三、 Bi-Cubic 內插運算之硬體實作探討
3.6 數值運算精確度探討
在 Fixed-Point Model 的實驗中，以圖 3-的影像為例，我們將此一灰階人物影像由原 來的 240×320 放大到 1024×768 此一非整數倍數的解析度，同時探討在 Fixed-Point Model 中，使用 8/12/16 位元的精確來模擬硬體影像放大，其結果與 Floating Point Model 的差 異為何。對此，我們比較了不同精確度與是否採用補償 Weight Sum 不足 1 共六種方法，
其中補償 Weight Sum 不足 1 的實作方法中，又可分為補值方法 A（WS-A）和補值方法 B（WS-B）兩種，我們分別統計其 Fixed Point Model 的影像放大結果與 Floating Point Model 計算結果的統計量，包含了最大差值、平均差值與差值的變動大小三種統計量，
其結果參見表 3-2。
對於各類不同影像（如圖 3-到圖 3-10），其 Fixed Point Model 與 Floating Point Model 的各種差值統計分析實驗結果，則如表 3-2 到表 3-7 所示。我們歸結其數據比較結果，
可以看到無論是採用 WS-A 或 WS-B 的方法，其差值皆比不作補值方法的情況來得好，
也就是說補償 Weight Sum 不足 1 的作法是必須的，而對於 WS-A 與 WS-B 兩種方法的 比較，則沒有一定的好壞，此一結果符合我們的預期。再者，若在沒有作 Weight Sum 補償的情況下，增加 Fixed Point Model 計算的位元數，如表 3-2 到表 3-5 所示，大致可 以看出差值變小的趨勢；然而若是在有作 Weight Sum 補償的情況下，當我們增加 Fixed
Point Model 計算的位元數，進行不同位元精確度的影像放大，其差值的大小變化則沒有 一定的趨勢，這是因為在作 Weight Sum 補償時，我們刻意改變了原來 Bi-Cubic 的內插 運算方式，以人為的方式增補或減少小部分的內插數值，故此時位元精確度已不是主要 影響內插結果的因素。若我們以圖例作進一步的觀察，如以自然影像的放大來看（如表 3-2 到表 3-5），在有作 Weight Sum 補償的情況下，8 位元精確度看來已經足夠，但若以 高反差的影像放大來看（如表 3-6 與表 3-7），12 位元精確度會是一個比較適合的選擇。
圖 3-5 差值分析所採用之灰階人物影像（240×320 放大到 1024×768）。
表 3-2 以灰階人物影像(圖 3-5)作 Fixed Point 與 Floating Point 放大之差值統計表。
ΔI
8-Bit 12-Bit 16-Bit 8-Bit+
WS-A
12-Bit+
WS-A
16-Bit+
WS-A
8-Bit+
WS-B
12-Bit+
WS-B
16-Bit+
WS-B Max 5.000000 2.000000 2.000000 3.000000 2.000000 2.000000 3.000000 2.000000 2.000000 Ave. 1.667441 1.024532 0.950471 0.917901 0.925133 0.925096 0.902248 0.925838 0.924979 Std. 0.697315 0.544652 0.542882 0.546806 0.542156 0.542365 0.545131 0.542144 0.542361
圖 3-6 差值分析所採用之彩色風景影像（320×214 放大到 1024×768）。
表 3-3 以彩色風景影像(圖 3-6)作 Fixed Point 與 Floating Point 放大之差值統計表。
ΔI
8-Bit 12-Bit 16-Bit 8-Bit+
WS-A
12-Bit+
WS-A
16-Bit+
WS-A
8-Bit+
WS-B
12-Bit+
WS-B
16-Bit+
WS-B Max 8.000000 7.666667 7.666667 7.666667 7.666667 7.666667 7.666667 7.666667 7.666667 Ave. 1.772376 1.030220 0.965732 0.948574 0.960132 0.960723 0.954169 0.960729 0.960707 Std. 0.730598 0.530344 0.527321 0.541111 0.527263 0.527230 0.542146 0.527267 0.527230
圖 3-7 差值分析所採用之彩色建築物影像（640×512 放大到 1200×1000）。
表 3 -4 以彩色建築物影像(圖 3-7)作 Fixed Point 與 Floating Point 放大之差值統計表。
ΔI
8-Bit 12-Bit 16-Bit 8-Bit+
WS-A
12-Bit+
WS-A
16-Bit+
WS-A
8-Bit+
WS-B
12-Bit+
WS-B
16-Bit+
WS-B Max 10.333333 10.000000 10.000000 10.000000 10.000000 10.000000 10.000000 10.000000 10.000000 Ave. 1.672319 1.038270 0.978705 0.935284 0.941588 0.942283 0.912530 0.940994 0.941891 Std. 0.638821 0.543343 0.539863 0.553560 0.537805 0.537696 0.549517 0.537676 0.537655
圖 3-8 差值分析所採用之彩色動物影像（640×512 放大到 1200×1000）。
表 3-5 以彩色動物影像(圖 3-8)作 Fixed Point 與 Floating Point 放大之差值統計表。
ΔI
8-Bit 12-Bit 16-Bit 8-Bit+
WS-A
12-Bit+
WS-A
16-Bit+
WS-A
8-Bit+
WS-B
12-Bit+
WS-B
16-Bit+
WS-B Max 11.666667 11.333333 11.333333 11.666667 11.333333 11.333333 11.666667 11.333333 11.333333 Ave. 1.672805 1.017782 0.969907 0.953216 0.957990 0.958414 0.924221 0.956689 0.957943 Std. 0.632781 0.521097 0.518133 0.542380 0.517750 0.517676 0.536835 0.517663 0.517647
圖 3-9 差值分析所採用之文字模式影像（800×600 放大到 1024×768），此一影像包含了 邊框、高對比的區塊與彩色文字。
表 3-6 以文字模式影像(圖 3-9)作 Fixed Point 與 Floating Point 放大之差值統計表。
ΔI
8-Bit 12-Bit 16-Bit 8-Bit+
WS-A
12-Bit+
WS-A
16-Bit+
WS-A
8-Bit+
WS-B
12-Bit+
WS-B
16-Bit+
WS-B Max 28.000000 28.000000 28.666667 28.666667 28.666667 28.666667 28.666667 28.666667 28.666667 Ave. 1.278334 0.881012 0.132401 0.139866 0.130497 0.132401 0.141374 0.130497 0.132401 Std. 1.361419 1.069023 0.768553 0.787627 0.767619 0.768553 0.788569 0.767619 0.768553
（註記：由於測試影像包含高對比的區塊與文字，故此表中 Max 的差值較大。）
圖 3-10 差值分析所採用主要測試影像（800×600 放大到 1024×768），此一影像包含邊框、
圓框、高對比區塊、彩色文字、不同的圖樣分佈與灰階變化。
表 3-7 以主要測試影像(圖 3-10)作 Fixed Point 與 Floating Point 放大之差值統計表。
ΔI
8-Bit 12-Bit 16-Bit 8-Bit+
WS-A
12-Bit+
WS-A
16-Bit+
WS-A
8-Bit+
WS-B
12-Bit+
WS-B
16-Bit+
WS-B Max 30.000000 30.000000 30.000000 30.000000 30.000000 30.000000 29.000000 30.000000 30.000000 Ave. 0.500901 0.337772 0.120993 0.151871 0.122964 0.120993 0.154383 0.122964 0.120993 Std. 1.118656 0.888949 0.710746 0.750449 0.712640 0.710746 0.750863 0.712640 0.710746
（註記：由於測試影像包含高對比的區塊與文字，故此表中 Max 的差值較大。）