零力矩點 ZMP 與姿態穩定

零力矩點 ZMP(zero moment point)，字面上意思即合力矩為零的作用點。

人類的步態運動之所以不會摔倒，是因為遵循物理條件下重心對地面的投影 點一般來說都落在腳底所構成的支撐多邊形範圍內。將此概念套用到人型機 器人上，M. Vukobratovic’和 J. Stepanenko 兩位學者在 1972 年首度提出 ZMP 觀點的研究[12]。而這個概念的出發點是由於早在人型機器人之前，具有固 定基座類型的機械手臂已經研究一段時間了，所以把人型機器人的支撐腳底 看成固定端，CoM 軌跡的計算就如手臂的末端操作器可簡化成關節路徑追 跡的模式來達成機器人步態運行。

但其實這樣的 ZMP 穩定性判據並不是絕對的充要條件，因為人類運動常常 是處在動態平衡的狀態，ZMP 點超出支撐多邊形範圍還是可以藉由慣性力 來維持平衡；抑或是前述提到的點足式機器人也是可以在不具支撐多邊形概 念下實現穩定運動。而各國研究人型機器人的團隊利用 ZMP 作為運動穩定 判據也占了一大門派，日本方面多屬此類。那既然 ZMP 穩定判據不是絕對 的，那何以獲得廣泛應用？原因還是在於關節路徑追跡，當計算出的關節軌

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跡可以使足底 ZMP 落在腳底支撐多邊形範圍內，即表示該組運動軌跡不會 在腳底發生欠驅動的邊緣翻轉自由度，如圖 3.1。

圖 3.1. 當 ZMP 落在 A 處時，無欠驅動翻轉。當落在 B 處時，腳底無法在 B 處給予地面作用力來平衡，故產生翻轉自由度。.

3.1.1 ZMP 定義

根據 Vukobratovic 和 Borovac 的論述，ZMP 定義為地面上的一個點，

對於此點，慣性力與重力造成的合力矩將沒有沿地面水平軸向的分量。

令m_i為機器人各部件質量，c_i為各部件 CoM 於大地座標系之位置，ω_i為各 部件繞 CoM 之角速度，τ 為卡氏座標三軸向力矩，則

   







i

i i i i i i

i

mi 1





 (3-1)

0

 _y

x 

 (3-2)

3.1.2 機器人動態模型與 ZMP 導出

除了確切的 D-H 運動模型，要描述機器人和環境間交互作用的動力模型 也有其定義。估測 ZMP 的動力模型有將機器人視為實際的多連桿剛體系統 如式 3-1，也有視為一個多質點系統或是單質點系統的倒單擺簡化模型。剛 體系統和質點系統上的差別在於慣性矩陣的有無，令總質量為 m，CoM 位

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21 之為 ZMP，進而轉變為所謂的虛零力矩點(Fictitious ZMP)[13]，在文獻[14]

則指出另一種別稱-足翻指示(Foot Rotation Indicator，FRI)。

CoP(Center of Pressure)也是地面上的一點，為地面反作用力的作用點。

當機器人狀態為動態穩定時，意即 ZMP 落在腳底支撐多邊形內，此時 CoP 法輕易解決。若導出的方式採用拉格朗日公式(Lagrange formulation)的這一 類動態模型通常可以較精準地描述整個系統，做為控制上的操作便利性，例