文獻上分析挫屈梁受力時的靜態及動態行為時，不管側向拱起高度大小，大都僅考慮側 向位移，並使用假設模態法，並假設其側向振動位移為直梁受軸力之挫屈模態的組合，
通常假設為前兩個挫屈模態的組合。在拱起高度較小（/h10）的時候，梁挫屈前後 的變形很小，故忽略梁的軸向位移的平衡方程式，在靜態行為時的分析結果相當準確，
文獻上[12,13,22,24,26]也提供了分析與實驗結果的佐證，在動態分析的部分，文獻[23,29]
中假設側向振動位移為前兩個挫屈模態的組合，得到的結果與實驗大致吻合，但是文獻 [29]中提到/h1.5時，其實驗結果並不可靠。
當挫屈梁拱起高度較大（ /h100）時，文獻[3,25]在靜態分析時仍然只考慮側向 位移，並沒有考慮到軸向位移在大拱起高度時可能不能忽略，在動態分析上仍然使用假 設模態法[8,29]，假設其側向振動位移為直梁受軸力之前兩個挫屈模態的組合，且結構 的軸向力為均勻分佈，但是大拱起高度的振動頻率與振動模態與挫屈前的直梁差異性非 常大，與挫屈模態可能有更大的出入，文獻[3,25]之假設在 很大時的適用性值得進一 步探討。
本研究的主要目的為考慮幾何非線性，以共旋轉有限元素法[15-19]探討不同拱起高 度 之挫屈梁的初始變形及振動模態，檢驗證文獻中挫屈梁之初始變形的解析解[12]、
挫屈梁之振動頻率的解析解[20]之適用範圍。本文也探討不同拱起高度 之挫屈梁受側 向集中負荷時，平衡路徑上的臨界點，不同/h之挫屈梁的臨界點對應的位移或負荷可 以連成曲線，稱為摺線（fold lines）或臨界子集合路徑（critical subset paths）[9-11]。臨 界位移或負荷對/h的摺線可提供不同/h之挫屈梁受側向負荷時，其非線性行為的特 性。
本研究中採用弧長控制法[7,15]解非線性平衡方程式。自然振動的頻率方程式為一 廣義的標準特徵值問題（generalized standard eigenvalue），本文以子空間迭代法(subspace iteration method) [1]解廣義的標準特徵值問題，追蹤平衡路徑上結構自然振動頻率與振 動模態的變化，並比較振態與挫屈模態在不同 /h的差異。本文在偵測臨界點時，利用 廣義增量迭代法[2,9-11]，增加約束條件到原本的平衡方程式中，形成延伸系統（extended system），直接找臨界點的摺線，省去/h改變時重複計算平衡路徑的步驟。
本研究以數值例題探討不同細長比之挫屈梁在不同壓縮位移之拱起高度。本研究亦 以數值例題探討不同細長比、不同拱起高度之挫屈梁的自然頻率及振態的變化、不同拱 起高度之挫屈梁的受側力的非線性行為
第二章 理論推導
本章採用一致性共旋轉有限元素法[15-19]，在當前的元素座標上推導梁元素之節點 變形力、節點慣性力、剛度矩陣及慣性矩陣。本章推導梁元素的方法與文獻[19]中的方 法大致相同，在此僅簡單的描述推導過程。
2.1 基本假設
本文推導梁元素時，做了以下的假設：
(1) Euler-Bernoulli 假說成立。
(2) 梁元素的形心軸之單位長度伸長量（unit extension）為均勻的(uniform)。
(3) 梁元素的變形位移與旋轉為小位移與小旋轉。
(4) 梁元素的應變為小應變。
如果元素的尺寸足夠小，則基本假設(3)一定可以滿足。基於假設(4)，本文使用工
程應變（engineering strain）與工程應力作為梁元素的應變與應力之度量，為了推導方便，
本文中工程應變是由與其對應的Green strain求得。
4 再由Green strain求得與其對應之工程應變。Euler梁的Green strain非為零的應變只有
，可表示成 11
N
i 代表形狀函數(shape function)。2.4 梁元素的節點內力
本文利用虛功原理及 d’Alembert 原理在座標上求對應於元素節點參數的元素節點 內力。若給端點
j ( j = 1, 2 )一個虛位移
、uj 和vj ，則由虛功原理可知，對應於j 併入徹體力(body force)所作的虛功，故內力所作的虛功可以表示成：
W Ee e dV dV
6
形力、元素節點慣性力從當前的元素座標轉換到總體座標後組合而成。本研究在每一增 量平衡迭代的過程中，將
d或是
f 的值固定，(43)式中之 在迭代中代表
d或是
f 中 可變動的負荷參數。若不考慮慣性力，則(43)式為非線性平衡方程式。本研究中採用弧長控制法[7]解非 線性平衡方程式。若將(43)式在靜態平衡的位置，用泰勒級數展開到一次項，則可得到 系統在靜態平衡點的線性振動方程式
0 Q K Q
M (44) 其中
M 為系統的質量矩陣，
Q 為系統的節點加速度，K 為系統的切線剛度矩陣，
Q為 靜態平衡點算起的系統節點位移。M 、 K 是由元素的質量矩陣、切線剛度矩陣從當前
的元素座標轉換到總體座標後組合而成。若振動方程式(44)式存在自然振動頻率，則其解的形式可以表示如下
t
ei
Φ
Q (45) 其中