非線性模型

在前面非線性模型中的三個小節中，可以看的出來，非線性模型彼 此間差異非常大，然就 Tinoshenko 理論之結果(圖 4.30)可知若只是單純 改變其正向勁度並無法擬合實驗之曲線，但反觀試誤法之結果(圖 4.32)，

因其本來為線性模型之計算，改變的只有正向勁度讓它非線性化，這樣 一來使得線性模型之計算，被正向勁度之非線性改寫為非線性模型，使 得曲線之結果較貼近實驗曲線。最後 Chang 理論之結果也可知，理論所 提出之結果跟實驗比較後，其勁度值都相對高上許多，都需要經過折減 動作，讓線型更擬合實驗之曲線，但共同點為，若將線性模型與非線性 模型放在一起比較後，可知鋁棒之顆粒行為應為非線性。

表 4.1 選用單位

項目 單位符號

長度(Length) m

密度(Density) kg/m³

力量(Force) N

應力(Stress) Pa

重力(Gravity) m/sec² 球勁度(Ball stiffness) N/m 鍵結勁度(Parallel bond stiffness) Pa/m

表 4.2 初始參數列表

項目 內容

鋁棒長度 0.06 m

鋁棒半徑 0.003 m

密度(鋁) 2702 kg/m³

密度(鐵) 7800 kg/m³

tanψb, (ψb) 0.1977 (11.18°) 步幅(Timestep) 2×10^-6 s

剪動速率 1 mm/min

正向應力 27.24、54.48、108.96、217.93 kPa

表 4.3 反算法參數列表

鋁棒長度 0.06 m

鋁棒半徑 0.003 m

密度(鋁) 2702 kg/m³

密度(鐵) 7800 kg/m³

tanψ, (ψ) 0.3809 (20.85°)

步幅(Timestep) 2×10-6 s

剪動速率 1 mm/min

正向應力 27.24、54.48、108.96、217.93 kPa

kn (Al) 1.04×10⁷ N/m ks (Al) 1.95×10⁶ N/m kn (Fe) 4.00×10¹¹ N/m ks (Fe) 7.69×10¹⁰ N/m

圖 4.1 研究流程圖 研究開始

文獻回顧

DEM（PFC^2D）

即有模式

應用

結論與建議

直剪試驗

設定、調整參數

UDM

驗證 Yes No

擋土牆 基礎 三軸

圖 4.2 直接剪力試驗簡圖

圖 4.3 四面體立方排列(緊密排列) 垂直測微表

←試體 ←推力

垂直力↓

壓力環

-2

Shear Displacement (mm)

V e r ti c al D is p la c e me n t (mm)

Exp 27.24 kPa Exp 54.48 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa(1) Exp 217.93 kPa(2) Exp 217.93 kPa(3)

圖 4.5 緊密排列下之剪位移–垂直位移圖(實驗)

Shear Displacement (mm)

She a r St r e ss ( k P a )

Exp 27.24 kPa Exp 54.48 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa(1) Exp 217.93 kPa(2) Exp 217.93 kPa(3)

圖 4.6 緊密排列下之剪位移–剪應力圖(實驗)

-0.1

Shear Displacement (mm)

Ve r ti c a l Di spl a c e m e n t ( m m )

Exp 27.24 kPa

Exp 54.48 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa

圖 4.7 簡單排列下之剪位移–垂直位移圖(實驗)

Shear Displacement (mm)

She a r St r e ss ( k P a )

Exp 27.24 kPa Exp 54.48 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa

圖 4.8 簡單排列下之剪位移–剪應力圖(實驗)

圖 4.9 直剪模型示意圖

圖 4.10 直剪模型建模流程圖 建牆

排鋁棒

建直剪盒上盒

給勁度參數

重力平衡

給牆速度

剪動模擬

輸出

-4.5

Shear Displacement (mm)

Ve r ti c a l Di spl a c e m e nt ( m m )

DS 27.24 kPa

DS 54.48 kPa DS 108.96 kPa DS 217.93 kPa

圖 4.11 緊密排列下之剪位移–垂直位移圖(勁度為 2Et)

Shear Displacement (mm)

She a r St r e ss ( M P a )

DS 27.24 kPa DS 54.48 kPa DS 108.96 kPa DS 217.93 kPa

圖 4.12 緊密排列下之剪位移–剪應力圖(勁度為 2Et)

0

Shear Displacement (mm)

Ve r ti c a l Di spl a c e m e nt ( m m )

SS 27.24 kPa

SS 54.48 kPa SS 108.96 kPa SS 217.93 kPa

圖 4.13 簡單排列下之剪位移–垂直位移圖(勁度為 2Et)

Shear Displacement (mm)

She a r St r e ss ( kP a )

SS 27.24 kPa SS 54.48 kPa SS 108.96 kPa SS 217.93 kPa

圖 4.14 簡單排列下之剪位移–剪應力圖(勁度為 2Et)

10 100 1000 10000 100000

1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

Ball Stiffness (N/m) She a r St r e ss ( kP a )

DS 217.93 kPa

圖 4.15 緊密排列下之倍數–強度圖(勁度修正)

Shear Displacement (mm)

She a r St re ss ( k P a )

Exp 217.93 kPa

kn divided by 100 kn divided by 1000 kn divided by 10000

圖 4.16 緊密排列下折減 100 至 10000 倍強度圖(勁度修正)

-2

Shear Displacement (mm)

V e rt ica l D is p la cem e n t ( m m )

DS 27.24 kPa

DS 54.48 kPa DS 108.96 kPa DS 217.93 kPa Exp 27.24 kPa Exp 54.48 kPa Exp108.96 kPa Exp217.93 kPa

圖 4.17 緊密排列下剪位移－垂直位移圖(勁度修正後)

Shear Displacement (mm)

She a r St r e ss ( k P a )

DS 27.24 kPa DS 54.48 kPa DS 108.96 kPa DS 217.93 kPa Exp 27.24 kPa Exp 54.48 kPa Exp108.96 kPa Exp217.93 kPa

圖 4.18 緊密排列下剪位移－剪應力圖(勁度修正後)

0

Shear Displcement (mm)

She a r St r e ss ( k P a )

DS 27.24 kPa DS 54.48 kPa DS 108.96 kPa DS 217.93 kPa

圖 4.19 緊密排列下剪位移－剪應力圖(反算法)

Shear Displacement (mm)

V e r ti c al D is p la c e me n t (mm)

DS 27.24 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa

圖 4.20 緊密排列下之剪位移–垂直位移比較圖

0

Shear Displcement (mm)

She a r St r e ss ( k P a )

DS 27.24 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa

圖 4.21 緊密排列下之剪位移–剪應力比較圖

Shear Displacement (mm)

V e r ti c al D is p la c e me n t (mm)

SS 27.24 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa

圖 4.22 簡單排列下之剪位移–垂直位移比較圖

0

Shear Displcement (mm)

She a r St r e ss ( k P a )

SS 27.24 kPa Exp 108.96 kPa Exp 217.93 kPa

圖 4.23 簡單排列下之剪位移–剪應力比較圖

Normal Force (kg)

Shear Force (kg)

圖 4.24 簡單排列下之剪力強度圖

y = 0.6509x + 7.2499 R² = 0.9162

0 10 20 30 40 50 60 70

0 20 40 60 80 100

Normal Force (kg)

S h ea r Fo rce ( k g )

圖 4.25 緊密排列下之剪力強度圖

圖 4.26 Timoshenko 推導之模型圖

0

0.E+00 5.E+07 1.E+08 2.E+08 2.E+08

Force (N)

D e for m ati on (m)

圖 4.27 Timoshenko 理論力-變形曲線圖

max: 32768

y = 6.5112E+10x^1.0741E+00 R² = 9.9995E-01

1.E-11 1.E-09 1.E-07 1.E-05 1.E-03

Deformation (m)

Fo rce ( N )

圖 4.28 程式所用 Timoshenko 理論片段之力-變形曲線圖

-1

Shear Displacement (mm)

V ert ica l D is p la cem en t ( m m )

DS 108.96 kPa Exp 108.96 kPa

圖 4.29 緊密排列下之剪位移–垂直位移比較圖(Timoshenko 理論)

Shear Displacement (mm)

S h ea r S tres s ( k Pa )

DS 108.96 kPa Exp 108.96 kPa

圖 4.30 緊密排列下之剪位移–應力比較圖(Timoshenko 理論)

-1.8

Shear Displacement (mm)

V e rt ica l D is p la cem en t ( m m )

DS 108.96 kPa(UDM)

DS 108.96 kPa(Linear) Exp 108.96 kPa

圖 4.31 緊密排列下，線性、非線性(試誤法)及實驗剪位移–垂直位移比較

Shear Displacement (mm)

S h ea r S tres s ( k Pa )

DS 108.96 kPa(UDM) DS 108.96 kPa(Linear) EXP 108.96 kPa

圖 4.32 緊密排列下，線性、非線性(試誤法)及實驗剪位移–剪應力比較圖

-1.8

Shear Displacement (mm)

V ert ica l D is p la cem en t ( m m )

DS 108.96 kPa(UDM)

DS 108.96 kPa(Linear) Exp 108.96 kPa

DS 108.96 kPa(UDM modify)

圖 4.33 緊密排列下，線性、非線性(Chang 理論)及實驗剪位移–垂直位移

Shear Displacement (mm)

S h ea r S tres s ( k Pa )

DS 108.96 kPa(UDM) DS 108.96 kPa(Linear) EXP 108.96 kPa

DS 108.96 kPa(UDM modify)

圖 4.34 緊密排列下，線性、非線性(Chang 理論)及實驗剪位移–剪應力比 較圖

在文檔中 以分離元素法探討顆粒材料之極限承載力研究 (頁 56-76)