本論文在第三節中提出用滿足邊界條件的內外差公式來實現有 限差分方法中的傾斜邊界，本章節將另外使用階梯結構近似傾斜邊界 結構，然後比較兩者所得到的結果。最後進一步的以階梯近似傾斜邊 界這個方法驗證滿足邊界條件的內外差公式實現傾斜邊界所得到的 結果之正確性。
B
H1
L1
A
L3
H1
H2
傾斜邊界 水平邊界
θ
圖 4-1.1 擴張波導結構圖
上圖 4-1.1 是一個擴張波導結構圖，其中有一段邊界是傾斜邊 界。此傾斜邊界的有限差分係數是利用本論文第三章所提出的方法修 正之後，再開始模擬計算。
下圖 4-1.2 使用階梯來近似圖 4-1.1 中的傾斜邊界結構。階梯近 似法的好處是，對於邊界的處理簡單、不會出錯，且程式部份好寫。
但每一傾斜邊界卻有數種不同階梯的取法，我們將以三種不同的取法 來產生階梯，並觀察其結果。
H2
H1
L1 L3
階梯近似傾斜邊界 水平邊界
A
B
H1
圖 4-1.2 階梯近似傾斜邊界
最後再將用階梯近似傾斜邊界的計算模擬的結果與利用第三節 中所敘述的使用滿足邊界條件的內外差公式法修正有限差分係數來 實現傾斜邊界的結果做比較。
4-2 階梯的取法說明
<型一> 比實際面積較小(Inner stair)
第一個取法為將階梯取在斜邊結構下方，則階梯面積比實際面積 較小，如下圖 4-2.1 所示。
x
z B
A θ
圖 4-2.1 將階梯取在斜邊結構下方
<型二> 比實際面積較大(Outer stair)
第二種取法為將階梯取在斜邊結構上方，則階梯面積比實際面積 較大，如下圖 4-2.2 所示。
x
z B
A θ
圖 4-2.2 將階梯取在斜邊結構下方
<型三> 最接近實際面積(Random stair)
第三種取法為將階梯以最接近實際面積的方式取得，如下圖 4-2.3 所示。
x
z B
A θ
圖 4-2.3 將階梯以最接近實際面積的方式取得
4-3 實驗結果
3 10 12.2449 2.45 10 z
<階梯近似傾斜邊界>
3 10 12.2449 2.45 10 z
表 4-3.2 Nλ =8模擬結果 8
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0003 1.0015 TM case 0.0068 0.9881
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0001 1.0018 TM case 0.0017 0.9935
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0001 1.0017 TM case 0.0082 0.9866
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0004 0.9996 TM case 0.0041 1.0012
※ Piece-wise linear 即為利用滿足邊界條件的內外差公式實現傾斜邊 界的結果
表 4-3.3 Nλ =10模擬結果 10
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0003 1.0009 TM case 0.0014 0.9960
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0001 1.0011 TM case 0.0008 0.9967
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0010 TM case 0.0017 0.9957
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0003 0.9997 TM case 0.0018 0.9954
表 4-3.4 Nλ =12模擬結果 12
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0006 TM case 0.0007 0.9977
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0001 1.0007 TM case 0.0004 0.9980
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0006 TM case 0.0009 0.9975
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0001 0.9999 TM case 0.0011 0.9933
表 4-3.5 Nλ =16模擬結果 16
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0004 TM case 0.0005 0.9984
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0001 1.0005 TM case 0.0003 0.9986
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0004 TM case 0.0006 0.9983
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0000 1.0000 TM case 0.0009 0.9926
表 4-3.6 Nλ =20模擬結果 20
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0002 TM case 0.0005 0.9989
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0001 1.0002 TM case 0.0003 0.9991
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0002 TM case 0.0005 0.9989
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0000 1.0000 TM case 0.0007 0.9924
表 4-3.7 Nλ =24模擬結果 24
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0000 TM case 0.0005 0.9991
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0001 TM case 0.0003 0.9993
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0000 TM case 0.0005 0.9991
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0000 1.0000 TM case 0.0007 0.9928
表 4-3.8 Nλ =30模擬結果 30
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0000 TM case 0.0005 0.9992
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0000 TM case 0.0004 0.9994
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0000 TM case 0.0005 0.9992
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0000 1.0000 TM case 0.0006 0.9933
表 4-3.9 Nλ =36模擬結果 36
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0002 0.9999 TM case 0.0005 0.9993
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0002 1.0000 TM case 0.0004 0.9994
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 0.9999 TM case 0.0005 0.9993
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0000 1.0000 TM case 0.0006 0.9937
表 4-3.10 Nλ =46模擬結果 46
Nλ =
能量穿透係數 Inner stair 能量反射係數
TE case 0.0002 0.9999 TM case 0.0005 0.9994
能量穿透係數 Outer stair 能量反射係數
TE case 0.0002 0.9999 TM case 0.0005 0.9994
能量穿透係數 Random stair 能量反射係數
TE case 0.0002 0.9999 TM case 0.0005 0.9994
能量穿透係數 Piece-wise linear 能量反射係數
TE case 0.0000 1.0000 TM case 0.0006 0.9946
將上面所得到的結果畫在同一張圖上觀察不同解析度情況下所 得到的反射與穿透係數。如下圖 4-3.3、4-3.4、4-3.5 與 4-3.6 所示。
<型一> TE case
圖 4-3.3 TE case 能量反射係數對Nλ做圖
圖 4-3.4 TE case 能量穿透係數對Nλ做圖
<型二> TM case
圖 4-3.5 TM case 能量反射係數對Nλ做圖
圖 4-3.6 TM case 能量穿透係數對Nλ做圖
從上面四張圖中顯示的現象可以看出，階梯的形狀雖會影響計算 出來的能量反射與能量穿透係數。但是三種不同階梯的取法所得到的 能量反射與能量穿透係數的結果最後還是有收斂。因此我們得到一個 簡單的結論。就是在解析度較大的時候，階梯的形狀對結果產生的影 響是可以忽略的。
而利用滿足邊界條件的內外差公式來實現傾斜邊界所得到的能 量反射係數與能量穿透係數與階梯近似得到的結果有誤差，而誤差的 原因，我們認為是來自於結構中兩個邊界的交界處位於角落的點，因 為有兩個邊界通過，所以其邊界條件不能只寫成邊界兩邊簡單的對稱 關係，而是要用滿足兩邊界的邊界條件的 Bessel 函數方程式來表示。
第五章 微波功率分配器之模擬