理論背景

在本章中，我們將介紹磁性微結構的相關理論及文獻。第一節首先介紹磁 性物質磁區的結構，不同尺寸的磁性材料受到最低能量的限制而有不同的磁區 變化。第二節將介紹影響磁性微米結構的相關能量如交換能(exchange energy)，

晶格異向性能(crystalline anisotropy energy)，靜磁能(magnetostatic energy)及 Zeeman energy；並用能量的關點討論磁性微米線的磁區變化。第三節將介紹磁 矩(moment)的翻轉機制，當材料本身的晶格異向性能不大時，磁矩翻轉方式主 要受到樣品本身形狀與大小影響，目前已發現的翻轉機制為coherent rotation、

curling rotation 及 buckling rotation。由於我們實驗是以量測磁電阻的方式探討 鐵磁性微米線的磁區變化，因此在第四節將會簡單介紹異向性磁阻效應(AMR

也是影響能量的重要因素。

圖2-1 不同磁區的磁矩在磁壁(domain wall)內的翻轉過程，磁壁的寬度一般介於 奈米與微米等級[5].

我們先簡單介紹磁區的結構，在無外加磁場的情況下，我們單單只考慮受材 料形狀及大小影響所形成的磁區結構，現在假設存在一鐵磁性圓盤(ferromagnetic disk)，其直徑大於磁區大小(~μm)時，磁矩如果皆排列在同一方向上即如同兩塊 同極磁鐵相斥，會產生很強的靜磁能，為了降低總能量，尺寸較大的塊材(bulk) 或薄膜(thin film)通常形成多磁區(multi-domain)結構，雖然由於磁壁的產生會增 加交換能及異向性能，但卻能大大減少靜磁能，最後能量會達到平衡；當圓盤直 徑縮小接近磁區大小但仍然大於磁壁寬度(~nm)時，靜磁能仍然是主導，這時圓 盤中的磁矩會形成封閉漩渦狀(vortex)[6][7]；持續縮小圓盤直徑小於磁壁寬度，

因為磁矩間的距離縮短，彼此間旋轉的角度變大，這時交換能會大於靜磁能，為 了降低交換能，所有磁矩反而會傾向於某一方向排列而形成單磁區(single-domain) 結構[8]。

下圖為圓盤及方形材料在各種尺寸下的磁區結構。對一個方形結構來說，當 尺寸縮小至接近磁區大小時，仍會由多磁區轉變成封閉漩渦狀，但與圓盤不同的 是有磁壁產生，此情況是由於磁矩傾向於躺在邊緣所致[9]。

圖2-2 圓盤與方形材料在各種尺寸下的磁區結構，當圓盤尺寸大時與方形結構可 同等視為一塊材，同樣形成multi-domain。

2-2 磁性相關能量

在本節中，將介紹影響磁性微米結構的各種能量[10][11]，包括交換能 (exchange energy, Eex)，晶格異向性能(crystalline anisotropy energy, Eca)，靜磁能 (magnetostatic energy, Emag)及 Zeeman energy(Ez)，所謂影響磁區的能量即是上述 能量的總合，由於自然界中，物質皆傾向於處在最低能態，因此我們可以透過 計算總能量的最小值來推斷磁性材料可能發生的變化。

2-2.1 交換能(exchange energy)

磁性材料中，磁矩的貢獻來自於原子中電子自旋與自旋軌道間的交互作

_ex 2 _ij ² 2 _ij ²(cos _ij 1) _ex( 0 ) _ex

K0、K1、K2,……是晶格異向性常數，單位是能量密度(erg/cm³)，v 是物體體積，

θ0、θ1、θ2則是指晶軸與磁矩間的夾角。K0與角度無關，不同晶軸上的K0皆相 同，因此分析時可忽略，而在大部份情況下K2相對K1來說很小，我們也可以 忽略，當K1>0 時，表示晶格的易磁軸(easy-axis)是在<100>方向，例如鐵(Fe)；

而K1<0 時，易磁軸則是在<111>方向上，例如鎳(Ni)。

2-2.3 Zeeman energy

Zeeman energy 是指磁矩在外加磁場下所產生的能量，用數學式表示為：

E

z

= − ∫

v

^{JJK JJK} H Mdv ⋅

(2-8)

2-2.4 靜磁能(magnetostatic energy)

靜磁能即是古典力學中偶極矩與偶極矩間交互作用所產生的能量。在單一

上式積分即是表示一個磁矩(Mdv 在其他磁矩所產生的去磁場 () JJKHd) N 稱為去磁參數(demagnetization factor)，與材料的形狀有關，Md s為飽和磁化強 度。對單一橢球而言，a、b、c表示橢球的三個軸長度，令a≧b≧c，而Na、Nb、

扁長型橢球(

Prolate ellipsoid)：c >> a = b

圖2-3 扁長型橢球(prolate ellipsoid)，為最常用來分析的橢球圖形。橢球半徑為 a，全長為 2c。

1

細長型橢球(

Slender ellipsoid)：c >> a > b

圖2-5 細長型橢球(slender ellipsoid)。

此種橢球形式通常用來分析非圓形截面的樣品，例如奈米線沉積在有菱形孔隙的 單晶基板上。三個方向的去磁參數分別可寫成：

2 2 稱為形狀異向性能(shape anisotropy energy)。

我們考慮一微米線，形狀近似無限長圓柱時，可將此視為一高長寬比的扁長 形橢球(prolate ellipsoid)，在圖 2-4 中，當扁長形橢球長寬比m c a= / >10時，沿 著hard axis(短軸方向)的去磁參數 Na = 2π，而沿著 easy axis(長軸方向)的去磁參 數Nc = 0。

由數學式(2-10)、(2-11)可知 1 ² 能量會達到平衡，這時便是non-uniform magnetization 狀態；而當微米線的尺寸 縮小導致磁矩間翻轉角度變大而大幅增加交換能時，這時所有磁矩反而偏向一致 性排列以減少交換能，此時則是uniform magnetization(single domain)狀態。由於 影響磁區變化的能量主要受到靜磁能(形狀異向性能)及交換能主導，換言之就是 與樣品本身的形狀及大小密切相關，而我們現在分析的是線結構，因此可以利用 扁長型橢球(prolate spheroid)模型近似來討論微米線的能量變化。

考慮一微米線在無外加磁場下，當所有磁矩皆沿著長軸方向一致排列時，由 數學式(2-10)、(2-14)可知此 uniform 狀態的靜磁能可表示成[13]：

1

²

" 1 "2 ' Lagrangian multiplier 法來找出Enon uniform₋ 的最小值，而Brown 已經證明當磁性材 料的尺寸小於critical size 時，便會呈現 uniform magnetization。因此，對一任意 分佈磁化向量所產生的靜磁能而言，若磁矩形成uniform 狀態，則條件

non uniform uniform

E ₋

≥

E 必須成立。由此不等式我們可以得出結論，對於一半徑R，

長為L 的鐵磁性扁長型橢球，易磁軸在長軸上且無外加磁場時，磁矩在 uniform 及non-uniform 狀態的邊界 critical length(Lc)可寫成[2]：

_c 2 _c 2

圖2-7 即是對於 permalloy 橢球而言，critical length(Lc)與長寬比(m)的關係。

由圖中可知，當一橢球長20μm，則長寬比大於 45 會成為 uniform 狀態，換言之，

寬度小於0.45μm 會形成單磁區結構。當長寬比愈高，磁矩愈容易形成 uniform 狀態；反之，長寬比愈小時，較容易形成non-uniform 狀態。

圖2-7 permalloy 橢球的磁區結構相對於 critical length 及 m 的關係。

2-3 磁矩的翻轉機制

翻轉方式；但是當線的長寬比變大，尺寸小於critical size 時便容易形成單磁區 (single-domain) 結構，而過去研究中指出單磁區有三種翻轉方式[14][15]：

coherent(unison) rotation、curling rotation 及 buckling rotation。

圖2-8 為三種翻轉機制下 switching field(Hsw)與扁長型橢球半徑(R)的關係。

如圖所示，coherent rotation 即是指在翻轉的過程中，各區域磁矩仍然平行排列；

相對來說，curling rotation 是在長軸方向的截面上磁矩分佈成漩渦式，而 buckling rotation 則是長軸上磁矩分佈呈 S 型。

coherent rotation 的 Hsw與樣品的大小無關，但curling rotation 的情況則相 反，當線寬增加時Hsw便會相對減少，實際上在coherent 與 curling 之間存在一 個門檻，當橢球半徑(R)高於某一值時，翻轉機制便會由 coherent 轉變成 curling，

而這個門檻決定於交換長度(exchange length)，A_ex = C Ms/ ，當R 大於A 時，_ex 磁矩便會用curling 的形式翻轉；反之，R 小於A 時，便會發生 coherent rotation。_ex 由於buckling 形式介在上述兩者之間且只會發生在很小的範圍內，不易觀察，因 此一般磁矩翻轉都視為coherent 及 curling rotation 兩種。

另外也有一些研究成果提出利用模擬的方式可證明磁矩在翻轉的過程中實 際上也不一定是單一性的，有可能之中會產生磁壁，而這些磁壁在翻轉過程中會 被推移直至飽和後才消失[16]。

圖2-8 上圖為三種翻轉機制下 Hsw與扁長型橢球半徑(R)的關係圖，下圖則是磁 矩翻轉的平面圖[15]。A 為交換長度。 _ex

2-3.1 Coherent rotation – Stoner Wohlfarth Model

所有的磁矩在翻轉過程中彼此平行排列的情況我們稱為 coherent rotation，此 翻轉機制可以古典Stoner-Wohlfarth(SW) Model 解釋[17]。在 SW model 中，當全 部磁矩排列在同一方向上，交換能及晶格異向性能很小可忽略，所有能量只需考 θ=180°後，磁矩的能量便會開始增加，而持續加大磁場到 Hsw (switching field)之 前，磁矩在φ=0°處比起周圍依然處在能量最小值，此時並不會翻轉，而當磁場

圖2-9 總能量與外加磁場(H)、θ 及φ的關係圖(假設Ku=1 及 Ms=2)， Hsw參考(2-25) 式。上圖為(a) θ=0° (b) θ=90° (c) θ=120° ，下圖為 θ=120°

由上述可知，Hsw可從分析總能量得出，由於能量必須為最小值，因此條件 Stoner-Wohlfarth asteroid，圖中顯示出 Hsw與角度的對稱關係：Hsw在θ=0°, 90°, 180°, 270°時有最大值；而在 θ=45°, 135°, 225°, 315°則有最小值。在圖中我們也

圖2-10 在 coherent rotation 形式下，Hsw跟外加磁場與易磁軸夾角(θ)的關係圖，

圖中實線部份即是有名的Stoner-Wohlfarth asteroid，在 θ=0°, 90°, 180°, 270°時有最大值；而在 θ=45°, 135°, 225°, 315°則有最小值。

/ (2 _u / _s) h H= K M

。

圖2-11 外加磁場與易磁軸夾角(θ)在 0°、30°、60°及 90°時外加磁場(H)與磁化強 度(M)的關係[18]。圖中的 Mr定義為在外加磁場為零時，磁化強度的大 小，因此被稱為殘磁(remanence)，Squareness(SQ) =Mr/Ms，θ=0°時，SQ=1。

圖2-12 在 coheret rotation 形式下，Hsw與Hc分別對外加磁場與易磁軸夾角(θ)的 關係。上圖為Hsw對θ 的關係，在 θ = 45°時，Hsw有最小值，下圖為Hc

對θ 的關係，在 θ < 45°時都與 Hsw相同，但在45°< θ < 90°時，Hc會逐 漸減少。

2-3.2 Non-uniform reversal mode - Curling rotation

單磁區(single-domain)結構其磁矩翻轉除了 coherent rotation 之外，另外有兩 種磁矩翻轉機制curling 及 buckling rotation，coherent rotation 發生在尺寸較小的 樣品，而尺寸較大的樣品則較傾於發生後兩者的情況。但因為buckling rotation 通常介於coherent 及 curling 之間，且發生的範圍很小，重要性較其他兩者低，

因此在此我們僅介紹curling 的翻轉機制。

圖2-13 為一橢球內磁矩成 curling 形式翻轉的示意圖。curling rotation 即是磁 矩在一垂直易磁軸方向的平面上翻轉，此種方式可大大降低靜磁能，但是由

圖2-14 為 Hsw相對θ 與 S 的關係圖，實線部份表示不同 S 值，星狀虛線為 Stoner-Wohlfarth asteroid，換言之即是 coherent rotation；如圖所示，curling 狀態 下，當外加磁場與易磁軸的夾角由θ= 0°至 θ= 90°時，Hsw會逐漸增加，而我們會 發現，要在θ< 45°±90°時，curling 形式的 Hsw才會小於coherent 狀態的 Hsw，因 此curling rotation 通常發生在小角度的情況，在比較大的角度依然是利用 coherent 形式翻轉。由S=1.5 已可看出幾乎只在很小的角度內才能發生 curling 翻轉，當 S<1 時，翻轉方式便完全是 coherent 形式[20]。

圖2-14 扁長型橢球在 curling 形式下 Hsw與θ 的關係。

2-4 異向性磁阻(AMR)

磁電阻(magnetoresistance resistance, MR)是指在外加磁場下所量測到的電阻 變化值，磁電阻有很多種類，各自有導致機制，而由電流與磁化向量導致的磁電 阻，被稱為異向性磁阻(anisotropic magnetoresistance)，由於其他機制造成的磁電 阻在我們實驗結果是相對微小可忽略，因此不加以詳述。半導體及一般金屬的磁 電阻是由於電流通過產生Lorentz force 影響所造成的電阻，而在過渡金屬中，磁 阻的成因則是由於自旋軌道交互作用所產生的，這種與磁矩及電流方向有關的磁

第三章：樣品製作與量測方式

由於我們是用量測磁電阻的方式來探討微米寬鎳鐵平板線之磁區變化，因 此在本章中，將會詳細介紹實驗中所使用到的技術與儀器。第一部份將會介紹 製程上需用到的微影製程技術，而微影製程技術又分為光微影製程及電子束微 影製程，兩者皆是使用熱蒸鍍的方式鍍上金屬薄膜；第二部份介紹的是低溫系

由於我們是用量測磁電阻的方式來探討微米寬鎳鐵平板線之磁區變化，因 此在本章中，將會詳細介紹實驗中所使用到的技術與儀器。第一部份將會介紹 製程上需用到的微影製程技術，而微影製程技術又分為光微影製程及電子束微 影製程，兩者皆是使用熱蒸鍍的方式鍍上金屬薄膜；第二部份介紹的是低溫系

在文檔中 以磁電阻量測探討鎳鐵平板線之磁區結構翻轉 (頁 13-0)