指數與對數 03

指數與對數

第 章

03

指數與對數

3-1 指數與指數函數

重點一 正整數指數與指數律

1. 指數的定義：

設 _n 為 正 整 數 ， 對 於 每 一 個 實 數_a ， 我 們 以 符 號a 表 示ⁿ a 自 乘_n 次 的 乘 積 ， 即

n

n

a     a a a a

個

，讀作「a的n次方」，其中a稱為底數，n稱為指數。

2. 正整數指數律：

若_a、_b為實數，_m、_n為正整數，則 (1)a^maⁿ a^{m n} 。

(2) (a^{m n}) a^{m n} 。 (3) ( )ab ⁿ aⁿ 。 bⁿ

試化簡下列各式：

(1)2²  (2)2³ 2⁵ [( 3) ] ^{3 2} (3) ⁵ 1 ⁵ 3 ( )

 9 。 (1)原式2^{2 3 5 } 2¹⁰ 1024

(2)原式 ( 3)^{3 2}  ( 3)⁶ 729 (3)原式 1 ⁵ 1 ⁵ 1

(3 ) ( )

9 3 243

   

試化簡下列各式：

(1)( 2) ² ( 2)³ (2)[( 2) ] ^{5 2} (3) 1 ^{4 4} ( ) 16

4  。 (1)原式 ( 2)^{2 3}  ( 2)⁵   32

(2)原式 ( 2)^{5 2}  ( 2)¹⁰ 1024

(3)原式 1 ^{4 4}

( 16) 4 256

 4  

重點二 零指數與負整數指數

1.零指數與負整數的定義

設_a為實數且_a0，_n為正整數，則 (1)a⁰  。 1

(2) _n 1 a^  。

演練

例題 1 指數律 1

2. 整數指數律

設a、b均為非零實數，m、n為整數，則 (1)a^maⁿ a^{m n} 。

(2)

m m n

n

a a a

  。 (3) (a^{m n}) a^{m n} 。 (4) ( )ab ⁿ aⁿ 。 bⁿ (5) ( )a ⁿ aⁿ_n

b  b 。

已知a2，試求a a ⁰a^1之值。

0 1 2 20 2 1

a a a^    ^ 1

2 1 2

   7

 2

試求 2 ⁰ 2 ¹ 2 ² ( ) ( ) ( )

3 3 3

 

  之值。

0 1 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

3 3 3

 

 

2

1 1

1 2 2 3 ( )3

  

3 9 19 1 2 4 4

   

已知_a0，試化簡( )a^{2 3}a² 。 a⁴

2 3 2 4 6 2 4

( )a ^ a a a^ a  a a^{  6 2 4} a⁰  1

已知_a0，試化簡(a^2a^{1 2}) 。

2 1 2 3 2 6

6

(a a ) (a ) a 1 a

       

演練

例題 2 零指數與負整數的定義 2

演練

例題 3 指數律 3

指數與對數

試求 1 ² 1 ^{3 6} ( ) ( ) 4

16 2

     之值。

原式 1₄ ^{2 1 3 2 6} ( ) (2 ) (2 )

2

   

  

(2 )^{4 2} 2³ 2^12 2⁸ 2³ 2^{12 1} 1

2 2

  

試求 1 ³ 1 ^{4 2} ( ) ( ) 27

9  3  之值。

原式 1₂ ³ 1 ^{4 3 2} ( ) ( ) (3 )

3 3

  

(3 )^{2 3}(3 )^{1 4}(3 )^{3 2} 3^63^4 3^{6 4} 1₄ 1

3 3 81

   

重點三 分數指數

1. 分數指數的定義

設_a為正實數，_n為正整數，_m為整數，則 (1)

1 n n

a  a 。 (2) ( )

m

m n m

n n

a  a  a 。 2. 分數指數律

若_a、_b為正實數，_m、_n為有理數，則 (1)a^maⁿ a^{m n} 。

(2)

m m n

n

a a a

  。 (3) (a^{m n}) a^{m n} 。 (4) ( )ab ⁿ aⁿ 。 bⁿ (5) ( )a ⁿ aⁿ_n

b  b 。

演練

例題 4 指數律的應用 4

試求下列各式之值：

(1)

3

625 (2)4 16 ^0.25 ( )

81

 (3)

1

(0.027)3



。

(1)

3 3

4 3

4 4

625 (5 ) 5 125 (2)

1 1

0.25 4 4 4 4

4

16 2 2

( ) ( ) [( ) ]

81 3 3

 

  

2 ¹ 3 ( )3 2

   (3)

1 1 3 1

3 3 3

3

27 3

(0.027) ( ) ( ) 1000 10

  

 

1

3 3 1

3 3

[( ) ] ( )

10 10

 

  10

 3

試求下列各式之值：

(1)243^0.4 (2)

2

8 3

( )

27 (3)(0.04)^1.5。 (1)

2

0.4 5 5 2 1

243 (3 ) 3 9

     

(2)

2 3 2 2

3 3 3 3

3

8 2 2

( ) ( ) [( ) ] 27  3  3 2 ² 4

( )3 9

 

(3)

3 3

1.5 1 2 2 2

(0.04) ( ) (5 ) 25

 

   

5³125

已知_a為正實數，試化簡 _a³_a² _⁶_a⁵ 。 原式

2 5

1

3 6

a2 a a

  

1 2 5 2 3 6

a ^{ }

 a²

設_a0，試化簡^{5 3}a a 。 原式

1 1 1

3 2 5

(a a )

 

5 1 1

6 5 6

( )a a

 

 ⁶ a

演練

例題 5 分數指數的定義 5

演練

例題 6 指數律 6

指數與對數

試化簡 ³

6

8 4 2

 。

原式

2 3

3 3 2 2 3

6 1

6

2 2 2 2

2 2

 

 

3 2 1 2 3 6 2

2 ^{ } 2 4

  

試化簡

2

4 3

( 27) 3



 。

原式

2 3

4 3

( 3 ) 3



 

2

3 1 1 1

3

4 2 2 2

(3 ) 3 3 3

 

   

3⁰  1

已知_a為正實數，且a^2x  ，試求3 a^3x_x a ³_x^x a a







 之值。

原式

3 3

( )^x ( ^x)

x x

a a

a a





 



2 2

( ^{x x})( ^x 1 ^x)

x x

a a a a

a a

 



  

 

^{2 2} 1

1 3 1

3

x x

a a^

      7

 3

【另解】

原式

3x 3x x

x x x

a a a

a a a





  



4 2

2 1

x x

x

a a

a

 

 

2 2 2 1

2

( ) ( ) 1

x x

x

a a

a

 

 

9 1 3 3 1

 

 7

 3

已 知_a0 ， 且a^2x  ， 試 求2 a^3x_x a ³_x^x a a







 之

值。

原式

3 3

( )^x ( ^x)

x x

a a

a a





 



2 2

( ^{x x})( ^x 1 ^x)

x x

a a a a

a a

 



  

 

^{2 2} 1 7

1 2 1

2 2

x x

a a^

      

【另解】

原式

3x 3x x

x x x

a a a

a a a





  



4 2

2 1

x x

x

a a

a

 

 

2 2 2 1

2

( ) ( ) 1

x x

x

a a

a

 

 

4 1 2 2 1

 

 7

 2 演練

例題 7 指數律的應用 7

演練

例題 8 指數運算 8

重點四 指數函數及其圖形

1. 指數函數的定義

若_a0且_a1，_x為任意實數，則函數 f x( )a^x稱為以_a為底數的指數函數。

2. 指數函數的圖形：

(1)當a1時 (2)當0 a 1時

3. 指數函數的性質：

(1)函數y a ^x之圖形皆在_x軸上方，即指數函數的值必為正數。

(2)函數y a ^x之圖形必通過定點(0,1) 。

(3)當a1時，y a ^x為遞增函數，即x₁ x₂ a^x1 a^x2。 (4)當0 a 1時，y a ^x為遞減函數，即x₁ x₂ a^x1 a^x2。 (5)函數y a ^x與 1

( )^x

y a 的圖形對稱於y 軸。

.

已知 f x( ) 3 ^x，若 f a( ) 2 且 ( ) 5f b  ，試 求 f a b(  之值。 )

∵ ( ) 3f a  ^a  ， ( ) 32 f b  ^b  5

∴ f a b(  ) 3 ^{a b} 3^a3^b   2 5 10

已知 f x( ) 2 ^x，若 f a( ) 3 且 ( ) 6f b  ，試 求 f a b(  之值。 )

∵ ( ) 2f a  ^a  ， ( ) 23 f b  ^b  6

∴ 2 3 1

( ) 2

2 6 2

a b a

f a b  ^  b  

小叮嚀

設a0，x₁、x₂為實數

(1)f x( ₁x₂)a^{x x12} a^x1a^x2  f x( )₁  f x( )₂

(2) ^{1 2 1}

2 1

1 2

2

( ) ( )

( )

x x x x

f x f x x a a

a f x

    

演練

例題 9 指數函數的性質 9

指數與對數

試作y f x( ) 2 ^x之圖形。

x  2  1 0 1 2 y 1

4 1

2 1 2 4

試作y f x( ) 3 ^x之圖形。

x 2 1 0 1 2

y 1 9

1

3 1 3 9

試作 1

( ) ( ) 3

y f x  x之圖形。

x  2  1 0 1 2

y 9 3 1 1

3 1 9

試作 1

( ) ( ) 2

y f x  x之圖形。

x 2 1 0 1 2

y 4 2 1 1

2 1 4 演練

例題 10 指數函數的圖形（底數a1） 10

演練

例題 11 指數函數的圖形（底數0 a 1） 11

試比較下列各組_a、_b、_c的大小關係：

(1) 3 ³ ( )2

a 、 3 ⁰ ( )2

b 、 3 ²

( )2 c ^ 。 (2)a(0.2)³、b(0.2)⁰、c(0.2)^2。

(1)∵底數3

2 1 3 ( )2

y x為遞增函數 又3 0  2

∴ 3 ³ 3 ⁰ 3 ² ( ) ( ) ( )

2 2 2

  

故a b c 

(2)∵底數0.2 1 y(0.2)^x為遞減函數 又3 0  2

∴(0.2)³(0.2)⁰ (0.2)^2 故a b c 

試比較下列各組_a、_b、_c的大小關係：

(1)

1

32

a 、

1

33

b 、

1

34

c 。 (2)

1

1 2

( )2

a 、

2

1 3

( )2 b 、

3

1 4

( )2 c 。 (1)∵底數3 1 y 為遞增函數 3^x

又1 1 1 2  3 4 ∴

1

1 1

3

2 4

3 3 3 故a b c  (2)∵底數1

2 1 1 ( )2

y x為遞減函數 又3 2 1

4  3 2 ∴

2

3 1

3

4 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) 2  2  2 故c b a 

設a 5、b ³ 25、c ⁴25，試比較a、 b、_c之大小關係。

1

5 52

a 

2 3 25 53

b 

3 4125 54

c 

∵底數5 1 y 為遞增函數 5^x 又3 2 1

4  3 2

∴

2

3 1

3

4 2

5 5 5 故_{c b a }

設a 3、b ⁴27、_{c 3 3}³ ，試比較_a、 b、_c之大小關係。

1

3 32

a 

3 427 34

b 

1 1 2

3 3 2 3

3 3 (3 3 ) 3

c   

∵底數_{3 1} y 為遞增函數 3^x 又3 2 1

4  3 2

∴

2

3 1

3

4 2

3 3 3 故b c a 

演練

例題 12 底數相同比較大小 12

演練

例題 13 底數化成相同比較大小 13

指數與對數

重點五 指數方程式

1. 方程式中，指數含有未知數x的方程式，稱為指數方程式。

2. 設a0，a1，a^x1 a^x2x₁ 。 x₂

3. 若指數方程式為一元二次方程式的型式，則以代數代換法解之。

試求下列各方程式之解：

(1) ^{3 1} 1 2 16

x 

(2) 7 ² 3 ^{4 1} ( ) ( )

3 7

x  x

(3)3^x2x 9^3x2。 (1)原式2^{3 1x} 2^4

3x  1 4 x 1

(2)原式 7 ² 7 ^{1 4 1} ( ) [( ) ]

3 3

x   x

 7 ² 7 ^{4 1} ( ) ( )

3 3

x   x

x  2 4x1  3

x 5

(3)原式3^x2x (3 )^{2 3x2} 3^x2x 3^6x4 x² x 6x 4 x²5x  4 0  (x1)(x4) 0 x1或4

試求下列各式x之值：

(1)16^x1 2^x2 (2) 5 ⁷ 8 ^{3 1}

( ) ( )

8 5

x  x

(3) ^{2 2} 1 2 ( )

8

x  x。

(1)原式2^4x4 2^x2 4x  4 x 2 x2

(2)原式 5 ⁷ 5 ^{1 3 1} ( ) [( ) ]

8 8

x   x

 5 ⁷ 5 ^{3 1} ( ) ( )

8 8

x   x

x   7 3x 1 x 2

(3)原式2^x22 2^3x x²   2 3x x²3x  2 0  (x1)(x2) 0 x 1或 2

演練

例題 14 指數方程式 14

解方程式2^2x 6 2^x  。 8 0 原式(2 )^{x 2} 6 2^x  8 0

 (2^x2)(2^x4) 0  2^x  或 22 ^x  4 x1或2

解方程式3^2x  6 3^x 27 0 。 原式(3 )^{x 2}  6 3^x 27 0

 (3^x9)(3^x3) 0

 3^x  或 39 ^x   （不合） 3 x2

已知大腸桿菌在培養過程中，每隔30 分鐘分 裂一次，即由 1 個細菌分裂成 2 個，若某杯 手搖飲料含有20 個大腸桿菌，則經過 4 小時 後可繁殖成多少個大腸桿菌？

4 小時 240 分鐘

240 30 8  ，即經過8 次分裂

∴大腸桿菌總數為20 2 ⁸ 5120個

某細菌每20 分鐘分裂一次，即由 1 個變成 2 個，則 1 個細菌經過 3 小時後分裂成多少 個？

3 小時 180 分鐘

180 20 9  ，即經過9 次分裂

∴細菌總數為1 2 ⁹ 512個

演練

例題 15 指數方程式（進階題） 15

演練

例題 16 指數函數的應用 16

指數與對數

自我 評量 _評量

自我

指數與對數

1 1. 求下列各式之值：

(1)5⁵ 5⁴ 5⁷  25 (2)[( 2) ] ^{2 5}  1024 (3)(0.5)³(2.2)³ 1.331 。

2 2. 求下列各式之值：

(1) 3 ⁰ 2 ⁰ ( ) ( )

2  3  2 (2) 4 ¹ 3 ¹ ( ) ( )

3 4

    7

12

 (3)5⁰5^15^2  31 25 。

3 3. 化簡(a^{3 2}) a²a³ 1

a 。

5 4. 求下列各式之值：

(1)

2

1253  25 (2)

1

27 3

( ) 64

  4

3 (3)

1

(0.0625)4

  2 。

6 5. 設a、_b、_c皆為大於0 的實數，化簡

3 6 12 3

12 4

a b c

a b  c⁴₅

a 。

■ 對應例題

自我 評量 _評量

自我

7 6. 求 ³

6

3 9 3

 之值為 3 。

8 7. 已知a0，且a^2x  ，則5 a^3x_x a ³_x^x a a





 



21

5 。

9 8. 已知 ( ) 5f x  ，若 ( ) 3^x f a  、 ( ) 2f b  ，則 (1) (f a b ) 6 (2) (f a b ) 3

2 (3) (2f a b ) 18 。

12 9. 設 1 ³ ( )2

a 、 ¹

b 2、_c1、 1 ³ ( )2

d  ^，則_a、_b、_c、_d之大小順序為 a b c d   。

12 10. 設 3 ³ ( )2

a 、 ³

b 2、c1、 3 ³ ( )2

d  ^，則a、b、c、d之大小順序為 a b c d   。

13 11. 設a ³49、b 7 7 、c ⁴343，則a、b、c之大小順序為 b c a  。

指數與對數

自我 評量 _評量

自我

指數與對數

14 12. 求下列方程式之解：

(1) 3 ² 4 ( )2 9

x  ，則x 4 。

(2) 3 ^{3 1} 9 ¹ ( ) ( )

5 25

x  x ，則x 3 。

(3) 9^x3 3，則_x 3

4 。

(4)9^x ³3，則x 1 6 。 (5) 1 2

( )8 4

x  ，則x 1

2 。 (6) ^{2 7} 1

5 125

x  ，則_{x 2}或_2 。

8 13. 設a0且a^2x ，則4 a^x_x a ^x_x a a





 



5 3 。

15 14. 解方程式3^2x  4 3^x 45 0 ，得x 2 。

16 15. 在細菌培養的實驗中，發現某細菌從開始經 2 小時數目由 1000 成長至 1200，假設此細 菌呈指數函數成長，則從開始經過6 小時，此細菌的數目為 1728 。

3-2 對數與對數函數

重點一 對數的意義

1. 對數的定義：

若_a0且_a1，_b0，當a^x 時，我們以 logb _ab 來表示x，則稱log_ab 為「以a為底數，

b的對數」，其中_a稱為底數，_b稱為真數，即a^x  b xlog_ab。 2. 對數有意義的條件

log_ab 有意義三條件

0 1 0 a a b

 

 

 

 底數 底數 真數

。

log 3、1 log 2_3 、log ( 1)₂  無意義。

試將下列指數形式a^x  化為對數形式b log_a

x b：

(1)3²  (2)9 5⁰  (3) 21 ^x  。 6 (1)3²  9 2 log 9 ₃

(2)5⁰  1 0 log 1 ₅ (3)2^x  6 xlog 6₂

將下列指數形式a^x  化為對數形式b log_a

x b：

(1)2⁵32 (2) ⁴ 1 3 81

  (3)5^x  。 3

(1)2⁵ 325 log 32 ₂ (2) ⁴ 1

3 81

   ₃ 1

4 log

  81 (3)5^x  3 xlog 3₅

將下列對數形式log_ab x 化為指數形式 ax  ： b

(1)log 8 3₂  (2)log₃x 2

(3) log 4 2_x  （x0且_x1）。

(1)log 8 3₂  2³  8 (2)log₃x 2 3²  x (3) log 4 2_x  x²  4

將下列對數形式log_ab x 化為指數形式 ax  ： b

(1) ₃1 log 2

9   (2)log₂x 3

(3) log 9 2_x  （x0且_x1）。

(1) ₃1

log 2

9    ² 1

3 9

 

(2)log₂x 3 2³ x (3) log 9 2_x  x²  9 例

演練

例題 1 指數化為對數 1

演練

例題 2 對數化為指數 2

指數與對數

試求下列各式_x之值：

(1)log 4 2₂ x (2)log₉ ³3x。 (1)原式2^x 4 2

2^x 2²2¹² 2^x 2⁵²  5

x 2 (2)原式9^x  ³3 (3 )^{2 x} 3¹³ 3^2x  3¹³  1

2x 3  1

x 6

試求下列各式_x之值：

(1)log 5₂₅  (2)x ₄1

log 8 。 x (1)原式 25^x  5

5^2x  5 2x1  1

x 2 (2)原式 1 4 8

x 

2^2x 2^3 2x 3  3

x  2

試求下列各式_x之值：

(1) ₁

2

log x (2)3 log 9 3 5_x  。

(1)原式 1 ³ ( )2  x  1

x 8 (2)原式x⁵ 9 3 x⁵ 3² 3¹² x⁵ 3⁵² x⁵ (3 )^{12 5} x 3

試求下列各式_x之值：

(1)log₃x  (2)2 3 log 3 3

x  。 2

(1)原式3^2  x  1

x 9 (2)原式x³² 3 3 x³²   3 3¹² x³² 3³² x3

演練

例題 3 對數的定義 3

演練

例題 4 對數的定義 4

說明下列各式是否有意義：

(A)log 2 (B)₁ log 0 (C)₂ log ( 2)₃  (D)log 1。 ₂

(A)底數為 1，∴log 2 無意義 ₁ (B)真數為 0，∴log 0 無意義 ₂ (C)真數 2 0，∴log ( 2)₃  無意義 (D)底數2 0 ，2 1 ，真數1 0 ∴log 1有意義 ₂

說明下列各式是否有意義：

(A)log ( 4)₂  (B)log 1 (C)₁ log 4_2 (D) ₁

2

log 1 2。

(A)真數為 4 0，∴log ( 4)₂  無意義 (B)底數為 1，∴log 1無意義 ₁

(C)底數 2 0，∴log 4_2 無意義 (D)底數1

2 ，0 1

2 ，真數1 1 2 0 ∴ ₁

2

log 1

2有意義

重點二 對數的性質

若a、b、c為異於1 的正實數且M 0，N 0，r 、s為實數，r0，則 1. log_aa ， log 1 01 _a  log 2 12  ，log 1 0₂ 

2. log_aMN log_aM log_a N log 10 log (2 5) log 2 log 510  10   10  10

3. log_a M log_a log_a

M N

N   10 10 10 10

log 5 log 10 log 10 log 2

 2  

4. log_aM^r rlog_aM log 8 log 22  2 ³3log 2 32 

5. a^logaM M 2^{log 32}  3

6. 換底公式 log log

log

b a

b

M M

 a 3 ²

2

log 4 log 4

log 3

 7. log r log

s a a

M s M

 r 9 3^{2 3} 3

log 8 log 2 3log 2

  2 8. log_ablog_bclog_ac（連鎖律） log 3 log 4 log 42  3  2

9. log_ablog_ba ，即1 1 log^ab log_b

 a log 3 log 2 log 2 12  3  2  ，即 ₂

3

log 3 1

log 2

 例

例 例 例 例 例 例 例 例

演練

例題 5 對數的定義 5

指數與對數

試求下列對數的值：

(1)log 32 (2)_{2 3} 1

log 27 (3) ₁

5

log 25 (4)log₄ 2。

(1)log 32 log 2₂  ₂ ⁵  5 (2) ₃ 1 ₃ ³

log log 3 3 27

   

(3) 1

2

1 5

5

log 25 log 5    2

(4) 2

1

4 2 2

1 2 1 log 2 log 2

2 4

  

試求下列對數的值：

(1)log 49 (2)_{7 2} 1

log 16 (3)log 9₃ (4) ₁

3

log 81 。

(1)log 49 log 7₇  ₇ ²  2 (2) ₂ 1 ₂ ⁴

log log 2 4 16

   

(3) 1

2

2

3 3

log 9 log 3 2 4 1 2

  

(4) 1

4

1 3

3

log 81 log 3    4

試求下列各式之值：

(1) _{6 6} 2 log 24 log

 3。

(2)log 4 log 15 log 0.6₁₀  ₁₀  ₁₀ 。 (1)原式 ₆ 24 ₆

log log 36 2

3

 

log 6₆ ²  2 (2)原式 ₁₀ 4 15 ₁₀

log log 100 0.6

  

log 10₁₀ ²  2

試求下列各式之值：

(1)log 20 log 5₂  ₂ 。

(2)log 12 log 5 log 15₆  ₆  ₆ 。 (1)原式 ₂20 ₂

log log 4

 5 

log 2₂ ²  2 (2)原式 ₆12 15 ₆

log log 36 5

  

log 6₆ ²  2

演練

例題 6 對數的性質 6

演練

例題 7 對數的性質 7

試求下列各式之值：

(1)log 20 log 45 2log 3₁₀  ₁₀  ₁₀ 。 (2)2log 9 4log 2₆  ₆ 。

(1)原式log 20 log 45 log 9₁₀  ₁₀  _{10 10} 20 45 ₁₀

log log 100 2 9

   

(2)原式log 81 log 16₆  ₆

log (81 16) log 6₆   ₆ ⁴  4

試求下列各式之值：

(1)log 36 log 6 3log 2₃  ₃  ₃ 。 (2)2log 5 4log 2 log 4₁₀  ₁₀  ₁₀ 。

(1)原式log 36 log 6 log 8₃  ₃  _{3 3}36 6 ₃

log log 27 3 8

   

(2)原式log 25 log 16 log 4₁₀  ₁₀  _{10 10}25 16 ₁₀

log log 100 2 4

   

試求下列各式之值：

(1)2^{log 52} (2)3^{log 29} 。 (1)2^{log 52}  5

(2)

2

9 log32 2 3

log 2 log 2

3 3 3  2

試求下列各式之值：

(1)5^{log 35} (2)4^{log 32} 。 (1)5^{log 35}  3

(2)4^{log 32} 4^{log 322 2} 4^{log 94} 9

設 ⁵

5

log 9 log 4

x ，試求2^x之值。

2

5 2

4 2 2

5

log 9

log 9 log 3 = log 3 log 4

x  

∴2^x 2^{log 32}  3

試求 ⁵

5

log 27

log 9 之值。

2

5 3

9 3

5

log 27

log 27 log 3 log 9   3

 2

演練

例題 8 對數的性質 8

演練

例題 9 對數的性質 9

演練

例題 10 對數的性質（換底公式） 10

指數與對數

試求下列各式之值：

(1)log 5 log 7 log 9₃  ₅  ₇ 。 (2)log 9 log 8₂  ₃ 。

(1)原式log 9 log 3₃  ₃ ²  2 (2)原式(log 3 ) (log 2 )₂ ²  ₃ ³ (2log 3) (3log 2)₂  ₃ 6

試求下列各式之值：

(1)log 5 log 8₂  ₅ 。 (2) _{3 5}1

log 25 log

 9。

(1)原式log 8 log 2₂  ₂ ³ 3 (2)原式(log 5 ) (log 3 )₃ ²  ₅ ^2 (2log 5) ( 2log 3)₃   ₅   4

試求(log 3 log 9)(log 4 log 2)₂  _{4 3}  ₉ 之值。

原式 2 2

2 2

2 2 3 3

(log 3 log 3 )(log 2 log 2)

  

_{2 2 3} 1 ₃

(log 3 log 3)(2log 2 log 2)

  2

₂ 5 ₃

(2log 3)( log 2)

 2  5

試求(log 8 log 4)(log 25 log 5)₂₅  _{5 2}  ₄ 之值。

原式 2 2

3 2 2

5 2

5 2

(log 2 log 2 )(log 5 log 5)

  

3 _{5 5 2} 1 ₂

( log 2 2log 2)(2log 5 log 5)

2 2

  

1 ₅ 3 ₂

( log 2)( log 5)

2 2

  3

  4

演練

例題 11 對數的性質（鏈鎖律） 11

演練

例題 12 對數的性質（鏈鎖律） 12

設log 2 a₁₀  、log 3 b₁₀  ，試以a、b表示下 列各式：

(1)log 6 (2)₁₀ log 5 (3)₁₀ log 24 。 ₁₂ (1)log 6 log (2 3) log 2 log 3₁₀  ₁₀   ₁₀  ₁₀

 a b

(2) _{10 10}10 _{10 10} log 5 log log 10 log 2

 2  

 1 a

(3) ₁₂ ^{10 10 3}₂

10 10

log 24 log (2 3) log 24

log 12 log (2 3)

  

 ^{10 3}₂ ¹⁰

10 10

log 2 log 3 log 2 log 3

 

 ^{10 10}

10 10

3log 2 log 3 2log 2 log 3

 

 3

2 a b a b

 



設log 2 a₁₀  、log 3 b₁₀  、log 7 c₁₀  ，試以 a、b、c表示下列各式：

(1)log 35 (2)₁₀ log 21。 ₈ (1) _{10 10} 10 7

log 35 log ( ) 2

 

log 10 log 7 log 2₁₀  ₁₀  ₁₀   1 c a

(2) ₈ ^{10 10} ₃

10 10

log 21 log (3 7) log 21

log 8 log 2

  

^{10 10}

10

log 3 log 7 3log 2 3

b c a

 

 

演練

例題 13 對數的性質應用 13

指數與對數

重點三 對數函數及其圖形

1. 對數函數的定義：

若a0且a1，x0，則函數 f x( ) log _ax稱為以a為底數的對數函數。

2. 對數函數的圖形

(1)a1時 (2)0 a 1時

3. 對數函數的性質

(1)函數ylog_a x之圖形皆在y 軸右方。

(2)函數ylog_a x之圖形必過定點(1,0) 。

(3)當a1時，y f x( ) log _a x為遞增函數，即x₁x₂  時0 log_a x₁log_ax₂。

(4)當0 a 1時，y f x( ) log _a x為遞減函數，即x₁x₂  時0 ylog_ax₁log_ax₂。 (5)函數ylog_a x與 log₁

a

y x的圖形對稱於_x軸，如圖一。

(6)函數y a ^x與ylog_a x的圖形對稱於直線y ，如圖二、圖三。 x

圖一 圖二（a1） 圖三（0 a 1）

小叮嚀

設a0，a1，且x₁0，x₂0

1. f x x( ₁ ₂) log ( _a x x_{1 2}) log _a x₁log_ax₂ f x( )₁  f x( )₂

2. ^{1 1} _{1 2 1 2}

2 2

(x ) log (_a x ) log_a log_a ( ) ( )

f x x f x f x

x  x    

已知 f x( ) log ₃x，若 1 ( ) 2 f a  且 ( ) 1

f b  ，試求 ( )4 f ab 之值。

∵ ₃ 1

( ) log

f a  a 2

3

( ) log 1

f b  b 4

∴ f ab( ) log ₃ablog₃alog₃b 1 1 3

2 4 4

  

已知 f x( ) log ₅x，若 f a( ) 3 且 ( ) 6f b  ， 試求 ( )a

f b 之值。

∵ f a( ) log ₅a 3 ( ) log5 6 f b  b

∴ ( ) loga ₅a log₅ log₅

f a b

b  b  

   3 6 3

試作y f x( ) log ₂x的圖形。

x 1 4

1

2 1 2 4 8 y  12  0 1 2 3

試作y f x( ) log ₃x的圖形。

x 1 9

1

3 1 3 9 y 2 1 0 1 2

演練

例題 14 對數函數的定義 14

演練

例題 15 對數函數的圖形 15

指數與對數

試作 ₁

2

( ) log

y f x  x的圖形。

x 1 4

1

2 1 2 4 8 y 2 1 0 1 2 3

試作 ₁

3

( ) log

y f x  x的圖形。

x 1 9

1

3 1 3 9 y 2 1 0  21 

試比較下列各組_a、_b、_c的大小關係：

(1)alog 3₂ 、 ₂1 log 3

b 、_{clog2 3}。 (2) ₁

2

log 5

a 、 ₁

2

log 1

b 5、 ₁

2

log 5

c 。

(1)∵底數2 1 為遞增函數

又 1

3 3

  3

∴ _{2 2 2}1

log 3 log 3 log

  3

故a c b  (2)∵底數1

2 為遞減函數 1

又 1

5 5

  5

∴ _{1 1 1}

2 2 2

log 5 log 5 log 1

  5

故a c b 

試比較下列各組_a、_b、_c的大小關係：

(1)alog 2₂ 、

2

log 1

b 2、

log 12

c 。

(2)alog 2_0.2 、blog 0.5_0.2 、clog 1_0.2 。 (1)∵底數 2 1 為遞增函數

又 1

2 1  2

∴ _{2 2 2} 1

log 2 log 1 log

  2 故a c b 

(2)∵底數0.2 1 為遞減函數 又2 1 0.5 

∴log 2 log 1 log 0.5_0.2  _0.2  _0.2 故a c b 

演練

例題 16 對數函數的圖形 16

演練

例題 17 對數函數的遞增遞減 17

若alog 0.2_0.5 、 ₁

2

log 1 b 4 、

log 2 3

c ，

試比較a、b、c之大小。

1

1

0.5 1 2 2

2

log 0.2 log 1 log 5 log 5

a 5 

    

1

1

1 2 2

2

log 1 log 4 log 4

b 4 

   

2 2

log 3 log 3

c 

∵底數2 1 為遞增 又5 4 3 

∴log 5 log 4 log 3₂  ₂  ₂ 故_{a b c }

若alog 6₂ 、blog 25₄ 、

log 2 7

c ，試

比較a、b、c之大小。

2

2

4 2 2

log 25 log 5 log 5

b  

2 2

log 7 log 7

c 

∵底數2 1 為遞增 又7 6 5 

∴log 7 log 6 log 5₂  ₂  ₂ 故_{c a b }

重點四 對數方程式

1. 對數方程式

在一個含有對數的方程式中，若真數或底數含有未知數_x，則稱為對數方程式。

2. 對數方程式的解法

(1)將方程式左右兩邊化成同底，再利用對數的性質，合併真數。

(2)去對數解之，即 log_a f x( ) log _ag x( ) ( )f x  g x( )。

小叮嚀

解對數方程式，求得之x解，須代回驗算是否符合對數定義的條件限 制，即答案須符合a0，a1， f x( ) 0 ，g x( ) 0 。

演練

例題 18 化為同底比較大小 18