六尺 與勾 二十 五尺 相乘 一百 五十 尺之 積
餘股
六尺
退行五尺
木秒至表末如弦
餘弦
餘勾 木至表二十五尺如勾圖4.2.14 《勾股淺述》立木求高題附圖 其說明為：
凡弦綫所分內、外兩勾股，復交弦綫，作十字橫直綫者，分之直方、橫方，
其積必等，茲弦與餘弦分大小同式兩勾股，故以即前說之，古說今說同一理 也。82
梅沖於此，將「古說」之「餘股與勾相乘，餘勾除之得股」，與今說之「小股與 大勾相乘，小勾除之得大股」（即四率比例法），作一對照而知兩法同理，亦有 勾股西法即中國古法之意，又承接其高祖父梅文鼎之幾何思想。其後所附之「還 原法」即今之「驗算」，將所得之解置回題中，以還原整題之情境。
80 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 25a。
81 同上註。
82 引自梅沖，《勾股淺述》，頁 44b。
(2) 用二表法
首列公式：「景差除表間積得高景差者，後表退行步多于前表退行步之
較，表間積，兩表間橫直相乘之積也」及「前表退 行度乘表距度景差除之得遠」。然後，將引入《勾股舉隅》海島測望題，如下：
假如海島在望，欲測其高遠。立前後兩表各長三丈，相去五百丈，乃從前表 退行六十丈又立三尺短表，人目之高
。
窺望二表與島峰參合，復從後表退六十二 丈，亦立三尺短表，窺望二表與島峰參合。問海島高遠各若干。83同乙方積三方丈
寅子申 庚 丑 卯
甲
辰
前表 後表
乙 丙
(F)
(B)
(A)
(C)
同 表間積
一 千 三百 五十丈
圖4.2.15 《勾股淺述》海島測望題附圖
景差除表間積而得高者，以寅卯長方之積與丑辰方表間積必同也。蓋甲丙大 方一弦分之為同式兩勾股。子丑與丑辰二方積必相等，而寅丑方為庚申弦所 分，寅卯方與子丑方積必等，則與丑辰方亦必等明矣。故即以丑辰表間積為 股實也。 其以前表退行數乘兩表相距之數為句實何也？島之遠，因高而 見，前表退行六十丈而後見，故以六十丈乘兩表距也。兩乙方同為一弦所界，
積必等，故景差除之得勾。84
然，梅沖此題圖形與其論說無法相配合！上圖中 FB 並非甲丙大方之弦，即使 FB
83 引自梅沖，《勾股淺述》，頁 45a。
84 同上註，頁 46b-47a。
同時通過 A、B 兩點，確為甲丙大方之弦；則丑（C 點）也必須在 FB 上，才能 讓子丑與丑辰兩長方等積。亦即梅沖所繪對角線並無法恰當地將甲丙長方分成兩 同式勾股形，其圖不適「凡弦綫所分內、外兩勾股，復交弦綫，作十字橫直綫者 分之直方、橫方，其積必等」之說。筆者於此遭遇疑難，便先研讀《勾股舉隅》
中圖形類似之「隔水量高」題，圖、論如下：
甲 酉 卯 寅
午 乙 水
火
庚戊 子已
土 辰
丁亥 金
癸 丙 未 辛
壬 戊 丑 申
圖4.2.16 《勾股舉隅》「隔水量高題」圖
論曰：癸土為前表減人目之餘，丙已為後表減人目之餘，丙癸為兩表相距。
以丙已乘已土得丙土長方，即表間積也。於後表退行之已庚內，減去前表退 行之戊土餘庚子三尺即景差也。其以景差除表間積而得木高何也。因寅末長 方與丙土長方等積也。蓋丙土長方與申丙長方等積居申庚土壬方內句 股 之 兩 旁 故而申丙長方 又與寅未長方等積寅丑與丑丙丙長方寅辛丙酉方內勾股之旁，其積必等。於
兩形內各加同用之申未，則成寅未與申丙其積安得不等則寅未長方 亦必與丙土長方等積可知矣。寅未長方以辛未為闊與庚子景差等。以寅辛為 長與甲午木高等。故以景差除表間積而得木高也。其以前表退行乘兩表相距 為句實何也。曰亦兩長方等積故也。試引丙已至金截已金如已庚，截已辰如 已子則已辰即戊土已子即戊土度，已辰即如已子，故即戊土辰金即景差，又作辰水及金火平行綫，引 乙至火聯為已火長方形又引土至亥復作乙金斜綫，則其理著矣。85
85 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 26a-26b。
根據論述與上圖相搭配之下，可知：
丙土長方積＝申丙長方積＝寅未長方積
表間積（丙積長方積）÷景差（庚子）＝寅辛（即甲午）
木高＝甲午＋表高。
丁火長方＝已丁長方＝丙土長方 已辰＝戊土之長＝前表退行度 已土＝兩表距
辰金＝庚子＝為景差
（前表退行度×兩表距度）÷景差＝遠，即水丁之距。
搭配《勾股舉隅》詳盡、清楚的論述後，筆者回頭再看梅沖之圖、文，箇中 緣故終於明白，真是梅沖圖誤！於是，思及羅士琳《疇人傳續編》所云，梅沖「所 著之勾股淺述蓋本徵君勾股舉隅而詳明之。」86然實怪哉，以詳明《勾股舉隅》
而成之《勾股淺述》在此部份之圖、說竟未較前者明白，甚至有誤！是梅沖不慎 所致，或「能世其學」之名為虛！筆者在此暫不妄下評論，先觀其用三表法之內 文再敘。
(3) 用三表法
梅沖於此，僅以一例說明用三表法之用，其例參考自《勾股舉隅》之重測題：
「假如隔水有一方臺，欲測其甲乙一面之寬，并相距之遠。」87筆者發現《勾股 舉隅》之論述較《勾股淺述》完整許多，故先詳探《勾股舉隅》之說，以圖4.2.17 為例：
86 引自羅士琳，《疇人傳續編》，頁 676－677。
87 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 21b。
乙 庚 申 甲
丁 戌
丙 亥
戊 子 乾 辛 癸 丑 壬 辰 卯 寅
已 未 午 酉
圖4.2.17 《勾股舉隅》重測題附圖
梅文鼎認為：「重測本用四表，今用三表，乃巧算也。 若測高，則重測本用前 後二表者，亦可用一表。故當先知本法，然後明其所以然。」88因此，在一貫的 例子解說之後，為讀者先詳四表本法、次明用三表之理。
先詳四表本法
欲測甲乙之闊，先立丁表，從戊戊為人目至丁表至遠物之末 端者參相直。 次於丁表橫 過與甲乙平行，作戊丁乙直線之橫綫於此綫戌處立表。人目從戌表窺甲遠物 之西端。亦參相直，則與甲乙乙戊兩線成甲戊乙勾股形。 量得戌丁兩表橫 距四步丁戊直距十二步。 次從丁戊直綫退行至已，又自戊表作戌艮癸直綫 與丁戊平行，此平行綫上取癸立表。人目從已過癸至甲參相直成已癸甲斜弦。
亦從癸橫行至丁已綫尋辛立表。此癸辛兩表之距與戌丁等四步 又量得辛表距 人目已二十二步半。內減丁戊十二步。餘壬已十步半為景差。末以已辛二十 二步半減己丁三十六步，餘辛丁十三步半為前後表間之距以表橫距四步乘之 得五十四步為表間積即丁癸長 方。 置表間積為實，以景差為法除之得五步一分
88 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 23a。
強為甲庚加庚乙四步共九步一分強為所測遠物甲乙之闊。
論曰：前表成戊乙甲勾股形，內有戌乙餘方，與形外戌乾餘方等積。 後表 成已乙甲句股形，有癸乙餘方與形外癸酉餘方等積，於癸乙內減戌乙於癸酉 內減寅癸即乾戌 則所之癸丁及辰酉兩餘方亦必等積也。故以丁癸長方變為辰酉 長方而得辰寅，即甲庚也。89
此題所立之四表分別圖4.2.17 之丁表、戌表、癸表、辛表。再以前述之「凡 弦綫所分內、外兩勾股，復交弦綫，作十字橫直綫者分之直方、橫方，其積必等」
的原理，推得戌乙長方、戌乾長方等積；癸乙長方、癸酉長方等積，故癸丁長方 與辰酉長方亦等積。再以景差除辰酉長方，便得辰寅、甲庚，甲庚加上戌丁（即 庚乙）長，就得甲乙之長。
次明用三表之理
乙 庚 申 甲
丁 戌
丙 亥
戊 子 乾 辛 癸 丑
壬 辰 卯 寅
已 未 午 酉
圖4.2.18 《勾股舉隅》明用三表之理附圖
用三表者，於戌丁兩表外增一丙表也，前增一表而無後表，則無從而得景差，
故以三率法求而得之。其實癸辛即後表也，其理與四表同。
然不用癸卯形而用戌子形何也。曰准前論辰酉形與丁癸形等積，而午癸形與
89 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 22a-22b。
丁癸形亦等積(兩餘方在己丙丁句股形內外故等)則辰酉與午癸亦等積矣。各 減同用之卯未，則所餘之卯未，則所餘之酉卯與卯癸二形亦自相等積，而卯 癸原與戌子等。故用戌子長方變為卯酉長方而得卯寅即得甲申矣。
其以辛丁乘戊丁為實何也。曰此三率法也，丁乙加丁辛前後兩測之表距，故 辛壬(即戊丁)亦加壬已兩測之景差，法為壬已與辛丁若戊丁與丁乙也。90 有別於用四表在戌、丁兩表之外，立兩個後表；用三表法，只增加丙表，沒 有後表。由圖4.2.17 知，丁癸長方、辰酉長方等積。又圖 4.2.18 中，丁癸長方、
午癸長方等積，故辰酉長方與午癸方必等積，則戌子長方、卯癸長方、酉卯長方 三者等積。亦即壬已除戌子長方，可得卯寅，即甲申。另，以丁乙、丁辛之距為 前後兩測之表距，以辛壬、壬已之距為兩測之景差。故可以四率法，即壬已：辛 丁＝戊丁：丁乙，故相距之遠
壬已
×戊丁
= 辛丁
丁乙 。
《勾股舉隅》為「明其所以然」，故「先詳四表本法」，「次明用三表之理」，
其內容達深入淺出之功。以《勾股舉隅》為本而詳明之的《勾股淺述》之此部份 的內容，則遠不及前者詳盡。僅以題、圖、解說明之：
甲 庚 申 乙
未 午 酉 寅 乾 亥
已 戊
辛 癸 丙
丁 戌
辰 卯
壬
子
一表 二表
圖4.2.19 《勾股淺述》用三表法題附圖
90 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 23a-23b。
其曰：
先求景差 丁已（大股）三十六步與癸辛（小勾）即戍丁四步相乘，丙丁（大勾）六步四分除 之得辛已（小股）二十二步 半內減丁戊十二步 ，餘十步半為景差。
丁戊直十二步與丙戌橫二步四 分相乘景差十步零半除之得甲申二步七分半弱加申乙即丙丁 六步 四分共九步一分強為甲乙即一面之寬丁戊乘丙戍則其積如戌子而戌子積與卯酉
等故以如寅酉之景差除之得寅即得甲申矣
丁戊一表至前目直 十 二 步與辛丁直十三步 半相乘，景差十步零半除之得乙丁十五步四分強即距臺之 遠此三率法也丁乙加丁辛前後兩測之表距故辛壬即戊丁亦
加壬已 兩測之景差法為壬已與辛丁若戊丁與丁乙也
。
91若加入現在符號，則梅沖此題之解可改寫如下：
若加入現在符號，則梅沖此題之解可改寫如下：