3-1 前言
電磁分佈邊界值的問題從歷史發展的過程中來看，主要的求解 方法有四種類型，分別是圖解法、解析法、模擬法與數值計算法等。
其中的數值計算法又包括: 混合法、有限元素法、積分工程法、有 限差分法、邊界條件與邊界元素法等，目前在使用上最為普遍的是 有限元素法，故本文擬採用有限元素之數值方法搭配田口方法進行 研究。
此外由於外轉子永磁發電機的規格參數眾多，對於原本就須要 花長時間來模擬，將採用田口方法來減少模擬的次數與時間，以下 分別針對數值方法與田口方法進行介紹。
3-2 有限元素法之簡介
有限元素法(Finite element method, FEM)可以說是現代在科學 工程上一種具有高效率的工程計算法，有限元素法的發展對於現代 科學工程計算上的應用，具有非常大的影響。
最早使用有限元素法來分析約於 1950 年代，當時也是飛機與飛 行器將從螺旋槳式飛機改變成噴射式飛機的時代，當時即利用有限
從有限元素計算法開始迄今約有 60 年，在這 60 年來應用有限 元素法的領域越來越廣泛。例如固體結構、土木建築、電機工程、
機械工程、流體力學、宇宙航行，電子應用、生物領域、環境污染 等，多數領域都有有限元素法的應用。現代由於科技在電腦的硬體 與軟體上發展迅速，因此有限元素計算法的商用套裝軟體多達上千 種，包含的領域也很廣，並且已經成為現代科學工程上不可或缺的 工具。
現今的科學工程上，使用有限元素法已經是非常之廣泛，在國 際的工程設計上也列為標準之一，許多的工程設計都必須藉由一些 特定的有限元素法軟體分析過才可被接受。藉由使用有限元素法套 裝軟體，設計者在原本需要長時間才能完成的實驗，變成只需要幾 天就可以分析完成，因此可以大大的減少設計者在設計工作上的時 間與成本，進而提高了設計上的效率以及品質，這對工程上是有非 常大的幫助。
有限元素法是將連續性的場域，分成很多細小的元素，這些細 小的元素內之場量，可以視需要程度的不同而有所變化，並採用適 合的階次近似函數以表示。在所有模型形狀的不同，其邊界的形狀 也並不相同，元素也可以依照不同形狀進行不同的分割，進而滿足 所有各種複雜的邊界條件問題。因有限元素法是將工程上的問題藉
由微分方程式轉變成積分方程式的形式，再把問題進行幾何的分割 與變數內差的近似之後，轉換成聯立代數的方程式，撰寫成為程式，
撰寫為程式之後再交由計算機(電腦)解出方程式之中的未知變數，
做後續的處理。因此有限元素法被公認為是一種非常強而有力的數 值解析之工具。
3-3 電磁場基本理論
麥克斯威爾方程式可以表示為兩種形式:一種是積分形式，另一 種是微分形式。前者對應的求解方式為積分方程法,後者對應的則是 微分方程法。有限元素採用的正是微分方程法。通過位函數(磁矢位) 的選取和邊界定條件的施加，可以唯一求解得到方程式的解[25]。
3-3-1 麥克斯威爾方程
19 世紀中期，麥克斯威爾在總結前人工作的基礎上，提出了適 用於所有宏觀電磁現象的數學模型，稱之為麥克斯威爾方程式。它 是電磁場理論的基礎，也是工程電磁場數值分析的出發點。麥克斯 威爾方程實際上由四個定律組成，分別為安培環路定律、法拉第電 磁感應定律、高斯電通定律和高斯磁通定律(亦稱磁通連續定律)，
以下四種為麥克斯威爾方程式的四大積分定律。
S
式(3-7)、(3-8)。
場量 E、D、B、H 之間的關係由媒質特性決定。對於線性媒質，
其關係為:
E
D (3.9)
H
B (3.10)
E
J (3.11) 式中，對於各向同性介質， 是標量; 對於各向異性介質，
它們是張量[27]。
3-3-2 位函數及其微分方程式
在分析和計算電磁場問題時為了求出場量(E 或 B)與場源(σ 或 J)之間的關係，會經常引用位函數(或稱勢函數)作為輔助量，可以減
少未知數的個數，使問題得到簡化，有時也使物理概念更加清楚。
在無旋場(即旋度為零的場)中可以採用標量位函數，而在有旋場中，
必須用矢量位函數，不能用標量位函數。靜電場、電源以外區域的 恆定電流場以及電流密度為零的空間範圍內的磁場，都是無旋場，
因此可以引入標量電位 或標量磁位 m。它們與場強的關係如下:
E (3.12)
H m (3.13)
式中的負號表示電位(或磁位)梯度與電場(或磁場)強度方向相
所以在沒有電流的區域，標量磁位恆滿足拉普拉斯方程式。當 解出 m 後，再從它求出磁場強度。
對於有電流的區域，因 H J ，屬於有旋場，因此必須 引入矢量磁位 A，一般它是空間坐標和時間的函數，包含三個空間 分量。在國際單位制中，A 的單位是 Wb/m; 自從採用矢量磁化之後，;
應使用麥克斯威爾方程式仍就能夠滿足，這只要使用 A 與 B 之間滿 足:
A
B (3.19) 關係，便能符合要求。因為
0 ) (
B A (3.20) 即表示磁通連續性的條件永遠滿足，對於沒有電流存在的區域，矢 量磁位同樣能夠應用。
求解具體磁場問題，根據電流分佈決定矢量磁位 A，再用式 (3-19)求出 B ，即得到解。
Ansoft 中常用的求方程式有:
(1)二維、三維靜電場求解器所滿足的泊松方程，式(3-15)。
(2)二維穩恆電場求解器所滿足的拉普拉斯方程，式(3-16)。
(3)二維交變電場求解器所洪足的複數拉普拉斯方程
0
j (3.21)
(4)二維靜磁場求解器所滿足的非齊次標量波動方程
態，稱為初始條件。邊界條件和創始條件合稱為定條件。未附加定 解條件的描寫普遍規律的微分方程稱為泛定方程。泛定方程是解決 問題的依據，但不能確定具體的物理過程，它的個數是無限多的。
泛定方程和定解條件作為一個整體，稱為定解問題。能得到唯一解，
定解問題才稱為適定的。電磁場求解過程中有各種各樣的邊界條件，
求解過程中，具體包括以下幾類:
◎狄里克萊邊界條件
) (
g
(3.26) 其中，為狄里克萊邊界，g()是位置函數，可以為常數和 零。當為零時稱此狄里克萊邊界為齊次邊界條件。一般電磁 場問題中將狄里克萊邊界條件稱為第一類邊界條件，在有限 元計算中，稱其為約束邊界條件或本質邊界條件，它規定了 邊界處勢的分佈。
◎諾依曼邊界條件
() ()
h
n f
(3.27)
其中，為諾依曼邊界，n 為邊界的外法線矢量。f() 和n() 為一般函數，可以為常數和零，當為零時稱齊次諾依曼邊界條 件。一般電磁場問題中將諾依曼邊界條件稱為第二類邊界條件
曼邊界條件，即法向導數為零，為默認邊界條件。
◎自然邊界條件
媒質分解面上的邊界條件，即不同媒質交界面場量的切向和法 向邊界條件屬於自然邊界條件，在計算中是為默認邊界條件。
◎對稱邊界條件
對稱邊界條件施加與求解場在物理或幾何上嚴格對稱，包括奇 數和偶數對稱二大類。奇對稱指在對稱面兩側的電流、電荷、
電位、磁位等物理量滿足大小相等，符號相反。偶對稱指在對 面兩側的電流、電荷、電位、磁位等物理量滿足大小相等，符 號相同。使用對稱邊界條件時可以減小模型的尺寸，節省計算 資源與時間，但在進行實際操作中要保証稱面處剖分節點的嚴 格一一對應。
◎周期邊界條件
週期邊界條件亦為匹配邊界條件，是計算周期性重對稱結構時 採用的邊界條件，使主邊界和從邊界場量具有相同的富度、相 位，及相同或相反的方向。
◎氣球邊界條件
氣球邊界是常用的一種邊界條件，指定求解區域外邊界處，一 般用於絕緣系統，也可用於模擬無限元邊界。
◎阻抗邊界條件
阻抗邊界是用來模擬薄介層的邊界條件，主要應用於交變電場 中的電阻邊界和渦流場的阻抗邊界 [27]。
3-3-4 電磁場之有限元素法
電機在數值求解區域模型時如圖 3-1 所示，由於所分析電機為 四極結構電機的磁場對稱分佈，所以僅取了電機的四分之一作說明，
以減少其工作量和求解的規模，另一方面也不失其代表性。
因求解區域有電流源存在，計算時必須採用矢量磁位來求解。
為了建立電機內部磁場的微分方程，確定求解區域和有限元素法求 解的邊界條件，提出以下假設:
(1) 採用二維場模擬實際磁場; 選取直角坐標系和國際單位 制。
(2) 對定子槽口、定子扇形片的圓角及磁極沖片部份圓角、倒 角等細微之處作近似處理。
(3) 忽略端部效應，磁場沿軸向均勻分佈，即電流密度矢量 J 和磁位矢量 A 只有軸向分量，J=Jz，A=Az。
圖 3-1 電機求解區域模型
圖 3-2 三角形剖分單元
感應強度的非線性函數，由式(3-36)可知，式(3-42)所示的代數方程 式為一組非線性方程式，係數[K]是未知量矢量磁位{AZ}的非線性函 數。
非線性方程式的求解一般歸結為多次迭代求解同階的線性代數 方程式。常用的解法有欠松馳迭代法、最速下降法、牛頓-拉夫遜迭 代法、共軛梯度法與波前法等。本說明是採用波前法求解非線性方 程式，波前法仍然是高斯消元的一種形式，只是該方法中組裝單元 剛度矩陣與消元是同時進行的。在實際消元過程中，它不是等到有 單元全部組裝進整個剛度矩陣後再進行，而是將與此節點相關的所 有單元(即連接此節點的單元)組裝進整個剛度矩陣就開始消元了，
把已完成消元的結果寫入文件，釋放占用的內存，再存放其他數據，
再進行消元，最後從文件中讀出消元結果求節點移位。這種交替進 行的方法，占用計算機內存小，可以求解大規模問題，在求解電機 內部電磁場時，它具有求解時間短、收斂性好的特點[27]。下面將 有限元素法的全過程簡要地歸納成四個步驟:
列出與偏微分方程邊值問題等價的條件變分問題。
列出與偏微分方程邊值問題等價的條件變分問題。