將負相關運用於改善製程管制 - 負相關在管制圖上之應用

3-1 統計製程管制概論

統計製程管制（statistical process control，簡稱 SPC）是利用抽樣樣本資料，

來監視製程之狀態，在必要時採取調整製程參數之行動，以降低產品品質特性之變異性。統計製程管制為預防性之品質管制手段。所以說，製程管制比事後之檢驗，更能提昇產品品質。

3-2 管制圖之簡介

典型管制圖由三條線組成，其中包含中心線（center line，CL）、上管制界限

（upper control limit，UCL）及下管制界限（lower control limit，LCL）。

所謂管制圖即將統計檢定之過程加以圖形化，如此不但可簡化統計檢定工作，且將連續檢定之結果繪於同一圖形內時，易於比較與分析。

例：

我們運用 SPC 對某產品抽樣，得樣本平均數X_n，已知我們要求產品規格 需滿足常態分配 N(

µ

， )，其中假設 為我們已知，而我們要的目標值

σ2 σ²

µ

=µ₀，所以我們要檢定 H₀ :µ =µ₀ vs. H₁:µ ≠µ₀ sol：

(1)以臨界值檢定法，在型 I 誤差 α 下，臨界值為

n Z c₁ =µ₀ + _α_/₂ σ

n Z

c₂ =µ₀ − _α_/₂ σ ，若X_n > 或c₁ X_n< ，則拒絕c₂ H₀

(2)以 X 管制圖（請參考附錄文獻）中，在型 I 誤差 α 下，CL 為µ₀，

UCL 為c₁，LCL 為，若管制圖中點(即c₂ X )超出上下管制界限時，

則拒絕H₀ ⊿

換言之，管制圖上每個點好比臨界值檢定法。一般管制圖以型 I 誤差

α=0.00135，則 X 管制圖：UCL=µ+3 n

σ 、CL=µ、LCL=µ −3 n σ 。

在統計製程管制中，我們不單只對期望值做檢定工作，亦會對變異數做檢定，故有R 管制圖及 S 管制圖(請參考附錄文獻)，用以監控變異數變動。

3-3 非傳統

管制圖

一般傳統X 管制圖上的點，代表由同一時間下抽取數個樣本相加後取平均的

值。其優點是能隨時監控每個時間點產品是否在製程管制內。

定義 3.1 非傳統X 管制圖

Var(X =_i^"

將此 2M+1 個資料依附錄 B 方法排序，可得。同理依此方法我們

可以有效地求得，並能迅速地算出每個

1,x , ,x_n

x L X 。但我們興i^"

趣的是 )

, 5 (

" Normal µ σ1

X_i ，而未知，所以我們必須先抽樣估

得，在建立

σ1

ˆ1

σ X^" 管制圖。

如果µ跟σ²未知，我們就依照品質管制方法事先行收集資料估出 µˆ跟σˆ²，在依照上述方法求得X^" 管制圖。

第四章､總結

當x₁,x₂,x₃, x ^.~^. F(x)，經過上述方法排序(參考附錄 B)，並找出，

d i i

L n ^"2 ^"

1,x , ,x_n

x L

當進入 steady state 時，則x_i^"與x_i^"₊₁具有負相關。

本論文利用x_i^"與x_i^"₊₁具有負相關，排序後的X 固然會比較集中，也就是說經過排 序後的 X 之變異數會變小，而其期望值會不變。本論文運用此法在品質管制上，

控制型Ⅰ誤差風險α 值不變。而因為變異數的變小，則型Ⅱ誤差風險 β 風險變小。

偵測到平均值改變之機率為 1-β 會變大。如此能讓品質管制人員更能準確地掌握製程狀態，儘快偵測出可歸屬原因之發生或製程之跳動，以便在更多不合格品製造出之前能發現製程之變異並進行改善工作。

由於證明上需要相當的機率基礎，本論文中並尚未加以證明之。如能將模擬結果以數學方式證明出。並將其運用在各領域上，如醫學或生物科技上必有一番作為。

附錄 A：

我們探討 t=3(已討論過),4,5,6,….k 時的P

(

D| D₀

)

t=3 F

( ) ( )

[

F1 +F

( )

]

^{( )}

1 +F

( ) ( ) ( ) ( )

2 F 3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 F 1F 3F 2 F1

t=4 ^F

( ) ( )

⁴

[

^F ² ⁺^F

( )

] [

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( )}

¹ ⁺^F

( ) ( ) ( )

³ ^F ⁴

[

^F¹ ⁺^F

( )

]

^{( ) ( )}

² ^F¹

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3F 2 F 4 F 3 F 2 F 1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3F 2 F1F 4 F 3F 2 F1

t=5 ^F

( ) ( )

⁵

[

^F ³ ⁺^F

( )

⁴

] [

^{( )}

² ⁺^F

^{( )}

] [

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( )}

+^F

( ) ( ) ( )

⁴ ^F ⁵

[

^F ² ⁺^F

( )

⁴

] [

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( ) ( )}

² ^F¹

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 5

[

F1 +F

( )

]

( ) ( ) ( )

3 F 2 F 1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 5 F 4 F 3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1F 5 F 4 F 3F 2 F1

t=6 ^F

( ) ( )

⁶

[

^F ⁴ ⁺^F

( )

⁵

] [

^{( )}

³ ⁺^F

^{( )}

⁴

] [

^{( )}

² ⁺^F

^{( )}

] [

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( )}

+^F

( ) ( ) ( )

⁵ ^F ⁶

[

^F ³ ⁺^F

( )

⁵

] [

^{( )}

² ⁺^F

^{( )}

⁴

] [

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( ) ( )}

² ^F¹

( ) ( ) ( ) ( )

5 F 4 F 6

[

F 2 +F

( )

] [

^{( )}

1 +F

^{( )}

]

( ) ( ) ( )

3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5F 4 F 3F 6

[

F 1 +F

( )

]

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 F 4 F 3F 2 F 6 F 5 F 4 F 3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 F 4 F 3F 2 F1F 6 F 5 F 4 F 3F 2 F1 由上面我們可觀測出 t=k 時，P

(

D| D₀

)

( ) (

[

^F ^k ²

)

(

^k ¹

) ] [

⁽

^k ³

⁾

⁽

^k ²

⁾ ]

^...

[

^{( )}

¹ ^F

^{( )}

]

^{( )}

F − + − − + − +

+^F

(

^k⁻¹

) ( ) (

^F ^k

[

^F ^k⁻³

)

⁺^F

(

^k⁻¹

) ] [

⁽

^k⁻⁴

⁾

⁺^F

⁽

^k⁻²

⁾ ]

^...

[

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( ) ( )}

² ^F¹ ⁺

(

k 1

) (

F k 2

) ( ) (

F k

[

F k 4

)

(

k 1

) ] [

⁽

k 5

⁾

⁽

k 2

⁾ ]

...

[

^{( )}

1 F

^{( )}

]

( ) ( ) ( )

3F 2 F 1

F − − − + − − + − +

(

k−1

) (

F k−2

) (

F k−3

) ( ) (

F k

[

F k−5

)

(

k−1

) ]

...

[

^{( )}

1 +F

^{( )}

]

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1

+ …………..+

(

^k ¹

) (

^F ^k ²

)

^...^F

( ) ( ) ( )

³^F ^k

[

^F ¹ ^F

(

^k ¹

) ]

⁽

^k ²

^{) (}

^F ^k ³

⁾

^...^F

^{( )}

F − − + − − −

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) ( ) (

2 F k F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

1 +F

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) ( ) (

1F k F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

我們想要證明P

(

D|D₀

)

≤ P

( )

D = F

( )

k 也會成立，因此我們要證明

( ) ( )

[

^F ^k⁻² ⁺^F ^k⁻¹

] [

⁽

^k⁻³

⁾

⁺^F

⁽

^k⁻²

⁾ ]

^...

[

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( )}

+^F

(

^k⁻¹

) ( [

^F ^k⁻³

)

⁺^F

(

^k⁻¹

) ] [

⁽

^k⁻⁴

⁾

⁺^F

⁽

^k⁻²

⁾ ]

^...

[

^{( )}

¹ ⁺^F

^{( )}

]

^{( ) ( )}

² ^F¹

(

k−1

) (

F k−2

) ( [

F k−4

)

(

k−1

) ] [

⁽

k−5

⁾

⁽

k−2

⁾ ]

...

[

^{( )}

1 +F

^{( )}

]

( ) ( ) ( )

3F 2F1 +F

(

k−1

) (

F k−2

) (

F k−3

) ( [

F k−5

)

(

k−1

) ]

...

[

^{( )}

1 +F

^{( )}

]

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1 +……+

(

^k ¹

) (

^F ^k ²

)

^...^F

( ) ( )

[

^F ¹ ^F

(

^k ¹

) ]

⁽

^k ²

^{) (}

^F ^k ³

⁾

^...^F

^{( )}

F − − + − − −

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) (

2 F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

1 +F

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) (

1F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

1 1≤

同理我們令 F

( )

i = for i=1,….,k-1 並且滿足xi x_i 0≤ x₁ ≤ x₂ ≤x₃ ≤...≤x_k₋₁ ≤1 因此我們要證明 f

(

x₁,x₂,x₃,...,x_k₋₁

)

( )

[

x_k₋₂ + 1−x_k₋₁

] [

x_k₋₃ +

(

1−x_k₋₂

) ]

...

[

x₁ +

(

1−x₂

) ] (

1−x₁

)

+x_k₋₁

[

x_k₋₃ +

(

1−x_k₋₁

) ] [

x_k₋₄ +

(

1−x_k₋₂

) ]

...

[

x₁ +

(

1−x₃

) ] (

1−x₂

)(

1−x₁

)

+ x_k₋₁x_k₋₂

[

x_k₋₄ +

(

1−x_k₋₁

) ] [

x_k₋₅ +

(

1−x_k₋₂

) ]

...

[

x₁+

(

1−x₄

) ] (

1−x₃

)(

1−x₂

)(

1−x₁

)

( )

[

₅ ₁

] [

₆

(

₂

) ] [

₁

(

₅

) ] (

₄

)(

₃

)(

₂

)(

₁

)

3 2

1x x x 1 x x 1 x ...x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x_k₋ _k₋ _k₋ _k₋ + − _k₋ _k₋ + − _k₋ + − − − − − +………..+ x_k₋₁x_k₋₂...x₃

[

x₁ +

(

1−x_k₋₁

) ] (

1−x_k₋₂

)(

1−x_k₋₃

) (

...1−x₁

)

+x_k₋₁x_k₋₂...x₃x₂

(

1−x_k₋₁

)(

1−x_k₋₂

) (

...1−x₁

)

+x_k₋₁x_k₋₂...x₃x₂x₁

(

1−x_k₋₁

)(

1−x_k₋₂

) (

...1−x₁

)

≤ where 1 0≤ x₁ ≤ x₂ ≤..≤x_k₋₁ ≤1

附錄 B：

排序方法：

令y_i = x_i +i ，where i = 1,2,…,n。我們將由小至大排列： y_i

⇒ y_{( )}1 ≤ y_{( )}2 ≤ y_{( )}3 ≤L≤ y_{( )}_n，並找出每個對應的x_j，即y_{( )}_i =x_j + j

並令x_i^" = x_j，則我們可以得到

⇒ x₁^" →x₂^" → x₃^" →L→x^"_n

附錄 C：

Second derivatives test

Suppose the second partial derivatives of f are continuous on a disk with center (a,b), and suppose that f_x(a,b)=0 and f_y(a,b)=0. Let

D = D(a,b)= ^fxx⁽^a^,^b⁾^fyy⁽^a^,^b⁾−

[

^fxy⁽^a^,^b⁾

]

(a) If D>0 and f_xx(a,b)>0, then f(a,b) is a local minimum.

(b) If D>0 and f_xx(a,b)<0, then f(a,b) is a local maximum.

(c) If D<0 , then f(a,b) is not a local maximum or minimum.

附錄 D：

A COURSE IN PROBABILITY THEORY , SECOND EDITION ,

Kai Lai Chung

Theorem 7.3.1 Suppose that { } is a sequence of m-dependent, uniformly bounded r.v.’s such that

( )

_→_+∞

3 /

S_n σ

as n→∞. then [S_n −E(S_n)]/σ

( )

Sn converges in dist. to Φ.

附錄 E：

模擬 10000 個x_i^"，並做 K-S 常態分配檢定，與劃出 Q-Q plot.

i = 11

One sample Kolmogorov-Smirnov Test of Composite Normality data: V1 in DS41

ks = 0.0063, p-value = 0.5 alternative hypothesis:

True cdf is not the normal distn. with estimated parameters sample estimates:

mean of x standard deviation of x 0.0106692 0.9952749

-4 -2 0 2 4

Normal Distribution -3

-1 1 3 5

i = 12

ks = 0.006, p-value = 0.5

-4 -2 0 2 4

Normal Distribution -3

-1 1 3

i = 13

ks = 0.005, p-value = 0.5

-4 -2 0 2 4

Normal Distribution -5

-3 -1 1 3 5 7

i =20

3 表示取Z3=

d Zi 的 i

參考文獻：

1、鄭春生(民國八十五年)，品質管理，台北，三民書局

2 、 Alwan,L.C.,and D. Radson,”Time-series investigation of subsample mean chart,”IIE Transactions,24,66-80(1992)

3 、 Kai Lai Chung, “A COURSE IN PROBABILITY THEORY , SECOND EDITION”,second edition.

在文檔中負相關在管制圖上之應用 (頁 29-0)