首數與尾數的應用

1.5850

已 知 log 2 0.3010 ， log 3 0.4771 ， 試 求 log1 log 2 log 3 log 4 log5    之值。

log1 log 2 log 3 log 4 log5   

2 10

log1 log 2 log 3 log 2 log

     2

0 0.3010 0.4771 2 0.3010

    

(1 0.3010)

  2.0791



重點二 首數與尾數

1. 首數與尾數

設_x0，若logx n  ，其中 n為整數， 為正的純小數或 0，即0  1，則_n稱為logx 的首數， 稱為 log x 的尾數。

(1)log 200 log(2 10 ) log 2 log10  ²   ² 0.3010 2 2.3010  ， 故首數為2，尾數為 0.3010。

(2)log 0.002 log(2 10 ) log 2 log10  ^3   ^30.3010 ( 3)    3 0.3010， 故首數為3，尾數為0.3010。

2. 首數與尾數的應用

(1)若x1且log x n  ，其中 n為首數， 為尾數，則x之整數部分為(n 位數。 1) log 30 1 log 3 1.4771   其首數為1，而 30 為1 1 2  位數。

(2)若0 x 1且logx   ，其中( n)  n為首數， 為尾數，則x在小數點後第_n位才出 現不為0 的數字。

log 0.003  3 log 3  3 0.4771其首數為_3，而 0.003 在小數點後第 3 位才出現 不為0 的數字。

例 例 例

演練

例題 3 求對數值 3

指數與對數

(3)數字排列順序相同而位數不同的兩正數，其對數值的尾數相同。

log123 2 0.0899  尾數為0.0899。

log12.3 1 0.0899  尾數為0.0899。

若logx2.3483，試求：

(1) log x 的首數與尾數。

(2)x的整數部分為幾位數？

logx2.3483 2 0.3483 

(1) log x 的首數為 2，尾數為 0.3483 (2)x的整數部分為2 1 3  位數

若logx5.6785，試求：

(1) log x 的首數與尾數。

(2)x的整數部分為幾位數？

logx5.6785 5 0.6785 

(1) log x 的首數為 5，尾數為 0.6785 (2)x的整數部分為5 1 6  位數

若logx 3.3675，試求：

(1)log x 的首數與尾數。

(2)x在小數點後第幾位開始出現不為0 的數 字？

logx 3.3675  4 0.6325

(1) log x 的首數為 4 ，尾數為 0.6325 (2)x在小數點後第4 位開始出現不為 0 的 數字

若logx 7.1898，試求：

(1)log x 的首數與尾數。

(2)x在小數點後第幾位開始出現不為0 的數 字？

logx 7.1898  8 0.8102

(1) log x 的首數為8，尾數為0.8102 (2)x在小數點後第8 位開始出現不為 0 的 數字

小叮嚀

log A與log B尾數相同A B 10ⁿ，n為整數

logAlogB n ，n為整數

例

演練

例題 4 求首數、尾數、位數 4

演練

例題 5 求首數、尾數、第幾位開始不為0 5

若logx3.4579，試求： (2) log log log10

10 (2) log log log100

100

指數與對數

已知log 3.86 0.5866 ，試求下列_x之值：

(1)logx3.5866 (2)logx 1.4134。 (1)logx3.5866 3 0.5866 

log10³log 3.86 log(10³3.86) log 3860 ∴x3860

(2)logx 1.4134  2 0.5866 log10^2 log 3.86 log(10^23.86) log 0.0386 ∴x0.0386

已知log8.7 0.9395 ，試求下列_x之值：

(1)logx4.9395 (2)logx 2.0605。 (1)logx4.9395 4 0.9395 

log10⁴ log8.7 log(8.7 10 ) ⁴ log87000 ∴x87000

(2)logx 2.0605  3 0.9395 log10^3log8.7 log(8.7 10 ) ^3 log 0.0087 ∴x0.0087

已 知log 2 0.3010 ，試求5 乘開後為幾位³⁰ 數？

30 10

log5 30log5 30log

  2

30 (log10 log 2)  30 (1 0.3010)  30 0.6990 20.97 

∴log5 的首數為 20 ³⁰ 故5 為 21 位數 ³⁰

已知log 2 0.3010 ，log 3 0.4771 ，試求6 乘²⁰ 開後為幾位數？

log 620 20log 6 20log(2 3)  20 (log 2 log 3)  20 (0.3010 0.4771)  20 0.7781 15.562 

∴log 6 的首數為 15 ²⁰ 故6 為 16 位數 ²⁰

演練

例題 8 首數、尾數的應用 8

演練

例題 9 首數的應用 9

已知log 2 0.3010 ，試求 1 ³⁰

log 3 0.4771 6.29

n  

指數與對數

03

自我 評量 _評量

自我

指數與對數

4 1. 若 logx12.3456，則

(1) log x 的首數為 12 ，尾數為 0.3456 。 (2)x的整數部分為 13 位數。

4 2. 求log12.3456 的首數為 1 。

5 3. 若logx 12.3456，則

(1) logx 的首數為 13 ，尾數為 0.6544 。 (2)x在小數點後第 13 位開始出現不為0 的數字。

5 4. 求 log 0.001234 的首數為 3 。

6 5. 已知 logx2.5478，則 (1)logx 的首數為³ 7 。 (2) log x 的首數為 1 。 (3) 1

logx 的首數為 3 。

■ 對應例題

自我 評量 _評量

自我

7 6. 已知 log 3.62 0.5587 ，則：

(1) log 36200  4.5587 ；(2) log 0.00362  2.4413 。

8 7. 已知 log 7.6 0.8808 ，求下列_x之值：

(1)若 logx3.8808，則_x 7600 。 (2)若 logx 3.1192，則_x 0.00076 。

9 8. 已知 log 2 0.3010 ，log 3 0.4771 ，則 (1)2 乘開後為⁵⁰ 16 位數。

(2)2.5 乘開後為²⁰ 8 位數。

(3)6 乘開後為³⁰ 24 位數。

(4)20 乘開後為²⁰ 27 位數。

10 9. 已知log 2 0.3010 ，則 4 ³⁰

( )5 化為小數，在小數點後第 3 位開始出現不為0 的數字。

指數與對數

自我 評量 _評量

自我

指數與對數

3 10. 可樂是夏天大眾化的消暑飲料，內含磷酸及碳酸的成分。某生經由實驗分析其酸，測得 氫離子濃度[H^]為4 10 ^3M，若氫離子濃度[H^]與pH 值的換算公式為 pH log[H^]， 則可樂的pH 值為 2.398 （已知log 2 0.3010 ）。

11. 在投資理財中，「複利」是理財獲利的關鍵，所謂複利是把每期所獲得的利息加上本金當 成下一期的本金。若本金為 p 元，年利率為r %，以複利計算，則n年後的本利和為

(1 %)ⁿ p r 。

8 (1)若本金 10,000 元，年利率為 6％，一年一期採複利計算，則 10 年後的本利和為 17890 元（已知log1.06 0.0253 ，log1.789 0.253 ）。

11 (2)今有某一理財商品，保證每年獲利 5%，若每年將獲利再投入購買此商品，則至少 15 年後，本利和會大於原來投入金額的2 倍（已知log 2 0.3010 ，

log1.05 0.0212 ）。

* 表示進階題

指數與對數

( Ｃ ) 32. 已知log 2 0.3010 、log 3 0.4771 ，則6 乘開後為幾位整數？ (A) 37 (B) 38 ⁵⁰ (C) 39 (D) 40。

( Ｄ ) 33. 已知 log 7 0.8451 ，則 1 ³⁰

( )7 化為小數，在小數點後第幾位始出現不為0 的數字？

(A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 26。

( Ｃ ) 34. 已知 log 2 0.3010 ，則滿足2ⁿ 10⁵之最小自然數n之值為何？ (A) 15 (B) 16 (C) 17 (D) 18。

( Ｂ ) 35. 若本金為 10,000 元，年利率為 8%，一年一期採複利計算，則 8 年後的本利和共多少 元？（已知log1.08 0.0334 ，log1.85 0.2672 ） (A) 10800 (B) 18500 (C) 26720 (D) 33400。

指數與對數

( Ｂ ) 12. 若2⁴4^3x 8² 16^x32，則_x？ (A)3 (B)2.5 (C) 2.5 (D) 3。

指數與對數

在文檔中 指數與對數 03 (頁 32-46)