第 4 章《勾股淺述》內容及分析

(1)

第 4 章《勾股淺述》內容及分析

在第 2 章裡，筆者已就梅沖所處的學術環境與其家學淵源及其可能的交遊情形，繪製了一個輪廓；在第 3 章中，則針對梅沖《勾股淺述》所參之相關書籍作一概要介紹。本章將引領讀者進入梅沖所撰寫《勾股淺述》的成書原由，並詳析此書的論述與體例，更要透過《勾股淺述》內容的舖陳與安排，來感受梅沖書寫此書時，對初學勾股者的溫柔心意。

4.1 《勾股淺述》成書原由及內容簡介

1. 成書原由

在第 2 章裡，我們提及了梅沖生於梅文鼎家族，耳濡目染於算學的環境之中，其所受家學的影響深遠。然而，根據筆者所及的資料，《勾股淺述》可能是梅沖唯一一本印刷出版的算書，雖然梅沖於其《勾股淺述》「例言」中，曾寫道：

西人連比例三率及中垂綫、大分、小分與理分中末綫諸說，理不異勾股，而又別成一解。若兼采之，自足暢此中奧蘊，而為語甚繁，是書期便初學祇明古法，餘俟續編。

¹

可見梅沖撰寫《勾股淺述》的目的只在勾股古法，他認為若將西法一并納入討論，

會太雜亂。此外，梅沖原有撰寫關於勾股西法的「續編」之打算，但後續如何，

就筆者手邊所及資料，並未見到梅沖有相關算書於世。目前僅知梅沖於其另一作品《然後知齋答問二十卷》卷九〈四書〉中，曾撰寫〈勾股古法〉、〈勾股西法〉

兩篇，分別論述勾股古法與西法之精要，

²

詳見附錄一。至於梅沖撰寫《勾股淺序》的原由，或可從其自序隱約見其初衷：

先徵君著曆算書八十八種，於西法之秘為神異者，皆通以勾股而盡發其覆，

故專言勾股反畧，特《舉隅》一卷，少示數端而已。予少承庭訓，粗聞先人緒論未能竟學，歲癸丑從李雲門先生遊，先生詳加指示，稍得其門徑，因敬奉。

³

1 引自梅沖，〈例言〉，《勾股淺述》，頁 11a。

2 筆者所見為清嘉慶二十一年承學堂刻本，全名為《然後知齋四書五經答問》，主要專取四書五經古今所稱疑難而論述之。

3 引自梅沖，〈勾股淺述自序〉，《勾股淺述》，頁 1a。

(2)

梅沖可能於初探《勾股舉隅》時，遇到了阻礙，而乾隆五十八年問學於李潢後才豁然開朗。筆者認為首次於勾股算書所遭遇的挫敗，應該會在身為梅氏一族的梅沖心中形成某程度的壓力，而且以其梅氏的算學光環，想必其內心深處也不甘就此收手。因而問學於當時知名的數學家李潢，於是豁然開朗，興致更昂，將其自學《御製數理精蘊》與其他相關算書的勾股筆記並整理成編，其中更大量的參考曾遇挫折的《勾股舉隅》。或許真是《勾股舉隅》引起了梅沖對勾股的興趣，所以，梅沖後來對於《御製數理精蘊》、《御製曆象考成》上下二編及後編的勾股部份，也有涉獵並整理成編，其云：

御製數理精蘊言勾股者反復探索，依題集解，間參取他書竝約其精要，輯為一編，自備省覽……。予亦曾究觀六宗三要於御製曆象考成上下二編及後編，弁採集圖說以為約本。

⁴

筆者猜想，正因為擁有如此家學背景的梅沖，在自修初探先人的勾股術都有所困惑，再加上他於自序中所言近代算書的弊病：

算書之弊有二，其一艱深其詞，李冶所謂故為溟涬黯黮，惟恐學者得窺仿彿，

其心私也；其一不肯遵守成法，自矜創獲以別立新解，而反失其故步。

⁵

兩者恰構成《勾股淺述》問世的因素之一。於是，序文中問學而來的陳子的慫恿恰好呼應梅沖的初衷與想法，故梅沖決定將其「集錄舊說為之宣導，窽會以變從淺易要，僅屬鈔胥而已」的勾股術整理成書，

⁶

《勾股淺述》於焉成形。

另，梅沖亦覺察以勾股之大用，而「先徵君曆算八十八種，於西法之秘為神異者，皆通以勾股而盡發其覆，故專言勾股反畧，特《舉隅》一卷，少示數端而已」。其高祖父梅文鼎創作《勾股舉隅》一卷的目的，卻僅在「略舉數端，以示途徑」

⁷

。此外，由其自序之末表明其書撰寫所為的訴求對象：「為習勾股者計耳，

因重加訂正為家塾引蒙之一，助題曰淺述」，以及其「以惟淺乃可入深用誌學步先人之意云爾」

⁸

，筆者認為梅沖完成此書，多少有點在為其先人著述書寫銜接教本，進而宣揚其梅氏家學的意味。

4 引自梅沖，〈勾股淺述目序〉，《勾股淺述》，頁 1a-2a。

5 同上註，頁 1b。

7 引自梅瑴成，〈《勾股舉隅》序〉，《梅氏叢書輯要》（台北：藝文印書館，1971）。

8 引自梅沖，〈勾股淺述自序〉，《勾股淺述》，頁 1b-2a。

(3)

總的來說，梅沖成其《勾股淺述》的目的有二。其一，因近代算書艱深與不肯遵守成法之弊，故為普及數學知識之目的，而將整理前人舊說之約本，輯成一書；其二，少承庭訓未能竟學的梅氏子孫，為勾股初習者撰書以步先人之意，在普及數學知識同時宣揚家學。

2. 內容簡介與體例結構

《勾股淺述》為梅沖於嘉慶初年撰寫的勾股專書。

⁹

根據羅士琳《疇人傳續編》：

其所著之勾股淺述，蓋本徵君勾股舉隅而詳明之，并雜取算法統宗難題數則，附列於後，期便初學，無大精義，但於勾股中聊見一端耳。

¹⁰

換言之，《勾股淺述》內容主要集錄其高祖父梅文鼎《勾股舉隅》一書，並擷取程大位《算法統宗》部份算題，便無其他創新之處。另，由梅沖自序所言，他對

《御製數理精蘊》與《御製曆象考成》上下二篇及後篇中勾股部份的相關內容，

亦做了相當的整理，然而在《勾股淺述》的內文中，卻鮮少出現其參考《御製曆象考成》之跡。詳細探討，請見下一節，此處先就文本內容作概要的介紹。

《勾股淺述》全書一卷，未分章、節。全書一開始是二篇序文和一篇跋，亦即除了梅沖自序，尚有一篇序文、一篇跋，撰文者分別為新安曹自錃、曹恩沛，

兩文中大多為推崇之言，無關鴻旨，故不論及。

¹¹

其後，梅沖首列「例言」十一條，主要說明其自學勾股時的心得，及其編寫《勾股淺述》時的想法與編排方式，

並對其兼錄其他論述的原因略作交代。之後進入正文，梅沖認為：

勾股之術以勾、股、弦三者相併相減以生和較……。學者必知其所以分乃知其所以合，始知線之分合，再知面之分合，勾股能事盡之矣。

¹²

故筆者就其書寫的抬頭空格數，將全書除序文、〈例言〉、〈勾股名目〉與卷終的

〈附論〉之外，其餘的部份分為二大主題，依序為〈勾股析綫〉、〈勾股析面〉。其中，〈勾股析面〉之下尚置了「勾股面積」、「勾股容圓」、「勾股容方」、「勾股測量」四個主題。

9 根據〈勾股淺述自序〉，《勾股淺述》，頁 1b。梅沖可能於嘉慶二年三月上旬完成此書。

10 引自羅士琳，《疇人傳續編》，頁 676－677。

11 就筆者所及之資料，此二人於當世之地位或與梅沖之關係，尚無從得知。

12 引自梅沖，〈例言〉，《勾股淺述》，頁 10a。

(4)

〈勾股析綫〉之前，所置的〈勾股名目〉主要說明各勾股名詞之含義；卷終

〈附論〉之前，則有梅文鼎《勾股舉隅》中之〈弦與勾股和求勾股用量法圖說〉，

目的僅在觀「勾股與三角八線相通之精蘊，見西法所由出」，

¹³

最後的〈附論〉

則是簡要地提出一些其對勾股的心得，及其對勾股的古法與西法的見解與兩者的關連。以下為筆者初探《勾股淺述》中之「勾股析綫」、「勾股析面」二大主題的概要內容。

勾股析綫

梅沖開宗明義道出〈勾股析綫〉對勾股學習者的重要性：

西法有點、綫、面、體四部，勾股之算則綫與面也（間有用立方體積者，然非勾股常法）前所列者為綫、綫自乘則為方面，兩綫相乘為長方面，未乘則一綫而已。線中每兼具數綫，知其所以離，乃知其所以合，此習勾股者之始事也。茲為一一辨析，庻勾股算法可刃而解。

¹⁴

他認為「勾股之算」主要是綫與面，且必先知綫之分，後能知其合。因此，在〈勾股析綫〉中，梅沖先將勾股二十一目的「各綫中兼具之數」詳作說明，將「勾、

股、弦」與五和「勾股和、勾股和、股弦和、弦和和、弦較和」、五較「勾股較、

勾弦較、股弦較、弦較較、弦和較」，以及「勾和和、股和和、勾和較、股和較、

勾較和、股較和、勾較較、股較較」一一解說，再擇其中數項來相加、相減，讓學習者進一步觀察綫之分合變化。

勾股析面

此部份所占之勾股內容超過全書七成，

¹⁵

為全書精華所在，「勾股面積」、「勾股容圓」、「勾股容方」、「勾股測量」四個主題均置〈勾股析面〉之下，

¹⁶

可見析面所涉之廣。

梅沖於〈勾股析面〉即以：「勾股之變化，全在面。曰方、曰冪、曰積、曰實，同為面而已矣」破題，

¹⁷

無怪乎梅沖將全書的 48 問全置於「勾股析面」之

13 引自梅沖，《勾股淺述》，頁 12a。

14 同上註，頁 2a。

15 全書的三篇序文之後，頁 1a 至頁 57a 為勾股內容，其中〈勾股析面〉由頁 8b 至頁 49a。

16 由於《勾股淺述》書中，並未明確分章分節，故筆者就文本中之抬頭、空格情形來推斷之。

17 引自梅沖，《勾股淺述》，頁 8b。

(5)

下了。其題數分佈以「勾股面積」的三十八題最多，其次為「勾股測量」六題，

「勾股容圓」、「勾股容方」所占題數較少，分別有一題、三題。

於「勾股面積」中，除論述與圖說並濟，梅沖也因解說所需兼錄了〈開方法〉、

〈開帶縱平方捷法〉、〈開帶縱和數法〉、〈圓積求徑法〉並舉例說明各法及使用時機；「開帶縱較數法」與「帶縱立方」兩法則直接提及並採用，未詳述方法。之後，梅沖讓讀者進入題數最少的「勾股容圓」與「勾股容方」，最終則以六個問題精闢地論述測量之術所使用的「用一表法」、「用二表法」與「用三表法」來舖陳其「勾股測量」。

另，〈勾股名目〉與〈勾股析綫〉中並無例題，亦不以數來說明，因梅沖認為：

學勾股者，先明立法之理，勿遽及其數；以理御法者，數不能外；以數湊數者，法不可通（甄鸞之注周髀為李淳風所譏四庫全書總目舉近代算書之失病皆在此）。

¹⁸

故其「於析線全不用數」，但有輔以 3 個小圖說明「各綫中兼具之數」。析面時則

「每標一法，即以圖明立法之原，數則或設、或不設庶幾」，

¹⁹

故於〈勾股面積〉、

〈勾股容方〉與〈勾股測量〉分別用了 28 張、1 張、5 張，總計 34 張的圖來說明各法之原。在圖形的部份，一般的「勾股圖多以甲乙丙丁為誌，而著其說於下」，梅沖則「意取簡約，即將名數詳註圖上，庶顯而易見」，亦即將說明置於圖下，

當然「其圖中不能盡者間仍舊例」。

²⁰

至於梅沖於〈勾股析面〉的寫作編排，一律先列公式並以圖說證明，然後輔以兩至三個問題為例進行解說，之後再以小結或下一段的引言來貫連前後文。在問題的陳述上，以「假如」提問，但全書四十八問中，僅十三問以「法以……」

為首，其餘均直接作答。此外，共出現一次「用法」、五次「又法」，其中，〈勾股面積〉出現一次「用法」，之後接續三次「又法」解題；而〈勾股容圓〉與〈勾股測量〉則各有三次「又法」。

18 引自梅沖，〈例言〉，《勾股淺述》，頁 10a-10b。

19 同上註，頁 10a-10b。

20 本段文字，主要引自梅沖，〈例言〉，《勾股淺述》，頁 10a。

(6)

筆者根據梅沖於「用法」中所引用《算法統宗》的六個問題，猜測「用法」

可能為今之「情境題或應用題」；「又法」則如梅沖於其《勾股淺述》〈例言〉所言：「勾股一題每有數法，專取直捷簡當者錄之，期致用之便，有不甚簡捷、曲暢旁通足使義蘊顯者，兼錄一二以盡其變。」為該問題的其他解法。

整體來說，梅沖《勾股淺述》的內容，恰如羅士琳《疇人傳續編》的評論：

「期便初學，無大精義，但於勾股中聊見一端耳」，

²¹

主要著墨於中國的勾股古法，由其「以惟淺乃可入深用」的想法，可知此書主在為初學勾股者提供一個學習方向，所以並未深入探究。對於全書的內容概要與體例結構大致知悉後，我們接著透析《勾股淺述》各主題的內容與《勾股舉隅》之較，來驗證《勾股淺述》

是否達成梅沖所預期「為習勾股者計耳，因重加訂正為家塾引蒙之一」的普及數學知識，與「以惟淺乃可入深，用誌學步先人之意云爾」之宣揚家學的書寫想法。

4.2 《勾股淺述》的內容分析

誠如 3.2.1 節所言，《勾股淺述》全書一卷，不分章、節，序文之後為〈例言〉、

〈勾股名目〉、正文部份則為〈勾股析綫〉、〈勾股析面〉二個主題。其中，〈勾股名目〉說明勾、股、弦三者間和較變化出的二十一個名目，可謂勾股學習者之入門知識，但〈勾股名目〉的內容僅介紹勾股基本名詞，故筆者僅以一小節作簡單的說明。梅沖於〈勾股析面〉開宗明義言

既知其綫，面可得而言矣。勾股之變化，全在面，曰方、曰冪、曰積、曰實，

同為面而已矣。綫所不能得乃乘之為面，而用巧取之術乘之為面者，除之仍歸於綫，而以某某為何方，以某除之為何綫，須一一明其所以然、知其數之確然不易，然後有以命算而得其所求。

²²

說明析綫為析面之基，並於〈勾股析面〉中為讀者將析綫、析面之用一一詳探。

本節的重點將置於〈勾股析綫〉的和較之變，以及集全書四十八問於一的〈勾股析面〉，後者無庸置疑是《勾股淺述》全書的重點，故將分置四小節之中。

22 同上註，頁 8b-9a。

(7)

4.2.1 〈勾股名目〉與〈勾股析綫〉內容分析 1. 〈勾股名目〉

在《勾股舉隅》的〈和較名義〉中，梅文鼎直接進行五和、五較與「勾較和、

勾較較、勾和和、勾和較」四者，合計十四個名目的說明，然後列出各名目之間的和較變化關係。相較之下，梅沖先以〈勾股名目〉為讀者簡介勾股專詞，再進入〈勾股析綫〉之正文。其書寫次序先給于「勾」、「股」、「弦」之定義，再論及其大、小關係，然後再實施於各種算法；由於勾股術為勾股章各術之源，因此置諸本章之首。

²³

此外，關於勾、股之異。明顧應祥於其《勾股筭術》之〈勾股論說〉曾言：

「勾股之法，橫曰勾，直曰股，斜之為弦」；程大位之《新編直指算法統宗》〈勾股章〉篇首亦言：「橫闊謂之勾、直長謂之股，兩隅斜去謂之弦。」

²⁴

梅沖則在其〈勾股名目〉亦以「勾」、「股」、「弦」三字開場，三字之下附一直角三角形及說明：「橫者為勾，直者為股，斜者為弦」，而於〈勾股析面〉中又言：「按曰勾、

曰股，亦無一定。以此為勾，則彼為股；以此為股，則彼為勾，理一、法一、不必拘拘分別也。」

²⁵

可知他對勾股形之「勾」、「股」、「弦」定義主要承前人習慣而論，且強調不必拘泥於「勾」、「股」二者長、短之別。

誠如第 4.1.2 小節所言，梅沖於〈勾股名目〉所列勾股名目，共二十一目。

筆者比較梅文鼎《勾股舉隅》與梅沖《勾股淺述》，發現前者直接於〈和較名義〉

中說明各名目之意義及其和較關係；而梅沖則先將〈勾股名目〉作簡單介紹後，

再於〈勾股析綫〉的「各綫中兼具之數」中，針對各名目間的和較關係作說明，

亦將梅沖將《勾股舉隅》之〈和較名義〉分隔為〈勾股名目〉與〈勾股析綫〉，

頗具引領讀者「由淺入深」之跡。

2. 〈勾股析綫〉

梅沖扼要的解說二十一名目的意義，更輔以簡圖一一辨析「各綫中兼具之數」，其編排格式較《勾股舉隅》來得清爽、明白。梅沖認為「一綫中每兼具數綫，知其所以離，乃知其所以合，此習勾股者之始事也」。因此，他在析綫部份，

23 參見劉鈍，〈劉徽在幾何學方面的成就〉收入吳文俊主編《中國數學史大系》第三卷，頁217。

24 本文所根據者為康熙丙申年重鐫，海陽率濵維新堂藏板。

25 引自梅沖，《勾股淺述》，頁 19b-20a。

(8)

總是一一辨析，希望學習可透過如此安排而益助勾股算術之上手。以「勾弦和較股弦較」為例，其圖如下：

弦和較

股弦較

弦句

股

圖 4.2.1 梅沖《勾股淺述》綫中每兼具數綫附圖其說明為：

如圖，前一根為弦，後一根下半截為股，上截為勾，合之則勾股和也。弦與勾股和比則勾股和為長，所多之數即弦和較也，而就下半截之股看之，又是弦比股長一截，所多之數即股弦較也，而弦和較、股弦較兩綫適當一勾，故謂勾為二數所合，股之為弦和較、勾弦較所合也亦然，下皆放此。

²⁶

亦即，勾中兼有弦和較與股弦較梅沖著實詳盡地說明各綫中兼具之數。最有意思的是，梅沖所提「異而同者共四項」，即 21 個名目中有四者名目雖異，然實同矣，他為讀者所做詳盡說明如下：

勾和和、股和和，即弦和和

同是勾股弦三者總數

勾和較、股較和，即弦較和

弦較和是一弦、一勾股較；而勾和較是股弦和中少一勾，

亦一弦、一勾股較；股較和是一股、一勾弦較分句弦較之股弦較，加股得一弦，餘一勾股較，故三者之數竝同。

股和較、勾較和，即弦較較

弦較較是一勾一股弦較；而股和較是勾弦和中去一股，

餘一勾、一股弦較；勾較和是一句、一股弦較，故三者同一數也。

勾較較、股較較，即弦和較

弦和較是勾中少股弦較，股中少勾弦較；而勾較較是勾中去股弦較；股較較是股中去勾弦較，故三者如一。²⁷

26 同上註。

(9)

梅沖希望透過他清楚的整理，學習者可以「知其所以分矣，知其所以分，

便知其所以合。」

²⁸

也因「異而同者共四項」，讓弦和較與勾較較、弦較較與勾較和、弦較和與句和較合併為三類，故析綫後半段「畧取數項相加相減，以觀其分合之變而一一疏解之」的內容可大分為六類，共 58 條公式，較《勾股舉隅》

78 種和較關係來得有系統，詳見附錄二與附錄三。

綜觀梅沖於〈勾股析綫〉所列之諸條式，正如其〈例言〉所言：「勾股中，

股弦較、勾弦較之用最多，其他和較相求似有具其法而無所用者，算書或不備及，

今皆為纂錄，雖未必盡和較之變，已庶資五花八門之觀。」

²⁹

他將其所見勾股和較相求的多樣變化，豐富的呈現於文本中，反覆說理。不僅為和較關係做分類整理，更為讀者於每一條式之下，加註文字說明以詳明各和較關係，其用心所為都是希望學習者能在其整理中熟悉和較的各式變化，進而益助其勾股算法之上手。

於〈勾股析綫〉文末，梅沖指出「惟按綫之分合，錯綜亦難盡列，茲大畧舉之……蓋勾股之算，乘除開方後必歸於此，而後為得數，以下每題皆然。蓋惟數定於前，故百變而仍遇其故，不逐解於後而立說於前，以此為數之所始也。」

³⁰

這一結尾呼應其〈例言〉所言：「學勾股者，先明立法之理，勿遽及其數；以理御法者，數不能外；以數湊數者，法不可通」，再次強調「析綫全不用數」的想法。

4.2.2 〈勾股析面〉之「勾股面積」

正因「析面」，故以「勾股面積」為始，先列勾股積公式「勾股相乘折半得面或勾折半與股相乘亦得」，接以兩個例子分別說明勾股求弦、勾股積與勾求股。然後，正式進入勾股定理，以「弦實兼勾實股實。凡弦方內勾實即為股實；

去股實即為勾實，合勾實股實斯為弦實」開場，再詳列

c= a²+b²

、

2

2 a

c

b= −

、

a= c² −b²

三個公式（其中 a、b、c 分別為直角三角形的勾、股、

弦），隨後為一幅勾股數為（3，4，5）的「弦實兼勾實股實圖」，其圖如下：

28 本段引文主要引自梅沖，《勾股淺述》，5a。

29 同上註，頁 5a。

(10)

其說明為：

以弦自乘加五五二十五是為弦實，其中適兼有勾實、股實之數。如圖，勾實九、股實十六，合二十五，正弦五自乘之實也。

³¹

梅沖於此，並未進一步證明，僅給出上述說明。然而，《勾股淺述》的主要參考書籍《勾股舉隅》則是以兩幅「弦實兼勾實股實圖」來證明勾股定理：

(1) 「弦實兼勾實股實圖」

³²

丙

丁甲

乙

巳

壬

庚辛

子丑

戊

癸寅

圖 4.2.3 《勾股舉隅》弦實兼勾實股實圖

32 此處梅文鼎《勾股舉隅》書中之兩幅「弦實兼勾實股實」，為黃清揚學長參考文本所繪之圖，

承蒙其大方提供給筆者。

股

實勾實

圖 4.2.2 梅沖《勾股淺述》

弦實兼勾實股實圖

(11)

其說明為：

甲乙丙勾股形，甲乙為勾、甲丙為股、丙乙為弦。甲寅方為勾實，丙巳方為股實，丙庚方為弦實。丙庚弦實內，兼有甲寅勾實、丙巳股實。

³³

梅文鼎給出的證明如下：

試自弦方之乙角作乙子線與甲丙股平行而等。又自丙角作丙丁線，與甲乙勾平行而與甲丙股等。又自辛角作辛癸線與甲丙股平行。自庚作庚戊線與甲乙勾平行。而皆與甲丙股等。則丙子、辛丁、癸庚、戊乙四線。必皆與甲乙勾等。而成乙子丙、丙丁辛、辛癸庚、庚戊乙四勾股形于弦實內，皆與原設之甲乙丙形等。於是移丙丁辛形於乙壬庚位，移辛癸庚形於甲乙丙位。則丙庚大方變成甲丙丁癸庚壬磬折形。末從癸巳截之，成大小二方形。則丙巳大方即股實，癸壬小方即勾實，是一弦實分為勾股二實也。

若先以丙已股實，癸壬勾實，聯為磬形，而移乙壬庚勾股形於丙丁辛之位，

移甲乙丙勾股形於癸辛庚之位，即復成丙已弦實矣。

³⁴

(2) 「又圖」

丙丑乙

庚戊

子壬

丁辛

甲寅癸卯

巳

圖 4.2.4 《勾股舉隅》弦實兼勾實股實(又)圖其說明為：

33 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 3b。

34 同上註。

(12)

甲乙丙勾股形，乙丙弦，其冪

即實也

。戊乙丙丁，甲丙股，其冪甲壬辛丙。

甲乙勾，其冪乙庚癸甲。

證明如下：

論曰：從甲角作已甲五（應作：丑）

與乙丙弦成十字。

分弦冪為大小兩長方，

一為子丙大長方，準股冪；一為戊丑小長方，準勾冪。試移甲丑丙勾股形補已子丁虛形，又移已壬甲勾股形補丁丙辛虛形，則子丙大長方即移為甲辛股冪。次移甲丑乙勾股形補已子戊虛形，再移已戊卯勾股形補戊癸寅虛形。末移戊卯甲癸形補癸寅乙庚虛形，則戊丑小長方即移為庚甲勾冪矣。

³⁵

這兩個勾股定理的證明是梅文鼎《勾股舉隅》最主要的成就之一，其論說的根據是出入相補原理，從現有材料來看，這是在第三世紀劉徽和趙爽之後，中國數學家用此原理證明勾股定理的最早文獻。

³⁶

既是如此，身為梅氏之後「稟承家學」

的梅沖為何以《勾股舉隅》為本而詳明之，卻不將此主要成就置於其《勾股淺述》

中呢？究竟是因為梅沖已「於詩古文詞皆高出時輩，尤肆力於制藝，曾撰離騷經解一書行世」的制藝精湛，

³⁷

所以在算術方面無大成就？或是因其對撰寫該書目的「為習勾股者計耳」的堅持，強調由淺入深，故刻意避開繁雜證明？真正原因實不可考！若是後者，則梅沖之堅持對初習勾股者而言，的確體貼；若為前者，

以其「淺乃可入深，用誌學步先人之意云爾」的精神，雖能力不足，也無損其意欲宣揚家學之真摯。

在「弦實兼勾實股實圖」之後為勾股算術的討論，梅沖所列之互求問題主要可分為五大類，合計 21 種問題，如下表：

³⁸

35 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 4b-5a。

36 參見，劉鈍，〈《勾股舉隅》、《幾何通解》提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》

數學卷四，頁431。

38 本表之整理方式，延續黃清揚於其〈中國 1368-1806 年間的勾股術發展之研究〉中，對勾股互求的整理格式。

(13)

表 4.2.1 梅沖《勾股淺述》所列之勾股互求問題

類別

編號已知

題

數題目中出現之勾股數

1 a、b* 4

(6，8，10)、(8，15，17)、(16，30，34) (20，21，29)

Ⅰ

2 a、 c* 2

(8，15，17)、(40，30，50)

3

a、 (c−b

) 5

(16，30，34)、(9，12，15)、(8，15，17) (6，8，10)、(27，36，45)

4

a、 (c+b

) 2

(3, 4.55, 5.45)、(3，4，5)

5

b、 (c

+ )

a

2

(10，24，30)、(8，15，17)

6

b、 (c−a

) 2

(0.5，1.2，1.3)、(8，15、17)

7

c、(b−a

) 2

(27，36，45)

8

c、(b+a

) 1

(8, 15, 17)

9 (

c−a

)、(

c

+ ) 2

a (0.5，1.2，1.3)

10* (

c

+ )、(

a c+b

) 1

^{(8，15，17)}

Ⅱ

11* (

c−a

)、(

c−b

) 3

(12，16，20)、(8，15，17)、(6，8，10)

12* [ (

b

+ )

a

+

c

]、(

b−a

) 1

(12，16，20)

Ⅲ 13* [ (

b

+ )

a

−

c

]、(

b−a

) 1

(12，16，20)

14

ab、(b−a

) 1

^{(8，15，17)}

15 ab、(*

^b⁺^a

) 1

(8, 15, 17)

16

ab、(c−a

) 1

^{(5，12，13)}

17

ab、(c

+ )

a

1

^{(5，12，13)}

Ⅳ

18 ab、c* 1

(8, 15, 17)

19 ab、[*

c

− (

b

−

a

) ] 1

(10，24，26)

20 ab、[*

c

+ (

b

+

a

) ] 2

(10，24，26)

Ⅴ

21 ab、[*

c

− (

b

+

a

) ] 1

(10，24，26)

按：加註 * 者，為《勾股舉隅》中亦有討論之互求問題。據筆者比較《勾股舉隅》與《勾股淺述》互求問題，前者僅「已知ab、c+b−a，求諸數」未被後者引用。

梅沖《勾股淺述》勾股互求的內文安排，類似於《數理精蘊》將「勾股弦和較相求」與「勾股積與和較相求」分置兩卷，梅沖先討論「勾實、股實、股弦和較、

勾弦和較」的算法，再循序漸進至「弦方、勾股和方與四因積之用」，至於《勾

股舉隅》中則無「勾實、股實、股弦較實」之算。此外，《數理精蘊》論述大多

兼採西法，梅沖則僅以古法，利用「出入相補原理」為論說依據貫穿全書，並兼

錄多種方法。筆者將於接下來的部份，分別就「勾實、股實、股弦和較、勾弦和

較」與「弦方、勾股和方與四因積之用」分析之。

(14)

首先是《勾股舉隅》所缺「勾實、股實、股弦和較、勾弦和較」之算，筆者發現梅沖於寫書時，總是企圖讓讀者或學習者對於各個互求關係的印象更為清晰，故細心地整理，詳列各法。以「勾實、股弦和較」為例，梅沖首列公式：

股弦較乘股弦和為勾實，是故勾自乘以股弦較除之得股弦和，以股弦和除之得股弦較。

c-b

b²

c-b b 圖 4.2.5a

c-b b

_c-b

圖 4.2.5b

b b

c-b

c c

c+b

圖 4.2.5 《勾股淺述》「勾實、股弦和較」例題附圖然後輔以圖形並證明，如圖 4.2.5a，證明為：

弦方內去股方，餘皆勾實却，

³⁹

即是股弦較乘股弦和之實，如圖大方為弦冪，

股方外皆勾實也，其長為股弦和，其闊為股弦較，故勾實為二數所乘之實，

以其闊者除之得長，以其長者除之得闊也。

⁴⁰

亦即，由於

a²

=

c²

−

b²

= (

c

+

b

)(

c

−

b

) ，故得圖 4.2.4b，

) ) (

(

2

b c b a

c

+ = − 、

) ) (

(

²

b c b a

c

− = + 。之後，緊接一例，說明上述公式之算：

假如勾十六尺，股弦較四尺，求諸數。

39 按：此字文本上為“却＂，應為今之“部＂。

(15)

勾自乘得二百五十六，以股弦較四除之得六十四，為股弦和；以加股弦較得六十八折半得三十四，為弦。弦內減股弦較四，三十尺，為股。

除了此法，梅沖另列兩個「又法」三個公式，整理如下：

⁴¹

《勾股淺述》原文圖與證例題演算法

勾自乘，股弦較自乘相減，倍較除餘實得股

弦方

股方股乘較股弦較方

較乘股

假如勾二十七，股

弦較九，求股弦

²⁽ ⁾ )

( ²

2

b c

b c b a

−

= −

股弦和自乘并勾實倍和為法除之得弦

弦方弦方股弦相乘股弦

假如股弦和九，句

三，求弦。

²⁽ ⁺ ⁾ + ) +

=(

2 2

b c

a b c c

股弦和自乘，以勾實減之，倍和為法除之得股

股方股方股弦相乘二長方

無例題

⁽ ₂₍ ⁾ ₎

2 2

b c

a b b c

+

−

= +

整體而言，梅沖以此書寫格式貫穿其全書，且以一題一法為主。或許因為考慮此書撰寫的訴求是為習勾股者自修或私塾引蒙所用，故其所謂：「每有數法，

專取直捷簡當者錄之，期致用之便，有不甚簡捷、曲暢旁通足使義蘊顯者，兼錄一二以盡其變」。

⁴²

梅沖對於其它的解法以「又法」處理，主要用意應是為讓讀者或學習者熟稔箇中的變化，以期能更加貫通和較之算，以助爾後深入時較易。

有關梅沖所列「勾實、股實、股弦和較、勾弦和較」之內容整理，詳見附錄四。

41 本表圖形為筆者參考梅沖《勾股淺述》書中之圖，自行繪製。

(16)

在「勾實、股實、股弦和較、勾弦和較」的討論之後，以「算法統宗詳勾股之用，為他書所少，而於立法意鮮所發明，又排次雜亂，殊難尋繹。茲於一法先明其理，乃以用依次附後較為明白。」

⁴³

故雜取《算法統宗》六個算題列為「用法」，分別為「引葭赴岸」、「引索去木」、「引簾離閾」、「圓木求徑」、「圓木求鋸道」、「折竹」（詳見附錄六）。引用《算法統宗》的作法可能為當時著述的一種流行，但所列六題屬情境題，也算是為讀者架起理論與實際間的連結橋樑。

之後為〈勾股析面〉的最後一部份－「弦方、勾股和方與四因積之用」，內容整理可參見附錄五，他主要參考《勾股舉隅》全書所列之十三個勾股互求問題：

表 4.2.2 《勾股舉隅》勾股互求問題編號問題

1 勾股求弦 2 勾弦求股

3 勾股積與弦求勾股 4 勾股積與勾股和求勾股 5 勾股積與弦較較求諸數 6 勾股積與弦較和求諸數

^*

7 勾股積與弦和較求諸數 8 勾股積與弦和和求諸數 9 勾股和股弦和求諸數 10 勾弦較股弦較求諸數 11 勾股較弦和和求諸數 12 勾股較弦和較求諸數 13 弦與勾股和求勾股用量法

其中，《勾股舉隅》中勾股求弦、勾股求股兩問題，梅沖置於〈勾股析面〉最開頭處作為勾股定理之例；弦與勾股和求勾股用量法，則置於卷終，以見西法所由出。另，勾股積弦較和求諸數一題未見於《勾股淺述》，但因勾股積、弦較較以及勾股積、弦較和實為同一類，略去其一，應不致影響讀者學習。梅沖將《勾股舉隅》上表中的十三問題，整理為十四條公式，筆者整理如下：

43 同上註，頁 11a-11b。

(17)

表 4.2.3 梅沖《勾股淺述》所列勾股互求公式編

號《勾股淺述》原文算題已知條件 1

^*

弦方內有四勾股積一勾股較積

^ab

、

c

2

^*

弦實減勾股較實餘數折半，以較為縱，用帶縱開之得勾股

c

、 (

b

−

a

)

ab

、 (

b

−

a

) 3

^*

勾股和方內有八句股積一勾股較積

^ab

、 (

b

+

a

)

4 弦實與勾股和實相減，再相減，餘為勾股較實

^c

、 (

b

+

a

) 5 弦實減勾股較實復加弦實為勾股和實

^c

、 (

b

−

a

) 6 倍弦實減勾股和實得勾股較實，若減較實亦得和實無例題 7

^*

四因積又為弦較較乘弦較和之積，是故積四因以弦

較較除之得弦較和；弦較和除之亦得弦較較

^ab

、 [

c

− (

b

−

a

)]

8

^*

四因積在弦方內，為弦較較乘弦較和之積；

在弦方外，為弦和較乘弦和和之積

^ab

、 [

c

+ (

b

+

a

)]

9 弦和和積減四因積餘數折半弦和和除之得弦所給例題同上 10

^*

弦和較積減四因積餘數折半弦和較除之得弦

^ab

、 [(

b

+

a

) −

c

] 11

^*

勾弦和、股弦和相乘，倍之開方得弦和和 (

c

+ 、

a

) (

c

+

b

) 12

^*

弦和和積折半用勾股較帶縱開之得勾弦和及股弦和 (

b

− 、

a

) [

c

+ (

b

+

a

)]

13

^*

勾弦較股弦較相乘倍之開方得弦和較 (

c

−

a

) 、 (

c

−

b

) 14

^*

弦和較積折半用勾股較帶縱開之得股弦較及勾弦較 (

b

− 、

a

) [(

b

+

a

) −

c

] 按：加註 * 者，為《勾股舉隅》中曾討論之互求問題。

梅沖處理上述公式證明的方式，與其高祖父梅文鼎相同，仍以「出入相補原

理」為論說依據，不同的是，內容編排的次序恰好相反。以「勾股積與勾股和求

諸數」為例：

(18)

《勾股舉隅》原文《勾股淺述》原文假如勾股積三十，勾股和十七，求勾股

法以勾股積三十尺八因之，得二百四十尺；勾股和十七尺自之，得二百八十九尺，內減八勾股積，餘四十九尺為實，

平方開之得七尺為勾股較。以較減和，

餘十尺。半之，得五尺為勾。以較加和得二十四尺，半之得二十尺為股。

乙甲

丁丙

壬己

癸辛

論曰：勾股和自乘方內，有勾股積八，

勾股較積一。如圖，甲丙丁乙為勾股和自乘方，內容八勾股積，一已辛癸壬小方形為勾股較積，故於和內減八勾股積，餘數開方得勾股較也。

⁴⁴

勾股和方內有八句股積，一勾股較積。

勾股較積

勾股和方內，一方弦方也，內四勾股積，外亦四勾股積，中一勾股較積，故勾股和自乘減八因積，餘數開方得勾股較。

假如勾股積三十，勾股和十七，求勾股法以積三十，八因之得二百四十尺，勾股和自乘得二百八十九尺，相減餘四十九，開方得七為勾股較。以較加和得二十四，折半得十二為股，減較七得五為勾。

⁴⁵

兩者問題之附圖相同，演算法亦同為

² ) ( )² 2

(1 8 )

(b+a = ab + b−a

，但梅文鼎所附勾股圖「多以甲乙丙丁為誌而著其說於下」，梅沖則「意取簡約，即將名數詳註圖上，庶顯而易見」。

⁴⁶

對於學習順序的安排，《勾股舉隅》的學習安排先以

「假如」列題、再列「法」解題、末了才是「論曰」的解說。梅沖則先列公式，

其次輔圖與證明，最後才以例子解說的學習安排，可說是先知其然、再知其所以然、方知其用的學習步驟，較適合關係式理解型的學習者。

44 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 6。

46 同上註。

(19)

梅沖又增加 (

b−a

)

²=(b+a)²−2c²

、 (

b+a

)

²=2c²−

(

b−a

)

²

、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

² ²

)

²

2 2

2

2 2

a b c a

b

a b c a

b

−

= +

+

−

=

−

三式及相關例題，其中第三者為前兩者之總結，梅沖的目的仍在為讀者與學習者反覆提醒，詳述弦實與勾股和方、勾股較方三者間的關係。梅沖提及：「幾何通解曰，較冪併和冪，倍大於勾冪、股冪之併，即謂此也」。

⁴⁷

故筆者追溯至梅文鼎《幾何通解》「解幾何二卷第九題」之證明：

《幾何通解》「解幾何二卷第九題」原文

今之算式

辛戊壬

癸子

甲丙

庚已

丁丑

乙

H E I

J L

A C

G F

D K

B

甲丙為股，丁丙為句，丁甲為句股和，

乙丁句股較；壬庚為句冪，辛丙為股冪，丑丁較冪，丁癸和冪。戊已線上方為句冪之倍，戊甲線上方為股冪之倍。

以AC =b，CD =a，_AD₌_b₊_a，BD=b−a 四邊形IEFG=a²，HACE=b²

四邊形KFDB=

(

b

−

a

)

²，DAJL=

(

b

+

a

)

²

以EF為一邊所作正方形面積=

2a

²

以EA為一邊所作正方形面積=

2b

²

論曰：

已丁較上方，與丁甲和上方併之，即已甲上方也；戊已線上方，與戊甲線上方併，亦即已甲上方也。而戊已為句冪斜線，戊甲為股冪斜線。凡斜線上方形倍於原方，故較冪併和冪，亦倍大於句冪股冪之併也；而句股冪併之即弦。古人所以用倍弦冪也。

⁴⁸

2 2

2+DA =FA

FD ……○¹

2 2

2+EA =FA

EF ……○²

EF為正方形面積為a²之對角線，

EA 為正方形面積為b²之對角線，

∵以對角線為一邊所作方形積為原方形的 2 倍

∴由○¹、○²知：FD²+DA²=EF²+EA² 即(b−a)²+(b+a)² =2a²+2b²

又a²+b² =c²，故(b−a)²+(b+a)² =2c²

47 同上註，頁 23a。

48 引自梅文鼎，《幾何通解》，收入郭書春編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，頁448。

(20)

同樣的，梅文鼎於此證明之末了，亦言：「古法倍弦冪內減句股和冪開方得較，若減較冪亦開方得和。」

⁴⁹

所謂「古法」，最早可追究至《周髀算經》之趙爽〈勾股方圓圖注〉，其圖、說亦附如下：

朱實中黃實

圖 4.2.6 《周髀算經》之趙爽〈勾股方圓圖〉

倍弦實減句股差實，見併實者，以圖考之；倍弦實滿大方而多黃實。黃實之多，即句股差實。以差實減之，開其餘，得外大方。大方之面，即句股併也。

^○¹

令併自乘，倍弦實乃減之，開其餘，得中黃方；黃方之面即句股差。

○²50

○¹

黃實即 (

b

−

a

)

²

，外大方即 (

b

+

a

)

²

，如上圖，外大方 (

b

+

a

)

²

成有一個

c 及² c²

去掉黃方 (

b

−

a

)

²

之和，換言之，

2 2

2

2 ( )

)

(

b

+

a

=

c

−

b

−

a ⁵¹

故，外大方邊長

b

+

a

= 2

c²

− (

b

−

a

)

²

○²同樣，黃方邊長b

−

a

= 2

c²

− (

b

+

a

)

² ⁵²

綜觀上述證明，可見梅沖則以「句股和方內有八句股積一勾股較積」的關係循序漸進地推廣至 (

b−a

)

² =

( ) (

2c ² − b+a

)

²

與 (

b

+

a

) ( ) (

²

= 2

c ²

−

b

−

a

)

²

，其法與古法極為接近。這又呼應了梅沖於其〈例言〉所言：「西人連比例三率及中垂綫、大分、小分與理分中末綫諸說，理不異勾股，而又別成一解。若兼采之，

自足暢此中奧蘊，而為語甚繁，是書期便初學祇明古法。」亦即其成書之思維僅在為學習者明勾股古法之說。

49 引自梅文鼎，《幾何通解》，收入郭書春編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，頁448。

50 參見郭書春，〈《周髀算經》及趙爽註〉，收入李文林主編《數學珍寶－歷史文獻精選》，頁28-29。

51 同上註。

52 同上註。

(21)

至於梅沖所列之公式 7-10 中，公式 7 為梅文鼎評價甚高的公式：

[c－(b+a)][ ( )] [( ) ][( ) ] 4( ) 2

c

+ +

b a

=

b

+ −

a c b

+ + =

a c ab

梅文鼎認為此式「乃立之根也。而其理皆具古圖中，學者所宜深玩。」

⁵³

這裡的

「古圖」指的即是趙爽注《周髀算經中》之「勾股圓方圖」（見圖 4.2.5），對此式的證明也是利用此圖來完成的。

⁵⁴

此外，根據黃清揚於〈中國 1368-1806 年間的勾股術發展之研究〉中，對勾股互求的整理中，可知梅文鼎對其中的六種問題首度作了討論，按其書中順序分別為：

1 已知勾股積、弦較較求諸數 2 已知勾股積、弦較和求諸數 3 已知勾股積、弦和較求諸數 4 已知勾股積、弦和和求諸數 5 已知勾股較、弦和和求諸數 6 已知勾股較、弦和較求諸數

由書中所給算法來分析，勾股積、弦較較以及勾股積、弦較和可分為一類，

勾股積、弦和和及勾股積、弦和較為一類，勾股較、弦和和及勾股較、弦和較則為另一類。

⁵⁵

誠如前面所言，除了「已知勾股積、弦較和求諸數」，梅沖於另五種問題都有擷錄。以下先就《勾股淺述》之主要參考書籍《勾股舉隅》論析之。

梅文鼎於其《勾股舉隅》所提四種類型的公式（即上表 1-4）中，主要運用用「出入相補法」進行了證明。以「勾股積、弦較較」為例，梅文鼎先列算題：

「假如勾股積一百二十，弦較較十二。」然後分別給出了四種算法及證明。

53 引自梅文鼎，《勾股舉隅》，頁 13a。

54 參見黃清揚，《1368-1806 年間的勾股術發展之研究》，頁 65。

55 同上註。

(22)

第一種證明為：

⁵⁶

論曰：丁甲乙丙合形為弦自乘大方幂，甲小方為勾股較幂。弦幂內減勾股較幂，所餘丁乙丙磬折形，原與四勾股積等。於中又減去乙小方為弦較較自乘幂。仍餘丁丙二長方，并以勾股較為其長，以弦較較為其濶。故折半而用其一為實，以弦較較為法，除之而得勾股較也。

⁵⁷

乙

丙

c-(b-a)

甲丁

b-a (b-a)

c-(b-a)

圖 4.2.7a 梅文鼎《勾股舉隅》「勾股積、弦較較」附圖

如圖 4.2.7a，由於

²

( )

²

4( ) 2

c

− −

b a

=

ab

，丙的面積=丁的面積= (

b a c

− )[ − − (

b a

)]

。所以，

b a

a b c

a b c ab

−

− =

−

) ( 2

)]

( [ ) (

4

²

接下來，第二個證明為：

論曰：乙丙丁折磬形，原與四勾股積等。今加一小方形巳，為弦較較自乘幂，

與乙等。又丁丙二長方原相等。於是合丁巳為一長方，合乙丙為一長方，必相等矣。故折半而用其一為實，以弦較較為法，除之，即得弦矣。

⁵⁸

56 本段內容主要參考黃清揚，《1368-1806 年間的勾股術發展之研究》，頁 65-67；其中，圖 4.2.3 與圖4.2.4 應感謝清揚學長的提供。

(23)

丁巳乙

丙

c-(b-a) b-a b-a

c-(b-a)

圖 4.2.7b 梅文鼎《勾股舉隅》「勾股積、弦較較」附圖

如圖 4.2.7b，在乙丁丙折磬形旁，加上一與乙的面積相等的巳小方形，則乙+丙=

丁+巳= [

c c

− − (

b a

)] ，所以，

c a

b c

a b c ab

− =

−

) (

2 )]

( [ ) (

4

²

。

第三個證明為：

於前圖乙丙丁折磬形。移丁長方置於戊，為乙丙戊長方。其長如弦較和，其濶如弦較較。故以弦較較除之，而得弦較和。

⁵⁹

丁乙

丙

戊 c-(b-a)

(b-a)

(b-a) c+(b-a)

c-(b-a)

圖 4.2.7c 梅文鼎《勾股舉隅》勾股積、弦較較附圖

(24)

如圖 4.2.7c，即將乙丙丁折磬形的丁移到丙之下方，成為一個以 c+(b－a)為濶，

c+(b+a)為長的乙丙戊長方。所以，

4( )

2 ( )

( )

ab

c b a

c b a = + +

− −

。

第四個為「簡法」：

論曰：長方形闊十二如弦較較，長四十如弦較和，其積如四勾股。今只用一勾股積，是四之一也，積四之一者，其邊必半，觀圖自明。

⁶⁰

半較六勾股積一百二十

半和二十

圖 4.2.7d 梅文鼎《勾股舉隅》「勾股積、弦較較」附圖

則是依第三個方法而來，其算式為

² ¹_[ ₍ _)]

1[ ( )] 2

2 ab

c b a c b a

= + −

− −

。

至於梅沖於「勾股積、弦較較」中所列算題同為：「假如勾股積一百二十，

弦較較十二。」但梅沖僅給出了一種算法及證明：

(25)

弦方弦較較

較較弦

以較加弦是弦較和其闊則

皆弦較較

c-(b-a)

(b-a)

c-(b-a) (b-a)

勾股較方

c c-(b-a)

(b-a) 弦較較較較弦較股勾

c+(b-a) 較較弦較股勾

圖4.2.8a 圖4.2.8b

圖 4.2.8 梅沖《勾股淺述》「勾股積、弦較較」附圖其證明：

弦去勾股較為弦較較

說見前析綫中

，而弦方減去勾股較方即四因積也，其闊即弦較較，其長即弦較和，故以較除之得和；以和除之得股。

⁶¹

圖 4.2.8a 中，以弦方減去勾股較方，然後以「出入相補法」補成矩形，如圖 4.2.8b，

得

c²

− (

b

−

a

)

²

= [

c

− (

b

−

a

)][

c

+ (

b

−

a

)] 。又以其於「弦方、勾股和方與四因積之用」所提的第一個公式「弦方內有四勾股積一勾股較積。」故可推得

2 ) ( 4 )]

( )][

( [ )

(

²

2 ab

a b c a b c a

b

c

− − = − − + − = ，亦即所補成之矩形長、

闊分別為 ( )

2 ) ( 4 )

(

c b a

ab a

b

c

+ − = − − _、

) (

2 ) ( 4 )

(

c b a

ab a

b

c

− − = + − _。 _{梅沖的證明}

與《勾股舉隅》所列之第三個證明雷同，同樣以 )

( 2 4 )]

( )][

(

[

ab

a b c a b

c

− − + + =

為論證之主軸。不同之處在於梅文鼎證至

b a a

b c

a b c ab

−

− =

−

) ( 2

)]

( [ ) (

4

²

，而梅沖則在證（表 4.2.3）之公式 7，故僅證至「四因積又為弦較較乘弦較和之積，是故積四因，以弦較較除之，較和弦、弦較和除之亦得弦較較。」

(26)

除了上述證明之外，梅沖於「又法」再擷錄《勾股舉隅》的第一個算法與證明，以「勾股積、弦較和」為例，其圖、證如下：

勾股和方

(b+a)-c

弦方

弦和較

乘

弦二長

方

弦和較方

弦較和弦 c

(b+a)-c c

弦 c (b+a)-c

弦和較

乘

弦二長

方

(b+a)-c

圖 4.2.9a 圖 4.2.9b 圖 4.2.9 梅沖《勾股淺述》「勾股積、弦較和」附圖

勾股和方內一弦方、一弦和較方，餘兩長方，則皆弦和較乘弦之積也，其長即弦，其闊即弦和較，故勾股和積內減去弦積，又減去較積，餘數折半則如一長方，較除之得弦。

⁶²

由圖 4.2.9a 可知： (

b

+

a

)

²

=

c²

+ [(

b

+

a

) −

c

]

²

+ 2

c

[(

b

+

a

) −

c

] ，進一步整理可得：

] ) [(

2 ] ) [(

)

(

b

+

a ²

−

c²

−

b

+

a

−

c ²

=

c b

+

a

−

c

，又勾股和與弦之差為四勾股積，即

] ) [(

2 ] ) [(

2 ) (

4

ab

−

b

+

a

−

c ²

=

c b

+

a

−

c

，故

] ) [(

2

2 ) ( 4 ] )

[( ²

c a b

c ab a b

c + −

−

= +

，即「弦和較積

減四因積餘數折半弦和較除之得弦。」梅沖此處證明大致上與梅文鼎的第一種證法雷同，同樣利用 (

b

+

a

)

² c²

= 4 (

a

ab

)或

²

( )

²

4( ) 2

c

− −

b a

=

ab

，將弦和較或弦較較轉換為四因積，再進行整理。

梅沖上述公式的證明，均沿習梅文鼎的作法，利用了「出入相補原理」處理之。而梅文鼎《勾股舉隅》中，

⁶³

對於六個問題（見表 4.1）的證明中除了使用

63 本段內容主要參考黃清揚，《1368-1806 年間的勾股術發展之研究》，頁 67。

(27)

出入相補之外，還用了帶縱開方，如勾股較，弦和和與問勾股較，弦和較二題。

以「勾股較，弦和和」為例：

弦和和自乘方內有勾、股、弦各自乘之方一，而勾方、股方併之與弦方等，

是為弦方者二。又股乘弦、勾乘弦、勾乘股之長方各二。今各用其一而合成甲乙丙丁長方形，其濶為勾弦和，其長為股弦和，其長多於濶之數即勾股較也。

⁶⁴

a2

ab

ab ac

bc ac

bc

b

²

c

2

a+b+c

乙甲

丁丙

c b

c

a

圖 4.2.10b 圖 4.2.10a

圖 4.2.10 梅文鼎《勾股舉隅》「勾股積、弦和和」附圖

如圖 4.2.10a 中，正方形即弦和和自乘方，利用

a²

+

b²

= 將勾方與股方相和為

c²

弦方，則弦和和自乘方= 2(

c²

+

ab bc

+ +

ac

) 。取

c²

+

ab bc

+ +

ac

則可形成如圖 4.2.10b 的甲乙丙丁長方形，長為

b+c

，濶為

a

+ ，長濶差為

c b−a

，用帶縱開方即可求解。

梅沖於此使用的方法亦為帶縱開方，然未詳加證明，只利用帶縱開方解「假如弦和和四十，勾股較七尺，求諸數」並解說。對於「帶縱平方」，則因「勾股兼有諸算術加減乘除人所盡曉，茲不具論，平方及帶縱方并一二帶用他術者，附本載其法庶使本數可稽。」

⁶⁵

故於公式 1.（見表 4.2.3 梅沖《勾股淺述》所列勾股互求公式）之後，增加「附開帶縱平方捷法」，為讀者或學習作補充。

(28)

在〈勾股析面〉的最後，梅沖附上《算法統宗》難題四則－「馬吃圓田」、「圓池中釣」、「葛生繞木」、「長竿豎進」，均為「勾股求弦」題，梅沖提醒學習者：「同一勾股之法而所以用之者不一，所設之題多近於戲，正留心此事者所不廢也。」

66

難題之前，置兩題「開帶縱立方」求解的問題，筆者於此擇其一於下：

勾股積二百一十，勾弦和四十九

置積倍之得四百二十，自乘得十七萬六千四百，以勾弦和四十九除之得三千六百，為扁立方積

^{以勾自乘為底以}半勾弦較為高

，乃以勾弦和四十九折半得二十尺，為扁立

方高與長之共數，用帶縱相同和數立法開之，得長二十尺五尺

^闊_同

為勾，以勾除倍積得二十一為股，以勾減和餘二十九為弦。

⁶⁷

若將勾股積記為

A ab

2 = 1 、勾為

a

、股為

b

、弦為

c

，則可將已知 A，

c +a

，求

b

的問題轉化為開帶縱立方問題，即將 ( ) (

c a

)

A

+ 2

2

²

視為扁立方體的體積，可得：

( ) ( ) ( )

( )( ) = − = ( + ) ₌ _×

− +

= − +

2 2

2 2 3 2 2 2

2 2

2

a c a a

b b a c b a a c a c

a c b a a c

A

(

2 +

c

+

a

)。最後再用帶兩縱相同和數開立方法解

x (² c

+

a

−

x

2 ) ( ) (

c a

)

A + 2

= 2

2

，可得扁方體之高，亦即勾

b

。

此二題與其梅瑴成《赤水遺珍》，所提「有句股積，有股弦和，求諸數」問題相同，相較於《御製數理精蘊》下編卷二十四最後的「附勾股法四條」的積求勾股」問題，僅數字不同。然《御製數理精蘊》中，對於解題原由附了詳細說明：

68

66 引自梅沖，《勾股淺述》，頁 39b。

67 同上註，頁 37a-37b。

68 下表之圖文引自《御製數理精蘊》卷二十四，頁 69a-70b，圖為筆者參考文本繪製成而成。

第 4 章 《勾股淺述》內容及分析