2-1 前言
空間推估之應用非常廣泛，包括水文、地下水、礦脈、環境地質、大氣 污染、環境監測等領域(Chirlin and Dagan, 1980; Bastin et al., 1984; Hill and Alexander, 1989; White et al., 1997; Duc et al., 2000)。其中，克利金（kriging）
推估為空間推估之重要方法之一。在克利金推估之過程中，半變異元
（semivariogram）扮演了一個極為重要的角色。於克利金系統建構完成前，
必須選擇一個適用之半變異元模式，並計算其模式參數。因此，半變異元之 計算對於克利金模式之精確度有著極大之影響。亦即若半變異元模式無法正 確描述資料之空間結構時，則此模式將無法產生良好之空間估計值。再者，
當資料數目眾多時，克利金會有運算速度緩慢之缺點。
類神經網路（artificial neural network）為晚近崛起之控制理論，他是一 種模仿生物大腦與神經網路系統所建構出來之資訊處理系統，能夠對於外界 輸入之訊號有儲存、學習及回想等一系列動作。由於類神經網路只是針對人 腦作簡化之模擬，利用數學的方式建立模式，達到儲存、學習及回想之作用，
其行為與統計之方式相當類似，因此可將其視為一種特殊之統計模式。當一 個系統之機制複雜或是模式不易建置時，如何掌握此系統之轉換機制便相當 重要。而類神經網路的最大優點即是不需事先了解系統之轉換機制，只要經 過類神經元之學習訓練即可，且其脫離了依賴統計模型，具有理論簡明、結 構單純，並具有快速計算、學習能力及容錯能力等優點。關於類神經網路之 架構及學習法則，至今已有許多模式及方法被提出。其中，又以倒傳遞類神 經網路（back-propagation neural network）最廣為被熟知及應用。然而，倒 傳遞類神經網路於訓練過程中會有許多問題(Wasserman, 1993)。首先，它容 易收斂到區域最小值。再者，它即使使用相同之訓練資料，亦會產生出不同 之結果。此外，網路學習速度緩慢以及隱藏層結構不易訂定也是其主要缺 點。輻狀基底函數網路（radial basis function network; 簡稱 RBFN）因為具 有網路建構容易、學習速度快速及對外在環境具有快速之適應性等優點，因 此本研究嘗試以此網路建立空間內插模式。
RBFN 之概念最早於 1960 年代被提出(Aizerman et al., 1964; Bashkirov et al., 1964)。Powell (1987)則首先應用 RBFN 於實際多變量之內差問題上；
Broomhead and Lowe(1988)則將其應用於數值逼近或內插之問題上；Moody and Darken (1989)利用 RBFN 解決數學函數對應之問題；Poggio and Girosi (1990)以 RBFN 之理論建立一個新的網路架構；Park and Sandberg (1991)則 嘗試以 RBFN 解決一般之近似問題。近年來，RBFN 已經廣泛被應用於各種 領域上，例如雷達目標辨識(Zhao and Bao, 1996)、曲線擬合(Xu, 1998)、系
統整合(Sanchez et al., 1998)以及 X 光照片辨識(Tsujii et al., 1999)等。
然而，當 RBFN 應用於空間內插時，於網路架構學習過程中，往往忽 略了空間相關性。因此本研究將建立一個結合 RBFN 及半變異元理論之空 間內插模式，稱之為 IRBFN 模式（Improved RBFN Model）。首先，為了驗 證此模式內插之精確度，本研究建立了三組不同變異元門檻值及尺度參數之 等向性試驗資料加以測試，並與克利金法及標準 RBFN 模式之內差結果作 比較。最後，將此模式應用於實際空間降雨量之推估上。
2-2 研究方法
2-2-1 輻狀基底函數網路
輻狀基底函數網路(RBFN)屬於多層前饋式類神經網路，其輸入層與隱 藏層間之神經元完全相互聯結，其網路架構如圖 2-1 所示。RBFN 具有三個 特性：(1)僅有輸入、隱藏及輸出等三層結構；(2)輸出層完全由線性處理單 元所組成；(3)隱藏層轉換函數之激發是由輸入資料與隱藏層神經元中心之 距離決定。
圖 2-1 RBFN 架構圖
假設輸入資料 X 為 L 維度之向量， ，而隱藏層神經
元之維度與輸入資料相同。以輸入向量與各神經元中心之距離作為神經元被 激發與否之依據，第 i 個輸入資料於第 j 個隱藏層神經元之輸出可以轉換函
T
xL
x x
X =[ 1, 2,L, ]
數表之：
其中， 為歐基里德範數（Euclidean norm）； 為隱藏層神經元之中心點 (center)； 許多種類，如高斯函數（Gaussian function）、邏輯函數、multiquadric function(MQF)、thin-spline function(TSP)及指數函數（exponential function）
等。本研究則使用最為普遍之高斯函數為隱藏層神經元之轉移函數，其型式
神經元之輻狀基底函數輸出結果，並利用最小平方法（least squares method）
求出隱藏層與輸出層間之權重值，進而將隱藏層輸出值乘以各個權重值，即
⎥⎥ capability）表現欠佳(Oukhellou and Aknin, 1999)。
由於方程式(2-3)為一個定率式，所以方程式(2-2)並無統計之性質。然 模式（Improved RBFN Model），介紹如下：
於 IRBFN 模式中，其反應函數之型態為指數型，如下所示：
指數型之半變異元常被應用於水文之領域上(Kitanidis, 1993)：
)
其中， 為變異數（variance）；a 為尺度參數（scale parameter）； 經元之寬度值，因為它可以自動過濾掉平均值(Chiles and Delfiner, 1999)。半 變異元之型式可表示如下：
於資料點間平均距離之一半。
2-3 試驗設計
三種不同空間變異性之隨機場（random field）被用來測試本研究所提 模式空間推估之精確性。這些隨機場是由 HYDRO_GEN 程式(Bellin and Rubin, 1996)所產生，此方法能快速且正確的產生大維度之隨機場，且優於 傳統之 turning bands method 及 fast Fourier transform (Bellin and Rubin, 1996)。
一個隨機場為 10×10 之正方形網格，共計有 100 個網格點。然後隨機選 出其中之 25 個網格點上之資料，再利用這些資料計算其餘 75 個網格點上之 估計值，最後再計算這 75 個網格點上已知值與估計值間之差距，以評鑑空 間推估方法之優劣。關於此三種不同空間變異性之隨機場測試結果敘述如 下：
1. 試驗一：C(0)=1, a=1
圖 2-2 為利用方程式(2-12)所建立之隨機場，其 C(0)及 a 之值均為 1，
圖 2-3 則是利用圖 2-2 中所有資料點所建立之試驗半變異圖。由圖 2-3 可知，
其半變異圖符合預先設定之統計特性（C(0)=1、a=1）。然後，分別從圖 2-2 之 100 個網格點中，隨機選擇 25 個網格點，總計作 10 次試驗。
3.18 3.81 2.58 2.64 4.83 3.87 2.16 1.19 2.24 4.11 3.44 2.51 4.98 4.46 3.24 4.07 2.61 5.18 3.12 3.10 2.77 1.26 3.69 3.36 3.01 4.01 1.84 2.26 2.34 3.49 1.18 1.70 1.90 2.90 1.88 0.80 2.02 1.58 3.02 3.44 2.50 1.88 2.57 2.78 3.07 1.92 2.63 2.69 2.84 3.13 4.95 4.57 2.18 3.04 3.40 1.51 3.22 4.23 3.34 4.35 4.27 4.86 2.88 3.91 3.28 2.31 2.18 2.84 3.01 2.98 3.45 3.74 4.10 4.40 3.49 3.48 3.14 3.52 3.00 2.79 3.41 3.99 5.85 4.14 3.03 2.87 3.46 3.10 2.70 2.57 3.95 3.36 4.04 3.76 2.66 1.47 2.18 2.75 2.42 1.94
圖 2-2 試驗一之隨機場（C(0)=1 及 a=1）
0.0
對於每次之試驗，以均方差（root mean square error, RMSE）為評鑑方法精 確度之指標：
普通克利金法（Ordinary Kriging; 簡稱 OK）、標準 RBFN 模式（Standard RBFN; 簡稱 SRBFN）及 IRBFN 模式（Improved RBFN Model; 簡稱 IRBFN）
等三種空間推估方法分別於 10 次試驗內插估計之 RMSE 值（估計點從圖 2-2
表 2-1 三種方法於 10 次試驗內插估計之 RMSE 值（估計點從圖 2-2 中隨機選取）
RMSE Pattern
IRBFN OK SRBFN
1 0.375 0.442 0.405
2 0.423 0.627 0.552
3 0.447 0.479 0.485
4 0.411 0.485 0.663
5 0.451 0.543 0.628
6 0.414 0.483 0.488
7 0.457 0.562 0.482
8 0.427 0.520 0.716
9 0.418 0.615 0.483
10 0.511 0.612 0.549
Mean 0.433 0.537 0.545
2. 試驗二：C(0)=1, a=2
變異性 C(0)等於 1、尺度參數 a 等於 2 之隨機場如圖 2-4 所示，圖 2-5 則是利用圖 2-4 中所有資料點所建立之試驗半變異圖。由圖 2-4 可知，其半 變異圖符合預先設定之統計特性（C(0)=1 及 a=2）。與試驗一相同，從隨機 場中隨機選擇 25 個網格點，總計作 10 次試驗，其結果如表 2-2 所示。由表 2-2 可知，IRBFN 之 RMSE 值均較另外兩個方法為小（0.292 至 0.418）。此 外，其平均值分別比 OK 及 SRBFN 兩種方法降低約 19%及 26%。由上述結 果再次驗證 IRBFN 之內差估計精確度較另外兩個方法為佳。
3.60 3.70 2.39 2.26 2.22 1.99 2.19 1.89 2.78 2.32 3.51 2.56 1.83 1.37 2.16 0.71 0.94 1.57 1.53 1.83 2.63 3.79 3.22 3.84 4.30 2.15 1.98 1.30 1.98 2.91 3.19 4.51 4.30 3.65 3.46 3.13 2.87 2.60 3.40 3.13 3.00 3.88 3.65 4.12 3.85 2.54 3.72 3.32 3.22 3.54 3.98 5.23 4.48 3.40 4.27 2.48 2.99 2.08 3.53 2.25 4.15 3.36 2.41 3.44 2.57 3.23 3.23 3.36 2.82 2.43 4.00 3.04 2.89 3.25 3.61 3.84 3.23 2.99 3.12 3.09 4.13 3.47 2.86 3.29 4.69 3.95 2.83 3.35 3.56 3.56 4.18 3.80 3.08 2.33 3.62 4.34 3.76 3.99 3.71 3.18
圖 2-4 試驗二之隨機場（C(0) = 1 及 a = 2）
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Distance h
Semivariogram(h)
圖 2-5 試驗半變異圖(試驗二)
表 2-2 三種方法於 10 次試驗內插估計之 RMSE 值（估計點從圖 2-4 中隨機選取）
RMSE Pattern
IRBFN OK SRBFN
1 0.363 0.381 0.411
2 0.330 0.348 0.456
3 0.329 0.381 0.344
4 0.327 0.420 0.487
5 0.418 0.602 0.446
6 0.367 0.385 0.440
7 0.326 0.469 0.391
8 0.353 0.422 0.490
9 0.407 0.619 0.835
10 0.292 0.308 0.432
Mean 0.351 0.433 0.473
3. 試驗三：C(0)=2, a=1
於試驗三中，其隨機場（C(0)=2；a=1）如圖 2-6 所示，其所有資料點 所建立之試驗半變異圖則繪製於圖 2-7，由圖 2-7 可知此隨機場符合原先之 統計假設。關於 10 次試驗之結果則分別整理於表 2-3。其結果與前面兩個試 驗相同，IRBFN 不論哪個試驗均有最小之 RMSE 值，且其平均值亦分別比 OK 及 SRBFN 兩種方法降低約 30%及 33%。
由上述三種不同設計之試驗結果可知，相較於 OK 及 SRBFN 兩種方 法，本研究所提之 IRBFN 擁有較佳之估計精確度。此外，亦可發現當隨機 場之變異性對於估計之精確度影響極大。尤其當變異性越大時，IRBFN 之 RMSE 值相較於 OK 及 SRBFN 有較大之降低幅度，亦即 IRBFN 於變異性較 大之隨機場，其表現遠較另外兩種內插方法為優。
3.26 4.15 2.41 2.49 5.59 4.23 1.81 0.44 1.92 4.57 3.63 2.31 5.80 5.07 3.33 4.52 2.45 6.08 3.16 3.13 2.68 0.54 3.98 3.51 3.02 4.43 1.36 1.95 2.07 3.69 0.43 1.16 1.45 2.86 1.42 -0.10 1.61 0.99 3.04 3.62 2.29 1.41 2.39 2.68 3.10 1.47 2.48 2.56 2.78 3.18 5.76 5.21 1.85 3.06 3.57 0.89 3.31 4.74 3.48 4.91 4.79 5.63 2.83 4.28 3.39 2.02 1.84 2.77 3.02 2.97 3.63 4.05 4.56 4.97 3.70 3.67 3.20 3.73 3.01 2.71 3.58 4.40 7.02 4.62 3.05 2.82 3.65 3.14 2.57 2.40 4.35 3.51 4.48 4.08 2.51 0.84 1.83 2.64 2.19 1.50
圖 2-6 試驗三之隨機場（C(0)=2 及 a=1）
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Distance h
Semivariogram (h)
圖 2-7 試驗半變異圖(試驗三)
表 2-3 三種方法於 10 次試驗內插估計之 RMSE 值(估計點從圖 2-6 中隨機選取) RMSE
試驗次數 IRBFN OK SRBFN
1 0.898 1.150 1.356
2 2.667 3.024 3.655
3 0.545 1.001 0.741
4 0.837 1.136 1.193
5 0.697 1.226 1.329
6 0.553 0.950 1.240
7 0.594 0.949 1.256
8 1.734 2.734 2.088
9 1.584 2.858 1.814
10 1.576 2.393 1.911
Mean 1.168 1.742 1.658
2-4 應用例
本研究以台灣北部淡水河流域之降雨空間分布為研究對象，淡水河之平 均坡度為 1/45，整個流域面積約為 2,726 平方公里，流域內共有 55 個中央 氣象局之雨量測站，其位置分佈如圖 2-8 所示。總計有 64 筆小時雨量資料 可供 OK、SRBFN 及 IRBFN 模式等三種方法進行空間降雨量推估。
Taiwan
圖 2-8 淡水河流域雨量測站分佈示意圖
交叉驗證法（Cross-validation）被用以檢驗 OK、SRBFN 及 IRBFN 模式等
三種方法於此應用例中之表現。交叉驗證法是先選定一個欲估計之雨量測 站，再利用其他雨量測站之觀測值推估此測站之降雨量，並由此雨量測站之 觀測值計算其 RMSE 值，依序計算每個測站之 RMSE 值，最後再予以平均，
擁有最小之 RMSE 值者即為最佳之空間推估方法。關於三種空間推估方法 對 64 筆小時降雨內插估計所得之 RMSE 值整理於表 2-4。由表可知，
IRBFN、OK 及 SRBFN 之平均 RMSE 值分別為 0.525、0.746 及 0.793。相較 於 OK 及 SRBFN 兩種方法，IRBFN 之平均 RMSE 約降低了 30%及 34%。
雖然 IRBFN 於有些雨量資料內插估計之 RMSE 值並非最小，但整體而言，
IRBFN 然有較佳之估計準確度。此應用結果更加印證本研究所提空間內插 模式之可靠度。
2-5 結論與建議
於本研究中，一個結合輻狀基底函數網路與變異元理論之空間內插模式 被建立，稱之為 IRBFN 模式(Improved RBFN Model)。此模式擁有簡單之網 路架構及學習法則，並依據統計特性調節參數等多項優點。再者，此模式對 於數目龐大之資料，較傳統柯利京法有較快之運算速度。為了驗證此模式內 插之精確度，本研究建立了三組不同變異元門檻值及尺度參數之等向性試驗 資料加以測試。三組測試之結果顯示，在三種內插模式(IRBFN 模式、柯利 京法及標準 RBFN 模式)中，IRBFN 模式均較其他兩種方法擁有較高之估計 準確度。此外，實際雨量內插估計之結果亦顯示，本研究所提出之模式可得 到較為準確之內插降雨量。
表 2-4 三種空間推估方法對雨量資料內插估計之 RMSE 值
RMSE RMSE 編號 IRBFN OK SRBFN 編號
IRBFN OK SRBFN 1 0.535 0.591 0.650 33 0.495 0.899 0.602 2 0.485 0.506 0.894 34 0.345 0.522 0.653 3 0.437 0.555 0.682 35 0.723 0.807 1.142 4 0.504 0.758 0.699 36 0.815 0.935 0.835 5 0.400 0.570 0.638 37 0.563 0.913 0.714 6 0.948 0.957 1.350 38 0.522 0.688 0.691 7 0.439 0.456 0.683 39 0.621 0.838 0.606 8 0.438 0.412 0.588 40 0.366 0.660 0.688 9 0.623 0.709 0.905 41 0.400 0.566 0.632 10 0.937 1.140 1.459 42 0.383 0.606 0.535 11 0.492 0.696 0.854 43 0.309 0.360 0.496 12 0.636 0.844 0.948 44 0.425 0.474 0.605 13 0.339 0.371 0.595 45 0.253 0.244 0.510 14 0.469 0.808 0.838 46 0.275 0.283 0.512 15 0.422 0.503 0.709 47 0.324 0.523 0.503 16 0.489 0.877 0.804 48 0.355 0.358 0.503 17 0.482 0.481 0.656 49 0.251 0.231 0.579 18 0.678 1.175 0.848 50 0.299 0.426 0.495 19 0.442 0.480 0.642 51 0.312 0.657 0.501 20 0.447 0.474 0.607 52 0.404 0.469 1.009 21 0.452 0.535 0.700 53 0.439 0.734 0.808 22 0.537 0.618 0.545 54 0.631 0.979 0.830 23 0.591 0.622 0.944 55 0.713 0.905 1.442 24 0.766 1.738 1.670 56 0.637 0.737 1.303 25 0.690 1.662 0.801 57 0.512 0.807 0.702 26 0.733 1.144 1.033 58 0.716 1.159 0.878 27 0.621 1.079 1.109 59 0.632 1.573 0.584 28 0.712 1.941 1.220 60 0.410 0.494 0.680 29 0.857 1.010 0.684 61 0.694 1.011 0.700 30 0.474 0.799 0.929 62 0.810 0.883 1.645 31 0.342 0.436 0.706 63 0.383 0.414 0.624 32 0.494 0.595 0.786 64 0.687 1.046 0.590 Mean 0.525 0.746 0.793