大華科技大學
機電工程研究所
碩士論文
應用有限元素法與田口法進行外
轉子永磁風力發電機設計之參數
最佳化
The application of finite element
method and Tagushi method to the
optimization design parameters for
the outer-rotor permanent magnet
wind turbine
研究生 : 陳石義
指導教授 : 曾慶祺 博士
應用有限元素法與田口法進行外轉子永磁風力發電機
設計之參數最佳化
The application of finite element method and Tagushi
method to the optimization design parameters for the
outer-rotor permanent magnet wind turbine
研 究 生：陳石義 Student：Chen Shih-Yi 指導教授：曾慶祺 博士 Advisor：Dr.Tseng Ching-Chi 大華科技大學 機電工程研究所 碩士論文 A Thesis
Submitted to Institute of Electro-Mechanical Engineering Ta Hwa University of Science and Technology
in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of
Master of Science in
Electro-Mechanical Engineering June 2013
應用有限元素法與田口法進行
外轉子永磁風力發電機設計之參數最佳化
學生:陳石義 指導教授:曾慶褀 博士 大華科技大學 機電工程研究所 摘要 本論文研究內容為利用有限元素模擬軟體，分析直驅式外轉子 永磁發電機之性能與其負載電壓、銅損、鐵損與總損失，藉由改變 外轉子永磁發電機之永磁體材料、鐵心材料、鐵心積厚、轉子與定 子間氣隙等相關參數，來達到所設定之需求規格。 為了使得外轉子永磁發電機性能與效率可以符合需求，同時利 用田口法直交表來找出參數最佳化。經由調整最佳化的模擬結果後， 在負載電壓之偏差為 0.04%與輸出功率之偏差 0.08%，都已達目標設 定值的 240V 與 15kW。未來可利用這些影響發電機的因素，來設計 高效率外轉子永磁發電機。The application of finite element method and
Tagushi method to the optimization design
parameters for the outer-rotor permanent magnet
wind turbine
Student:Chen Shih-Yi Advisor:Dr.Tseng Ching-Chi
Graduate School of Mechatronic Engineering Ta Hwa University of Science and Technology
Abstract
This thesis applied finite element software to analyze the performance a direct-drive externally-rotated permanent magnet generator (PMG). The Taguchi orthogonal array optimization method is then performed by manipulating its magnetic material, core material, core thickness, air gap between the rotor and stator, and other related parameters to optimize its operating characters, such as load voltage, copper loss, iron loss and total loss.
This optimization processes lead to satisfactory results which meets the design requirements of 240V load voltage and 15kW power output with only little deviations. Those design factors will play an important role for the future design of a high-efficient external rotor PMG,.
Keywords : externally-rotated permanent magnet generator, finite element, Taguchi method, high efficiency.
目錄 摘要 ...I 英文摘要 ... II 目錄 ... IV 表目錄 ... VII 圖目錄 ... VIII 符號對照表 ... X 第一章、緒論 ... 1 1-1 研究動機與目的 ... 1 1-2 文獻回顧 ... 2 1-3 論文研究步驟 ... 12 第二章、外轉子永磁發電機之介紹 ... 13 2-1 前言 ... 13 2-2 發電機結構 ... 14 2-3 發電機材料特性介紹 ... 16 2-3-1 永磁材料的主要性能和磁滯徊線 ... 16 2-3-2 退磁曲線和永磁材料的磁參數 ... 18 2-4 發電機材料的種類 ... 20
2-4-1 鐵氧體永磁材料 ... 20 2-4-2 鋁鎳鈷永磁材料 ... 21 2-4-3 稀土永磁材料 ... 22 2-4-4 鐵心材料 ... 23 第三章 電磁場之有限元素法與田口方法理論基礎 ... 26 3-1 前言 ... 26 3-2 有限元素法之簡介 ... 26 3-3 電磁場基本理論 ... 28 3-3-1 麥克斯威爾方程 ... 28 3-3-2 位函數及其微分方程式 ... 30 3-3-3 電磁場中的邊界條件 ... 33 3-3-4 電磁場之有限元素法 ... 36 3-4 田口品質工程 ... 43 3-4-1 田口品質工程法簡介 ... 43 3-4-2 田口品質工程法步驟 ... 44 3-4-3 品質特性的種類 ... 45 3-4-4 直交表 ... 47 3-5 Maxwell 軟體簡介 ... 48 第四章、物理模型與各項參數之選定與模擬之結果 ... 50
4-1 研究方法與步驟 ... 50 4-2 發電機最佳化之參數選用 ... 51 4-2-1 控制因子與水準大小 ... 52 4-2-2 控制因子與水準大小 ... 55 4-2-3 軟體模擬實驗 ... 56 4-2-4 模擬結果以田口品質工程法分析 ... 64 第五章、結果與討論 ... 75 5-1 最佳化參數與結果 ... 75 5-2 發電機空載與負載特性 ... 78 第六章、結論 ... 84 參考文獻 ... 86
表目錄 表 4-1 外轉子永磁發電機規格 ... 50 表 4-2 控制因子與水準 ... 55 表 4-3 田口直交表 L9(34)實驗規劃 ... 56 表 4-4 輸入模擬相關設定參數 ... 61 表 4-5 田口直交表 L9(34)實驗規劃 ... 64 表 4-6 負載電壓均方偏差 MSD 表 ... 65 表 4-7 負載電壓 S/N 比表 ... 66 表 4-8 銅損均方偏差 MSD 表 ... 68 表 4-9 銅損 S/N 比表 ... 68 表 4-10 鐵損均方偏差 MSD 表 ... 70 表 4-11 鐵損 S/N 比表 ... 70 表 4-12 總損失均方偏差 MSD 表 ... 73 表 4-13 總損失 S/N 比表 ... 73 表 5-1 控制因子之最佳化組合 ... 76 表 5-2 控制因子之最佳化組合模結擬果 ... 76 表 5-3 調整控制因子之組合 ... 77 表 5-4 調整控制因子之組合模結擬果 ... 77
圖目錄 圖 2-1 內藏式永磁發電機結構[6] ... 15 圖 2-2 外轉式永磁發電機結構 ... 16 圖 2-3 磁滯徊線 ... 17 圖 2-4 退磁曲線(1、2)及磁能積曲線(3、4) ... 18 圖 3-1 電機求解區域模型... 37 圖 3-2 三角形剖分單元 ... 39 圖 4-1 研究步驟流程圖 ... 51 圖 4-2 永磁體示意圖 ... 53 圖 4-3 鐵心示意圖 ... 53 圖 4-4 鐵心積厚示意圖 ... 54 圖 4-5 定轉子間氣隙示意圖 ... 54 圖 4-6 前處理流程圖 ... 57 圖 4-7 外轉子永磁發電機結構剖面圖 ... 58 圖 4-8 外轉子永磁發電機結構立體圖 ... 59 圖 4-9 外轉子永磁發電機網格劃分剖面圖(1) ... 60 圖 4-10 外轉子永磁發電機網格劃分剖面圖(2) ... 60 圖 4-11 外轉子永磁發電機網格劃分立體圖... 61
圖 4-12 負載電壓均方偏差 MSD 反應圖... 66 圖 4-13 負載電壓 S/N 比反應圖 ... 67 圖 4-14 銅損均方偏差 MSD 反應圖 ... 69 圖 4-15 銅損 S/N 比反應圖 ... 69 圖 4-16 鐵損均方偏差 MSD 反應圖 ... 71 圖 4-17 鐵損 S/N 比反應圖 ... 72 圖 4-18 總損失均方偏差 MSD 反應圖 ... 74 圖 4-19 總損失 S/N 比反應圖 ... 74 圖 5-1 載電壓與輸出功率關係 ... 78 圖 5-2 空載狀態磁力線 ... 79 圖 5-3 負載狀態磁力線 ... 80 圖 5-4 空載狀態磁通密度... 80 圖 5-5 負載狀態磁通密度... 81 圖 5-6 空載狀態磁場強度... 81 圖 5-7 負載狀態磁場強度... 82 圖 5-8 空載狀態反電動勢曲線 ... 82 圖 5-9 負載狀態繞組電流曲線 ... 83
縮寫及符號對照表 符號 說明
曲面
的邊界 J 傳導電流密度矢量 t D 位移電流密度(A/m2) D 電通密度(C/m2 ) E 電場強度(V/m) B 磁感應強度(T) ρ 電荷密度(C/m3 ) V 閉合曲面 S 所圍成的體積區域
介質的介電常數(F/m)
介質的磁導率(H/m)
介質的電導率(S/m)
m 標量磁位 A 矢量磁位 Jz 電流密度 n 因子的水準別 m 直交表因子行中，水準為 i 的個數 hP
鐵心磁滯損失(w) eP
鐵心渦流損失(w) hk
鐵心磁滯損係數 ek
鐵心渦流損係數第一章、緒論
1-1 研究動機與目的 近二十年來全球的氣候異常與能源價格不斷上漲，已經嚴重影 響到人們的民生生活。因為台灣本身的能源不足，有 95%以上的能 源必須依賴進口，其中又以化石類能源為最大進口量，這對台灣這 個以出口為導向之海島型國家的經濟來說，是有非常大的影響。 最近幾年再生能源，已經成為了世界各國重要的發展項目，我 國政府也把再生能源列為的重大發展項目，因此如何運用再生能源 已經成為了現在最重要的課題。對於較偏遠地區、小型社區以及離 島，在輸電設施不易到達的地方，還是有輸電上的困難，要如何提 供比較低價又有品質穩定的電力，來提升這些區域人民的生活水準， 是一重要的研究課題，而風力發電是目前較成熟，較具應用價值的 發電技術。 雖然國內已逐漸應用風能這種再生能源，但就風力發電機的設 計開發還有許多不足的地方，本文主要研究適合上述輸電困難區域 可以使用的小型垂直軸風力發電之發電機，此發電機為 15kW 的外 轉子永磁發電機，其負載電壓與各種損失的最佳化參數將會是本研 究最主要目的。1-2 文獻回顧 自從石油危機爆發後，化石燃料發電的成本就不斷攀升，據估 計，到公元 2025 年，全球的電力需求將會超過目前的 265%，這對 傳統化石能源的供應將造成相當大的壓力。目前以核能發電方式的 效能最大，但其投資成本龐大，發電後所產生各種廢料的處理及造 成生態環境之影響難以評估。 在二十一世紀的今天，無污染性的綠色能源科技受到許多國家 的重視，因為目前人類使用的能源有兩種，一為存在地球上之非再 生能源(Non-renewable energy)，如石油、煤爌、天然氣及核能…等， 其使用過程將產生二氧化碳帶來溫室效應，甚至污染空氣與環境 ; 另一種是自地球外來且能夠再生的能源(Renewable energy)，目前具 有發展價值有 : 風、太陽能、地熱、海水溫差; 波浪、潮汐、黑潮 與生質能…等，其中太陽能及風陽的利用與研究最受重視[1]。 能源與氣侯變遷問題是 21 世紀全球必須共同面對的重大挑戰， 臺灣是地球村的一員，自當善盡世界公民的責任，而發展再生能源 為目前各國最重要的因應對策之一。除了太陽能、生質能、水力等 以外，風力發電及海洋能源亦是極龐大而不可忽視之再生能源。我 國為海島型國家，自有能源資源貧乏，99%以上仰賴進口，能源安 全及供應多元化，一直為政府及各界關注之重要課題[2]。
風能基本上是太陽能的另一種形式。當太陽照射地球時，地表 被加熱、而被加熱的地表再將熱量傳遞給在其上的空氣。熱空氣因 密度較小而上升 ; 而熱空氣原來的位置再由冷空氣遞補，因而形成 氣流[3]。 由於地球表面對太陽輻射熱吸收不均勻使大氣壓力不平衡，造 成空氣循環流動現象，即是所謂的風。地球表面空氣因太陽加熱後 膨脹，熱空氣上升，低溫空氣下降，形成一個循環流動，這就是風。 冷熱空氣的壓力梯度大，風力越強。所以風力的能量來自於太陽。 人類藉由風的資源不斷的應用和發展將風力資源應用在人類日 常生活中。農業時代很早就運用在風力取水灌漑，磨碎稻穀，風力 帆船則運用運輸與航海等，近代則用於飛機與風力發電。台灣屬於 亞熱帶地區，日照量充裕，東北季風也相當盛行，在沿海、離島及 高山等地區蘊藏大量的風力，相當適合風力電。 早期的風力發電機具有吵雜、效率低、故障率高與佔地面積大 等缺點。但近年來發電機與電力電子的進步，加上離岸型風力發電 機與航太技術於葉片應用後，使其改善上述缺點，且提高了發電機 的效率，降低相對之成本[4]。 永磁發電機是已使用多年的風力渦輪機。許多小型風力渦輪機製 造商使用直驅永磁發電機。對於風力發電機的設計理念必須包括以下
幾個特點：成本低，重量輕，低轉速，高扭矩，和變速發電。發電機 是容易製造和設計，可以縮放尺寸較大的無重大換裝[5]。 就直流發電機結構而言，其轉子上具有換向器及電刷接觸元件， 而以同步發電機來說，在轉子上的場繞組會使用滑環及電刷接觸性 元件。但這些發電機的結構必須忍受在高速下所造成的磨損及電刷 的接觸性元件所造成的故障等現象，同時直流發電機的換向片間電 弧現象也會造成電磁干擾，嚴重影響到其他的電子、電器設備與操 作問題。因此解決的辨法就是在同步發電機上不採用轉子上的繞組 而改用永久磁石來提供主磁場，同時也可以消除在轉子繞組上的電 力損失。 再加上近年來永磁材料科技的進展迅速，特別是在高性能稀土 磁石方面，由 SmCo(釤鈷)磁石發展到 NdFeB(釹鐵硼)磁石，不僅最 大磁能積(BH)max 提升至 60MGOe 以上，更可大量生產以降低成本。 且由於永久磁石具儲能而不耗能的優點及今日環保及節能意識高漲 之際，永久磁石在應用上有大幅增加的趨勢[6]。 發電機外轉子式的設計，非常適合應用在風力發電系統上。因 製造的方便，許多的研究都選擇了這種配置。然而，在外轉子的設 計上會增加定子與轉子間的氣隙與磁鐵的數量。為了增加額定功率， 勢必磁鐵與繞線也會跟著增大。因此這種外轉子式的設計，是適合
低額定功率的風力發電機，對於多數的發電機，在高、低速比較與 設計上，沒有使用齒輪驅動的多磁極永磁發電機，是比較適合用於 風力發電上[7]。 高性能永磁材料的使用可以降低成本，特別是NdFeB（釹鐵硼） 被研發出來之後，已在最近的二十年讓永磁電動機得到快速發展。例 子是永磁無刷直流電動機，混合動力電動機，永磁同步電動機。這些 電動機內都有使用大小不等的永磁材料，永磁材性可使電動機具有重 量輕，體積小，機械結構簡單，維護方便，可靠性好及高效率的優勢 [8]。 風能是能量密度較低的一種能源，由風能驅動的風力機工作在較 低的轉速，傳統的同步或異步發電機由於極數的限制，需要在風力機 和發電機之間採用增速齒輪提高轉速，直接驅動永磁風力發電機取消 了增速齒輪，因此具有一系列優點，如重量輕、效率高、動態響應快、 安裝方便與維護費用低等[9]。 1996 年 P. La mpola 等 人 對 永 磁 發 機 依 照 其 機 械 結 構 與 運 轉 原 理 分 為 徑 向 式 與 軸 向 式 兩 種，其 中 表 面 型 式 之 永 磁 發 電 機 又 區 分 為 內 轉 子 式 與 外 轉 子 式，但 又 因 表 面 型 式 之 發 電 機 磁 石 因 離 心 力 而 容 易 脫 落，所 以 適 合 於 低 速 的 風 力 發 電 來 使 用 [10]。
外轉子永磁同步風力發電機空載與負載運行時的工作點。對 20kW發電機的實驗証明，這種電機雖然結構簡單，但是可以在較寬 的速度範圍內穩定運行，非常適合於小型偏遠地區和沿海風力資源豐 富的地帶[11]。 與電勵磁同步發電機相比，永磁同步發電機具有結構簡單、運行 可靠、體積小、質量輕、損耗小、效率高、電機的形狀和尺寸可以靈 活多樣等顯著優點。隨著永磁材料性能的不斷提高和完善，特別是釹 鐵硼永磁材料的熱穩定性和耐腐蝕性的改善，價格的逐步降低，以及 電力電子器件的進一步發展，永磁同步發電機在國防、工農業生產和 日常生活等方面獲得了越來越廣泛的應用[12]。 外轉子結構可以使永磁體的極距小和極數增多，也容易安裝。可 製成具有經濟效益的直驅式永磁發電機。在實際的設計中，所有磁鐵 的磁化方向都為徑向，均勻的安裝於轉鼓內圍。雖然發電機在運行時， 磁體受到離心力的作用，但這種作用會使得永磁體與轉子粘的更牢。 由於轉子直接觸外在的自然風因此可以直接使用自然風減少發電機 的溫度。此種簡單的外轉子結構設計也具有重量輕、堅固耐用與容易 被安裝在塔架頂部的優點[13]。 有限元素方法是求解線性和非線性偏微分方程的數值方法。它 是一個可以準確的和強大的設計工具，可以允許不同的材料特性，
將非線性和結構上的細節都考慮進來。該方法基本將機器截面成較 小的有限元素並離散化。使整個機器的磁勢空間變異，將一個非線 性偏微分方程利用麥克斯韋方程來推導結果[14]。
2003年 T. F.C hen等 人 [15]對 交 流 永 磁 發 電 機 的 結 構、特 性 及 分 析 ， 其 轉 子 的 使 用 材 料 為 釹 鐵 硼 ， 因 為 此 轉 子 為 逆 凸 極 式 (inverse rotor saliency)的 轉 子 ， 故 可 使 得 交 軸 電 抗 增 加 ， 可 有 效 改 善 電 壓 調 整 率 。 文 中 使 用 二 維 時 間 (time-stepping) 有 限 元 素 法 來 分 析 無 載 時 的 磁 通 密 度 的 分 佈 ， 由 該 磁 通 密 度 分 佈 的 狀 況 可 證 實 在 定 子 及 轉 子 之 間 的 軟 式 鐵 極 片 (soft-iron pole pieces)可 降 低 轉 子 的 漏 磁 通 。 若 發 電 機 連 接 單 位 功 率 因 數 的 負 載 時 ， 則 可 發 現 氣 隙 磁 通 可 提 升 ， 因 感 應 電 動 勢 也 可 提 高 。 文 中 最 後 再 探 討 在 無 載 及 滿 載 時 ， 相 電 壓 、 線 電 壓 、 線 電 流 的 波 形 ， 由 結 果 可 以 發 現 滿 載 時 的 諧 波 量 較 小 。 2003年 P.Van Tichelen等 人 [16]討 論 關 於 應 用 在 混 合 電 動 車 (hybrid electric vehicles,HEV)之 軸 向 磁 通 量 (axial flux)永 磁 發 電 的 發 展，此 發 電 機 的 時 點 是 堅 固、低 的 重 量 /功 率 比 、 高 效 率 、 可 控 制 的 輸 出 電 壓 和 廣 範 圍 的 操 作 速 度 。 為 了 符 合 上 述 的 特 性 ， 此 永 磁 發 電 機 的 定 子 U形 定 子 繞 組 ， 而 永 久 磁 鐵 也 是 圓 柱 形，此 種 飛 輪 型 式 (flywheel-type)的 發 電 機 的 特 點
是 對 於 系 統 要 求 的 功 率 、 效 率 、 體 積 、 重 量 範 圍 很 廣 、 具 彈 性 ， 構 造 簡 單 、 小 尺 寸 、 昜 於 大 量 製 造 ， 而 永 磁 的 材 料 為 釹 鐵 硼 。 文 中 提 到 雙 定 子 電 機 (double stator machine,DSM)會 比 單 定 子 電 機 (SINGLE STATOR MACHINE,SSM)更 有 效 率 ， 並 使 用 有 限 元 素 軟 體 FEMLAB模 擬 磁 通 密 度 的 圖 形 ， 計 算 各 參 數 值 ， 再 與 實 驗 量 測 結 果 比 對 ， 兩 者 間 僅 有 些 許 的 誤 差 。 由 果 顯 示 ， 轉 子 轉 速 越 快 ， 則 輸 出 功 率 越 大 。
2005年 O.Danielss on等 人 以 理 論 研 究 縱 向 永 磁 同 步 線 性 發 電 機 (longitudinal flux permanent ma gnet,LFPM)，該 類 發 電 機 可 應 用 在 波 能 量 發 電 的 研 究 上 。 文 中 探 討 永 久 磁 石 的 大 小 、 材 料 、 形 狀 等 改 變 對 磁 通 量 、 負 載 角 等 的 影 響 ， 分 析 過 程 中 充 分 使 用 有 限 元 素 的 分 析 技 巧 ， 例 如 時 變 混 合 磁 場 以 及 電 路 模 型 是 由 時 間 步 進 (time-stepping)有 限 元 素 分 析 的 技 巧 去 解 決 。 文 中 亦 探 討 在 磁 路 中 的 小 變 化 量 如 何 影 響 發 電 機 之 機 械 等 性 ， 亦 提 到 計 算 各 種 發 電 機 損 失 ， 如 渦 流 損 、 磁 滯 損 等 ， 當 永 久 磁 石 的 截 面 積 越 大 時 ， 體 積 和 效 率 亦 會 越 大 ， 而 負 載 角 和 定 子 長 度 則 會 越 小 。 永 久 磁 石 之 截 面 積 過 小 時 ， 則 需 要 補 償 減 少 的 磁 通 、 效 率 降 低 以 及 較 大 的 負 載 角 。 在 一 定 的 永 久 磁 石 截 面 積 下 ， 磁 石 越 寬 則 磁 通 量 越 大 ， 但 負 載 角 及 定 子
長 度 會 越 小 ， 這 是 改 善 磁 通 量 較 有 用 的 方 法 [17]。 1997 年 T. F. C han 等 人 設 計 及 分 析 表 面 鑲 嵌 釹 鐵 硼 永 久 磁 鐵 的 永 磁 交 流 發 電 機 之 特 性，並 分 別 探 討 在 轉 子 每 極 上 加 入 及 不 加 入 軟 鐵 (soft iron)時 的 差 異 。 文 中 利 用 二 維 有 限 元 素 法 來 計 算，以 求 得 電 磁 場 的 分 佈，計 算 過 程 中 使 用 高 斯 積 分 法 以 求 得 磁 通 密 度，接 著 經 由 實 驗 方 法 來 探 討 發 電 機 在 無 載、滿 載、功 率 因 數 不 同 下 的 相 電 壓、電 流 波 形，由 實 驗 結 果 得 知，轉 子 加 上 軟 鐵 後，會 使 得 交 軸 電 抗 量 增 加，進 而 改 善 發 電 機 之 電 壓 調 整 率 [18]。 當使用田口法優化之後，發電機達到額定負載電流時之負載電壓 為25.52v，故其電壓調整率為(29.125-25.52)/25.52=14.126%，而原先 為18.33%，所以降低了4.204%。在負載功率方面，當達到額定電流時， 其總輸出功率由207.93w增加到221.01w。所以，當經過優化設計之後， 發電機之電壓調整率有了明顯的改善，而且輸出亦能符合規格要求 [19]。 根據田口法優化的結果，確實提昇了電動機的效能，並且再次證 明田口法應用於電動機設計上的可行性與方便性，也瞭解到各個參數 對於電動機性能的影響程度大小，此設計經驗對於往後要進行更進一 步或著是進行其他三維電磁場分析都會有很大的幫助[20]。
以有限元素分析軟體FLUX2D來模擬三相永磁發電機內部磁場 分佈及基本電氣特性，為了改善永磁發電機的效率，必須對各種可能 影響效率的參數作探討及調整，例如永磁發電機定子鐵心厚度、定子 齒尖長度、定子鐵心材料、永久磁石材料、定子及轉子間的氣隙長度 等。分析完成每個參數可產生的最佳效率值後，最後再整合各個達成 最高效率點的參數，以使改善後永磁發電機可獲得最大的效率。 在改良方面，由分析結果得知，要達到三相永磁發電機最高效率 的電機參數分別為:永磁發電機定子鐵心厚度311mm、定子齒尖長度 37mm、定子鐵心材料M60050A、永久磁石NdFeB、定子與轉子間的 氣隙長度0.76mm。當負載電阻值為2.4Ω、轉速為200rpm時之效率最 高值為96.867%[21]。 永久磁鐵的厚度維持原始的2.1mm時，其在轉子切換角度135度 附近有明顯的頓轉發生，此頓動轉矩的峰值大小高達20g．cm幾乎是 定子磁極加以0.18安培電流的電磁轉矩輸出峰值的一半。當永久磁鐵 的厚度變為1.6mm時，其在135度以前的頓動轉矩峰值馬上降為7g． cm左右；而135度以後的則仍高達12g．cm；而當永久磁鐵的度為1.2m 時頓轉明顯地減輕了。當定子磁極左右各削減為2度後，頓轉的情形 也明顯地改善子，其峰值約10g．cm，只為原始設計雛型的一半左右； 當定子磁極左右各削減3度後，頓轉改善的情形不遜於當永久磁鐵的
厚度變為1.2mm時的；當定子磁極左右各削減4度後，雖然其電磁轉 矩在切換角135度以前有明顯的下降，但頓轉的情形消失了。至於採 用定子磁極凹陷的方法，其效果微乎其微。由以上的分析觀察可以得 知，在電磁轉矩輸出峰值下降在可以接受的範圍內，削減定子磁極的 跨距是減輕此電動機頓轉現象最有效的法門[22]。 利用Flux2D來模擬發電機之自激電壓建立過程，由於材質定義的 限制，使得鐵心之磁滯特性無法直接給予剩磁，在缺乏剩磁的狀況感 應機將無法建立電壓，因此先行給予電動機狀態運轉，再將電機操作 為發電機模式，而模擬的結果與實測數據比對，其結果除了電壓建立 之時間誤差較大外，電壓、電流、頻率的穩態結果都相當接近，且其 發電頻率不受電源頻率的影響，驗證了Flux2D模擬自激式感應發電機 的可行性[23]。 採 用 有 限 元 方 法 對 30kW 的 雙 轉 子 永 磁 風 力 發 電 機 進 行 了 計 算 分 析，為 了 簡 化 計 算 過 程，對 磁 場 分 布 比 較 復 雜 的 部 份 採 用 了 二 維 有 限 元 數 值 計 算，樣 機 的 性 能 指 標 和 計 算 數 據 吻 合 良 好 ， 說 明 採 用 的 計 算 模 型 和 方 法 可 行 [24]。 由上述的文獻中可知，在設計與研究風力用外轉子式永磁發電 機是否完善，還須要兼顧到許多的特性，必須搭配得宜，才能有較 高的輸出效率。本研究將利用有限元素法、田口品質工程法進行風
力用直驅式外轉子永磁發電機研究。 1-3 論文研究步驟 以下為本文之研究主要的步驟: 1. 收集與風力發電、永磁發電機、有限元素法模擬與田口品質工 程法有關之資料，並探討永磁發電機之原理與特性。 2. 研讀有限元素模擬軟體之使用說明，從書中學習如何來使用有 限元素軟體的各項功能。對相關發電機結構以及材料等參數設 定，進行初步的模擬。 3. 使用田口品質工程法，並列出影響發電機的主要控制因子以及 相關特性比重，且選用適合的直交表。 4. 利用有限元素分析套裝軟體本身功能，建立外轉子永磁發電機 之結構模型圖。 5. 依直交表的水準實驗排列組合，將其材料與相關係數設定於有 限元素分析套裝軟體的結構模型圖中，使用有限元素分析套裝 軟體，進行其負載電壓、各種損失等特性分析，找出最佳化之 組合參數。
第二章、外轉子永磁發電機之介紹
2-1 前言 發電機與馬達都稱之為電動機，因兩者設計方法與結構相當的 類似，其差別於馬達是由外部供應電能轉換成動能，以產生出轉矩 來帶動負載，然而發電機則恰為相反，利用動能轉換成電能，以外 部所產生之動能來產生轉矩，進而達到發電之效果。因此發電機在 設計時必經過下列幾個重要的步驟: 發電機所需求之額定輸出功率。 發電機主要之尺寸，例如:轉子外徑、定子內徑及高度…等。 發電機內部之細部磁氣，例如:磁石充磁長度、定轉子間氣 隙、齒寬度、軛鐵寬度、槽部尺寸大小、轉子內徑與定子外 徑…等。 發電機電氣相關之參數，例如:線圈匝數…等。 再依此選定之尺寸計算其性能，當輸出之性能無法滿足需求時 ，則須對發電機尺寸、材料、電氣等相關參數進行調整，進而達到 發電機設計的目標與需求。 一般而言，在設計發電機時必須依照需求來設計發電之容量、 負載電壓、頻率、轉速、效率、體積等相關條件，並做為設計時重要的參考依據。 由於發電機的結構與材料是否得當，將對發電機之負載電壓、 各種損失與成本會有很大的關係，因此本章將對發電機之結構與材 料特性作簡單介紹。 2-2 發電機結構 傳統內藏式永磁發電機的結構與外轉式永磁發電機的結構分別 如圖 2-1 與 2-2 所示，其區別在於外轉子發電機的定子是固定於發 電機的中心，而轉子是圍繞著內定子在旋轉。整個發電機結構的關 鍵部份是在於轉子。永磁鐵沿著圓周之徑向均勻的裝置在轉子內側， 在發電機運轉時，永磁鐵受到離心力作用，使其向外壓迫，進而使 永磁鐵本身更為牢固的結合在轉子內圓。當轉子在外的形式時，發 電機本身的冷卻效果會比傳統的內轉子式發電機來得更好。這種風 力用的外轉子永磁發電機在其結構上，有下列的幾個優點: 驅動發電機的葉片可以直接安裝在發電機的外殼上，發電機與 葉片之間不須要有其它的傳動裝置，使風能可以充份的被利 用。 傳統的永磁發電機之永磁鐵均安裝於內轉子上，為了能讓發電 機在低速運轉時的輸出頻率正常，在設計時永磁鐵之極數要較
多，相對的轉子與定子直徑會比較大，成本也比較高。然而在 永磁發電機中，外轉子形式相對於傳統內轉子形式發電機之直 徑來的較大，多個磁極結構也比較容易，在效率上會較高，成 本上會降低。 風力用外轉子發電機其結構簡單，也不須要有傳動裝置，所以 在製造時，可省下傳動之費用，進而降低成本。 由於外轉子形式之發電機，其轉動慣量較大，在強風或降風的 情形之下，發電機也可以正常與平穩的運轉。 圖 2-1 內藏式永磁發電機結構[6]
圖 2-2 外轉式永磁發電機結構
2-3 發電機材料特性介紹
永磁發電機最要的重點於永磁體的特性，本章節將對永磁體的 特性與種類進行簡單的介紹。
2-3-1 永磁材料的主要性能和磁滯徊線
永磁材料(Permanent magnet material)的磁性能可以用一些磁參
數表示，如剩餘磁感應強度 Br、矯頑力 Hc、最大磁能積(BH)max等， 這些參數由退磁曲線決定，而退磁曲線是磁滯徊線的一部份，為了 說明這些參數，首先從磁滯徊線形成過程開始。 在直角坐標系中，作 B-H 曲線，初始狀態從原點開始，逐漸增 加外界磁場強度 H 值，則磁感應強度 B 值由 O 點沿著曲線 OA 上升， 當磁性材料中 B 值到達 A 點時，B 值達到飽和值，磁性材料被完全 磁化，OA 曲線被稱為初始磁化曲線。這時如果逐漸減少外界磁場強
度 H 值，則磁感應強度 B 值將隨之下降，但磁感應強度 B 值按另一 曲線 AC 下降，當 H 值下降為零時，永磁體中 B 值並不會為零，而 等於 OC，對應 Br值則稱為剩餘磁感應強度。如果此時改變 H 值方 向，在負方向上增加 H 值，則 B 值繼續下降，當 H 值下降到 Hc值 時，B 值降為零，此時的 Hc值稱為矯頑力。繼續負方向上增加 H 值， B 值變為負值，逐漸增加到反方向飽和點 E 點，再在 H 值負方向上 減少 H 值到零，並在正方向上增加 H 值，則 B 值從負值逐步減少到 零後又在正方向上增加，最後達到飽和點 A 點，此曲線如圖 2-3 所 示，由圖可見，隨著 H 值的反覆變化，B 值將沿著 ACDEFGA 變化， 所構成的閉合曲線稱為磁滯徊線，磁滯徊線要經過 2 或 3 次反覆磁 化才能完全重合。磁滯徊線反映了磁性材料的許多特性，掌握永磁 材料的磁滯徊線對應用永磁材料是十分重要的[26]。
2-3-2 退磁曲線和永磁材料的磁參數 永磁體的磁特性是當它被外界磁場磁化後，即使除掉外界磁場， 在永磁體周圍仍然保留著一個恆定磁場，永磁體本身還可以對外提 供磁能，此時永磁體本身將受到一個退磁磁場作用，該退磁磁場與 原來的外界磁場相反，因而永磁體工作點的位置將在磁滯徊線的第 二象限部份上，即在退磁曲線上，如圖 2-4 所示，圖中，曲線 1、2 分別表示非線性與線性退磁曲線。圖中永磁體實際工作點用 P1、(P2) 來表示，永磁材料的磁能均可用退磁曲線上的物理量表示，如永磁 體剩餘磁感應強度 Br、矯頑力 Hc、永磁體實際工作時提供的磁感 應強度 BP1 (BP2)與磁場強度 HP1 (HP2)及永磁體的磁能積(BH)[26]。 圖 2-4 退磁曲線(1、2)及磁能積曲線(3、4)
剩餘磁感應強度 Br 及永磁體磁感應強度 Bm 永磁體被充磁至飽和後，假設去掉外界磁場後永磁體仍有磁場 存在，永磁體具有的磁感應強度稱為剩餘磁感強度 Br，其單位 用特斯拉(T)表示。在永磁電機的磁路中，由於有磁性材料本身 的磁阻及電機氣隙的存在而存在磁位降，這對永磁體來說，相 當於產生一個反向磁場，這就是使永磁體的工作點由 Br 點下降 至 P1或 P2點，而 P1或 P2點所對應的 B 值變為永磁體的工作點 BP1或 BP2，一般稱 BP1或 BP2為永磁體磁感強度[26]。 矯頑力 Hc、內稟矯頑力 mHc 及飽和磁場強度 Hs 永磁材料在反向磁場作用下，當剩餘磁感應強度 Br 下降到零時， 此時磁場強度稱為磁感應矯頑力，可用 BHc 表示，一般簡稱為 矯頑力 Hc，單位用 A/m 表示。另外還有一個是磁化強度 M 下 降為零，即已經完全失磁的磁場強度值，稱內禀矯頑力，用 mHc 表示，單位也是 A/m，實際上此矯頑力才是真的矯頑力，但對 於鋁鎳鈷永磁材料，兩者差異很小，而對於釹鐵硼等稀土材料， 兩者差異很大。永磁材料被完全磁化所需要的外界磁場強度， 稱為飽和磁場強度，用 Hs 表示，單位也是 A/m，不同的永磁材 料，飽和磁場強度大不相同，鋁鎳鈷永磁材料和鐵氧體永磁材 料的飽和磁場強度是矯頑力的 3~6 倍; 而稀土永磁材料的飽和
磁場強大約是矯頑力的 2~3 倍[26]。 磁能積和最大磁能積 磁能積是指永磁體退磁曲線上每一點所對應的磁感應強度 B 值 與磁場強度 H 值乘積(BH)稱為磁能積，其單位為 J/m3，如圖 2-3 所示，圖中，曲線 3、4 表示之。它表明永磁體內部儲存能量的 大小。由於退磁曲線上各點位置不同，其(BH)值也不同，通常 把(BH)值最大的位置用(BH)max 表示，稱為最大磁能積。在永 磁電機設計時，總希望把永磁材料的工作點設計在最大磁能積 的地方，因為這樣才能把永磁體的磁能積利用得最充份[26]。 2-4 發電機材料的種類 永磁發電機之材料主要為兩種，第一種為永磁材料，第二種為 鐵心材料。特別是在永磁材料，一般又把永磁材料為三類，這三類 也在本章節作個簡單的說明。 這兩種材料對永磁發電機來說是最主要的材料，不管在輸出之 性能與效率都有非常大的關係，故本章節對這兩種材料作個簡單的 介紹。 2-4-1 鐵氧體永磁材料
鋇鐵氧體(BaO．6Fe2O3)和鍶鐵氧體(SrO．6Fe2O3)，鍶鐵氧體 Hc 值 略高於鋇鐵氧體，鐵氧體不含貴金屬而價格低價，製造工藝簡單。 使用時不需要進行穩磁處理，因而在一般小功率永磁電機中應用最 廣。但鐵氧體最大的缺點是剩餘磁感應強度低，最大磁能積小，因 而在設計時使用材料較多，電機體積大。其次，剩餘磁感應強度溫 度係數 αBr和矯頑力溫度係數 αHc大，特別應指出的是，αHc為正值， 即矯頑力隨溫度升高而增大，隨溫度下降而減小，所以是需要進行 低溫時最大去磁工作點的核算，以防止在低溫時產生不可逆磁現象。 再者，鐵氧體永磁材料硬脆，可加工性差，只能用軟質砂輪進行磨 削加工[26]。 2-4-2 鋁鎳鈷永磁材料 鋁鎳鈷(AlNiCo)永磁材料是於 20 世紀 30 年代研制成功的，由 於它的磁性能好，溫度係數小，因而取得廣泛應用。60 年代以後。 隨著鐵氧體永磁材料與稀土永磁材料相繼問世，鋁鎳鈷永磁材料逐 步被取代，所占比重逐步下降。 按製造工藝不同，鋁鎳鈷永磁材料可分為鑄造成型和粉末燒結 成型兩種，鑄造成型磁性好，粉末燒結成型工藝簡單，在永磁電機 中常用的是鑄造成型。這種材料剩餘磁感應強度最高達 1.35T，且溫
度係數小，目前仍被廣泛應用在高精度的儀器儀表的永磁電機中。 但是鋁鎳鈷永磁材料也有它的缺點，首先鋁鎳鈷永磁材料矯頑力低， 為了避免造成不可逆退磁和磁通分布畸形，在設計時一定要合理選 擇工作點，在使用時避免和鐵磁性物質接觸。其次，它退磁曲線成 非線性，因而和徊覆曲線不重合，在設計時除合理設計工作點外， 還必對永磁材料進行穩磁處理，可加工性差，即加工成型比較困難 [26]。 2-4-3 稀土永磁材料 稀土永磁材料與釹鐵硼(NdFeB)永磁材料分別為不同類型的稀 土永磁材料，它們都是高剩餘磁感應強度、高矯頑力及及高磁能積 的永磁材料。稀土鈷(SmCo5)永磁材料產生於 1966 年，這種材料最 大磁能積已超過 191.04kJ/m3 (24MGOe)。到了 1979 年，又突破了技 術上難關，研制出 Sm2Co17永磁材料。目前這種永磁材料在工業產 品中最大磁能積可達 258.7kJ/m3 (32.5MGOe)。此外，上述兩種剩餘 磁感應強度 Br 可達 0.85~1.15T，矯頑力為 480~800kA/m，其退磁曲 線均為一直線，溫度係數低，即使高溫下使用也不怕退磁。但這兩 種材料加工性能差，另一點就是價格高。釹鐵硼(NdFeB)永磁材料是 在 1983 年問世的高磁性的永磁材料，最大磁能積可達
397.9kJ/m3(50MGOe)，室溫下剩餘磁感強度可達 1.47T，磁感應矯頑 力可達 992kA/m，是目前磁性能最好的永磁材料。 由於這種材料不含鈷這種戰略物資，而釹又比釤便宜很多，釹 鐵硼要比稀土鈷永磁材料的價格便宜，因而在永磁電機中得到了廣 泛推廣和應用。釹鐵硼永磁材料的不足之處，首先是溫度係數過高、 磁的穩定性差，一般在高溫下使用時，退磁曲線下半部分產生彎曲， 為此要使用此材料一定要校核永磁材料最大去磁工作點。其次是工 作溫度低，一般在 300~400℃左右，一旦在高溫時易產生永久退磁。 釹鐵硼化學穩定性差，所以必須在磁體外層加上一層塗層，一般塗 層厚度為 10~14μm，目前再外層塗層上有下列三種方式，即為塗漆， 電鍍、電泳等方式，不同的塗層，在抗腐蝕性也不同，環氧樹脂噴 塗抗鹽霧腐蝕能力好，電鍍則抗溶劑、抗沖擊能力好，電泳塗層抗 鹽霧能力極好[26]。 2-4-4 鐵心材料 一般常見使用在鐵心的材料有矽鋼片與經過熱處理退火的軟鐵 (Soft Iron)，而為了能在 AC 應用場合有良好的特性，鐵心材料必須 具備狹窄型磁滯曲線、高導磁率、低功率損以及剩磁低的特性，這 樣才能降低鐵心損失，而鐵心損失又可分成磁滯損(Hysteresis loss)
與渦流損(Eddy Current loss)兩種，其公式如(2.1)、(2.2)所示: n m h h
k
fB
P
(2.1) 2 2 m e ek
f
B
P
(2.2) 其中k
h 、k
e 是與材料型態以及尺寸有關之用來計算損失的常數， mB
則是材料中最大的磁通密度，n
約介於 1.5 至 2.5 之間，視材料 之不同而有所變動。 磁滯損:鐵心材料中的磁飽和與磁滯的現象，就是與其內部元素 重新排列而引起的運動有關，而元素運動時所造成的損失即為 磁滯損，因為工作電壓的頻率變化，電壓頻率越高則會使得磁 滯損失，並且依照材料的不同，鐵心材料的磁滯迴線包圍面積 也會不同，面積越大者，磁滯損將會越高。一般所使用的矽鋼 片，則是在軟磁材料中參雜 3%矽來增加電阻性、降低保磁力與 改善磁性穩定使得其磁通的飽和密度能提高。 渦流損:在通過鐵心的磁場產生變化時，由於鐵心本身也是導體， 所以可由法拉第定律得知，鐵心內部會產生一感應電流來抵抗 磁場變化，這種電流我們稱為渦流(Eddy current)，而此電流在鐵 心材料裡流動時也會產生損失，這就是所謂的渦流損，而渦流 損的大小正比於鐵心內部渦流路徑大小，所以通常將鐵心作分 割，分成許多薄片，而各片薄片之間皆有一層絕緣膠，而厚度約為 0.35mm 至 0.65mm 左右，渦流損正比於鐵心疊片的厚度平 方，所以厚度越小，損失會越小;而上述加矽的鐵心材料降低了 鐵心的導電性，對於降低渦流損也有幫助[20]。
第三章 電磁場之有限元素法與田口方法理論基礎
3-1 前言 電磁分佈邊界值的問題從歷史發展的過程中來看，主要的求解 方法有四種類型，分別是圖解法、解析法、模擬法與數值計算法等。 其中的數值計算法又包括: 混合法、有限元素法、積分工程法、有 限差分法、邊界條件與邊界元素法等，目前在使用上最為普遍的是 有限元素法，故本文擬採用有限元素之數值方法搭配田口方法進行 研究。 此外由於外轉子永磁發電機的規格參數眾多，對於原本就須要 花長時間來模擬，將採用田口方法來減少模擬的次數與時間，以下 分別針對數值方法與田口方法進行介紹。 3-2 有限元素法之簡介有限元素法(Finite element method, FEM)可以說是現代在科學 工程上一種具有高效率的工程計算法，有限元素法的發展對於現代 科學工程計算上的應用，具有非常大的影響。
最早使用有限元素法來分析約於 1950 年代，當時也是飛機與飛 行器將從螺旋槳式飛機改變成噴射式飛機的時代，當時即利用有限
從有限元素計算法開始迄今約有 60 年，在這 60 年來應用有限 元素法的領域越來越廣泛。例如固體結構、土木建築、電機工程、 機械工程、流體力學、宇宙航行，電子應用、生物領域、環境污染 等，多數領域都有有限元素法的應用。現代由於科技在電腦的硬體 與軟體上發展迅速，因此有限元素計算法的商用套裝軟體多達上千 種，包含的領域也很廣，並且已經成為現代科學工程上不可或缺的 工具。 現今的科學工程上，使用有限元素法已經是非常之廣泛，在國 際的工程設計上也列為標準之一，許多的工程設計都必須藉由一些 特定的有限元素法軟體分析過才可被接受。藉由使用有限元素法套 裝軟體，設計者在原本需要長時間才能完成的實驗，變成只需要幾 天就可以分析完成，因此可以大大的減少設計者在設計工作上的時 間與成本，進而提高了設計上的效率以及品質，這對工程上是有非 常大的幫助。 有限元素法是將連續性的場域，分成很多細小的元素，這些細 小的元素內之場量，可以視需要程度的不同而有所變化，並採用適 合的階次近似函數以表示。在所有模型形狀的不同，其邊界的形狀 也並不相同，元素也可以依照不同形狀進行不同的分割，進而滿足 所有各種複雜的邊界條件問題。因有限元素法是將工程上的問題藉
由微分方程式轉變成積分方程式的形式，再把問題進行幾何的分割 與變數內差的近似之後，轉換成聯立代數的方程式，撰寫成為程式， 撰寫為程式之後再交由計算機(電腦)解出方程式之中的未知變數， 做後續的處理。因此有限元素法被公認為是一種非常強而有力的數 值解析之工具。 3-3 電磁場基本理論 麥克斯威爾方程式可以表示為兩種形式:一種是積分形式，另一 種是微分形式。前者對應的求解方式為積分方程法,後者對應的則是 微分方程法。有限元素採用的正是微分方程法。通過位函數(磁矢位) 的選取和邊界定條件的施加，可以唯一求解得到方程式的解[25]。 3-3-1 麥克斯威爾方程 19 世紀中期，麥克斯威爾在總結前人工作的基礎上，提出了適 用於所有宏觀電磁現象的數學模型，稱之為麥克斯威爾方程式。它 是電磁場理論的基礎，也是工程電磁場數值分析的出發點。麥克斯 威爾方程實際上由四個定律組成，分別為安培環路定律、法拉第電 磁感應定律、高斯電通定律和高斯磁通定律(亦稱磁通連續定律)， 以下四種為麥克斯威爾方程式的四大積分定律。
S
d
t
D
J
l
d
H
(3.1) 法拉第電磁感應定律如下式:t
d
S
B
J
l
d
E
(3.2) 高斯電通定律如下式:
S vdv
S
d
D
(3.3) 高斯磁通定律如下式:
SS
d
B
0
(3.4) 另外麥克斯威爾方程式中，有另外的微分形式，借由上述定律 可以導出處理有限元素電磁問題的微分方程式，這些導出之微分方 程式為下列方程式:t
D
J
H
(3.5)t
B
B
(3.6)
D
(3.7)0
B
(3.8) 上面方程式中包含兩個旋度方程式(3-5)、(3-6)和兩個散度方程式(3-7)、(3-8)。 場量 E、D、B、H 之間的關係由媒質特性決定。對於線性媒質， 其關係為:
E
D
(3.9)H
B
(3.10)E
J
(3.11) 式中，對於各向同性介質，
是標量; 對於各向異性介質， 它們是張量[27]。 3-3-2 位函數及其微分方程式 在分析和計算電磁場問題時為了求出場量(E 或 B)與場源(σ 或 J)之間的關係，會經常引用位函數(或稱勢函數)作為輔助量，可以減 少未知數的個數，使問題得到簡化，有時也使物理概念更加清楚。 在無旋場(即旋度為零的場)中可以採用標量位函數，而在有旋場中， 必須用矢量位函數，不能用標量位函數。靜電場、電源以外區域的 恆定電流場以及電流密度為零的空間範圍內的磁場，都是無旋場， 因此可以引入標量電位
或標量磁位
m。它們與場強的關係如下:
E
(3.12)
H
m (3.13)式中的負號表示電位(或磁位)梯度與電場(或磁場)強度方向相 反。從矢量分析可知，任何標量函數的梯度的旋度恆等於零，所以 這樣的位函數總是滿足無旋場的條件。 對於電場而言，利用式(3-12)可以確定電位函數與電荷密度之間 的關係，從而可以根據電荷分佈找出相應的位函數，再從它求出電 場強度，為此，在式(3-12)兩端取散度，得:
E
(3.14) 再利用靜電學的高斯定律得到:
(3.15) 這就是靜電場的泊松方程式，在沒有自由電荷區域
0
，式 (3-15)變為:0
(3.16) 這個特殊情況下的泊松方程式稱為拉普拉斯方程式。合併起來 得:
0
(3.17) 上式稱作電位場的微分方程式。 又於磁場，因 B
0
，對式(3-13)兩邊取散度，得:所以在沒有電流的區域，標量磁位恆滿足拉普拉斯方程式。當 解出
m 後，再從它求出磁場強度。 對於有電流的區域，因
H
J
，屬於有旋場，因此必須 引入矢量磁位 A，一般它是空間坐標和時間的函數，包含三個空間 分量。在國際單位制中，A 的單位是 Wb/m; 自從採用矢量磁化之後，; 應使用麥克斯威爾方程式仍就能夠滿足，這只要使用 A 與 B 之間滿 足:A
B
(3.19) 關係，便能符合要求。因為0
)
(
B
A
(3.20) 即表示磁通連續性的條件永遠滿足，對於沒有電流存在的區域，矢 量磁位同樣能夠應用。 求解具體磁場問題，根據電流分佈決定矢量磁位 A，再用式 (3-19)求出 B ，即得到解。 Ansoft 中常用的求方程式有: (1)二維、三維靜電場求解器所滿足的泊松方程，式(3-15)。 (2)二維穩恆電場求解器所滿足的拉普拉斯方程，式(3-16)。 (3)二維交變電場求解器所洪足的複數拉普拉斯方程
0
j
(3.21)(4)二維靜磁場求解器所滿足的非齊次標量波動方程 Z Z
J
A
1
(3.22) (5)二維渦流場求解器所滿足的波動方程
d j A j d J I j A j A T z ) )( ( ) ( 1 * (3.23) (6)二維軸磁場求解器所滿足的齊次波動方程 0 1 H j H j
(3.24) (7)二維靜磁場和渦流場求解器所滿足的齊次波動方程 0 ) ( 0 1 j H j H (3.25) 至此可以對各個不同場域的微分方程進行數值求解 如採用有 限元法解得磁勢和電勢的場分佈值，然後經過轉化後處理得到電磁 場的各種物理量(磁感應強度、儲能、力等)[27]。 3-3-3 電磁場中的邊界條件 電磁場的分析和計算通常歸結為求微分方程的解。對於常微分方 程，只要由輔助條件決定任意常數之後，其解就成為唯一的。對於 偏微分方程，使其能成為唯一的輔助條件可以分為兩種，一種是表態，稱為初始條件。邊界條件和創始條件合稱為定條件。未附加定 解條件的描寫普遍規律的微分方程稱為泛定方程。泛定方程是解決 問題的依據，但不能確定具體的物理過程，它的個數是無限多的。 泛定方程和定解條件作為一個整體，稱為定解問題。能得到唯一解， 定解問題才稱為適定的。電磁場求解過程中有各種各樣的邊界條件， 求解過程中，具體包括以下幾類: ◎狄里克萊邊界條件
)
(
g
(3.26) 其中，
為狄里克萊邊界，g()是位置函數，可以為常數和 零。當為零時稱此狄里克萊邊界為齊次邊界條件。一般電磁 場問題中將狄里克萊邊界條件稱為第一類邊界條件，在有限 元計算中，稱其為約束邊界條件或本質邊界條件，它規定了 邊界處勢的分佈。 ◎諾依曼邊界條件
(
)
(
)
h
f
n
(3.27) 其中，
為諾依曼邊界，n 為邊界
的外法線矢量。f
(
)
和n
(
)
為一般函數，可以為常數和零，當為零時稱齊次諾依曼邊界條 件。一般電磁場問題中將諾依曼邊界條件稱為第二類邊界條件曼邊界條件，即法向導數為零，為默認邊界條件。 ◎自然邊界條件 媒質分解面上的邊界條件，即不同媒質交界面場量的切向和法 向邊界條件屬於自然邊界條件，在計算中是為默認邊界條件。 ◎對稱邊界條件 對稱邊界條件施加與求解場在物理或幾何上嚴格對稱，包括奇 數和偶數對稱二大類。奇對稱指在對稱面兩側的電流、電荷、 電位、磁位等物理量滿足大小相等，符號相反。偶對稱指在對 面兩側的電流、電荷、電位、磁位等物理量滿足大小相等，符 號相同。使用對稱邊界條件時可以減小模型的尺寸，節省計算 資源與時間，但在進行實際操作中要保証稱面處剖分節點的嚴 格一一對應。 ◎周期邊界條件 週期邊界條件亦為匹配邊界條件，是計算周期性重對稱結構時 採用的邊界條件，使主邊界和從邊界場量具有相同的富度、相 位，及相同或相反的方向。 ◎氣球邊界條件 氣球邊界是常用的一種邊界條件，指定求解區域外邊界處，一 般用於絕緣系統，也可用於模擬無限元邊界。
◎阻抗邊界條件 阻抗邊界是用來模擬薄介層的邊界條件，主要應用於交變電場 中的電阻邊界和渦流場的阻抗邊界 [27]。 3-3-4 電磁場之有限元素法 電機在數值求解區域模型時如圖 3-1 所示，由於所分析電機為 四極結構電機的磁場對稱分佈，所以僅取了電機的四分之一作說明， 以減少其工作量和求解的規模，另一方面也不失其代表性。 因求解區域有電流源存在，計算時必須採用矢量磁位來求解。 為了建立電機內部磁場的微分方程，確定求解區域和有限元素法求 解的邊界條件，提出以下假設: (1) 採用二維場模擬實際磁場; 選取直角坐標系和國際單位 制。 (2) 對定子槽口、定子扇形片的圓角及磁極沖片部份圓角、倒 角等細微之處作近似處理。 (3) 忽略端部效應，磁場沿軸向均勻分佈，即電流密度矢量 J 和磁位矢量 A 只有軸向分量，J=Jz，A=Az。
圖 3-1 電機求解區域模型 (4) 內轉子式電機外部磁場所占分量甚小，可以忽略。定子外 表面圓周和轉子內表面圓周為零矢量位面。 (5) 不計交變磁場在導電材料中如定子線組、鐵心沖片及機座 中的渦流反應，因此同步電機的磁場可作為非線性恆定磁 場來處理。 矢量磁位 Az 表達時，場域內滿足邊值問題:
C B z D A z D C B A z z z ZA
A
A
J
y
A
y
x
A
x
0
1
1
,
(3.28) 上式等介於以下變分問題:
0
min
2
1
2 1 2 2 z z z z z zA
dxdy
J
A
y
A
x
A
A
W
(3.29) 二維有限元素法就是從式(3-29)出發，將求解區域剖分小的三角 形區域，這些細小的三角形區域又稱為單元，在單元內構造出矢量 磁位的插值函數，然後利用插值法將式(3-29)的條件變分問題單元化 為多元函數的極值問題, 即化為一組關於各個節點矢量磁位的代數 方程式，求解，得矢量磁位的數值解。 採用三角形剖分單元，見圖 3-2，在單元 e 內採用線性插值方 法，可得矢量磁位的線性插值函數: m m j j i iA
N
A
N
A
N
A
(3.30) 式中，下標 i、j、m 表示三角形剖分單元 e 的三個頂點，它們 之間是逆時針排列的。N 是形狀函數，它的表達式是:
a
b
x
c
y
N
k k k e k
2
1
(3.31)圖 3-2 三角形剖分單元 式中
