電感之等效模型與品質因素

一般在矽基板常見的積體式螺旋電感器的雙埠等效模型[13]，如圖 2.9，除了 主要串聯電感值Ls 外，其餘元件皆為寄生效應，Rs 為串聯金屬損耗、Rgr 與 Rgl 為基板的損耗、Cfb 為線圈與線圈和 over/underpass 與線圈之間的耦合電容、C_R1 與C_L1 為氧化層電容、C_R2 與 C_L2 為基板所造成的電容。當基板的電阻值低 時，電感的磁場易穿透基板而產生渦電流，而渦電流的方向與導體內的電流方向 相反，使得損耗增加電感值減少；當使用高阻值基板材料時，如氧化鋁、玻璃或 石英，Rgr 和 Rgl 甚大可被忽略，可用 Cgl 取代 C_L1 與 C_L2，簡化等效電路的 複雜度。

Rgr C_R2

C_R1

Rgl C_L2

C_L1

Ls Cfb

Port 1 Rs Port 2

Rgr C_R2

C_R1

Rgl C_L2

C_L1

Ls Cfb

Port 1 Rs Port 2

圖2.9 九個集總元件的積體式電感雙埠等效電路

1 1E1 1E2 1E3

1E-1 6E3

1E7 1E8 1E9

1E6 1E10

freq, Hz

impedanc e, ohm

1 1E1 1E2 1E3

1E-1 6E3

ideal inductor

inductive capacitive f

1E7 1E8 1E9

1E6 1E10

freq, Hz

impedanc e, ohm

ideal inductor

inductive capacitive f

圖2.10 電感器的阻抗頻率響應

一個電感器的優劣，以其品質因數(quality factor)，Q 表示之，其基本定義為

損耗的能量 儲存的能量

=

Q

2.13 式同時也定義 LC 諧振電路 Q 值，然而，電感的 Q 值與 LC 諧振電路的 Q 值 不同的地方在於能量儲存的形式，對電感而言，我們只關心儲存了多少磁能，任

何以電場型式儲存電能能量都視為反效果的寄生電容，所以電感的Q 值為儲存淨

磁能的比例。如果與LC 諧振電路比較，LC 諧振電路之能量為平均磁能與平均電 能的總和，LC 諧振電路的 Q 值是由諧振頻率點-3dB 頻寬的倒數決定。在圖 2.9 中，

假如不考慮基板的效應，剩下為Ls 與 Rs 串聯後與 Cfb 並聯，當儲存的磁能與電 能相等時，電感器發生諧振，如圖2.10，且在諧振頻率點時電感的 Q 值為零；當 頻率高於fsrf後，由於Cfb 效應的增強，電感器的阻抗開始呈現電容性。電感 Q 值 以網路矩陣的方式表示如2.14 式，Zin 為當埠 2 接地時埠 1 看進去的輸入阻抗。

) ( Re

) ( IM

in in

L

Z

Q = Z

若以數學的角度來推導，在文獻[14]中，實際的電感 Q 值可以表示為 2.15 式，

) factor resonance

self )(

factor loss

substrate

( −

= Rs Q

ω Ls

(2.15)

第一項為計算電感儲存的磁能與串聯電阻的金屬損耗，第二項代表能量在基板中

的損失，第三項代表儲存在寄生電容的電能隨頻率增加而使Q 值在諧振時為零的

因子，第二、三項因子的值隨頻率變化且介於0 與 1 之間。所以，由 2.15 式可明 顯的觀察出改善Q 值的方法，有下列三種：

一、使用高導電度的金屬和足夠的金屬厚度減少金屬串聯電阻；使用高導電度 的金屬可以降低Rs，使 Q 值變大；增加金屬厚度會降低集膚效應對 Rs 的 影響，但是當厚度超過某極限值後Q 值的改善就變的不明顯了。

二、降低基板損耗，當使用高阻值基板時，電感的金屬損耗為主要損耗。然而，

若使用低阻值基板，電感的基板損耗變的相當重要。為了不讓電磁場穿透 基板，下列為減少基板損耗的技巧的一部份：

1. 使用高阻值基板。

2. 增加電感與基板之間低損介電層厚度[15]。

3. 使用後製程，蝕刻電感下方的基板，或創造出間隙(air gap)[16-18]。

4. 設計地屏障(ground shields)[14]，以防止電場穿透基板。

三、降低對地的寄生電容，以提升Q 值。對非磁性基板(μr=1)而言，改變基板介 電常數並不會影響串聯電感值；但降低介電常數也會降低對地寄生電容的 大小，以提升Q 值。