雙共振腔模型的振幅與相位

圖 2-7 外部反射鏡面對雷射所造成的等效反射率示意圖

為了解外部光回饋對半導體雷射在臨界增益、輸出光功率、雷射線寬以及雷射光 譜所造成的影響，使用雙共振腔模型( Three Mirror Model )再利用 Transfer Matrix Method 方法可將由鏡面 所反射的反饋光在長度為 的外部腔體行進時所造成的

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時間延遲，與鏡面 所反射的光做結合，可得到一個呈現複數的等效反射率 ( Effective Reflectance ) [11]，如圖 2-7所示。 如下式所示：

其中 為光波在空氣中行進的頻率，而 為光在空氣外腔中行進一趟 所需的時間( round trip time delay )， 為光在真空中行進的速度。其中 與 分 別代表鏡面 與鏡面 所造成的等效反射率 的相位部分( phase of the effective reflectance )與振幅部分( power reflectivity of reflectance )。

為了更深入探討此模型下外腔式雷射的振幅與相位的變化，因此考慮光被鏡面 反射的次數只有一次，也就是 的情形，此時的(2-14)式等效反射率可 寫成如下[12-13]：

(2-15)

考慮一般未做表面鍍膜的雷射，當外部有物體將部分少量的光耦合回原雷射，也就是 ( weak feedback )的情形下，可整理得到此弱光回饋情形下的等效反射率的 振幅 與相位 ：

(2-16)

(2-17) 其中 為耦合係數( coupling coefficient )，在此弱光回饋情形下有條件 存 在，其值如下：

(2-18) (2-14)

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經過計算後可得到當弱反饋光存在時，光在腔體中來回走一趟與 相位的差 值 ( round trip phase change )與光頻率 的關係：

(2-19)

呈現以 為斜率的線性函數，再加上一個以 為週期、 為振幅 的 函數曲線，如圖 2-8所示。已知可雷射的發光頻率 存在的相位條件為 ， 而由此式可知會有以下幾種發光情形：

(1) 反饋光不存在， 隨發光頻率 增加而呈現性增加，此時的發光頻率 。 (2) 弱反饋光存在，但因反饋光的強度小於某一定值 ，因此使得 一樣隨

著發光頻率 增加而幾乎單調地增加，並且在 時仍只有單一的發光頻率 才能夠發光( single emission frequency )。

(3) 弱反饋光存在，但因反饋光的強度大於某一定值 ，所以在 時有 一個以上的發光頻率得以發光( multiple emission frequency )。

定義反饋係數 ( feedback coefficient )如下，此係數的大小決定了在弱反饋光存在時，

外腔式雷射的發光譜線是以單頻或是多頻形式出現：

(2-20)

圖 2-8 不同反饋係數 時的 與光頻率 關係圖

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並且當弱反饋光存在時，臨界增益的改變量有如下關係式，如圖 2-9：

(2-21)

其中 為外腔式雷射的耦合臨界增益， 為原雷射的臨界增益，呈現為 函數 的實線並加上以 為週期、 為振幅作上下的變動。圖中畫的是當 的情況，並且中心發光頻率 剛好在臨界增益最低點的位置，橫軸上的 、 、 、 為的雷射縱模。

圖 2-9 弱反饋光存在時的耦合臨界增益 (當 時)

因此，若適當的選擇所使用雷射的共振腔長 與外部腔長 ，便可使主要的發光 模態 有效的提升並且抑制旁模的出現。圖 2-10 畫出耦合臨界增益 與雷射本身 的增益曲線 之間隨著 與 的關係不同而有幾種情形[14]，如下面討論：

(1) ：此時有較大的機會出現單一的發光頻率。為了使旁模抑制( suppression of the adjacent side-modes )的效率更好，可藉由提高耦合係數 以提升臨界增益變 化的振幅或是增加 使得 函數的曲度上升。但要注意的是，當 一旦過 大很可能使得旁模的頻率所對應的臨界電流剛好為另一個臨界增益變化的低點，

With external cavity

Without external cavity

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而此時則不為單一發光頻率了。

(2) ：表示 ，臨界增益變化與 Fabry－Perot 雷射縱模的週期是相近的，

所以雷射的縱模所對應到的臨界增益低點會隨著頻率的增加或減少而有少量的 偏移。因此，在此種狀況下雖會出現多個頻率，但如果腔長可以被適度的控制好，

則有機會出現相對好的模態抑制譜線圖( relatively good mode suppression )。

(3) ：也是最容易出現的狀況。此時因為雷射淨增益較高的頻率部分有機會對 應到一個以上的臨界增益低點，所以容易形成多個模態同時發光並且彼此之間無 相對的模態抑制產生。

圖 2-10 耦合臨界增益 與半導體雷射的增益曲線 的關係圖 (1) (2) (3)

(1)

(2)

(3)

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