問題：給定一圓 O 及兩相異點 A、B，試作出過點 A、B 且與圓 O 相切的圓。
解：根據給定點與給定圓的相對位置，我們共分成十一種情形：
一、點 A 與點 B 都在圓 O 的外部， AB 的垂直平分線不過圓心 O，直線 AB 與圓 O 不相切。
《作圖法》
在此情形中，所求圓共有二解，
可能兩圓都與圓 O 外切（如圖 32 所示），可能兩圓都與圓 O 內切（如圖 33 所示）， 也可能其中一圓與圓 O 外切，另一圓與圓 O 內切（如圖 34 所示）。
三種狀況作圖過程相同。
▲圖 32
▲圖 33
▲圖 34
1. 因為 AB 的垂直平分線不過圓心 O，所以，過點 A、B 必有一個圓與圓 O 有二 相異交點 C、D，且直線 AB 與直線 CD 相交於一點 P，但點 P 不在 AB 上也 不在CD 上。（請注意：點 P 恆存在且唯一，參見下面的引理。）
2. 過點 P 作圓 O 的兩切線，設切點分別為 S、T。因為直線 AB 與圓 O 不相切，
所以，切點 S 與 T 都不在直線 AB 上。
3. 過點 A、B、S 的圓與過點 A、B、T 的圓即為所求。
《證明》
因為 PAB 與 PCD 是圓 ABCD 的兩割線，所以，依圓冪定理，可知 PD
PC PB
PA× = × 。
因為 PCD 也是圓 O 的割線，所以，點 P 對圓 O 與圓 ABCD 的冪相等。因為 PS 與 PT 是圓 O 的切線段，所以，得
PB PA PD PC
PS2 = × = × ， PB PA PD PC
PT2 = × = × 。
於是， PS 也是圓 ABS 的切線段， PT 也是圓 ABT 的切線段，亦即：圓 ABS 與圓 ABT 都與圓 O 相切。
思考問題 22：
▲圖 35 ▲圖 36
三、 點 A 與點 B 都在圓 O 的外部， AB 的垂直平分線通過圓心 O，直線 AB 與圓 O 不相切。
思考問題 24：
試證：在「點點圓」問題的第三種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓有二解，其 中一圓與圓 O 外切，另一圓與圓 O 內切。
▲圖 37
四、 點 A 與點 B 都在圓 O 的外部， AB 的垂直平分線通過圓心 O，直線 AB 與圓 O 相切。
思考問題 25：
試證：在「點點圓」問題的第四種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓只有一解，
此解中的圓與圓 O 內切。
▲圖 38
五、 點 A 在圓 O 的外部，點 B 在圓 O 上，直線 AB 與圓 O 不相切。
思考問題 26：
試證：在「點點圓」問題的第五種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓只有一解。
▲圖 39
六、 點 A 與點 B 在圓 O 的內部， AB 的垂直平分線不過圓心 O。
思考問題 27：
試證：在「點點圓」問題的第六種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓共有二解，
兩圓都與圓 O 內切。
▲圖 40
七、點 A 與點 B 都在圓 O 的內部， AB 的垂直平分線通過圓心 O。
思考問題 28：
試證：在「點點圓」問題的第七種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓共有二解，
兩圓都與圓 O 內切。
▲圖 41 八、點 A 在圓 O 的內部，點 B 在圓 O 上。
思考問題 29：
試證：在「點點圓」問題的第八種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓只有一解，
此圓與圓 O 內切。
▲圖 42
九、 點 A 在圓 O 的外部，點 B 在圓 O 上，直線 AB 與圓 O 相切於點 B。
思考問題 30：
試證：在「點點圓」問題的第九種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓不存在。
十、 點 A 與點 B 都在圓O(r)上。
思考問題 31：
試證：在「點點圓」問題的第十種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓不存在。
十一、點 A 在圓 O 的內部，點 B 在圓 O 的外部。
思考問題 32：
試證：在「點點圓」問題的第十一種情形中，過點 A、B 且與圓 O 相切的圓不存在。