第四章 分層模式(二)－考慮層介面連續
4.2 數值架構
4.2.1 有限體積法
有限體積法(Finite Volume Method)在方程式數值離散時採用控制體積 之觀念，可適用於各種形狀之邊界，且介面相鄰兩元素所採用之通量相等，
守恆性良好，已廣泛應用於計算流體力學。本研究在垂直方向上採用分層積 分之方式離散控制方程式，在水平方向則採用有限體積法離散控制方程式，
以得控制方程式最佳之守恆性。在離散控制方程式時，因控制方程式具有三 個變數 u、v、w(或H)，這三個變數既是待求變數，亦用以推求元素邊界通 量，一般常用之方法有交錯格點(staggered grid)與非交錯格點(non-staggered grid)，非交錯格點將所有待求變數均放置於相同點上，因此僅使用一套格 點，在有限差分法中計算方便，但已有許多研究指出非交錯格點求解之流場 容易出現數值震盪之現象(checker board)，使用交錯格點在有限體積法中方 便計算元素邊界通量，亦可避免數值震盪現象，交錯格點物理配置方式及其
( )
4.2.2 數值差分式
對 方 程 式 (4.20) 而 言 ， 可 將 對 流 項 (Gxφ)e,w、 (Gyφ)n,s 與 擴 散 項 (Dx∂φ/∂x)e,w、(Dyφ)n,s 均位於控制體邊界面上，而非控制體中心上，須由內 插而得，茲將本研究採用之內插方式，敘述如後。
一階上風法(upwind scheme)雖然精度不高，但因其穩定性佳，常用在工 程實務之模擬，由於三維模式數值處理複雜，因此對流通量(Gxφ)e,w、(Gyφ)n,s 採用一階上風法
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
⋅ φ
>
⋅ φ
= φ
0 ) n v ( if
0 ) n v ( if
e E
e P
e (4.23)
擴散通量(Dx∂φ/∂x)e,w、(Dy∂φ/∂y)n,s 採用中央差分法(central difference scheme)
) x(
) 1 y h ( ) x y h
( h e h e φE−φP
Δ Δ ν
≅
∂ Δ φ
ν ∂ (4.24)
其中，物理量 φ 為 u 或 v, 上標 P 表示控制體積 CV 中心點 P，上標 E 表示相鄰控制體積 CV 中心點 E，其相關位置請參考圖 3.1。
4.2.3 水柱代數方程組
將(4.23)式與(4.24)式代入流速 u、v 之傳輸通量通式(4.22)式，可得到
x
implicit scheme)，水平方向採顯式法(explicit scheme)，因為剪力連續條件限 制式(4.14)式與(4.15)式均具有五個未知變數，因而水柱層積分動量離散代數 方程組係數矩陣形成具五條對角線之帶狀矩陣，可用附錄 A 之修正湯瑪斯 法(modified Thomas algorithm)求解。由於流場中同一水柱之水深、流速剖 面、紊流黏滯係數相互密切影響，因此求解程序上先由垂直方向將各個水柱 離散方程組求解，然後代入連續方程式求解垂向速度與水深變化，不僅符合 物理機制，數值上也相對簡單與穩定，求解步驟如圖 4.1 所示並說明如後：
a. 設定起始流速與水深。
b. 使用Elder紊流黏滯係數關係式計算紊流黏滯係數，其係數 α 以(2.35) 式估算。
c. 以方程式(4.25)、(4.14)式並應用至各層，配合底床滑移(4.16)式或不滑 移邊界條件 u1= 0 及自由液面剪力邊界條件(4.18)式重新整理可得到 (2K+1)個代數式形成之 u 之水柱層積分動量離散代數方程組求解 u。
d. 以方程式(4.26)、(4.15)式應用至各層，配合底床滑移(4.17)式或不滑移 邊界條件 v1= 0 及自由液面剪力邊界條件(4.19)式重新整理可得到 (2K+1)個代數式形成之 v 之水柱層積分動量離散代數方程組求解 v。
e. 將 (c)、(d) 求得之流速 u、v 代入連續方程式求解 垂向速度 w 與 水深 H。
f. 重複步驟 (b)-(e) 迭代修正非線性對流項。
g. 判對 (f) 步驟是否達到要求之收斂條件，若收歛則跳至下一時刻。
4.2.5 數值穩定限制條件
本研究之數值方法採採垂向隱式與水平顯式之半隱式法求解，對擬似 三維之淺水波方程組必須滿足 CFL 收斂條件(Courant- Friedrichs-Levy condition)
2
2 y
1 x gH 1 t 2
CFL +Δ
Δ Δ
= (4.28)
且透過連續方程式求解垂向速度亦採顯式法，故
w t Δz
≤
Δ (4.29)