風險值 Value at Risk

國際清算銀行於1996 年所發布巴塞爾修正案中，明訂風險值為衡量市場 風險的指標；風險值由於計算簡單，且針對公司所面臨的市場風險可提供一 個具體、統一的數值，常被應用在企業的風險管理及政府的風險監理等上，

為目前最廣為使用的風險指標。

2.2.1 定義

在J.P. Morgan 的 RiskMetrics 技術文件中，將風險值（Value at Risk;

VaR）定義為「在特定機率下，投資組合在特定期間內價值變動造成的 最大預期損失」，由此可知，風險值主要受到機率水準（信心水準）及 期間長度的影響；若令𝑊為投資組合價值、 α 為特定機率水準，則風險 值的概念可以此式呈現：Prob.[𝑊_> ≤ −VaR] = α%，表示在(1 − α)%的 信心水準下，投資組合在未來T 天的損失不會超過 VaR 元。

2.2.2 衡量方法

常見衡量風險值的方法有以下三種：

1. 變異數-共變異數法（Variance-Covariance Method）

為局部評價法（Local valuation），藉由機率分配的假設來估計 風險值；通常假設資產𝑊的報酬率𝑅為常態分配及線性，先利用資 產報酬率過去的歷史資料得到平均數𝜇_I與標準差𝜎_I，接著選定機率 水準α及持有期間 T，估計出風險值 VaR；風險值一般可分為相對 風險值與絕對風險值，相對風險值為相對於資產期望值之最大預期 損失，可表示為VaR(𝑚𝑒𝑎𝑛) = 𝑊_'× 𝑍_P× 𝜎_I × √𝑇，而絕對風險值為 相對於資產初始投入值之最大預期損失，可表示為VaR(𝑧𝑒𝑟𝑜) = 𝑊_'× (𝑍_P× 𝜎_I × √𝑇 − 𝜇I × √𝑇)。

此方法計算簡單且容易理解，但無法處理非常態分配或非線性 之資產。

2. 歷史模擬法（Historical Simulation Method）

為完全評價法（Full valuation），假設未來資產報酬與過去資 產報酬趨勢相近，藉由資產過去價格的歷史資料模擬出未來資產報 酬的機率分配，再依據選定之機率水準及持有期間，估計其相對應 分位數的風險值。

此方法可處理非常態分配或非線性之資產，但容易因歷史資料 的特性產生偏誤，且計算速度較慢。

3. 蒙地卡羅模擬法（Monte-Carlo Simulation Method）

為完全評價法（Full valuation），假設資產價格服從特定機率 分配之隨機過程，在選定之持有期間內模擬足夠多次（如：1000 次）

的隨機價格路徑，建構資產報酬的機率分配，最後根據選定之機率 水準，估計其相對應分位的風險值。

此方法可處理非常態分配或非線性之資產，但容易因隨機過程 之模型設定產生偏誤，且計算速度慢。

2.2.3 性質

本小節首先以Artzner(1991)提出的「一致性風險測度」條件來檢視 風險值的性質，一致性風險測度的條件包含平移不變性（Translation invariance）、次可加性（Subadditivity）、正齊次性（Positive Homogeneity）

及單調性（Monotonicity），風險值雖符合平移不變性、正齊次性、單調 性，卻違反了次可加性，因此風險值並不是一個一致性風險測度；違反 次可加性表示否定了風險管理中的分散效果，且就監理角度來看，可能 導致個別資產的風險準備金不足以應付總體風險可能造成的損失。

以一個簡單的數值範例來說明：市場上有資產Ｘ與資產Ｙ，Ｘ與Ｙ互相 獨立且分配相同，𝑋, 𝑌~ Z −80 , 𝑃𝑟𝑜𝑏. = 4.9%

0 , 𝑃𝑟𝑜𝑏. = 95.1%，則

Ø 在 95%信心水準下，資產 X 與資產 Y 的風險值均為 0，但兩者以

相 同 權 重 建 構 之 投 資 組 合 的 風 險 值 卻 為 40 ， 造 成 𝑉𝑎𝑅^'.)ab'.)c(5%) > 𝑉𝑎𝑅^a(5%) + 𝑉𝑎𝑅^c(5%)，違反次可加性。

事件 資產X 資產Y 0.5 資產 X+0.5 資產 Y 機率

1 -80 -80 -80 0.2%

2 -80 0 -40 4.7%

3 0 -80 -40 4.7%

4 0 0 0 90.4%

除此之外，根據 Rothschild and Stiglitz (1970)所提出的隨機優越 (Stochastic Dominance)概念，若一分配 F 一階隨機優越於 G，表示對目 標效用最大化的人來說，在所有情況下 F 帶來的效益都大於 G，而一 個服從一階單調性的風險指標會得到𝑅(𝐹) < 𝑅(𝐺)的結果，但風險值雖 符合單調性，卻違反一階單調性（First-Order Monotonicity），表示透過 風險值衡量資產的風險大小，可能會出現不同於效用感受的結果。

以一個簡單的數值範例來說明：市場上有股票 A 與股票 B，股票 A 可 帶 來 的 損 益 為 Z 15 , 𝑃𝑟𝑜𝑏. = 50%−5 , 𝑃𝑟𝑜𝑏. = 50% ， 股 票 B 可 帶 來 的 損 益 為 Z10 , 𝑃𝑟𝑜𝑏. = 50%−5, 𝑃𝑟𝑜𝑏. = 50%，則

Ø 直觀上，我們會選擇股票 A，因為股票 A 與股票 B 的可能損失金 額相同，而股票A 的可能獲利金額較大，但若依照風險值的計算結 果，在 95%信心水準下，𝑉𝑎𝑅^h(5%) = 𝑉𝑎𝑅ⁱ(5%) = 5，表示選擇 兩者的風險相同，造成不同於效用感受的結果。