2020年中考数学压轴题专题16 《二次函数的存在性问题》

专题

16 二次函数的存在性问题

【典例分析】 【考点_{1】二次函数与相似三角形问题} 【例_{1】已知抛物线}

y ax bx



2





3

与_{x 轴分别交于}

A 

( 3,0)

，

B

(1,0)

两点，与_{y 轴交于点 C．} （_{1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；} （_{2）点 F 是线段 AD 上一个动点．} ①如图_1，设

AF

k

AD



，当_{k 为何值时，}

CF



2

AD

1

. ②如图_{2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与}



ABC

相似？若相似，求出点_{F 的坐标；若不相似，请说明} 理由． 【变式_{1-1】如图，抛物线}

y



ax

2



2

x c



经过

A 

( 1,0)

， B 两点，且与

y

轴交于点

C

(0,3)

，抛物线与直 线

y

  

x

1

交于

A

，

E

两点． （1）求抛物线的解析式； （_{2）坐标轴上是否存在一点}

Q

，使得



AQE

是以

AE

为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点

Q

的

坐标；若不存在，说明理由． （_{3） P 点在}

x

轴上且位于点 B 的左侧，若以 P ， B ，

C

为顶点的三角形与



ABE

相似，求点 P 的坐标． 【变式1-2】如图，已知抛物线y m1 ( 2)(x x m )(m＞0)与 x 轴相交于点 A，B，与 y 轴相交于点 C，且 点A 在点 B 的左侧. （_{1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；} （_{2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点 H，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的} 坐标；若不存在，请说明理由； （_{3）在第四象限内，抛物线上是否存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，} 求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【考点2】二次函数与直角三角形问题 【例_{2】如图，抛物线}





2

₀

y ax bx c a









的顶点坐标为



2, 1





，图象与

y

轴交于点

C

 

0,3

，与

x

轴 交于

A

、 B 两点．

 

1

_{求抛物线的解析式；}

 

2

_{设抛物线对称轴与直线}

_BC

_交于点

_D

_，连接

_AC

_、

_AD

_，求

_

_ACD

_的面积；

 

3

_点

_E

_为直线

_BC

_{上的任意一点，过点}

_E

_作

_x

_{轴的垂线与抛物线交于点}

_F

_{，问是否存在点}

_E

_使

_

_DEF

_为 直角三角形？若存在，求出点

E

坐标，若不存在，请说明理由． 【变式_{2-1】如图，经过}

x

轴上

A

( 1 0)

 ，，

B

(3 0)

，

两点的抛物线

y m x



( 1)



2



4

m

（

m 

0

）交

y

轴于点

C

，

设抛物线的顶点为

D

，若以

DB

为直径的⊙_{G 经过点}

C

，求解下列问题： （_1）用含

m

的代数式表示出

C D

，

的坐标； （_{2）求抛物线的解析式；} （_{3）能否在抛物线上找到一点}

Q

，使

△

BDQ

为直角三角形？如能，求出

Q

点的坐标，若不能，请说明理 由。 【变式2-2】已知抛物线

y x



2



2

x m

 

1

与

x

轴只有一个交点，且与

y

轴交于

A

点，如图，设它的顶点 为_B． （_1）求

m

的值； （_{2）过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：△ABC 是等腰直角三角形；} （_{3）将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线}

y

，且与_{x 轴的左半轴交于 E 点，与 y 轴交于 F 点，如} 图．请在抛物线

y

上求点_{P，使得△}

EFP

是以_{EF 为直角边的直角三角形？} 【考点_{3】二次函数与等腰三角形问题} 【例3】如图，已知：二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（﹣3，0）， 与_{y 轴交于点 C，点 D（﹣2，﹣3）在抛物线上．} （_{1）求抛物线的表达式；} （_{2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出 PA+PD 的最小值；} （_{3）若抛物线上有一动点 M，使△ABM 的面积等于△ABC 的面积，求 M 点坐标．} （4）抛物线的对称轴上是否存在动点 Q，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由．

【变式_{3-1】如图，抛物线}

y



ax

2



bx



3

与_{x 轴交于点 A（1，0）和 B（3，0）．} （_{1）求抛物线的解析式；} （_{2）若抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 F 是位于 x 轴上方对称轴上一点，FC∥x 轴，与对称轴右侧的抛} 物线交于点_{C，且四边形 OECF 是平行四边形，求点 C 的坐标；} （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△OCP 是等腰三角形？若存在，请直接写出 点_{P 的坐标；若不存在，请说明理由．} 【变式_{3-2】如图，抛物线} 与直线 相交于 两点，且抛 物线经过点 . （_{1）求抛物线的解析式；}

（_{2）点 是抛物线上的一个动点（不与点 、点 重合），过点 作直线} 轴于点 ，交直线 于点 _. ①当 时，求 点坐标； ② 是否存在点 使 为等腰三角形，若存在请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由_. 【考点_{4】二次函数与平行四边形问题} 【例_{4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（﹣3，0），B（1，0），与 y 轴相交于（0，﹣}

3

2

）， 顶点为P． （_{1）求抛物线解析式；} （_{2）在抛物线是否存在点 E，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积？若存在，求出符合条件的点 E 的坐标；} 若不存在，请说明理由； （_{3）坐标平面内是否存在点 F，使得以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条} 件的点F 的坐标，并求出平行四边形的面积． 【变式_{4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线} ，经过_{A（0，﹣4），B（ ，0），C（ ，} 0）三点，且 ． （1）求 b，c 的值； （_{2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；}

（_{3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，} 并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 【变式_{4-2】如图，抛物线} 与直线 交于 ， 两点，直线 交 轴与点 ，点 是直线 上的动点，过点 作 轴交 于点 ，交抛物线于点 . (1)求抛物线 的表达式； (2)连接 ， ，当四边形 是平行四边形时，求点 的坐标； (3)①在 轴上存在一点 ，连接 ， ，当点 运动到什么位置时，以 为顶点的四边形是矩 形？求出此时点 的坐标； ②在①的前提下，以点 为圆心， 长为半径作圆，点 为 上一动点，求 的最小值. 【达标训练】 一、单选题 1．将抛物线 y=﹣2x2﹣1 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角 三角形，那么平移的距离为（ ） A．

3

2

_{个单位 B．1 个单位} C．

1

2

个单位 _D．

2

个单位 2．如图，抛物线

y

  

x

2

2x 3



与

y

轴交于点

C

，点

D

(0,1)

，点 P 是抛物线上的动点，若



PCD

是以

CD

为底的等腰三角形，则 tan CDP 的值为（ ）．

A．

1

2

2

+

或

1

2

2



B．

2 1



或

2 1



C．

2 1

2



或

2 1

2



D．

1



2

或

1



2

二、填空题 3．如图，抛物线

y x



2



1

的顶点为

C

，直线

y x

 

1

与抛物线交于

A

， B 两点．

M

是抛物线上一点， 过

M

作

MG x



轴，垂足为

G

．如果以

A

，

M

，

G

为顶点的三角形与



ABC

相似，那么点

M

的坐标是 ________．

4．如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a≠0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m），点 P 是线段 AB 上 异于_{A、B 的动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 D，交抛物线于点 C．当△PAC 为直角三角形时点 P 的坐} 标 ． 5．如图，已知抛物线





2

2

1

y



x





与

x

轴交于_{A、C 两点，与}

y

轴交于点_{B，在抛物线的对称轴}

上找一点_{Q，使△ABQ 成为等腰三角形，则 Q 点的坐标是____.}

6．如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+4 与 y 轴交于点 C，点 D（0，2），点 M 是抛物线上的动点．若△MCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 M 的坐标为_____．

7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=﹣x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，点 M 在这条抛物 线上，点_{P 在 y 轴上，如果四边形 ABMP 是平行四边形，则点 M 的坐标为______．} 8．已知抛物线 y＝（x﹣2）2，P 是抛物线对称轴上的一个点，直线 x＝t 分别与直线 y＝x、抛物线交于点 A，B，若△ABP 是等腰直角三角形，则 t 的值为_____． 9．将抛物线

y

1



x

2_{向右平移2 个单位,得到抛物线}

y

2_的图象

.P

_是抛物线

y

2_{对称轴上的一个动点,直线}

x t



_{平行于y 轴,分别与直线}

y x



_、抛物线

y

2_{交于点A、}

B.

_若



ABP

_{是以点A 或点 B 为直角顶点的等腰} 直角三角形_{,求满足条件的 t 的值,则}

t 

_{______ .}

10．如图，已知抛物线 2

1

₄

4

y

 

x bx





与

x

轴相交于

A

、 B 两点，与

y

轴相交于点

C

．若已知

A

点的 坐标为

A 



2,0



．点

Q

在抛物线的对称轴上，当



ACQ

为等腰三角形时，点

Q

的坐标为_{________．} 11．如图，抛物线 2 1 1 ₃ 2 2 y x  x 与

x

轴的负半轴交于点

A

，与

y

轴交于点 B ，连接

AB

，点

D E

,

分别 是直线

x  

1

与抛物线上的点，若点

A B D E

, , ,

围成的四边形是平行四边形，则点

E

的坐标为_{__________.} 三、解答题 12．如图，抛物线 与直线 交于_{A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，已知} ， ．

求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴； 在直线_{AB 下方的抛物线上是否存在一点 E，使得} 的面积最大？如果存在，求出_{E 点坐标；如果} 不存在，请说明理由． 为抛物线上一动点，连接_{PA，过点 P 作} 交_{y 轴于点 Q，问：是否存在点 P，使得以 A、P、Q} 为顶点的三角形与 相似？若存在，请直接写出所有符合条件的_{P 点的坐标；若不存在，请说明理由．} 13．如图，抛物线 经过点_{A（-1,0）、B（3,0）、C（0，} ），连接_{AC、BC，将△ABC 绕} 点_{C 逆时针旋转，使点 A 落在 x 轴上，得到△DCE，此时，DE 所在直线与抛物线交于第一象限的点 F.} （1）求抛物线 对应的函数关系式. （_{2）求点 A 所经过的路线长.} （_{3）抛物线的对称轴上是否存在点 P 使△PDF 是等腰三角形.} 若存在，求点_{P 的坐标；若不存在，说明理由.} 14．如图，抛物线经过原点 O（0，0），点 A（1，1），点 B（

7

2

，_0）． （_{1）求抛物线解析式；}

（_{2）连接 OA，过点 A 作 AC⊥OA 交抛物线于 C，连接 OC，求△AOC 的面积；}

（_{3）点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MN⊥OM 交 x 轴于点 N．问：是否存在点 M，} 使以点O，M，N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明 理由．

15．如图，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点，且 ， 直线 与 轴交于 点，点 是抛物线 上的一动点，过点 作 轴， 垂足为 ，交直线 于点 _. （_{1）试求该抛物线的表达式；} （_{2）如图（1），若点 在第三象限，四边形} 是平行四边形，求 点的坐标； （_{3）如图（2），过点 作} 轴，垂足为 ，连接 ， ①求证： 是直角三角形； ②试问当 点横坐标为何值时，使得以点 为顶点的三角形与 相似？ 16．如图，顶点为

M

的抛物线

y ax bx



2





3

与

x

轴交于

A

 

3,0

，

B 



1,0



两点，与

y

轴交于点

C

． （_{1）求这条抛物线对应的函数表达式；} （2）问在

y

轴上是否存在一点 P ，使得



PAM

为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说 明理由． （_{3）若在第一象限的抛物线下方有一动点}

D

，满足

DA OA



，过

D

作

DG x



轴于点

G

，设



ADG

的

内心为

I

，试求

CI

的最小值． 17．如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A（-1，0）和 C（0，4）． （_{1）求这条抛物线的解析式；} （_{2）直线 y=x+1 与抛物线相交于 A、D 两点，点 P 是抛物线上一个动点，点 P 的横坐标是 m，且-1＜m＜3，} 设△_{ADP 的面积为 S，求 S 的最大值及对应的 m 值；} （3）点 M 是直线 AD 上一动点，直接写出使△ACM 为等腰三角形的点 M 的坐标． 18．在平面直角坐标系中有

Rt AOB



，

O

为原点，

OB 

1

，

OA 

3

，将此三角形绕点

O

顺时针旋转

90

得到

Rt COD



，抛物线y  x2 bx



c

过

A B C

, ,

三点． （_{1）求此抛物线的解析式及顶点 P 的坐标；} （2）直线

l kx k

:



 

3

与抛物线交于

M N

,

两点，若

S

PMN



2

_，求

k

_的值； （_{3）抛物线的对称轴上是否存在一点}

Q

使得



DCQ

为直角三角形． 19．如图，抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边)，与 y 轴交于点 C， 点_{D 为抛物线的顶点．} (1)求点 A、B、C 的坐标； (2)点 M(m，0)为线段 AB 上一点(点 M 不与点 A、B 重合)，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E， 与抛物线交于点_{P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QN⊥x 轴于点 N，可得矩形 PQNM．如} 图，点_{P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周长；} (3)当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积； (4)在(3)的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线，与直线 AC 交于点 G(点 G 在点 F 的上方)．若 FG＝2

2

DQ，求点 F 的坐标．

20．如图，已知直线

1

₂

2

y



x



与_{x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，抛物线} 2

1

₂

2

y



x bx





与_{x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C.} （1）求抛物线的解析式； （_{2）点 M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点 M 的坐标；}

（_{3）连接 AC，求顶点 D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形 DEFC 面积最大时，写出该矩形在 AB 边上的} 顶点的坐标． 21．如图，抛物线 y=

1

2

_{x2+bx+c 与直线 y=}

1

2

_{x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 C、D 两点，连接 AC、BC，} 已知_{A（0，3），C（﹣3，0）．} （_{1）求抛物线的解析式；} （2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值； （_{3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使} 得以_{A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请} 说明理由．

22．如图，已知抛物线经过原点 O，顶点 A（1，﹣1），且与直线 y＝kx+2 相交于 B（2，0）和 C 两点 （_{1）求抛物线和直线 BC 的解析式；}

（2）求证：△ABC 是直角三角形；

（_{4）在抛物线的对称轴上是否存在点 F，使△BDF 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 F 的坐标．} 23．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2﹣4ax+1 与 x 轴的正半轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点_{C，且 OB=3OC，点 P 是第一象限内的点，连接 BC，△PBC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形．} （_{1）求这个抛物线的表达式；} （2）求点 P 的坐标； （_{3）点 Q 在 x 轴上，若以 Q、O、P 为顶点的三角形与以点 C、A、B 为顶点的三角形相似，求点 Q 的坐} 标．

24．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，经过 A、B、C 三点的圆 的圆心_{M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为}

5

．设⊙_{M 与 y 轴交于 D，抛物线的顶点} 为E． （_{1）求 m 的值及抛物线的解析式；} （_{2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求 sin（α﹣β）的值；} （_{3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点 P} 的位置，并直接写出点_{P 的坐标；若不存在，请说明理由．}

25．抛物线

F y x bx c

:



2





的图象经过坐标原点

O

，且与

x

轴另交点为

3 ,0

3



















_. （1）求抛物线

F

的解析式； （_2）如图

1

，直线





3

:

0

3

l y



x m m





与抛物线

F

相交于点

A x y



1

,

1



和点

B x y



2

,

2



（点

A

在第二象 限），求

y

2



y

1_{的值（用含}

m

_{的式子表示）；} （3）在（2）中，若 4 3 m  ，设点 A 是点

A

关于原点

O

的对称点，如图

2

.平面内是否存在点 P ，使得以点

A

、 B 、 A 、 P 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由_. 26．已知：如图，抛物线 y=

3

4

_{x2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1，0)、B 两点（A 在 B 左），y 轴交于点 C（0，-3）．} （_{1）求抛物线的解析式；}

（2）若点 D 是线段 BC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值；

（_{3）若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上．是否存在以 B、C、E、P 为顶点且以 BC 为一边的平行四边形？} 若存在，求出点_{P 的坐标；若不存在，请说明理由．}

27．如图，在平面直角坐标系中有抛物线 y＝a（x﹣2）2﹣2 和 y＝a（x﹣h）2，抛物线 y＝a（x﹣2）2﹣2 经过原点，与_{x 轴正半轴交于点 A，与其对称轴交于点 B；点 P 是抛物线 y＝a（x﹣2）2﹣2 上一动点，且} 点P 在 x 轴下方，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 y＝a（x﹣h）2 于点 D，过点 D 作 PD 的垂线交抛物线 y ＝_{a（x﹣h）2 于点 D′（不与点 D 重合），连接 PD′，设点 P 的横坐标为 m：}

（_{1）①直接写出 a 的值；} ②直接写出抛物线_{y＝a（x﹣2）2﹣2 的函数表达式的一般式；} （2）当抛物线 y＝a（x﹣h）2 经过原点时，设△PDD′与△OAB 重叠部分图形周长为 L： ①求

PD

DD

 的值； ②直接写出_{L 与 m 之间的函数关系式；} （3）当 h 为何值时，存在点 P，使以点 O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出 h 的值． 28．综合与探究 如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 _. （_{1）求抛物线解析式：} （_{2）抛物线对称轴上存在一点} ，连接 、 ，当 值最大时，求点_{H 坐标：} （3）若抛物线上存在一点 ， ，当 时，求点 坐标： （_{4）若点 M 是} 平分线上的一点，点 是平面内一点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形，请 直接写出点 坐标_. 29．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是

3

2

x  

，且经过_{A（﹣4，0），C（0，2）两点，直} 线_{l：y=kx+t（k≠0）经过 A，C．}

（_{1）求抛物线和直线 l 的解析式；} （_{2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，交 AC 于点 E，过点 P 作 PF} ⊥_{AC，垂足为 F，当△PEF≌△AED 时，求出点 P 的坐标；} （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，

O

为原点，



ABCD

的边

AB

在

x

轴上，点

D

在

y

轴上，点

A

的 坐标为

( 2,0)



，

AB 

6

，BAD60 ，点

E

是

BC

边上一点，

DE BC



，



P

过

A

、

O

、

D

三点， 抛物线

y ax bx c



2





过点

A

、 B 、

D

三点_. (1)求抛物线的解析式. (2)若将



CDE

绕点

D

顺时针旋转

90

，点

E

的对应点 E 会落在抛物线

y ax bx c



2





上吗？请说明理由. (3)若点

M

为此抛物线的顶点，平面上是否存在点

N

，使得以点 B 、

D

、

M

、

N

为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，请直接写出点

N

的坐标；若不存在，请说明理由_. 31．在平面直角坐标系

xOy

中，如图，抛物线

y mx



2



2

x n



（

m

、

n

是常数）经过点 ( 2,3)A  、

B 

( 3,0)

， 与

y

轴的交点为点

C

． （_{1）求此抛物线的表达式；} （_2）点

D

为

y

轴上一点，如果直线

BD

和直线

BC

的夹角为_{15º，求线段}

CD

的长度； （3）设点 P 为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△

BPC

为直角三角形时，求点 P 的坐标．

32．如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣4 经过 A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB，AC， BC． （_{1）求抛物线的表达式；} （_{2）求△ABC 的面积；} （_{3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得△ABM 是直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，} 请说明理由．

【典例分析】 【考点_{1】二次函数与相似三角形问题} 【例_{1】已知抛物线}

y ax bx



2





3

与_{x 轴分别交于}

A 

( 3,0)

，

B

(1,0)

两点，与_{y 轴交于点 C．} （_{1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；} （_{2）点 F 是线段 AD 上一个动点．} ①如图_1，设

AF

k

AD



，当_{k 为何值时，}

CF



2

AD

1

. ②如图_{2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与}



ABC

相似？若相似，求出点_{F 的坐标；若不相似，请说明} 理由． 【答案】（1）

y

  

x

2

2

x



3

，D 的坐标为

( 1,4)



；（2）①

1

2

k 

；②以A，F，O 为顶点的三角形与



ABC

相似，_{F 点的坐标为}

6 18

_,

5 5



_











_或

( 2,2)



_． 【解析】(1)将 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可 求得顶点

D( 1,4)



； (2)①由 A、C、D 三点的坐标求出

AC 3 2



，

DC



2

，

AD 2 5



，可得

ΔACD

为直角三角形，若

1

CF

AD

2



，则点_{F 为 AD 的中点，可求出 k 的值；}

②由条件可判断



DAC





OBC

，则



OAF





ACB

，若以_{A，F，O 为顶点的三角形与}

ΔABC

相似， 可分两种情况考虑：当



AOF





ABC

或



AOF





CAB 45



时，可分别求出点_{F 的坐标．}

【详解】(1)



抛物线

y ax



2



bx 3



过点

A( 3,0)



，

B(1,0)

，

9

3

3 0

3 0

a b

a b



 





_{  }



_，解得：

1

2

a

b

 



  



_，



抛物线解析式为

y

  

x

2

2x 3



；





2 2

y

  

x

2x 3

  

x 1





4



_，



顶点_{D 的坐标为}

( 1,4)



； (2)①



在

RtΔAOC

中，

OA 3



，

OC 3



， 2 2 2

AC

OA

OC

18









_，





D 1,4





_，

C 0,3

 

_，

A 3,0







， 2 2 2

CD

1 1

2



  

_， 2 2 2

AD

2

4

20









_， 2 2 2

AC

CD

AD







_，

ΔACD



_{为直角三角形，且}



ACD 90

_

 ，

1

CF

AD

2





，



_{F 为 AD 的中点，}

AF 1

AD 2





，

1

k

2

 

； ②在

RtΔACD

中，

DC

2

1

tan ACD

AC

3 2

3









， 在

RtΔOBC

中，

OB 1

tan OCB

OC 3







，

ACD

OCB









_，

OA OC





，

OAC

OCA 45













，

FAO

ACB









，

若以_{A，F，O 为顶点的三角形与}

ΔABC

相似，则可分两种情况考虑： 当



AOF





ABC

时，

ΔAOF ΔCBA

∽

，

OF BC



_

_， 设直线BC 的解析式为

y kx b





，

0

3

k b

b

 





_



_，解得：

3

3

k

b

 



 



_，



直线BC 的解析式为

y= 3x+3



，



直线OF 的解析式为

y= 3x



， 设直线_{AD 的解析式为}

y=mx+n

，

4

3

0

k b

k b

  





_{  }



_，解得：

2

6

k

b





 



_，



直线_{AD 的解析式为}

y=2x 6



，

2

6

3

y

x

y

x









_{ }



_，解得：

6

5

18

5

x

y

  





 



_，

6 18

F

,

5 5







_



_





_．

当



AOF





CAB 45



时，

ΔAOF ΔCAB

∽

，

CAB 45



_





，

OF AC





_，



直线OF 的解析式为

y= x



，

2

6

y

x

y

x

 





_

_



_，解得：

2

2

x

y

 



 



_，





F 2,2

 

_，

综合以上可得F 点的坐标为

6 18

_,

5 5



_











_或

( 2,2)



_． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性 质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想 解决数学问题． 【变式1-1】如图，抛物线

y



ax

2



2

x c



经过

A 

( 1,0)

， B 两点，且与

y

轴交于点

C

(0,3)

，抛物线与直 线

y

  

x

1

交于

A

，

E

两点． （_{1）求抛物线的解析式；} （_{2）坐标轴上是否存在一点}

Q

，使得



AQE

是以

AE

为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点

Q

的 坐标；若不存在，说明理由． （_{3） P 点在}

x

轴上且位于点 B 的左侧，若以 P ， B ，

C

为顶点的三角形与



ABE

相似，求点 P 的坐标． 【答案】（_1）

y

  

x

2

2x 3



；（_{2）存在，}

Q ，

 

4 0

或



0 4

，





，理由见解析；（_3）

3

p

0

5











，



_或

9

p

0

2



_









，



_． 【解析】（1）将 A、C 的坐标代入

y



ax

2



2

x c



求出a、c 即可得到解析式； （_{2）先求出 E 点坐标，然后作 AE 的垂直平分线，与 x 轴交于 Q，与 y 轴交于 Q'，根据垂直平分线的性质} 可知_{Q、与 A、E，Q'与 A、E 组成的三角形是以 AE 为底边的等腰三角形，设 Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，} 根据距离公式建立方程求解即可； （_{3）根据 A、E 坐标，求出 AE 长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设}

p

 

m，

0

，由相似得到

PB AB

BC AE



或

PB AE

BC AB



，建立方程求解即可． 【详解】（_1）将

A 

( 1,0)

，

C

(0,3)

代入

y



ax

2



2

x c



得：

2

0

3

a

c

c

  



 



_，解得

1

3

a

c

 



 



∴抛物线解析式为

y

  

x

2

2

x



3

（_{2）存在，理由如下：} 联立

y

  

x

1

和

y

  

x

2

2x 3



， 2

y

1

2

3

x

y

x

x

  



    



_，解得

1

0

x

y

 



 



_或

4

5

x

y





  



∴_{E 点坐标为(4,-5)，} 如图，作AE 的垂直平分线，与 x 轴交于 Q，与 y 轴交于 Q'， 此时Q 点与 Q'点的坐标即为所求， 设_{Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，} 由_{QA=QE，Q'A= Q'E 得：}

 



 

2



2

1

4

0 5

  



 

x

x

，



 





 



2 2 2 2

0 1





y



0



0 4





y



5

解得

x 

4

，

y 

4

故_{Q 点坐标为}

 

4 0

，

或



0 4

，





（_3）∵

A 

( 1,0)

，

E



4 5

，





∴





2 ₂

1 4

5 =5 2



 



AE

_， 当

 

x

2

2

x

 

3 0

时，解得

x  

1

或₃ ∴B 点坐标为(3,0)， ∴

OB OC





3

∴



ABC

 

45

，

AB 

4

，

BC 

3 2

， 由直线

y

  

x

1

可得AE 与 y 轴的交点为(0,-1)，而 A 点坐标为(-1,0) ∴∠_BAE=45° 设

p

 

m，

0

则

BP  

3 m

， ∵



PBC

和



ABE

相似

∴

PB AB

BC AE



或

PB AE

BC AB



，即

3

4

3 2

5 2

m



_

或

3

5 2

4

3 2

m



_

解得

3

5

m 

或

9

2

m  

， ∴

3

p

0

5











，



_或

9

p

0

2



_









，



_． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等 腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键． 【变式_{1-2】如图，已知抛物线}y m1 ( 2)(x x m )_{(m＞0)与 x 轴相交于点 A，B，与 y 轴相交于点 C，且} 点_{A 在点 B 的左侧.} （_{1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；} （_{2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点 H，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的} 坐标；若不存在，请说明理由； （3）在第四象限内，抛物线上是否存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在， 求出_{m 的值；若不存在，请说明理由.} 【答案】（1） 2

1

1

₂

4

2

y

 

x



x



；（2）点 H 的坐标为（1，

3

2

）；（3）当 m=

2 2 2



时，在第四象限内 抛物线上存在点_{M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.} 【解析】 分析： （_{1）把点（2，2）代入}

y

 

m

1 ( 2)(

x



x m m



) (



0)

中，解出_{m 的值即可得到抛物线的解析式；} （2）由（1）中所得解析式求出点 A、B、C 的坐标，由题意可知，点 A、B 关于抛物线的对称轴对称，这 样连接_{BC 与对称轴的交点即为所求的点 H，根据 B、C 的坐标求出直线 BC 的解析式即可求得点 H 的坐标；} （_{3）由解析式}

y

 

m

1 ( 2)(

x



x m m



) (



0)

可得点_{A、B、C 的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），} 如下图，由图可知∠ACB 和∠ABM 是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA， 分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可_. 详解： （_{1）把点（2，2）代入抛物线，} 得₂₌

m

1 2 2 2 m













.

解得_m=4. ∴抛物线的解析式为







2

1

1

1

y

x 2 x 4

x

x 2

4

4

2

 





 





. （_2）令 2

1

1

y

x

x 2 0

4

2

 



 

，解得

x

1

 

2 x

，

2



4

_. 则A（-2，0），B（4，0）. 对称轴

x=-1

2

₁

1

2

4







 

_

_





_. ∵ 2

1

1

y

x

x 2

4

2

 





中当x=0 时，y=2， ∴点_{C 的坐标为（0，2）.} ∵点A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称， ∴连接_{BC 与对称轴的交点即为点 H，此时 AH+CH 的值最小，} 设直线_{BC 的解析式为 y=kx+b，} 把B（4，0），C（0，2）代入得：

4

0

2

k b

b

 





_



_，解得：

1  

2

2

k

b

  







_



_， ∴直线_{BC 的解析式为 y=}



1 x 2

2



_. ∵当_{x=1 时，y=}

  

1 1 2

2

₌

3

2

_. ∴点_{H 的坐标为（1，}

3

2

）_. （_{3）假设存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.} 如下图，连接_{AC，BC，AM，BM，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，} 由图易知，∠_{ACB 和∠ABM 为钝角，} ①当△_{ACB∽△ABM 时，有}

AC

AB

₌

AB

AM

，即

AB

2



AC·AM

_.

∵_{A（-2，0），C（0，2），即 OA=OC=2，} ∴∠CAB=∠BAM=

45

o. ∵_{MN⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°，} ∴_AN=MN. ∴可设_{M 的坐标为：（x，-x-2）（x＞0），} 把点_{M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=}

m

1 x 2 x m













. 化简整理得：_x=2m， ∴点_{M 的坐标为：（2m，-2m-2）.} ∴AM=



 







2 2

2m 2



 

2m 2





2 2 m 1



. ∵

AB

2



AC·AM

，_AC=

2 2

，_AB=m+2，

∴









2

m 2





2 2 2 2 m 1





. 解得：_m=

2 2 2



_. ∵_m＞0， ∴m=

2 2 2



. ②当△_{ACB∽△MBA 时，有}

AB

MA

₌

CB

BA

，即

AB

2



CB·MA

_. ∵∠_{CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=}

90

o， ∴△_{ANM∽△BOC，∴}

MN

AN

₌

CO

BO

_. ∵_{BO=m，设 ON=x，} ∴

2

MN

x



₌

2

m

，即_MN=

2

m

（_x+2）. 令_M（x，



m

2 x 2







）（_x＞0）， 把M 点的坐标代入抛物线的解析式， 得

m

2 x 2









=



m

1 x 2 x m











. 解得_{x=m+2.即 M（m+2，}

m

2 m 4









）_.

∵

AB

2



CB·MA

，_CB=

m

2



4 AN m 4

，

 

，_MN=

m

2 m 4







， ∴













2 2 ₂ 2 2

4 m 4

m 2

m

4· m 4

m













. 化简整理，得_{16=0，显然不成立.} 综上所述，当_m=

2 2 2



时，在第四象限内抛物线上存在点_{M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与} △_{ACB 相似.} 点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（_{1）“知道点 A、B 是关于抛} 物线的对称轴对称的，连接_{BC 与对称轴的交点即为所求的点 H”是解答第 2 小题的关键；（2）“能根据题意} 画 出 符 合 要 求 的 图 形 ， 知 道 ∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB∽△ABM， ②△_{ACB∽△MBA 这两种可能情况”是解答第 3 小题的关键.} 【考点_{2】二次函数与直角三角形问题} 【例2】如图，抛物线





2

₀

y ax bx c a









的顶点坐标为



2, 1





，图象与

y

轴交于点

C

 

0,3

，与

x

轴 交于

A

、 B 两点．

 

1

_{求抛物线的解析式；}

 

2

_{设抛物线对称轴与直线}

_BC

_交于点

_D

_，连接

_AC

_、

_AD

_，求

_

_ACD

_的面积；

 

3

_点

_E

_为直线

_BC

_{上的任意一点，过点}

_E

_作

_x

_{轴的垂线与抛物线交于点}

_F

_{，问是否存在点}

_E

_使

_

_DEF

_为 直角三角形？若存在，求出点

E

坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】₍₁₎

 

y



(

x



2) 1

2

 

x

2



4

x



3

_{;(2)2;(3)见解析.} 【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把 C 点坐标代入可求得抛物线解析式； （_{2）由抛物线解析式可求得 A、B 坐标，利用待定系数法可求得直线 BC 解析式，利用对称轴可求得 D 点} 坐标，则可求得_{AD2、AC2 和 CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积；} （_{3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知 DF∥x 轴，则可求得 E 点纵} 坐标，代入抛物线解析式可求得_{E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线 AD 解析式，联立直线 AC 和抛物} 线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线 BC 可求得点 E 的坐标．

【详解】解：

 

1

∵抛物线的顶点坐标为



2, 1





， ∴可设抛物线解析式为





2

(

2) 1

0

y a x







a



， 把

C

 

0,3

代入可得

a 

(0 2) 1 3

2

 

，解得

a 

1

， ∴抛物线解析式为

y



(

x



2) 1

2

 

x

2



4

x



3

；

 

2

_在

_{y x}

_

2

_

₄

_x

_

₃

中，令

y 

0

可得

x

2



4

x

 

3 0

，解得

x 

1

或

x 

3

， ∴

A

 

1,0

，

B

 

3,0

， 设直线

BC

解析式为

y kx





3

，把

B

 

3,0

代入得：

3

k  

3 0

，解得

k  

1

， ∴直线

BC

解析式为

y

  

x

3

， 由

 

1

可知抛物线的对称轴为

x 

2

，此时

y    

2 3 1

， ∴

D

 

2,1

， ∴

AD 

2

2

，

AC 

2

10

，

CD 

2

8

， ∵

AD

2



CD

2



AC

2， ∴



ACD

是以

AC

为斜边的直角三角形， ∴

1

1

_{2 2 2 2}

2

2

ACD

S

_



AD CD



 





；

 

3

_由题意知

EF y

/ /

_轴，则



FED

 

OCB



90

 ，

∴



DEF

为直角三角形，分



DFE



90

和



EDF



90

两种情况， ①当



DFE



90

时，即

DF x

/ /

轴，则

D

、

F

的纵坐标相同， ∴

F

点纵坐标为

1

， ∵点

F

在抛物线上， ∴

x

2



4

x

 

3 1

，解得

x  

2

2

，即点

E

的横坐标为

2



2

， ∵点

E

在直线

BC

上， ∴当

x  

2

2

时，

y

    

x

3 1

2

，当

x  

2

2

时，

y

    

x

3 1

2

，

∴

E

点坐标为



2



2,1



2



或



2



2,1



2



； ②当



EDF



90

时， ∵

A

 

1,0

，

D

 

2,1

， ∴直线

AD

解析式为

y x

 

1

， ∵直线

BC

解析式为

y

  

x

3

， ∴

AD BC



， ∴直线

AD

与抛物线的交点即为

E

点， 联立直线

AD

与抛物线解析式有

x

2



4

x

  

3

x

1

，解得

x 

1

或

x 

4

， 当

x 

1

时，

y

   

x

3 2

，当

x 

4

时，

y

    

x

3

1

， ∴

E

点坐标为

 

1,2

或



4, 1





， 综上可知存在满足条件的点

E

，其坐标为



2



2,1



2



或



2



2,1



2



或

 

1,2

或



4, 1





． 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式. 【变式_{2-1】如图，经过}

x

轴上

A

( 1 0)

 ，，

B

(3 0)

，

两点的抛物线

y m x



( 1)



2



4

m

（

m 

0

）交

y

轴于点

C

， 设抛物线的顶点为

D

，若以

DB

为直径的⊙_{G 经过点}

C

，求解下列问题： （_1）用含

m

的代数式表示出

C D

，

的坐标； （_{2）求抛物线的解析式；} （_{3）能否在抛物线上找到一点}

Q

，使

△

BDQ

为直角三角形？如能，求出

Q

点的坐标，若不能，请说明理 由。

【答案】（1）点

C

的坐标为

C

(0 3 )

，



m

,点

D

的坐标为

(1 4 )

，



m

；（2） 抛物线的解析式为

y

  

x

2

2x 3



； （_{3）满足题意的}

Q

点有三个：

(0 3)

，

、

3 9

2 4



_









，



_和

1 15

2 4











，



【解析】 【试题分析】 （1）





2

1

4

y m x







m

是顶点式，则顶点

D

的坐标为

C



0 3

，



m



,当 x=0,则 y=-3m,即点

C

的坐标为



0 3



C

，



m

； （2）连接 CD 、 BC，过点

D

作

DE y



轴于

E

，如图 ①所示:根据直径所对的圆周角是直角，得

90

DCB



 

_{,出现“一线三等角模型”，得}



DEC

∽



COB

根据相似三角形的性质

_得：

DE EC

CO OB



1

3

3

m

m







即

，解得

m  

1

，则抛物线的解析式为

y

  

x

2

2

x



3

_. （_{3）分三种情况分类讨论：}



BQD

 

90

（图①）显然

Q

与

C

点重合，点

Q

坐标为

Q ，

 

0 3

；



DBQ

₌

90

（图②）作

QF



y

轴于

F

，

DH x



轴于 H ，根据两角对应相等，两三角形相似，得

Rt



DHB

∽

Rt



BFQ

，

DH

HB

BF



FQ

_，则

DH FQ BF HB

•



•

_，由于点

Q

_坐标



k k

，



2



2

k



3



，则









2

4

k



2

k

 

3

2 3



k

， 解得：

3

 

2

k  

由

3

2

k  

得

Q

坐标：

3

9

2

4

Q

_







_



，



_；



BDQ

₌

90

（图③）延长

DQ

交

y

轴于

M

，作

DE y



轴于

E

，

DH x



轴于 H _{,同理可证：}



DEM

∽



DHB

，则

DE

EM

DH



HB

，即

1

4

2

EM



,得

1

2

EM 

，点

M

的坐标 为

7

0

2











，



_，设

_DM

_{所在的直线解析式为y=kx+b,用待定系数法，把 M}

7

0

2











，



_{和D（1,4）代入得：}

7

2

4

b

k b



_





  



_解得：

k



1

₂

,

b



7

₂

则直线_{DM 的解析式为}

1

7

2

2

y



x



,把

1

7

2

2

y



x



代入

y

  

x

2

2

x



3

得：

2

x

2



3 1 0

x

 

，解得，

1

2

x 

，最后把

1

2

x 

代入

1

7

2

2

y



x



得

15

4

y 

,点

Q

的坐标为

1 15

2 4











，



综上述，

Q

点有三个：

 

0 3

，

、

3 9

2 4



_









，



_和

1 15

2 4











，



【试题解析】 （1）∵y





2

1

4

m x

m







是顶点式 ∴点

D

的坐标为



1 4m

，





当_{x=0 时，y= -3m} 点

C

的坐标为

C



0 3

，



m



（_{2） 连接 CD 、 BC，过点}

D

作

DE y



轴于

E

，如图①所示： ∵_{BD 是⊙G 的直径} ∴∠_DCB=

90

0 ∴∠_ECD+∠BCO=

90

0 ∵∠ECD+∠EDC=

90

0 ∴∠_BCO=∠EDC

∵∠_DEC=∠BOC=

90

0∴



DEC

∽



COB

DE EC

CO OB





1

3

3

m

m









2

₁

m





m  

1

∵

m 

0

∴

m  

1

∴抛物线的解析式为

y

  

x

2

2

x



3

（_{3）能在抛物线上找到一点 Q，使△BDQ 为直角三角形} 很明显，点

C

即在抛物线上，又在⊙G 上，



BCD

 

90

，这时

Q

与

C

点重合 点

Q

坐标为

Q ，

 

0 3

如图②，若



DBQ

为

90

，作

QF



y

轴于

F

，

DH x



轴于 H 同理可证：

Rt



DHB

∽

Rt



BFQ

∴

DH

HB

BF



FQ

∴

DH FQ BF HB

•



•

∵点

Q

坐标





2

₂

₃

k k

，





k



∴









2

4

k



2

k

 

3

2 3



k

化简得：

2

k

2



3

k

 

9 0

_,解得：

k 

3

（不合题意，舍去），

3

2

k  

由

3

2

k  

得

Q

坐标：

3

9

2

4

Q

_







_



，



若



BDQ

为

90

_{,如图③，延长}

DQ

交

y

轴于

M

， 作

DE y



轴于

E

，

DH x



轴于 H_{,同理可证：}



DEM

∽



DHB

∴

DE

EM

DH



HB

则

1

4

2

EM



,得

1

2

EM 

，点

M

的坐标为

7

0

2











，



设

DM

所在的直线解析式为_{y=kx+b,把 M}

7

0

2











，



_{和D（1,4）代入得：}

7

2

4

b

k b



_





  



_解得：

1

_,

7

2

2

k



b



∴直线_{DM 的解析式为}

1

7

2

2

y



x



,把

1

7

2

2

y



x



代入

y

  

x

2

2

x



3

得：

2

x

2



3 1 0

x

 

解为：

x 

1

（不合题意，舍去），

1

2

x 

， 把

1

2

x 

代入

1

7

2

2

y



x



得

15

4

y 

,点

Q

的坐标为

1 15

2 4











，



综合上述，满足题意的

Q

点有三个：

 

0 3

，

、

3 9

2 4



_









，



_和

1 15

2 4











，



【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似， 并且多次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形的确定（_{3 种情况分类讨论），难度较大.} 【变式2-2】已知抛物线

y x



2



2

x m

 

1

与

x

轴只有一个交点，且与

y

轴交于

A

点，如图，设它的顶点 为_B． （_1）求

m

的值； （_{2）过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：△ABC 是等腰直角三角形；} （_{3）将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线}

y

，且与_{x 轴的左半轴交于 E 点，与 y 轴交于 F 点，如} 图．请在抛物线

y

上求点P，使得△

EFP

是以EF 为直角边的直角三角形？

【答案】（_{1）m = 2；（2）证明见解析；（3）满足条件的 P 点的坐标为（}

10

3

，

13

9

）或（

7

3

，

20

9



）． 【解析】 试题分析：（_{1）根据抛物线与 x 轴只有一个交点可知△的值为 0，由此得到一个关于 m 的一元一次方程，} 解此方程可得_{m 的值；} （_{2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据 A 点在 y 轴上求出 A 点坐标，再求 C 点坐标，根据三个点} 的坐标得出△ABC 为等腰直角三角形； （_{3）根据抛物线解析式求出 E、F 的坐标，然后分别讨论以 E 为直角顶点和以 F 为直角顶点 P 的坐标．} 试题解析：（_{1）∵抛物线 y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，} ∴△_{=（-2）2-4×1×（m-1）=0，} 解得，_m=2； （2）由（1）知抛物线的解析式为 y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点 B（1，0）， 当_{x=0 时，y=1，得 A（0，1）．} 由_{1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或 x=2，所以 C 点坐标为：（2，1）．} 过_{C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，则 CD=1，BD=xD-xB=1．} ∴在_{Rt△CDB 中，∠CBD=45°，BC=}

2

． 同理，在_{Rt△AOB 中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=}

2

． ∴∠_{ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，} 因此△_{ABC 是等腰直角三角形；} （3）由题知，抛物线 C′的解析式为 y=x2-2x-3， 当_{x=0 时，y=-3；} 当_{y=0 时，x=-1 或 x=3，} ∴_{E（-1，0），F（0，-3），即 OE=1，OF=3．} 第一种情况：若以_{E 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P1（x1，y1），作 P1M⊥x 轴于 M．}

∵∠_{P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，} ∴∠_{P1EM=∠EFO，得 Rt△EFO∽Rt△P1EM，} 则 1

1

3

PM

OE

EM

＝

OF

＝

，即_EM=3P1M． ∵_{EM=x1+1，P1M=y1，} ∴_x1+1=3y1① 由于_{P1（x1，y1）在抛物线 C′上，} 则有3（x12-2x1-3）=x1+1， 整理得，_{3x12-7x1-10=0，解得，} x1＝

10

3

，或_{x2=-1（舍去）} 把_x1＝

10

3

代入①中可解得， y1=

13

9

． ∴P1（

10

3

，

13

9

）． 第二种情况：若以_{F 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P2（x2，y2），作 P2N⊥y 轴于 N．} 同第一种情况，易知_{Rt△EFO∽Rt△FP2N，} 得 2

1

3

FN

OE

P N OF

＝

＝

_{，即P2N=3FN．}