數值方法SJ-DFPM

6 Figlewski和Gao（1999）定義分佈誤差為公司股價服從連續對數常態分佈，但模型以離散機率 分佈來表示公司的連續股價。

一、Bino-Trinomial Tree

Dai 和 Lyuu（2006a）提出 Bino-Trinomial Tree 模型（如圖 3-2），以 CRR 二 元樹結構為主。假設 CRR 二元樹每期Δt的時間，將 CRR 二元樹首兩期截斷產生

『圖 3-2』 BTT 二、Stair Tree

Dai和Lyuu（2006b）提出階梯樹的數值方法（如圖 3-3），用以解決當公司支 付股利時⁸，會產生後續的二元樹結點無法重合，且樹狀大小將成指數展開。階 梯樹主要將支付股利視為樓梯般下降，如圖。當結點價值下降股利後，接著再以 BTT模型展開。

『圖 3-3』 Stair Tree 三、數值方法 SJ-DFPM

延續 DFPM（discrete first passage model）方法以股票選擇權概念處理公司資 產及支付固定債息、償還公司債，且違約門檻隨公司債償還而變動。本文使用 SJ-DFPM（stochastic jump-DFPM）方法除了處理 DFPM 面臨的固定跳躍問題外，

對於因盈餘不同而繳交不同額度的稅、破產成本…等皆可處理，進而觀測公司在 到期日前是否有違約的可能。SJ-DFPM 數值方法除有下列點優勢，其中（1）~

（3）為 Wan-Pei Du（2007）提出：

（1）FPM 為連續時間觀測公司資產變化，與現實不符合。現實中公司財報、重 大資訊的發佈…等以年、季、月甚至是日等離散時間公告。公司債或債息 償還皆為離散償還。因此，以離散模擬較連續模型貼近現實。

（2）FPM 以樹模型來評價選擇權，會產生非線性誤差。而 DFPM 利用 BTT 可

以解決這個問題。

（3）階梯樹可以解債息支付產生資產下降的問題。

（4）Leland（1994）及 Leland 和 Toft 提出債券的封閉解，指出為連續賦稅，這 與現實不合。現實繳稅為年繳且會依公司盈餘狀況而改變，且若公司呈現 虧損則無需繳稅。

（5）假設違約沒有成本，實際上違約有破產成本的問題存在。

假設視公司資產

V 的資本結構為股東權益 E 及一筆到期日為 T，面額為 D

_A 司債券。公司的波動率

的公

σ

_A、無風險利率 r、違約門檻 B、公司的營業所得稅

τ 、破產成本為α ，B

0 ≤ ≤

α

1

，時間為 T，檢視期為 L（如：季檢視、年檢視），

樹及二 當支付債息或償還公司債時，

檢視期 L 將時間 T 切割成 k 個區間。利用 BTT 展開期間分別為

Δ

t′及

Δ

t的三元

元樹。機率如（34）。 公司資產

V 向下跳躍

_A

V

A

固定價值。或公司繳交公司營業所得稅，則公司資產 會因不同的起始價值，

而有不同的盈餘，即以公司資產變化當作公司的 EBIT。進而造成公司資產

V 有

_A 幅度的跳躍。違約門檻也會因公司債及破產成本變動而改變。則依據階梯 資產跳躍下降，下降

不同的

樹公司 後再接一組 BTT，以此類推接下去。見圖 3-4、圖 3-5、

『圖 3-4』 無稅盾條件下的 jump1 圖 3-6、圖 3-7、圖 3-8、圖 3-9 及圖 3-10。

( ) ( )

1 1 1

V

₁

V

_a

V

₂

V

₃

V

₄

V

₅

a 1 a

V

−

V

−

V

× =

τ V

× −

τ

+

V

×

τ

( ) ( )

2 2 _a 2 1

V

−

V

−

V

× =

τ V

× −

τ

+

V

_a ×

τ

( )

3 3 a 3

V

−

V

−

V

× =

τ V

V4

V5

無稅盾價值

B

『圖 3-5』 稅盾條件下的 jump1

V

₁ V1

(

V1 V_a C

)

V1

(

1

) (

V_a C

)

V

₁

V

_a

V

₂

V

₃

V

₄

V

₅

B

『圖 3-6』 課稅條件下的 jump1

V

_a

V

₂

V

₃

V

₄

V

₅

B

τ τ τ

− − − +× = × − + + ×

( ) ( ) ( )

2 2 _a 2 1 _a

V − V −V −C ⁺× = × − +τ V τ V +C ×τ

( )

3 3 a 3

V

−

V

−

V

−

C ⁺

× =

τ V

稅盾價值

『圖 3-7』 無稅盾條件下的 jump2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

V

₈

V

_c

V

_b

V

_a

V

₅

V

₆

V

₇

B

『圖 3-9』 課稅條件下的 jump2

『圖 3-10』 無破產成本 有破產成本

在文檔中 使用改良結構式模型運用於信用風險及資本結構 (頁 25-31)