1 求抛物线的解析式；

∴

 

2 2

 

2

 

²

2

4 m 4

m 2 m 4· m 4

m

     

. 化简整理，得16=0，显然不成立.

综上所述，当m=2 2 2 时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与

△ACB 相似.

点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点 A、B 是关于抛 物线的对称轴对称的，连接BC 与对称轴的交点即为所求的点 H”是解答第 2 小题的关键；（2）“能根据题意 画 出 符 合 要 求 的 图 形 ， 知 道 ∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB∽△ABM，

②△ACB∽△MBA 这两种可能情况”是解答第 3 小题的关键.

【考点2】二次函数与直角三角形问题

【例2】如图，抛物线y ax bx c a ² 



⁰



的顶点坐标为



^{2, 1}



_，图象与y_轴交于点^C

 

^0,3 _，与x轴

交于A、 B 两点．

 

1 _{求抛物线的解析式；}

 

2 _{设抛物线对称轴与直线}BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；

 

3 _{点E为直线}BC_{上的任意一点，过点E作}x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使DEF为

直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y(x2) 1²  x²4x3 ;(2)2;(3)见解析.

【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把 C 点坐标代入可求得抛物线解析式；

（2）由抛物线解析式可求得 A、B 坐标，利用待定系数法可求得直线 BC 解析式，利用对称轴可求得 D 点 坐标，则可求得AD2、AC2 和 CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积；

（3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知 DF∥x 轴，则可求得 E 点纵 坐标，代入抛物线解析式可求得E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线 AD 解析式，联立直线 AC 和抛物 线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线 BC 可求得点 E 的坐标．

【详解】解：

 

¹ _{∵抛物线的顶点坐标为}



^{2, 1}



_，

∴可设抛物线解析式为y a x ( 2) 1²



a0



，

把C

 

0,3 _{代入可得a (0 2) 1 3}²_{  ，解得}a 1，

∴抛物线解析式为y(x2) 1² x²4x3_；

 

² _在y x ²4x3_中，令y 0_可得x²4x 3 0_，解得x 1_或x 3_，

∴^A

 

^1,0 _，^B

 

^3,0 _，

设直线BC_解析式为^{y kx 3}_，把B

 

3,0 _代入得：3k  3 0_，解得k  1_，

∴直线BC_解析式为^{y  x 3}_，

由

 

1 _{可知抛物线的对称轴为}x 2_，此时^{y    2 3 1}_，

∴^D

 

^2,1 _，

∴AD ² 2，AC ² 10，CD ² 8，

∵AD²CD²  AC²_，

∴ACD是以AC_{为斜边的直角三角形，}

∴

1 1 2 2 2 2

2 2

S_ACD  AD CD    

；

 

3 _{由题意知EF y/ / 轴，则FED OCB90}^_，

∴DEF为直角三角形，分DFE90^_和EDF 90^_{两种情况，}

①当DFE90^_时，即DF x/ / _轴，则D、F的纵坐标相同，

∴F点纵坐标为1，

∵点F在抛物线上，

∴x²4x 3 1_，解得x  2 2_{，即点E的横坐标为}2 2 _，

∵点E在直线BC_上，

∴当x  2 2_时，^{y    x 3 1 2}_，当x  2 2_时，^{y    x 3 1 2}_，

∴E点坐标为



^{2 2,1 2}



_或



^{2 2,1 2}



_；

②当EDF90^_时，

∵A

 

1,0 _，D

 

2,1 _，

∴直线AD解析式为y x 1_，

∵直线BC_解析式为^{y  x 3}_，

∴AD BC _，

∴直线AD与抛物线的交点即为E点，

联立直线AD与抛物线解析式有x²4x  3 x 1_，解得x 1_或x 4_，

当x 1_时，^{y   x 3 2}_，当x 4_时，^{y    x 3 1}_，

∴E点坐标为

 

^1,2 _或



^{4, 1}



_，

综上可知存在满足条件的点E，其坐标为



^{2 2,1 2}



_或



^{2 2,1 2}



_或

 

1,2 _或



4, 1



．

【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.

【变式2-1】如图，经过x_轴上^{A( 1 0) ，，B(3 0)，} _{两点的抛物线}^{y m x ( 1) 24m}_（m 0_）交y_轴于点C_，

设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G 经过点C_{，求解下列问题：}

（1）用含m的代数式表示出C D， _的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）能否在抛物线上找到一点Q_，使△BDQ为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理 由。

【答案】（1）点C_的坐标为^{C(0 3 )， m} _,点D的坐标为(1 4 )， m _；（2） 抛物线的解析式为y  x² 2x 3 _；

1

∴DH FQ BF HB•  •

【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似，

并且多次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形的确定（3 种情况分类讨论），难度较大.

【变式2-2】已知抛物线y x ²2x m 1_与x_{轴只有一个交点，且与}y_轴交于A点，如图，设它的顶点 为B．

（1）求m的值；

（2）过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：△ABC 是等腰直角三角形；

（3）将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线y_，且与x 轴的左半轴交于 E 点，与 y 轴交于 F 点，如 图．请在抛物线y_{上求点P，使得△}EFP是以EF 为直角边的直角三角形？

【答案】（1）m = 2；（2）证明见解析；（3）满足条件的 P 点的坐标为（

10 3 ，

13 9 ）或（

7 3，

20

 9

）．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线与 x 轴只有一个交点可知△的值为 0，由此得到一个关于 m 的一元一次方程，

解此方程可得m 的值；

（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据 A 点在 y 轴上求出 A 点坐标，再求 C 点坐标，根据三个点 的坐标得出△ABC 为等腰直角三角形；

（3）根据抛物线解析式求出 E、F 的坐标，然后分别讨论以 E 为直角顶点和以 F 为直角顶点 P 的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线 y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，

∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，

解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为 y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点 B（1，0），

当x=0 时，y=1，得 A（0，1）．

由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或 x=2，所以 C 点坐标为：（2，1）．

过C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，则 CD=1，BD=xD-xB=1．

∴在Rt△CDB 中，∠CBD=45°，BC= 2_．

同理，在Rt△AOB 中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB= 2_．

∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，

因此△ABC 是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线 C′的解析式为 y=x2-2x-3，

当x=0 时，y=-3；

当y=0 时，x=-1 或 x=3，

∴E（-1，0），F（0，-3），即 OE=1，OF=3．

第一种情况：若以E 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P1（x1，y1），作 P1M⊥x 轴于 M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，

∴∠P1EM=∠EFO，得 Rt△EFO∽Rt△P1EM，

则

1 1

3 PM OE EM ＝OF＝

，即EM=3P1M．

∵EM=x1+1，P1M=y1，

∴x1+1=3y1①

由于P1（x1，y1）在抛物线 C′上，

则有3（x12-2x1-3）=x1+1，

整理得，3x12-7x1-10=0，解得，

x1＝

10

3 ，或x2=-1（舍去）

把x1＝

10

3 代入①中可解得，

y1=

13 9 ．

∴P1（

10 3 _，

13 9 _）．

第二种情况：若以F 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P2（x2，y2），作 P2N⊥y 轴于 N．

同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，

得 ²

1 3 FN OE P N OF＝ ＝

，即P2N=3FN．

∵P2N=x2，FN=3+y2，

∴x2=3（3+y2）②

由于P2（x2，y2）在抛物线 C′上，

则有x2=3（3+x22-2x2-3），

整理得3x22-7x2=0，解得 x2=0（舍）或 x2＝

7 3．

把x2＝

10

3 代入②中可解得，

y2＝−

20 9 ．

∴P2（

7 3_，−

20 9 _）．

综上所述，满足条件的P 点的坐标为：（

10 3 ，

13 9 ）或（

7 3，−

20 9 ）.

【考点3】二次函数与等腰三角形问题

【例3】如图，已知：二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（﹣3，0），

与y 轴交于点 C，点 D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出 PA+PD 的最小值；

（3）若抛物线上有一动点 M，使△ABM 的面积等于△ABC 的面积，求 M 点坐标．

（4）抛物线的对称轴上是否存在动点 Q，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）3 2_；（3）点 M 的坐标为（﹣1﹣ 7_{，3），（﹣1+} 7_，3），（﹣2，﹣3）；

（4）存在；点 Q 的坐标为（﹣1， 6_{），（﹣1，﹣} 6_），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．

【解析】（1）由点 A，D 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，连接 BD，交抛物线的对称轴于点 P，由抛物 线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD 取最小值，最小值为线段 BD 的长度，再由点 B，D 的 坐标，利用两点间的距离公式可求出PA+PD 的最小值；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，设点 M 的坐标为（x，x2+2x-3），由△ABM 的 面积等于△ABC 的面积可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可求出点 M 的坐标；

（4）设点 Q 的坐标为（-1，m），结合点 B，C 的坐标可得出 CQ2，BQ2，BC2，分 BQ=BC，CQ=CB 及 QB=QC 三种情况，找出关于 m 的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点 Q 的坐标．

【详解】解：（1）将 A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入 y＝x2+bx+c，得：

9 3 0

4 2 3

b c b c

 

   



＝

＝ ，解得：

2 3 b c

 

  

 _，

∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3．

（2）当 y＝0 时，x2+2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴点B 的坐标为（1，0）．

连接BD，交抛物线的对称轴于点 P，如图 1 所示．

∵PA＝PB，

∴此时PA+PD 取最小值，最小值为线段 BD 的长度．

∵点B 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（﹣2，﹣3），

∴BD＝ ( 2 1)  ²  ( 3 0)² _＝3 2_，

∴PA+PD 的最小值为 3 2．

（3）当 x＝0 时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，

∴点C 的坐标为（0，﹣3）．

设点M 的坐标为（x，x2+2x﹣3）．

∵S△ABM＝S△ABC，

∴|x2+2x﹣3|＝3，即 x2+2x﹣6＝0 或 x2+2x＝0，

解得：x1＝﹣1﹣ 7_{，x2＝﹣1+} 7_，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），

∴点M 的坐标为（﹣1﹣ 7_{，3），（﹣1+} 7_，3），（﹣2，﹣3）．

（4）设点 Q 的坐标为（﹣1，m）．

∵点B 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（0，﹣3），

∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣

1）2+（﹣3﹣0）2＝10．

分三种情况考虑（如图2 所示）：

①当BQ＝BC 时，m2+4＝10，

解得：m1＝ 6_，m2＝﹣ 6_，

∴点Q1 的坐标为（﹣1， 6_），点Q2 的坐标为（﹣1，﹣ 6_）；

②当CQ＝CB 时，m2+6m+10＝10，

解得：m3＝0，m4＝﹣6，

∴点Q3 的坐标为（﹣1，0），点 Q4 的坐标为（﹣1，﹣6）；

③当QB＝QC 时，m2+4＝m2+6m+10，

解得：m5＝﹣1，

∴点Q5 的坐标为（﹣1，﹣1）．

综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为（﹣1， 6_{），（﹣1，}

﹣ 6_），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两 点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次（或一元一次）方程，解题的关键是：

（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用两点之间线段最短，找出点 P 的位置；

（3）利用两三角形面积相等，找出关于 x 的一元二次方程；（4）分 BQ=BC，CQ=CB 及 QB=QC 三种情况，

找出关于m 的方程．

【变式3-1】如图，抛物线yax² bx3_与x 轴交于点 A（1，0）和 B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（2， 21_{）或（2，-} 21_{）或（2，}3 21_{）或（2，} 3 21_），

使△OCP 是等腰三角形．

考点：二次函数综合题．

【变式3-2】如图，抛物线 与直线 相交于 两点，且抛

物线经过点 .

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 是抛物线上的一个动点（不与点 、点 重合），过点 作直线 轴于点 ，交直线

于点 .

①当 时，求 点坐标；

② 是否存在点 使 为等腰三角形，若存在请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）①P 点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；②（ ， ）或（4+ ，﹣4

﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）或（0，5）．

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得 B 点坐标，由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解 析式；

（2）①可设出 P 点坐标，则可表示出 E、D 的坐标，从而可表示出 PE 和 ED 的长，由条件可知到关于 P 点坐标的方程，则可求得P 点坐标；

②由E、B、C 三点坐标可表示出 BE、CE 和 BC 的长，由等腰三角形的性质可得到关于 E 点坐标的方程，

可求得E 点坐标，则可求得 P 点坐标．

试题解析：（1）∵点 B（4，m）在直线 y=x+1 上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；

（2）①设 P（x，﹣x2+4x+5），则 E（x，x+1），D（x，0），

则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=﹣1 或 x=2，但当 x=﹣1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，

∴P（2，9）；

当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得 x=﹣1 或 x=6，但当 x=﹣1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

综上可知P 点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；

②设P（x，﹣x2+4x+5），则 E（x，x+1），且 B（4，5），C（5，0），

∴BE= |x ﹣ 4| ， CE= ，

BC= ，

当△BEC 为等腰三角形时，则有 BE=CE、BE=BC 或 CE=BC 三种情况，

当BE=CE 时，则 |x﹣4|= ，解得x= ，此时 P 点坐标为（ ， ）；

当BE=BC 时，则 |x﹣4|= ，解得x=4+ 或x=4﹣ ，此时P 点坐标为（4+ ，﹣4 ﹣ 8）或（4﹣ ，4 ﹣8）；

当CE=BC 时，则 = ，解得x=0 或 x=4，当 x=4 时 E 点与 B 点重合，不合题意，舍 去，此时P 点坐标为（0，5）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）或（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣ 8）或（0，5）．

考点：二次函数综合题．

【考点4】二次函数与平行四边形问题

【例4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（﹣3，0），B（1，0），与 y 轴相交于（0，﹣

3 2_），

顶点为P．

（1）求抛物线解析式；

（2）在抛物线是否存在点 E，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积？若存在，求出符合条件的点 E 的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点 F，使得以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条

件的点F 的坐标，并求出平行四边形的面积．

【解析】（1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，

3

∴符合条件的点E 的坐标为（﹣1﹣2 2_{，2）或（﹣1+2} 2_，2）

（3）∵点 A（﹣3，0），点 B（1，0），

∴AB =4

若AB 为边，且以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴AB∥PF，AB=PF=4

∵点P 坐标（﹣1，﹣2）

∴点F 坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）

∴平行四边形的面积=4×2=8

若AB 为对角线，以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴AB 与 PF 互相平分

设点F（x，y）且点 A（﹣3，0），点 B（1，0），点 P（﹣1，﹣2）

∴

3 1 1

2 2

0 0 2

2 2

x y

   

 

   

 

 _，

∴x=﹣1，y=2

∴点F（﹣1，2）

∴平行四边形的面积= 1

2_×4×4=8

综上所述：点F 的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8．

综上所述：点F 的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8．

在文檔中 2020年中考数学压轴题专题16 《二次函数的存在性问题》 (頁 27-116)