李雅普諾夫指數分析

李雅普諾夫指數代表系統的運動或演化特徵，根據以往的研究方法，

均延著時間序列的進行方向擷取初始值，計算得出李雅普諾夫指數λ 值之 正負與大小，以表示長時間系統在吸引子在相鄰軌道依該方向平均發散的 快慢與程度。李雅普諾夫指數分析主要是以相鄰兩條軌跡間的距離，會依 照時間的增加而呈現指數型態的分離。

本研究在李雅普諾夫指數分析分為兩部份，第一部分先將所有交易客 戶，根據其歷史交易資料，計算出其李雅普諾夫指數，歸納出所有客戶的 李雅普諾夫指數的分布狀況。第二部份則針對發生退票客戶的交易歷程，

分別計算出其李雅普諾夫指數的變化，並與同區域、同通路的正常客戶加 以比較，以觀察並歸納出正常客戶與退票客戶的交易行為樣版，以作為判 別其交易行為差異的根據。

4.1.1 客戶交易行為李雅普諾夫指數分析

本研究將李雅普諾夫指數分析應用在客戶交易行為上，假設一般客戶 在妥善經營的前提下，其營業額應呈現穩定的成長，因此先以一點為初始 值，並選擇最接近初始值的一點為參考點，在選定兩相鄰的初始值，計算 經過n 期之後兩條交易曲線軌跡間的距離亦呈現指數倍的變化。

在過去研究中，對於計算李雅普諾夫指數取其觀察值大部份會以時間 序列中的假設性週期為主，由於本研究中每個客戶的交易週期不固定，但 是本研究之客戶平均每月交易次數為3.2 次，並且大部分客戶開立票據的 票期為三個月，因此本研究中計算客戶之李雅普諾夫指數之觀察值n 取 n=10，以李雅普諾夫指數分析法對所有客戶的交易金額(單日交易金額)計 算其李雅普諾夫指數分析匯整其結果，結果如圖4-1 及表 4-1。

圖 4-1 客戶交易金額李雅普諾夫指數分布圖

樣本數 平均值(Mean) 標準差(S) 變異係數(S/Mean)

3146 0.24920 0.13093 52.5%

表 4-1 客戶交易金額李雅普諾夫指數匯總表

由圖 4-1 及表 4-1 中可得知，客戶基本上其李雅普諾夫指數值大於 0，

顯示客戶交易行為的軌跡具有混沌現象的特徵。

4.1.2 客戶交易行為李雅普諾夫指數變化分析

為了解退票客戶其在交易後期所發生退票的行為，並且與正常客戶做 比較，因此本研究由客戶交易時間序列接近退票發生的時點當做初始值並 選定最接近初始值的一點作為參考點，由後往前推n 期，計算出 n 期後兩 軌跡間的距離變化並得到λ 值，觀察其 λ 值隨交易歷程的改變情形，本研 究將此方法應用在多家退票客戶，並與正常客戶比較，在許多正常客戶與 退票客戶中觀察出圖4-2 至圖 4-5 的情形。

圖 4-2 正常客戶(一)交易金額李雅普諾夫指數折線圖

圖 4-3 退票客戶(一)交易金額李雅普諾夫指數折線圖

圖 4-4 正常客戶(二)交易金額李雅普諾夫指數折線圖

圖 4-5 退票客戶(二)交易金額李雅普諾夫指數折線圖

比較正常客戶與退票客戶之李雅普諾夫指數曲線，可以觀察出正常客 戶期李雅普諾夫指數曲線是呈現上升成長趨勢，而退票客戶則呈現持平震 盪或是下降的趨勢，顯示退票客戶的交易狀況可能呈現萎縮或是不穩定的 情形，或許這也是導致退票情形發生前的徵兆。

透過觀察退票客戶與正常客戶之交易金額李雅普諾夫指數折線圖，觀 察到退票客戶在最後幾次交易，其李雅普諾夫指數有逐漸下降的趨勢，因

的交易為觀察時間點，計算由退票發生當時最近十次(約為退票收票 至發生退票的時間)

觀察時點 客戶 樣本數 β>0 數量 β>0 比例 β<0 數量 β<0 比例

正常客戶 2812 1874 66.64% 938 33.36%

退票發生時

退票客戶 51 14 27.45% 37 72.55%

正常客戶 2314 1469 63.48% 845 36.52%

退票發生前5

次 退票客戶 45 15 33.33% 30 66.67%

正常客戶 1923 1280 66.56% 643 33.44%

退票發生前

10 次 退票客戶 35 12 34.29% 23 65.71%

表 4-2 客戶交易金額李雅普諾夫指數迴歸分析匯總表

由以上結果可得知，在客戶發生退票行為前，利用客戶之李雅普諾夫 指數有下降的趨勢，可及早發覺客戶之交易行為產生異狀。