ln(x) (1 I

V K' e

I I

I +

0

+ +

=

=

+ (4.15)

在圖4.4 中，我們輸出電路為I_out =I₆ +I_v −I₁₁， 為修正要減去的直

流，。其中 電流為 ，表示為：

I11

11 9 v

I I +I

a 2 2 0

y c 2

0

11 ) I

KV 4

I 1 I

( KV

I + +

+

=       (4.11) 

上式中I_c =I₀ln(c)。 

4.4 模擬結果

4.4.1 可變增益放大器含直流雜訊效應

電路模擬上使用TSMC 提供的0.35μm製成參數，配合HSPICE 做 電路上模擬，用MATLAB 與數學式相互驗證，電路參數如表 4.1：

表4.1  圖 4.3 電路W/L比例 MOS  W  L 

M1  1.63  1  M2  0.79  1  M3  2.74  1  M4  1.53  2  M5  0.4  2  M6  1.54  2 

輸入電流 範圍I_x 7uA~9uA，I₀ =KV₀² =4uA， 為： I_b   4.7725uA 0.5)

(ln(2)

* 4uA 0.5) ) (ln(a I

I_b = _{0 0} + =

0

+ =

在前端自然對數電路輸出I ln(x)為： 

3.2437uA

~ 2.23846uA 4)

ln(9

* 4uA

~ 4) ln(7

* 4uA ln(x)

I₀ = =  

電路上，輸入電流 範圍-7uA~2uA，輸出電流I_y I₀ln(x)+I_y，如圖4.5。 

  圖4.5 I_X =7uA, 8uA, 9uA 輸出電流I_oln(x)+ I_y

在後端電路中， 與 分別為： I_u I_v

2.010749uA e

0.1) -(1 2 ) 4uA )e b /(2(1 nI

I_{u 0 0} ^b0 _0.1 =

×

= ×

−

=

1.11111uA 2

e 2.010749 /2

e I I

b 0.1 u

v ⁰ × =

=

=

電路最後輸出電流I_out範圍：

4uA 2uA

~ 7uA n y

1 0

x 0 u y x' u out

e 4uA )

9uA

~ (7uA 2.010749uA

e 2I )

I (a I e I I

−

×

×

=

=

=

圖(4.3)輸出電流I_out，如圖 4.6。

圖 4.6 I_X =7uA, 8uA, 9uA 輸出電流I_out

整體電路圖(4.3)，輸入電流I_X =7uA~9uA、I_y =−7uA~2uA，經過 電路上壓縮與擴展，最後輸出電流我們取線性度(dB)值，線性誤差 以內，在也可達到12.743dB~14.331dB，輸出電流 的線性度 (dB)值，如圖 4.7， 以內線性誤差值，如圖 4.8。

0.5dB

± I_out

0.5dB

±

圖 4.7 I_X =7uA, 8uA, 9uA 輸出電流I_out(dB)

  圖4.8 I_X =7uA, 8uA, 9uA 輸出電流I_out(dB-error)

4-4.2 可變增益放大器無直流訊效應

電路模擬上使用TSMC 提供的0.35μm製成參數，配合HSPICE 做電路 上模擬，用MATLAB 與數學式相互驗證，電路參數如表 4.2：

表4.2  圖 4.4 電路W/L比例

MOS W L MOS W L

M1 1.63 1 M7 1.53u 2u

M2 0.79 1 M8 0.4u 2u

M3 2.74 1 M9 1.54u 2u

M4 1.53 2 M10 2u 2u

M5 0.4 2 M11 2u 2u

M6 1.54 2

輸入電流 範圍I_x 7uA~9uA，I₀ =KV₀² =4uA， 為： I_b 4.7725uA 0.5)

(ln(2)

* 4uA 0.5) ) (ln(a I

I_b = _{0 0} + = + =  

在前端自然對數電路輸出I₀ln(x)為： 

3.2437uA

~ 2.23846uA 4)

ln(9

* 4uA

~ 4) ln(7

* 4uA ln(x)

I₀ = =  

電路上，輸入電流 範圍-7uA~2uA，輸出電流I_y I₀ln(x)+I_y，如圖4.9。

 

  圖4.9 I_X =7uA, 8uA, 9uA 輸出電流I_oln(x)+ I_y

在後端電路中， 與 分別為： I_u I_v

2.010749uA e

0.1) -(1 2 ) 4uA )e b /(2(1 nI

I_{u 0 0} ^b0 _0.1 =

×

= ×

−

=

1.11111uA 2

e 2.010749 /2

e I I

b 0.1 u

v ⁰ × =

=

=

電路輸出電流I₆ +I_v為：

4uA 2uA

~ 7uA n y

1 0

x 0 u y x' u v 6

e 4uA )

9uA

~ (7uA 2.010749uA

e 2I )

I (a I e I I I

× −

×

=

=

= +

圖(4.4)輸出電流I₆ +I_v，如圖 4.6。

圖4.10 I_X =7uA, 8uA, 9uA 輸出電流I₆ + I_v 圖 4.4 中，輸出電流I_out =I₆ +I_v −I₁₁，電流I₁₁可表示為：

a 2 2 0

y c 2

0

11 ) I

KV 4

I 1 I

( KV

I + +

+

=  

上式中，I_c =2.7725uA,I_y =−7uA~ 2uA,圖 4.4 之電流輸出 與上數 學式，如圖4.11。 

I11

  圖 4.11 I_c =2.7725uA HSPICE 輸出電流 I₁₁

 

圖4.4 電路最後輸出電流I_out =I₄ +I_v −I₁₁，減去直流值，輸出範圍最後 在±1之間，如圖 4.12 至圖 4.14。

圖 4.12 I_X =7uA HSPICE 輸出電流I_out

  圖 4.13 I_X =8uA HSPICE 輸出電流I_out

  圖 4.14 I_X =9uA HSPICE 輸出電流 _out

x

I  

整體的線性度(dB)，在輸入電流 為 7uA、8uA、9uA，分別取各個 線性度，都可以達到12dB 以上，如圖 4.15 與圖 4.16：

I

圖 4.15 I_X =7uA HSPICE 輸出電流I_out(dB)

圖 4.16 I_X =9uA HSPICE 輸出電流I_out(dB)

0.5dB

±

4.5 結論

  本章節在壓縮與擴展兩個觀念下，利用自然對數與指數函數來實 現，設計一個精簡型電流模式可變增益放大器，只需要6 個 MOS 與 2 個電流源就可以完成，輸入電流 為 7uA~9uA、 為-7uA~2uA 的 範圍，線性誤差取 以內，即可達到13.619dB~14.331dB 的線性 增益，頻寬也可達 87.6MHz。如果考慮直流放大的問題如圖 5.16，需 要減去直流，整體電路用到11 個 MOS 與 3 個電流源，輸入電流 、

與先前電路一樣，定電流 為 2.7725uA，輸出範圍在 之間，線 性誤差取 以內，即可達到12dB 以上的線性增益，頻寬也可達 91.4MHz。

Ix I_y

Ix

Iy I_c ±1

0.5dB

±

在文檔中 中 華 大 學 (頁 44-71)