龍騰數亦優第13期

(1)

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編輯室墨記

為了紀念在數論等方面有傑出貢獻的數學家、教育家─華羅庚教授，於 1986年始創全國性大型少年數學競賽活動，即「華羅庚金杯少年數學邀請賽」；此為教育廣大青少年從小學習、熱愛科學的精神，激發學習數學的興趣、開發智力、普及數學科學為宗旨的活動。並於 2006年在香港聯合發起並舉辦首屆兩岸四地華羅庚金杯少年數學菁英邀請賽；其宗旨為加強兩岸四地青少年之間的交流和往來，此每兩年舉辦一次的菁英賽是華杯賽的延續和補充，並將華杯賽的精神不斷發揚光大。今年是華羅庚教授誕生一百週年，八月於台灣鹿港舉辦的菁英賽更具有意義；

「第三屆兩岸四地華羅庚金杯少年數學菁英邀請賽」試題提供給您參考。

在一次聊天探討品茶師考試的過程，猜想看看：如果有一個人，他胡亂配對 10 種不同的茶，

則他配成功的杯數的數學期望值是多少？江慶昆老師經由合情的猜測，列舉更多證據以加強信心，並專注、尋找規律，進而證明其理論。從生活中探討、猜想數學，寓數學於趣味、娛樂之中。

高中數學 99 課程綱要納入新教材「插值多項式」，求圖形通過x坐標不同的n個點的最低次多項式；一般都用「Lagrange 插值多項式」來處理，傳統的「Newton 插值多項式」反而被忽略了。有鑑於此，葉善雲老師推導出多項式

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 2 1 2 2

( ) n n n n

f x =c − x x x x− − x x− − +c − x x x x− − x x− − + ⁺^{c x x x x}²

(

⁻ ¹

)(

⁻ ²

) (

⁺^{c x x}¹ ⁻ ¹

)

⁺^c⁰

的各項係數。

接續前期變化多元的圓，繼續讓趙文敏教授帶領我們來探索圓的世界吧！本期的升學報報提供您99學年度師大數學系推甄試題，提供給您參考。在電視看過：知道年月日便可算出星期幾。這般的神乎其技原來可以套用公式計算，動手玩數學專欄告訴您可以怎麼計算。

發行人：李枝昌編輯顧問：許志農總編輯：陳韻嵐副總編輯：陳美吟執行編輯：莊莉錚美術編輯：彭文君

發行所：龍騰文化事業股份有限公司地址：248台北縣五股鄉五權七路1號電話：(02)2299-9063

傳真：(02)2299-5311 創刊日：2006/11/30 出刊日：2010/11/15

網址：http://www.lungteng.com.tw

(3)

龍騰數亦優 2010.11 目次

龍騰業務跑天下數學質好畫亦優

許志農

^{台灣師大數學系}

》》第三屆兩岸四地華羅庚金杯少年數學菁英邀請賽

江慶昆

台中市衛道中學退休教師

》》數學與猜想─數學期望值

葉善雲

^{台北市東山高中}

》》插值多項式

許志農

》》國立台灣師範大學數學系 99 學年度甄試試題

趙文敏

》》Apollonius 問題─兼談三條件決定圓(二)

許志農

》》動手玩數學專欄

》》動手玩數學《第 12 期》破解秘笈 3

13

17

23

34

50

(4)

（考試時間：60 分鐘）

時間：2010 年 8 月 10 日‧地點：台灣鹿港

＊第一題＊

在6 6× 的田地上，有四塊葡萄田，四塊鳳梨田，其餘 28 塊是稻米田，葡萄田與鳳梨田的編號如下圖所示：

今有四兄弟要分田，其父親的遺囑是這樣寫的：「…四兒乖巧，將田地分成形狀與大小相同的四等分，兄弟每人一份，但每人恰得葡萄田與鳳梨田各一塊，…。」

請你沿著虛線分田，讓四兄弟所分得的田滿足其父親的遺囑，並回答以下兩個問題：

(1) 請在空格中填入編號：

3 號葡萄田與號鳳梨田應該分給同一個人；

1 號葡萄田與號鳳梨田應該分給同一個人。

(2) 在上圖的田地中，畫出你的分田情形。

遊戲競賽題

(5)

＊第二題＊

在邊上有七個圓圈的正三角形棋盤上安排皇后，皇后管轄的圓圈與安排的規則如下：

規則 1：

任意點選一個圓圈，該圓圈代表一位皇后的住所，且與正三角形三邊平行的方向所經過之圓圈皆為該皇后的管轄圓圈。

規則 2：

任何兩位皇后的所在圓圈不能互相管轄（即后不見后）。

請回答以下兩個問題：

(1) 在這個正三角形棋盤上，每個圓圈都被至少一位皇后管轄的情形下，最少要擺放幾個皇后，將其圖示在下圖的左圖中。

(2) 在這個正三角形棋盤上，每個圓圈都被至少一位皇后管轄的情形下，最多可擺放幾個皇后，將其圖示在下圖的右圖中。

(6)

＊第三題＊

將

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

這 13 個數字讓甲、乙兩人輪流拿取（甲先拿，乙後拿），並計算其總和，拿取規則與輸贏判定如下：

規則 1：

每次只能選取一個數字，且選過的數字不能再選。

規則 2：

經過六輪選取後，當選取的 12 個數字之總和為 3 的倍數時，乙贏；不是 3 的倍數時，

甲贏。

請回答以下兩個問題：

(1) 誰有必勝的策略？

(2) 承(1)，必勝的策略就是優先選取哪些數字？

(7)

1. (1) 3 號葡萄田與 2 號鳳梨田應該分給同一個人；

4 號葡萄田與 4 號鳳梨田應該分給同一個人；

2 號葡萄田與 1 號鳳梨田應該分給同一個人；

1 號葡萄田與 3 號鳳梨田應該分給同一個人。

(2) 如下圖所示：

2. 以下的答案，可以旋轉，鏡射：

3. (1) 甲有必勝的策略。

(2) 甲優先選取

1,4,7,10,13 這五個數字。

(8)

筆試一試卷（考試時間：60 分鐘）

時間：2010 年 8 月 10 日‧地點：台灣鹿港

1. 下左圖是最近被發現的阿基米德的《胃痛》拼圖，將正方形分割成 14 塊多邊形：

專家研究後發現，可以在邊長 12 公分的正方形上，正確的畫出這 14 塊拼圖，如上右圖所示。問：灰色那塊的面積是平方公分。

2. 如圖，要在下列5 5× 的方格表中填入 A、B、C、D、E 五個英文字母，並且要求五個字母在每一行與每一列及對角線上，

都只出現一次，則@所表示的英文字母為。

3. 賈斯特要從花蓮赴彰化鹿港參加華羅庚金杯數學競賽，爸爸開車出門前看了一下車子的里程錶，剛好是一個迴文數 69696 公里（迴文數：從左到右，或從右到左讀到的數字結果都一樣）。一連開了 5 個小時到達目的地，到達時里程錶又剛好是另一個迴文數，在路程中，爸爸開車的時速從未超過 85 公里，請問爸爸開車的平均速度最大值是每小時公里。

4. 有四組數的平均數，其規定如下：

(1) 從 1 到 100810 的自然數中，所有 11 的倍數之平均數 (2) 從 1 到 100810 的自然數中，所有 13 的倍數之平均數 (3) 從 1 到 100810 的自然數中，所有 17 的倍數之平均數 (4) 從 1 到 100810 的自然數中，所有 19 的倍數之平均數這四個平均數中，最大的平均數的值是。

5. 有三個最簡真分數，其分子的比為 3：2：4，分母的比為 5：9：15；將這三個分數相加，再經過約分後為

45

28。問：三個分數的分母相加是。

小學組

(9)

6. 在 810 811 812 2010 810ⁿ

× × × × 為正整數的情形下，n 的最大值是。

7. 如圖，若將正方形 ABCD 各邊三等分，延長等分點作出新四邊形 MNPQ，則正方形 ABCD 的面積：四邊形 MNPQ 的面積 = 。

8. 教數學的王老師準備去拜訪一位朋友，出發前王老師先和這位朋友通電話，朋友家的電話號碼是 27433619，當王老師打完電話之後，發現這個電話號碼恰好是 4 個連續質數的乘積。問：這 4 個質數的總和是。

9. 一個九宮圖，圖內文字「華、羅、庚、杯、數、學、精、英、

賽」分別表示 1～9 中的九個不同的數字，並且這九個數字符合以下三個條件：

(1) 每個「田」內四個數的和都相等 (2) 華×華 = 英×英 + 賽×賽

(3) 數>學

根據上述條件，「華、杯、賽」所代表的三數之乘積為。 10.如圖，有很多大大小小的三角形，這些三角形有的是單獨

顯現的，有的是合併若干區塊才得到的，這些位置不完全相同的三角形共有個。

11.怡榮號渡輪時速 40 千米，單數日由 A 地順流航行到 B 地，雙數日由 B 地逆流航行到 A 地。（水速為每小時 24 千米）有一單數日渡輪航行到途中的 C 地時，失去動力，

只能任船漂流到 B 地，船長計得該日所用的時間為原單數日的 18

43倍；另一雙數日渡輪航行到途中的 C 地時，又失去動力，船在漂流過程中，維修人員全力搶修了 1 小時後船以 2 倍時速前進到 A 地，結果船長發現該日所用的時間與原雙數日所用時間一秒不差。請問 A、B 兩地的距離為千米。

(10)

12.老師用 10 個 1×1×1 公分的小正立方體擺出一個立體圖形，它的正視圖如圖一所示，

且圖中任兩相鄰的小正立方體至少有一稜邊（1 公分）共用，或有一面（1×1 公分）

共用。老師拿出一張 3×4 公分的方格紙如圖二所示，請小榮將此 10 個小正立方體依正視圖擺放在方格紙中的方格內，請問小榮擺放完後的左視圖有種。

（小正立方體擺放時不得懸空，每一小正立方體的稜邊與水平線垂直或平行）

圖一圖二

1. 2. 3. 4. 5. 6.

12 B 82.2 50413.5 203 150

7. 8. 9. 10. 11. 12.

9：8 290 120 29 192 16

(11)

筆試一試卷（考試時間：60 分鐘）

時間：2010 年 8 月 10 日‧地點：台灣鹿港

1. 微軟電腦軟體的遊樂場中有一種叫「踩地雷」的遊戲，相信大部分的人都玩過。如

圖所示，白色區域是已探勘沒有地雷的區域，數字代表該區域的四周灰色地帶所佈的地雷數，而且每塊灰色區域至多佈一顆地雷。問：總共佈顆地雷。

2. 如圖，若將正方形 ABCD 各邊三等分，延長等分點作出新四邊形 MNPQ，則四邊形 MNPQ 的面積：正方形 ABCD 的面積 = 。

3. 利用每邊長度都是 1 的五邊形 ABCDE 十八個可以鑲嵌出邊長為 1 的正十八邊形，如圖所示，求五邊形 ABCDE 的內角 E 是度。

4. 有一道算式：「資優教育 =資優×學習 + 更努力」。在算式中，不同的文字代表一個不同的數字，相同的文字代表一個相同的數字，則「資優教育」這個四位數的值最大是。

5. 我們可以將大數拆成兩個以上（含）連續自然數的和，例如：102 33 34 35= + + 。請問：2010 可以有種不同的拆法。

初一組

(12)

6. 如果將 5 個連續自然數以＋、－、、和（）進行基本運算，在可以任意調整連續自然數運算排列順序的條件下，1 至 15 的自然數所組成的 11 組 5 個連續自然數，

其中有組運算結果可以得到 1。

7. 用三個直角三角形和一個正方形可以緊密的合併成如圖所示的長方形 ABCD。若線段AB x= + ，線段3 AD=2x+ ，且△BFG 的面積為 64 平方單位，則長方形 ABCD6 的周長為單位。

8. 如圖，有一個 4 4× 的方格，它是由 1 到 16 的數字填入，使得每一直行上、每一橫行上、每條對角線上的數字和，恰好形成 10 個連續整數。請問「＊」號所在的方格內應填（哪個數字）。

9. 設聯立方程式

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

= + +

+ 30

5 3 2

18 5 3 2

1 z y x

z y

x ，已知A=2^x⁻¹+3^y⁻¹+5^z⁺¹，求 A 的範圍

是。

10. 如圖，有很多大大小小的三角形，這些三角形有的是單獨顯現的，有的是合併若干區塊才得到的，這些位置不完全相同的三角形共有個。

(13)

11. 怡榮號渡輪時速 40 千米，單數日由 A 地順流航行到 B 地，雙數日由 B 地逆流航行到 A 地。（水速為每小時 24 千米）有一單數日渡輪航行到途中的 C 地時，失去動力，

只能任船漂流到 B 地，船長計得該日所用的時間為原單數日的 18

43倍；另一雙數日渡輪航行到途中的 C 地時，又失去動力，船在漂流過程中，維修人員全力搶修了 1 小時後船以 2 倍時速前進到 A 地，結果船長發現該日所用的時間與原雙數日所用時間一秒不差。請問 A、B 兩地的距離為千米。

12. 老師用 10 個 1×1×1 公分的小正立方體擺出一個立體圖形，它的正視圖如圖所示，且圖中任兩相鄰的小正立方體至少有一稜邊（1 公分）共用，或有一面（1×1 公分）共用。請問此立體圖形的左視圖有種。（小正立方體擺放時不得懸空，每一小正立方體的稜邊與水平線垂直或平行）

1. 2. 3. 4. 5. 6.

11 8：9 140 8753 7 11

7. 8. 9. 10. 11. 12.

72 11 20 < A < 45 29 192 138

(14)

數學與猜想─

※ 楔子》

有一天，我與茶博士劉老師聊天。他說以前曾經考過品茶師，是這樣考的：每個人前面放 10 種不同的茶，各兩杯，分前後兩排；品嚐後，把相同的茶配成對，據說配成功 6 對就可成為品茶師。那麼，如果有一個人，他胡亂配對，則他配成功的杯數的數學期望值是多少？

我把問題丟到數學討論群好幾天，沒有下文，於是決心自己把它搞定。（數學討論群網址：http://mathforum.org/kb/forum.jspa?forumID=13）

※ 01 預備定理》

n 對茶，任意配對，全部都配錯的情形有幾種？

假設有A a A a₁, , , , , ,₁ ₂ ₂ A a 共_n _n n 對茶，Si =

{

A ai與配成功的配對情形，根據排容原理，i

}

則全部都配錯的情形的個數

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

1

1 2

1

1 2

!

! 1

! 1 ! 2 ! 1

2 ! 1 .

n n n

n

i i j i j k n

i i j i j k

n n n

n n

S S S S S S n S S S

n S S S S S S S S S

n C n C n C n

−

< < <

−

′ ′ ′ ′

= ∩ ∩ ∩ = ∪ ∪ ∪ = − ∪ ∪ ∪

⎧ ⎫

= −⎨ − ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩ ∩ ⎬

⎩ ⎭

= − − + − − + −

= − − + −

∑ ∑ ∑

※ 02 合情猜測》

假設 ( )E n = 對茶配對成功的數目的期望值，則 n (1) (1) 1E =

(2) n =2時， ,A B 與 ,a b 配對：

1 1

(2) 0 1 0 2 1

2 2

E = × + × + × = . x i 0 1 2

p 1i

2 0 1 2

江慶昆／台中市衛道中學退休教師

(15)

(3) n =3時， , ,A B C 與 , ,a b c 配對：

3 1 (3) 1 3 1

6 6 E = × + × = .

(4) n =4時， , , ,A B C D 與 , , ,a b c d 配對：

^p⁰ ^{= ×}_4!¹

{

^4!⁻^C¹⁴^{× +}^3! ^C²⁴^{× −}^2! ^C³⁴^{× + =}^{1! 1}

}

₂₄⁹ ^,

^p¹ ^{= ×}_4!¹ ^C¹⁴^{× −}

{

^3! ^C¹³^{× +}^2! ^C²³^{× − =}^{1! 1}

}

₂₄⁸ ^,

^p² ^{= ×}_4!¹ ^C²⁴^×

{

^2!⁻^C¹²^{× + =}^{1! 1}

}

₂₄⁶ ^,

p = , ₃ 0 ₄ 1 1

4! 24 p = = ,

8 12 4

(4) 1

E = + +24 = . 所以，合情的猜測是 ( ) 1E n = 。

※ 03 更多證據，加強信心》

5 n = 時，

{

⁵ ⁵ ⁵

}

0 1 2 3! 3 2! 4 1! 1 44

5! 120

p = C × −C × +C × − = ,

{ }

5 4 4

1 1 1 2 2! 3 1! 1 45

5! 120

p = ×C × C × −C × + = ,

{ }

5 3

2 1 2 2 1! 1 20

5! 120

p = ×C × C × − = ,

3 1 35 10

5! 120 p = ×C = ,

4 0

p = ,

5 1 1

5! 120 p = = ,

44 45 20 10 1

(5) 0 1 2 3 4 0 5 1

120 120 120 120 120 E = × + × + × + × + × + × = .

x i 0 1 2 3 p 2i

6 3

6 0 1 6

x i 0 1 2 3 4 p i 9

24 8 24 6

24 0 1 24

(16)

※ 04 專注，尋找規律》

6 n = 時，

{

⁶ ⁶ ⁶ ⁶ ⁶ ⁶

}

0 1 6! 1 5! 2 4! 3 3! 4 2! 5 1! 6 0! 1 1 1 1 1

6! 2! 3! 4! 5! 6!

p = −C × +C × −C × +C × −C × +C × = − + − + ,

{ }

6 5 5 5 5 5

1 1 5! 1 4! 2 3! 3 2! 4 1! 5 0! 1 1 1 1

6! 2! 3! 4! 5!

p =C −C × +C × −C × +C × −C × = − + − ,

{ }

6 4 4 4 4

2 2 4! 1 3! 2 2! 3 1! 0 0! 1 1 1 1

6! 2! 2! 3! 4!

p =C −C × +C × −C × +C × = ⎛⎜⎝ − + ⎞⎟⎠,

{ }

6 3 3 3

3 3 3! 1 2! 2 1! 3 0! 1 1 1

6! 3! 2! 3!

p =C −C × +C × −C × = ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠,

{ }

6 2 2

4 4 2! 1 1! 2 0! 1 1

6! 4! 2!

p =C −C × +C × = × ,

{ }

6 1

5 5 1! 1 0! 0

6!

p =C − ×C = ,

66

6 1

6! 6!

p =C = ,

0 1 2 6

(6) 0 1 2 6

E = ×p + × + ×p p + + × p

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2! 3! 4! 5! 2! 3! 4! 2! 2! 3! 3! 2! 5!

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ − + − ⎟ ⎜⎠ ⎝+ − + ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠+ × + + . 同理可得，

0 1 2 7

(7) 0 1 2 7

E = × + × + × + + × q q q q

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2! 3! 4! 5! 6! 2! 3! 4! 5! 3! 2! 3! 4! 2! 6!

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ − + − + ⎟ ⎜⎠ ⎝+ − + − ⎟⎠+ + ⎜⎝ − ⎟⎠+ × + + . 我們看到

1 1 1 1 1 1 1

(7) (6)

6! 5! 2!4! 3!3! 4!2! 5!1! 6!

E −E = − + − + − +

⁼_6!¹

(

^C⁰⁶⁻^C¹⁶⁺^C²⁶⁻^C³⁶⁺^C⁴⁶⁻^C⁵⁶⁺^C⁶⁶

)

= . ……（後記 1） ⁰

※ 05 預言與證明》

我們相信 (E n+ −1) E n( ) 0= 。

若此式成立，因為 (1) 1E = ，則 ( ) 1E n = 對所有的 n 都成立，對一般的 n 而言，

0 1 1 1 ( 1) 1 2! 3! 4! ! p n

= − + + + − n , ₁ 1 1 ( 1) ¹ 1 2! 3! ( 1)!

p n

n

= − + + − −

− ,

( )

2 1 1 1 ( 1) 2 1

2! 2! 3! 2 !

p n

n

⎛ − ⎞

= ⎜⎜⎝ − + + − − ⎟⎟⎠,…,

( )

1 1 1 ... ( 1) 1

! 2! 3! !

i n i

p i n i

⎛ − ⎞

= ⎜⎜⎝ − + + − − ⎟⎟⎠,

(17)

( ) ( )

1 2

1 1 1 1 1 1

( ) ( 1) ( 1)

2! 3! 1 ! 2! 3! 2 !

n n

E n n n

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎜⎝ − + + − − ⎟ ⎜⎟ ⎜⎠ ⎝+ − + + − − ⎟⎟⎠+

( )

ⁱ ¹^{1 ! 2! 3!}^{1 1} ^{( 1)}^{n i}⁻

(

^{n i}¹

)

^!

(

ⁿ¹^{1 !}

)

⎛ ⎞

+ − ⎜⎜⎝ − + + − − ⎟⎟⎠+ + − ,

( )

1 1 1 1 1

( 1) ( 1) ( 1)

2! 3! 1 ! !

n n

E n n n

⎛ − ⎞

+ =⎜⎜⎝ − + + − − + − ⎟⎟⎠

( ) ( )

2 1

1 1 ( 1) 1 ( 1) 1

2! 3! 2 ! 1 !

n n

− −

⎛ ⎞

+⎜⎜⎝ − + + − − + − − ⎟⎟⎠+

( )

¹

( )

1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1

( 1)! 2! 3! ! 1 ! !

n i n i

i n i n i n

− − +

⎛ ⎞

+ − ⎜⎜⎝ − + + − − + − − + ⎟⎟⎠+ + ,

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1

( 1) ( ) ( 1) ( 1)

! 1 ! 2! 2 ! 3! 3 ! !

n n

E n E n

n n n n n

⎧ ⎫

⎪ ⎪

+ − = − ⎨⎪⎩ − − + × − − × − + + − ⎬⎪⎭

⁼^{( 1)}⁻_n_!ⁿ

{

^C⁰ⁿ ⁻^C¹ⁿ⁺^C²ⁿ^{− + −}^{( 1)}ⁿ^Cⁿⁿ

}

^,

考慮

(

1+x

)

ⁿ =C0ⁿ+C x C x1ⁿ + 2ⁿ ²+ +C x_n^{n n}，取x = −1，得知上式 (E n+ −1) E n( ) 0= 。

※ 06 後記》

1.

(

1 x+

)

⁶ =C0⁶+C x C x1⁶ + 2^{6 2}+C x C x3^{6 3}+ 4^{6 4}+C x C x5^{6 5}+ 6^{6 6}，取x = −1，得

(

⁰⁶ ¹⁶ ²⁶ ³⁶ ⁴⁶ ⁵⁶ ⁶⁶

)

1 0

6! C −C +C −C +C −C −C = 。

2. 我們這麼說，前面有 10 杯茶，我拿另一杯來配對，則配成對的期望值為 1

10，所以我拿 10 杯，則配成對的期望值為10 1 1

×10 = ，這算是直觀且正確的看法嗎？在這個對所謂證明有嚴格要求的時代，我想，那是直觀但不是好的證明。

3. 與茶博士劉福榮老師的談話是 1998 年 8 月 4 日的事，一晃十多年，把這篇文章寫好，算是了一番心事。

4. 整個問題的完成，我採匈牙利數學家波利亞(G. Polya)在《數學與猜想》一書中建議的途徑進行。

(18)

＊＊摘要

高中數學 99 課程綱要納入新教材「插值多項式」，求圖形通過 x 坐標不同的 n 個點

1 1 2 2

( , ),( , ), ,( , )x y x y x y 的最低次多項式；一般都用「Lagrange 插值多項式」來處理，_n _n 傳統的「Newton 插值多項式」反而被忽略了。有鑑於此，筆者推導出多項式

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 2 1 2 2

( ) _n _n _n _n

f x =c ₋ x x x x− − x x− ₋ +c ₋ x x x x− − x x− ₋ + +c x x x x2

(

− 1

)(

− 2

) (

+c x x1 − 1

)

+ c0

的各項係數。

＊＊內文

圖形通過 2 個相異點( , ),( , )x y₁ ₁ x y ，其中₂ ₂ x₁≠ ，的一次多項式為 x₂

（直線的點斜式） ¹ ²

(

1

)

1

1 2

( ) y y

f x x x y

x x

= − ⋅ − +

− ；

上面的多項式也可以表示成

（Lagrange 形式） ₁ ² ₂ ¹

1 2 2 1

( ) x x x x

f x y y

x x x x

− −

= ⋅ + ⋅

− − ，

或

（Newton 形式） ¹ ²

(

1

)

1

1 2 2 1

( ) y y

f x x x y

x x x x

⎛ ⎞

=⎜⎝ − + − ⎟⎠ − + 。

而要找圖形通過 x 坐標不同的 3 個點( , ),( , ),( , )x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y 的最低次多項式，常用的₃ ₃ 方法有下列三種：

甲、用「解方程組方法」求過 3 個點的最低次多項式

設多項式為 f x( )=a x₂ ²+a x a₁ + ，將 3 個點代入多項式，然後解方程組可得 ₀

( )( )( )

1 1

2 2

3 3

2

3 2 2 1 1 3

1 1 1 y x y x y x

a = x x x x x x

− − − ,

( )( )( )

2

1 1

2

2 2

2

3 3

1

3 2 2 1 1 3

1 1 1 x y x y x y

a = x x x x x x

− − − ,

( )( )( )

2

1 1 1

2

2 2 2

2

3 3 3

0

3 2 2 1 1 3

x x y x x y x x y a = x x x x x x

− − − .

葉善雲／台北市東山高中

(19)

乙、用「Lagrange 形式」求過 3 個點的最低次多項式

設多項式為 f x( )=b x x x x3

(

− 1

)(

− 2

)

+b x x x x2

(

− 1

)(

− 3

) (

+b x x1 − 2

)(

x x− 3

)

，將 3 個點代入多項式後，可得

( )(

³

)

3

3 1 3 2

b y

x x x x

= − − ,

( )(

²

)

2

2 1 2 3

b y

x x x x

= − − ,

( )(

¹

)

1

1 2 1 3

b y

x x x x

= − − .

丙、用「Newton 形式」求過 3 個點的最低次多項式

設多項式為 f x( )=c x x x x2

(

− 1

)(

− 2

) (

+c x x1 − 1

)

+ ，將 3 個點代入多項式後，可得 c0

0 1

c = ,y ₁ ¹ ²

1 2 2 1

y y

c = x x +x x

− − ,

( )(

¹

) ( )(

²

) ( )(

³

)

2

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

y

y y

c = x x x x + x x x x + x x x x

− − − − − − .

一般而言，欲求圖形通過 x 坐標不同的 n 個點( , ),( , ), ,( , )x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y 的最低次多_n _n 項式，仍可設多項式為

1 2 2

1 2 2 1 0

( ) _n ⁿ _n ⁿ

f x =a x₋ ⁻ +a x₋ ⁻ + +a x +a x a+ , 或

(

1

)(

2

) (

2

)(

1

)

1

(

1

)(

2

) (

2

)( )

( ) _n _n _n _n _n _n

f x =b x x x x− − x x− ₋ x x− ₋ +b₋ x x x x− − x x− ₋ x x− + +b x x x x2

(

− 1

)(

− 3

) (

x x− n₋1

)(

x x− n

) (

+b x x1 − 2

)(

x x− 3

) (

x x− n₋1

)(

x x− n

)

, 或

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 0

( ) _n _n _n _n

f x =c ₋ x x x x− − x x− ₋ +c₋ x x x x− − x x− ₋ + +c x x− + , c 然後將各個點代入多項式，再解出各係數。

此處，我們僅討論 Lagrange 形式與 Newton 形式：

甲、用「Lagrange 形式」求過 n 個點的最低次多項式將( , )x y 代入多項式後，可得₁ ₁

( )( )(

¹

) ( )( )

1

1 2 1 3 1 4 1 n 1 1 n

b y

x x x x x x x x ₋ x x

= − − − − − ；

將( , )x y 代入多項式後，可得₂ ₂

( )( )(

²

) ( )( )

2

2 1 2 3 2 4 2 n 1 2 n

b y

x x x x x x x x ₋ x x

= − − − − − ；

將(x_n₋₁,y_n₋₁)代入多項式後，可得

( )( ) (

¹

)( )

1

1 1 1 2 1 2 1

n n

n n n n n n

b y

x x x x ⁻x x x x

−

− − − − −

= − − − − ；

將 ( , )x y 代入多項式後，可得_n _n

(

1

)(

2

)(

3

) (

2

)(

1

)

n n

n n n n n n n

b y

x x x x x x x x ₋ x x₋

= − − − − − ，

於是我們得到過 n 個點的最低次多項式。

(20)

◎ 定理一：Lagrange 插值多項式

設圖形通過 x 坐標不同的 n 個點( , ),( , ), ,( , )x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y 的最低次多項式為 _n _n

(

1

)(

2

) (

2

)(

1

)

1

(

1

)(

2

) (

2

)( )

( ) _n _n _n _n _n _n

f x =b x x x x− − x x− ₋ x x− ₋ +b₋ x x x x− − x x− ₋ x x− + +b x x x x2

(

− 1

)(

− 3

) (

x x− n₋1

)(

x x− n

) (

+b x x1 − 2

)(

x x− 3

) (

x x− n₋1

)(

x x− n

)

,

則

( )

1 ,

i i

i k

k n k i

b y

x x

≤ ≤ ≠

=

∏

− ^，其中ⁱ⁼^{1,2,3, ,}ⁿ^。

乙、用「Newton 形式」求過 n 個點的最低次多項式設多項式為

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 2 1 2 2

( ) _n _n _n _n

f x =c ₋ x x x x− − x x− ₋ +c ₋ x x x x− − x x− ₋ + +c x x x x3

(

− 1

)(

− 2

)(

x x− 3

)

+c x x x x2

(

− 1

)(

− 2

) (

+c x x1 − 1

)

+ , c0

將( , )x y 代入多項式後，可得₁ ₁ c₀ = ； y₁

將( , )x y 代入多項式後，可得₂ ₂ ₁ ² ⁰ ² ¹ ¹ ²

2 1 2 1 1 2 2 1

y c y y y y

c x x x x x x x x

− −

= = = +

− − − − ；

將( , )x y 代入多項式後，可得 ₃ ₃

( )( ) ( )

2 3 1 3 1 0

3 1 3 2

c 1 y c x x c

x x x x ⎡ ⎤

= − − ⋅⎣ − − − ⎦

( )( )

3 ¹ ²

(

3 1

)

1

3 1 3 2 1 2 2 1

1 y y y x x y

x x x x x x x x

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= − − ⋅⎢⎣ −⎜⎝ − + − ⎟⎠ − − ⎥⎦

(

3 1

)(

³ 3 2

) (

3 1

)(

² 3 2

)

³2 ¹1

(

3 1

)(

¹ 3 2

)

1³ 2¹ ¹1 ²2

y y x x y x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

⎛ ⎞

− − −

= − − − − − ⋅ − − − − ⋅⎜⎝ − + − ⎟⎠

( )( ) ( )( ) ( )

( )(

¹ ³

)(

²

)

3 2

3 1 3 2 2 1 2 3 3 1 3 2 1 2

y x x

y y

x x x x x x x x x x x x x x

= + − −

− − − − − − −

(

1 2

)(

¹ 1 3

) (

2 1

)(

² 2 3

) (

3 1

)(

³ 3 2

)

y

y y

x x x x x x x x x x x x

= + +

− − − − − − .

至於一般的c ，我們用底下的定理來描述： _i

◎ 定理二：Newton 插值多項式

設圖形通過 x 坐標不同的 n 個點( , ),( , ), ,( , )x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y 的最低次多項式為 ( )_n _n f x ，則 _n 圖形通過 x 坐標不同的n +1個點( , ),( , ), ,( , ),(x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y_n _n x_n₊₁,y_n₊₁)的最低次多項式為

( )( ) ( )

1( ) 1 2 ( )

n n n n

f ₊ x =c x x x x− − x x− + f x ，其中

( )

1

1 1,

n i

n i i k

k n k i

c y

x x

+

=

≤ ≤ + ≠

=

∑ ∏

− ^。

(21)

例如：

通過 x 坐標不同的 4 個點( , ),( , ),( , ),( , )x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y₃ ₃ x y 的最低次多項式為 ₄ ₄

( )( )( ) ( )( )

¹ ²

( )

4 3 1 2 3 2 1 2 1 1

1 2

( ) y y

f x c x x x x x x c x x x x x x y x x

= − − − + − − + − ⋅ − +

− ,

其中

( )(

¹

) ( )(

²

) ( )(

³

)

2

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

y

y y

c = x x x x + x x x x + x x x x

− − − − − − ,

( )(

¹

)( ) ( )(

²

)( ) ( )(

³

)( )

3

1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4

y

y y

c = x x x x x x + x x x x x x + x x x x x x

− − − − − − − − −

(

4 1

)(

4 ⁴ 2

)(

4 3

)

y

x x x x x x

+ − − − .

證明：

設 ¹ ¹

( ) (

¹

)(

²

) ( )

1

1 1,

( ) ⁿ ⁱ ( )

n n n

i i k

k n k i

f x y x x x x x x f x

x x

+

+ =

≤ ≤ + ≠

= ⋅ − − − +

∑ ∏

− ^，則顯然

1( )1 ( )1 1

n n

f ₊ x = f x = ,y f_n₊₁( )x₂ = f x_n( )₂ = ,…, y₂ f_n₊₁( )x_n = f x_n( )_n = , y_n 而

( ) ( )( ) ( )

1

1 1 1 1 1 1 2 1

1

1 1,

( ) ( ) ⁿ ⁱ

n n n n n n n n

i i k

k n k i

f x f x y x x x x x x

x x

+

+ + + + + +

=

≤ ≤ + ≠

= + ⋅ − − −

∑ ∏

−

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1 1 2 1

1

1 1,

( ) ⁿ ⁱ

n n n n n n n

i i k

k n k i

f x y y x x x x x x

+ + x x + + +

=

≤ ≤ + ≠

= + + ⋅ − − −

∑ ∏

−

( )( ) ( )( )( )

(

¹ ²

)(

¹ ³

) (

¹

)(

¹ ¹

)(

¹

)

¹

1 1 1

1 2 1 3 1 1 1 1 1

( ) ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ

n n n

x x x x x x x x x x

f x y y

x x x x x x x x x x

+ + + − + +

+ +

− +

− − − − −

= + + ⋅

− − − − −

( )( )( ) ( )( )( ) (

¹ ¹

)(

¹ ³

)(

¹ ⁴

) (

¹

)(

¹ ¹

)(

¹

)

²

2

2 1 2 3 2 4 2 1 2 2 1

n n n n n n n n

n n n

y x x x x x x x x x x x x

+ + + + − + +

− +

− − − − − −

+ ⋅ − − − − − −

( )( )( ) ( )( )( )

1 1 1 2 1 4 1 1 1 1 3

3

3 1 3 2 3 4 3 1 3 3 1

n n n n n n n n

n n n

y x x x x x x x x x x x x

+ + + + − + +

− +

− − − − − −

+ ⋅ − − − − − −

+

( )( ) ( )( )( ) (

¹ ¹

)(

¹ ²

) (

¹ ²

)(

¹

)(

¹ ¹

)

1

1 1 1 2 1 2 1 1 1

n n n n n n n n

n

n n n n n n n n

x x x x x x x x x x

y x x x x x x x x x x

+ + + − + + −

−

− − − − − − +

− − − − −

+ ⋅

− − − − −

( )( ) ( )( ) (

¹ ¹1

)(

¹ 2²

) (

¹ 1

)(

¹ ¹ 1

)

n n n n n n

n

n n n n n n

x x x x x x x x

y x x x x x x x x

+ + + − +

− +

− − − −

+ ⋅ − − − −

(22)

( )( ) ( )( ) (

¹ ²

)(

¹ ³

) (

¹

)(

¹ ¹

)

1 1 1

1 2 1 3 1 1 1

( ) ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ

n n n

n n

x x x x x x x x

f x y y

x x x x x x x x

+ + + − +

+ +

−

− − − −

= + − ⋅

− − − −

( )( )( ) ( )( ) (

¹ ¹

)(

¹ ³

)(

¹ ⁴

) (

¹

)(

¹ ¹

)

2

2 1 2 3 2 4 2 1 2

n n n n n n n

n n

x x x x x x x x x x

+ + + + − +

−

− − − − −

− ⋅ − − − − −

( )( )( ) ( )( )

1 1 1 2 1 4 1 1 1

3

3 1 3 2 3 4 3 1 3

n n n n n n n

n n

x x x x x x x x x x

+ + + + − +

−

− − − − −

− ⋅ − − − − −

−

( )( ) ( )( ) (

¹ ¹

)(

¹ ²

) (

¹ ²

)(

¹

)

1

1 1 1 2 1 2 1

n n n n n n

n

n n n n n n

x x x x x x x x

y x x x x x x x x

+ + + − +

−

− − − − −

− − − −

− ⋅

− − − −

( )( ) ( ) (

¹ ¹1

)(

¹ 2²

) (

¹ 1

)

¹

n n n n

n

n n n n

x x x x x x

y x x x x x x

+ + + −

−

− − −

− ⋅ − − −

( )( ) ( )( ) ( )

1 1 1 2 1 1 1 1 1

1 1

1 1 2 1 1

( ) ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁱ ⁿ ⁱ ⁿ ⁿ

n n n i

i i i i i i i i n

x x x x x x x x x x

y f x y

x x x x x x x x x x

+ + + − + + +

+ +

= − +

− − − − −

= + − ⋅

− − − − −

∑

= y_n₊₁,

因為由 Lagrange 插值多項式知

( )( ) ( )( ) ( )

(

¹

)(

²

) (

¹

)(

¹

) ( )

1 1 2 1 1

( ) ⁿ ⁱ ⁱ ⁿ

n i

i i i i i i i i n

x x x x x x x x x x f x y

x x x x x x x x x x

− +

= − +

− − − − −

= ⋅

− − − − −

∑

^,

故

( )( ) ( )( ) ( )

1 1 1 2 1 1 1 1 1

1 1 1 2 1 1

( ) ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ ⁱ ⁿ ⁱ ⁿ ⁿ

n n i

i i i i i i i i n

x x x x x x x x x x

f x y

x x x x x x x x x x

+ + + − + + +

+ = − +

− − − − −

= ⋅

− − − − −

∑

^，

所以 f_n₊₁( )x 的圖形通過點( , ),( , ), ,( , ),(x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y_n _n x_n₊₁,y_n₊₁)。例如：

欲求過 (1,5), (2,7), (3,11), (4, 1)A B C D − 的最低次多項式，可設

( )( )( ) ( )( ) ( )

4( ) 3 1 2 3 2 1 2 1 1 5

f x =c x− x− x− +c x− x− +c x− + , 則

1 5 7 2 c =1 2− =

− ,

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 5 7 11 5 7 11 1

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 2 2

c = + + = − + =

− − − − − − ,

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

3 5 7 11 1

1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3

c = + + + −

− − − − − − − − − − − −

5 7 11 1 3 6 2 2 6

= − + − − = − ,

得 f x4( )= −3

(

x−1

)(

x−2

)(

x− + −3

) (

x 1

)(

x− +2 2

) (

x− + 。 1 5

)

(23)

推論：

設圖形通過 n 個點( , ),( , ), ,( , )x y₁ ₁ x y₂ ₂ x y 的最低次多項式為 ( )_n _n f x ，若_n (x_n₊₁,y_n₊₁)在

n( )

y f x= 的圖形上，則

( )

1 1

1 1,

n 0

n i

i i k

k n k i

c y

x x

+

=

≤ ≤ + ≠

= =

∑ ∏

− ^。例如：

(1) 若已知圖形通過 (1, 2), (2,1), (3,18), (4,61)A − B C D 的最低次多項式為 ( )f x ，試求 (5)f 之值。

設圖形通過 , , , , (5, (5))A B C D E f 的最低次多項式為

( )( )( )( )

5( ) 4 1 2 3 4 ( )

f x =c x− x− x− x− + f x , 則c = ，即 ₄ 0

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

4 2 1

1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 3 2 4 2 5

c = − +

− − − − − − − −

(

3 1 3 2 3 4 3 5

)(

¹⁸

)( )( ) (

4 1 4 2 4 3 4 5

)(

⁶¹

)( )( )

+ +

− − − − − − − −

(

5 1 5 2 5 3 5 4

)( )(

⁽⁵⁾

)( )

⁰

+ f =

− − − − ,

得 (5) ( 24) 2 1 18 61 2 4 108 244 142 24 6 4 6

f = − ×⎛⎜⎝− +− + +− ⎞⎟⎠= + − + = 。

(2) 若已知圖形通過 (2007, 2), (2008,1), (2009,18), (2010,49)A − B C D 的最低次多項式為 ( )

f x ，試求 (2012)f 之值。

（說明：此處 ^{f x}^{( ) 7}⁼

(

^x⁻²⁰⁰⁷

)(

^x⁻^{2008 3}

) (

⁺ ^x⁻^{2007 2}

)

^{− 為二次式）}

設圖形通過 , , , , (2012, (2012))A B C D E f 的最低次多項式為

( )( )( )( )

5( ) 4 2007 2008 2009 2010 ( )

f x =c x− x− x− x− + f x , 則c = ，即 ₄ 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 2 1

1 2 3 5 1 1 2 4

c = − +

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

( ) ( )

¹⁸ ⁴⁹

( )

^{(2012) 0}

2 1 1 3 3 2 1 2 5 4 3 2

+ + + f =

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ , 得 (2012) ( 120) 2 1 18 49 8 15 360 490 153

30 8 6 12

f = − ×⎛⎜⎝− +− + +− ⎞⎟⎠= + − + = 。 Sol

Sol

(24)

國立台灣師範大學數學系

筆試一、計算證明題

（考試時間：2 小時）

1. 在△ABC 中，令a BC b CA c AB= , = , =

(1) 試敘述並證明△ABC 的正弦定律。（10 分）

(2) 試敘述並證明△ABC 的餘弦定律。（10 分）

2. 設

2 2

1 2 3 3

( ) 1 3 2 7

2 5 2 12 10 12

x x x x

f x x x x x

x x x x

+ + +

= − +

− + −

(1) 試將 ( )f x 表成 x 的多項式。（10 分）

(2) 試求方程式 ( ) 0f x = 的所有實根。（10 分）

3. 設 a 為一正實數，而方程式x²+y²+ −z² 2ax−10y−18z a− −² 16a+65 0= 的圖形是空間中一個半徑為 9 的球面

(1) 試求正實數 a 的值。（8 分）

(2) 試求此球面與平面x+4y+ − = 的交點坐標。（12 分） 8 13 0z

4. 下圖為一個正八面體。一隻螞蟻自正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點處牠會從四條稜邊中隨機地選擇一條向另一頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。

(1) 螞蟻只爬行兩條稜邊就抵達下方頂點的機率為何？（5 分）

(2) 螞蟻爬行三條稜邊才抵達下方頂點的機率為何？（5 分）

(3) 螞蟻自上方頂點爬行到下方頂點，所經過的稜邊數的期望值為何？（10 分）

5. 給定坐標平面上一點 (16,6)

A

及二直線l y = − 與₁: 2 l₂: 24x−7y+50 0=

(1) 過點 A 且與直線l 相切的所有圓圓心構成一曲線，試求其方程式。（10 分） ₁ (2) 試求過點 A 且與直線l 、₁ l 都相切的所有圓的方程式。（10 分） ₂

龍騰數亦優第13期

編輯室墨記

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

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龍騰數亦優 2010.11 目次

許志農

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13

17

23

34

50

（考試時間：60 分鐘）

時間：2010 年 8 月 10 日‧地點：台灣鹿港

＊ 第一題 ＊

遊戲競賽題

＊ 第二題 ＊

＊ 第三題 ＊

筆試一試卷（考試時間：60 分鐘）

時間：2010 年 8 月 10 日‧地點：台灣鹿港

小 學 組

筆試一試卷（考試時間：60 分鐘）

時間：2010 年 8 月 10 日‧地點：台灣鹿港

初 一 組

數學與猜想─

※ 楔子 》

※ 01 預備定理 》

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}

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∑ ∑ ∑

※ 02 合情猜測 》

{

}

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}

{

}

※ 03 更多證據，加強信心 》

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}

{ }

{ }

※ 04 專注，尋找規律 》

{

}

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

(

)

※ 05 預言與證明 》

( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

(

)

( )

＊第一題＊

＊第二題＊

＊第三題＊

小學組

初一組

※ 楔子》

※ 01 預備定理》

※ 02 合情猜測》

※ 03 更多證據，加強信心》

※ 04 專注，尋找規律》

※ 05 預言與證明》

※ 06 後記》

＊＊摘要